Pojęcie pola w geometrii nieeuklidesowej

Uiwersytet Wrocławsi Wydział Matematyi i Iformatyi Istytut Matematyczy specjalość: matematya auczycielsa Justya Zaręt Pojęcie pola w geometrii ieeulidesowej Praca magistersa apisaa pod ieruiem prof. dr hab. Jaca Świątowsiego

Wrocław 005 STRONA Z 45

Serdeczie dzięuję swojemu promotorowi, Pau prof. dr hab. Jacowi Świątowsiemu, tóry przez cały ores pisaia pracy służył mi swoją wiedzą i doświadczeiem, pełił rolę opieua, metora i przewodia.

SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP 4 CZĘŚĆ PIERWSZA Wprowadzeie 6 CZĘŚĆ DRUGA - Pola figur w geometrii ieeulidesowej Rozdział I - Asjomatycza teoria pola dla figur wieloątych Rozdział II - Deducyjy wywód wyprowadzeie teorii 5 CZĘŚĆ TRZECIA - Aaliza teorii asjomatyczej 9 Rozdział I - Niesprzeczość teorii 9 Rozdział II - Niezależość asjomatów BIBLIOGRAFIA 9 STRONA Z 45

WSTĘP WSTĘP Każdy z as a świat patrzy iaczej, dostrzega ie istote dla iego elemety. Mamy róże wyczucie pięa, bardziej lub miej wyostrzoe zmysły. Wiąże się to bezpośredio z wrażliwością człowiea, z jego poglądami, z tym co chce zobaczyć lub z jaiej perspetywy zarówo życiowej, poglądowej czy auowej przygląda się daemu zjawisu. I ta: poloista zilustruje świat słowami, malarz posłuży się obrazem, muzy wyrazi to co czuje za pomocą dźwięu. Każda z tych wizji jest prawdziwa, ażda ia. Rówie pięie o świecie opowie biolog, chemi, iformaty. Moja przygoda z matematyą zaczęła się w szole podstawowej. Szybo stała się oa olejym środiem a to by opisać, zrozumieć rzeczywistość. Potem oazało się,że ieoieczie zawsze mówi o świecie rzeczywistym to tym bardziej pociągało mie do tego by pozać, zgłębić, zrozumieć. Zadaie ie łatwe, muszę przyzać,że ie zawsze mój umysł potrafił ją ogarąć, ie miej jestem a piątym rou studiów bogatsza w ową wiedzę, w owe doświadczeia. Praca ta jest próbą udzieleia odpowiedzi a pytaie o pojęcie pola w geometrii ieeulidesowej. Wybrałam geometrię bo to o tyle cieawy dział matematyi, że opiera się po trosze a ituicji jao, że jest ściśle związay z doświadczeiem przestrzei i zmysłem wzrou. Chociaż przyzwyczajei do geometrii eulidesowej, a tórej od dzieca budujemy asze wyobrażaie o świecie, ie zawsze chcemy zaufać tej ituicji w świecie ieeulidesowym, tóry jest zresztą dużo trudiejszy a czasami iemożliwy do wyobrażeia. Bo przecież ja to możliwe, że suma ątów w trójącie może ie wyosić 80? Nie miej ie trzeba zapewe iogo przeoywać, że liczby są dla as ieco bardziej abstracyje iż figury. Geometria wydaje się więc, być bardziej biologicza w porówaiu z pozostałymi zagadieiami, tórymi zajmuje się matematya. Nie jest łatwo myśleć o polu w geometrii ieeulidesowej. Istieje wiele staowis odoszących się do tego tematu rówież w geometrii eulidesowej. Wszysto ta aprawdę zależy od temperametu czy upodobań matematya. Co cieawe róże podejścia wcale ie są ze sobą sprzecze, przeciwie, uzupełiają się tworząc peły, bogatszy obraz całego zagadieia. Stroa 4 z 45

WSTĘP W swojej pracy propouję podejście asjomatycze. Przy czym zamiast wieloątów rozważać będę szerszą lasę figur zwaą figurami wieloątymi. Pierwsza część pracy to wprowadzeie do geometrii ieeulidesowej. W dużym uproszczeiu staram się poazać w iej czym jest ta geometria, ja powstała i gdzie jest wyorzystywaa. Dla ilustracji opisuję dwa modele geometrii Bolya Łobaczewsiego: model Kleia oraz model Poiacarego. Wiedza ta pomoże am zrozumieć część drugą w tórej zajduje się deducyjy wywód teorii pola dla figur wieloątych w geometrii ieeulidesowej. Swoje rozważaia oparłam a modelach, o tórych wspomiałam wcześiej. W rozdziale pierwszym, części drugiej defiiuję pojęcie figury wieloątej, formułuję też asjomaty pola. W rozdziale drugim wyprowadzam miej lub bardziej oczywiste własości pola dla figur wieloątych opierając się a wcześiej podaych, czterech asjomatach. Część trzecia to sprawdzeie czy wszystie asjomaty są potrzebe oraz zbadaie iesprzeczości teorii. W rozdziale pierwszym tej części zajmuję się zbadaiem iesprzeczości teorii. Rozdział drugi mówi o iezależości asjomatów. Asjomaty - stwierdzeia tóre przyjmuje się bez dowodu, z ich za pomocą logiczego rozumowaia moża wyprowadzić pozostałe twierdzeia daej teorii matematyczej. Stroa 5 z 45

CZĘŚĆ PIERWSZA - WPROWADZENIE CZĘŚĆ PIERWSZA Wprowadzeie GEOMETRIA EUKLIDESOWA Cała historia rozpoczya się od Eulidesa, -0,-75 tóry apisał swoistą biblię aui zwaej geometrią pt: Elemety. Do dziś cała elemetara geometria jaą pozajemy w pierwszych szczeblach eduacji opiera się właśie a dziele Eulidesa. Stało się oo podstawowym podręcziiem matematyi dla całego cywilizowaego świata. W zasadzie ie powio as to dziwić: Eulides opiera rozważaa a zaledwie pięciu oczywistych postulatach i wywodzi z ich całą teorię! Z ilu prostych przesłae, drogą deducji dochodzi do ogromej ilości ważych wiosów - to musi robić wrażeie. Fascyacja stylem i perfecją z jaą autor dowodził twierdzeń sprawiła, że podręczi został grutowie zbaday przez cały zastęp matematyów. Książa ie tylo wzbudzała powszeche zaiteresowaie, ale też iedowierzaie w prawidłowość teorii. Przez wiele, wiele lat a przyład, starao się udowodić zależość piątego asjomatu od pozostałych. Ja łatwo zauważyć różi się od pierwszych czterech, co rodziło pewe podejrzeie, że być może ie jest tu oieczy: Postulat I: Od dowolego putu do dowolego iego putu moża przeprowadzić prostą Postulat II: Ograiczoą prostą moża przedłużyć w iesończoość. Postulat III: Z dowolego putu moża dowolym promieiem opisać orąg. Postulat IV: Wszystie ąty proste są rówe Postulat V: Jeżeli dwie proste a płaszczyźie przecięte trzecią tworzą po ustaloej stroie ąty wewętrze α i β taie, że α+ β < П to te dwie proste przeciają się po tej samej stroie tej trzeciej prostej. Stroa 6 z 45

CZĘŚĆ PIERWSZA - WPROWADZENIE Rzeczywiście może się wydawać, że w taim sformułowaiu piąty postulat psuje geialą prostotę i estetyę, charateryzującą pierwsze cztery pewii geometrii. Co więcej Eulides orzysta z iego dopiero w dalszej części pracy możliwe więc,że został dopisay późiej, że autor sądził, iż będzie się umiał bez iego obejść. Ta więc obecość V postulatu stała się obietem dosłowie obsesyjego zaiteresowaia. Od mometu apisaia Elemetów do XIX stulecia ażdy wybity matematy pozostawiał po sobie prace, w tórych rozważał, czy przypadiem ie udałoby się udowodić go a podstawie reszty. Gdyby omuś udało się zaleźć tai dowód, to piąty postulat mógłby zostać z listy usuięty bez szody dla teorii przez te postulaty opisywaej. Nit jeda tego ie osiągął. Nie miej badaia te zaowocowały powstaiem owych, iych geometrii. Początowo awet zai i szaowai matematycy - ja Gauss obawiali się przyzać do swoich odryć. Błęda teoria ozaczałaby zgubę dla iejedego z ich. I rzeczywiście zamiast sławy pierwsze geometrie ieeulidesowe, tóre pojawiły się a świecie oazały się tragicze dla ich twórców. Zaim to jeda astąpiło, przeświadczeie o iepodważalej pewości twierdzeń geometrii eulidesowej stało się całiem powszeche. Ja twierdził jede z ajsłyiejszych filozofów wszech czasów Immauel Kat: "[...] geometria wypowiada twierdzeia, tórym towarzyszy świadomość oieczości; tego rodzaju twierdzeia ie mogą być empirycze. Tai charater tej aui daje się wytłumaczyć tylo przez to, że jej przedmiot, tj. przestrzeń, ie jest wyobrażeiem empiryczym, jest stałą formą zmysłowości". Władysław Tatariewicz: Historia filozofii. PWN, Warszawa 98. Przestrzeń, ja twierdzi Kat ie istieje poza ami, ale w as, jao rodzaj formy aszej zmysłowości. To, że w oreśloy sposób postrzegamy rzeczy, czy porządujemy świat jest ograiczoe bo związae ieodłączie tylo z aszą umysłowością, z przestrzeią eulidesową. Trudo się zatem dziwić popularości Elemetów Eulidesa, soro jego twierdzeia są z ami zrośięte. Łatwo z olei pojąć opory z przyjęciem iych geometrii, soro eulidesowa jest ta aturala i blisa am ja zmysł wzrou czy słuchu. Główy problem polega a tym by uwierzyć w dooae odrycie. Zauważmy, że mamy tu do czyieia ze zdumiewającym przyajmiej a pozór zjawisiem: za odrywcę uzawao ie tego to odrył, ale tego to pierwszy w odrycie uwierzył. Stroa 7 z 45

CZĘŚĆ PIERWSZA - WPROWADZENIE GEOMETRIA NIEEUKLIDESOWA "Tymczasem powiem tylo, że z icości stworzyłem cały świat" - w tai oto sromy sposób w 8 rou podsumował swe wyii jede z pierwszych twórców geometrii ieeulidesowych, -leti Jaos Bolyai. Tymczasem ojciec Joosa Wolfgag Bolyai wybity węgiersi matematy już od dzieciństwa wpajał mu aczelą zasadę: ie wolo zajmować się V postulatem Eulidesa. Świadomy własej lęsi starał się chroić sya - przed obłędem, przed zmarowaym życiem, przed rzywdą swoją lub blisich. Młody Bolyai oazał się rówie iepoory co geialy. Napisał pracę w tórej rozważał geometrię różą od opisaej dotąd geometrii eliptyczej i eulidesowej. W stworzoej przez iego geometrii ąty wewętrze w trójącie mają zawsze miej iż 80, a przez day put poza prostą przechodzi iesończeie wiele iych prostych rówoległych do iej. Wolfgag był ta podescytoway odryciem sya, że w prywatej orespodecji przesłał pracę Gaussowi. Te atomiast twierdził, że ta aprawdę to o - Gauss - wszysto pierwszy wymyślił i ie widzi w tym ic dziwego, że sy jego przyjaciela za wyii jego tj. Gaussa prac. Zabolało to Balyaiów, do tego stopia, że odważyli się opubliować pracę Joaosa jedyie jao dodate do poświęcoej auczaiu matematyi siążi Wolfgaga w 8 rou. Wtedy oazało się, że świat pozał geometrię Joaosa już trzy lata wcześiej w 89 rou. Tyle tylo, że pod azwisiem Łobaczewsi, tóry iezależie od wszystich stworzył taą samą teorię i szczęśliwym trafem opubliował ją ajszybciej. Tego drugiego ciosu wiela erwowość i chorobliwa ambicja Jaosa Bolyaiego ie wytrzymała... uzał, że wiy wszystiemu musi być ojciec, soro tylo o miał dostęp do jego prac i zapewe żądza zysu zwyciężyła - tz. sprzedao jego odrycie. Obrażoy a wszystich przestał zajmować się matematyą, a ietórzy twierdzą awet, że w ogóle przestał się do ogoolwie odzywać. Tymczasem Łobaczewsiego po pierwszym odczycie w 86 rou wielu uzało za dziwaa. Po tym gdy jego praca uazała się w Niemczech w 8 rou, stracił staowiso retora Uiwersytetu w Kazaiu, zabrao mu rówież ajwyższe odzaczeie dla osób spoza carsiej rodziy - Order św. Ay II lasy. Najsprytiej zachował się zatem wybity iemieci matematy Carl Friedrich Gauss, tóry zataił swoje przemyśleia dotyczące owych geometrii uparcie jeda twierdząc, że to o wiedzie prym pierwszeństwa. Nawet jeśli wierzyć Stroa 8 z 45

CZĘŚĆ PIERWSZA - WPROWADZENIE Gaussowi, że jao 5-leti chłopiec stworzył geometrię ieeulidesową, to i ta przed im zajmowali się ią ii. Na przyład Włoch Giuseppe Sacceri zaprzeczył piątemu postulatowi Eulidesa i dowiódł ilu twierdzeń geometrii Bolyai -Łobaczewsiego. Opubliował awet prace a te temat w 7 pt. Eulides ze wszelich saz oswobodzoy. Tyle tylo,że iedy doszedł do stwierdzeia, że proste mogą się do siebie zbliżać ieograiczeie, ale ie przeciać, uzał to za ta absurdale, iż swe wywody przedstawił jao... dowód piątego postulatu Eulidesa. MODELE GEOMETRII NIEEUKLIDESOWEJ BOLYAI-ŁOBACZEWSKIEGO W geometrii Łobaczewsiego V asjomat Eulidesa został zastąpioy asjomatem rówoległości: przez put ie leżący a daej prostej przechodzą przyajmiej dwie róże proste ie przeciające daej. MODEL KLEINA Płaszczyza modelu Kleia w tej geometrii jest ołem, puty płaszczyzy to puty oła bez brzegu. Prostymi są cięciwy oła, odciiem jest fragmet cięciwy. Miarę ątów mierzymy za pomocą ątów w półsferyczym modelu Beltramiego. W pratyce ozacza to, że miara ąta at odcie troj t polprosta l' m' pomiędzy dwiema prostymi l i m to miara ąta pomiędzy l m odpowiadającymi im półoręgami l i m w modelu Beltraiego. Zauważmy, że rzeczywiście w modelu Kleia zachodzi asjomat Łobaczewsiego. Przez put A ie leżący a prostej, przechodzą co p A t ajmiej dwie proste ie przeciające. W modelu wyróżiamy dwa rodzaje par ieprzeciających się prostych: Stroa 9 z 45

CZĘŚĆ PIERWSZA - WPROWADZENIE - asymptotycze czyli taie tóre mają a brzegu oła jede put wspóly - rozbieże w modelu są rozłącze jao cięciwy, czyli ie mają putów wspólych ai wewątrz, ai a brzegu MODEL POINCAREGO Jest to półpłaszczyza bez ograiczającej jej prostej. Proste w tym modelu to półproste prostopadłe do brzegu modelu albo półoręgi zawarte w półpłaszczyźie o ońcach a brzegu modelu. Odciiem i półprostą jest fragmet prostej ograiczoy odpowiedio dwoma putami lub jedym. proste w modelu plaszczyzy Poicare'go odcii polproste Miary ątów to eulidesowe miary ątów pomiędzy styczymi do prostych w modelu. Poiżej a rysuu zazaczoo przyładowe rodzaje ątów pomiędzy prostymi różego typu w tym modelu. Stroa 0 z 45

CZĘŚĆ PIERWSZA - WPROWADZENIE aty w modelu plaszczyzowym Poicarego miara atow Podobie ja w modelu Kleia zachodzi tu asjomat Łobaczewsiego. Przez put ie leżący a prostej przechodzi iesończeie wiele prostych ie przeciających daej prostej. l l p = Ø p = Ø A l A l l l Proste asymptotycze mają jede put wspóly a brzegu modelu, proste rozbieże atomiast ie mają putów wspólych. proste asymptotycze proste rozbie e Stroa z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ I CZĘŚĆ DRUGA Pole figur w geometrii ieeulidesowej ROZDZIAŁ I Asjomatycza teoria pola dla figur wieloątych PRZYGOTOWANIE W dalszej części pracy będę stosować astępujące ozaczeia: Przez T 0 będziemy ozaczać trójąt idealy o trzech wierzchołach w iesończoości; Przez T α będziemy ozaczać trójąt idealy o dwóch wierzchołach w iesończoości i trzecim wierzchołu o ącie rówym α; Niech T αβ będzie trójątem idealym o jedym wierzchołu w iesończoości i dwóch pozostałych wierzchołach o ątach rówych odpowiedio α i β; KOLEKCJA FAKTÓW Z GEOMETRII NIEEUKLIDESOWEJ KTÓRE STOSUJĘ W DALSZYCH ROZWAŻANIACH Fat.. Każde dwa trójąty ideale o trzech wierzchołach w iesończoości tz. trójąty typu T 0, są przystające. Fat.. T α T α α α. Fat.. Jeśli α α i β β to T β T β. Fat..4 Suma ątów w trójącie idealym jest miejsza iż. Stroa z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ I TRÓJKĄTY IDEALNE ORAZ FIGURY WIELOKĄTNE - DEFINICJE Defiicja..5 Trójątem idealym azywamy figurę złożoą z boów w tórej pewe pary boów zamiast spotyać się w wierzchołu spotyają się w iesończoości, tz. są do siebie asymptotycze. Niżej widzimy ich ilustrację w modelach tóre omówiłam we wprowadzeiu: W modelu Kleia W modelu Poicarego Defiicja..6 Figury wieloąte są to figury dające się przedstawić jao suma sończoej ilości ie-zachodzących a siebie trójątów zwyłych bądź idealych. Pojęcia trójąt będę w dalszej części używać zarówo w sesie zwyłym ja i idealym. Nie-zachodzeie a siebie ozacza, że figury te ie posiadają wspólych putów wewętrzych. Stroa z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ I AKSJOMATYCZNA TEORIA POLA DLA FIGUR WIELOKĄTNYCH Polem azywać będę pewą fucję przypisującą figurom F liczby rzeczywiste PF. Asjomatycza teoria pola a płaszczyźie ieeulidesowej tym różi się od iych prób zdefiiowaia tego pojęcia, że całe rozumowaie oparte jest a poiższych czterech asjomatach. Asjomat Sumy AS Jeśli figura wieloąta W jest sumą iezachodzących a siebie figur wieloątych W, W to PW = PW + PW. Asjomat Przystawaia PS Każde dwie figury wieloąte mają rówe pola. Asjomat Mootoiczości AM Jeśli W W to PW PW. Asjomat Jedosti AJ Dla pewego ustaloego trójąta idealego T 0 jego pole wyosi. Stroa 4 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ I Stroa 5 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II ROZDZIAŁ II Deducyjy wywód wyprowadzeie teorii Rozdział zawiera ścisłe deducyje wyprowadzeie podstawowych własości pola w geometrii ieeulidesowej w oparciu o same asjomaty. Stwierdzeie.. Jeśli figury wieloąte W, W, W,..., W ie zachodzą a siebie to P W W... W = PW + PW + PW +... + PW. dowód W dowodzie stosujemy iducyjie asjomat sumy. Pierwszy ro iducyjy: wyia bezpośredio z asjomatu sumy AS. Drugi ro iducyjy: ZAŁOŻENIE: Dla parami iezachodzących a siebie figur: W... W jest prawdą, że P W W... W = PW + PW + PW +... + PW. TEZA: Dla parami iezachodzących a siebie figur: W... W, W + jest prawdą, że PW W... W W + = = PW + PW + PW +.. + PW + PW + DOWÓD: Niech W = W W... W W +. Rozważmy W = W W... W. Korzystając z ZAŁOŻENIA, poieważ W, W,... W są parami iezachodzące mamy: PW = PW + PW + PW +... + PW. Poieważ W W... W oraz W + przy daych założeiach ie zachodzą a siebie to z AS mamy: PW = PW + PW + sąd PW = PW W + = PW + PW + PW +.. + PW + PW +. c.. u. Stroa 6 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II TRÓJKĄTY IDEALNE Stwierdzeie.. Dowoly trójąt o trzech wierzchołach idealych ma pole. dowód Z asjomatu jedosti AJ wiemy, że pole ustaloego trójąta idealego jest rówe. Poieważ ażde dwa trójąty ideale typu T 0 są przystające fat.. oraz wszystie przystające trójąty ideale maja rówe pola AP to pole dowolego trójąta idealego jest rówe. c.. u. Zaim zajmiemy się uogólieiami dotyczącymi obliczaia pola postarajmy się ituicyjie zrozumieć istotę zagadieia. Stwierdzeia....5 to jedyie ilustracja dla problemu, tóry mamy przed sobą do rozwiązaia. Korzystając z asjomatów obliczam pola dla ilu przyładowych figur w geometrii ieeulidesowej. Stwierdzeie.. Trójąty o wierzchołach idealych i jedym ącie zwyłym α = mają pole rówe. dowód Zbudujmy z dwóch trójątów, o dwóch wierzchołach idealych i jedym ącie zwyłym α = jede trójąt o wszystich trzech wierzchołach idealych zestawiając je ze sobą. T T T T Stroa 7 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II Zauważmy, teraz że z AS mamy, że P T + P = T. Z geometrii ieeulidesowej wiadomo, że T T, więc P T P. Stąd wiose, że T P T =. c.. u. Stwierdzeie..4 Trójąty o dwóch wierzchołach idealych i jedym ącie zwyłym α = mają pole rówe. dowód Postępujemy aalogiczie ja w dowodzie stwierdzeia poprzediego. Budujemy trójąt o trzech wierzchołach idealych, sładając z sobą trzy trójąty ideale o jedym ącie zwyłym rówym. W modelu Poicarego wszystie trzy trójąty o tórych mowa wyżej przystają do siebie: T T T. Co T0 pociąga za sobą rówość PT = PT = PT. Ja mówi AS a doładiej stwierdzeie.. suma pól tych trzech trójątów jest rówa polu trójąta o trzech wierzchołach idealych: PT + PT + PT = T T PT 0. Sąd po prostych przeształceiach PT = otrzymujemy rozwiązaie: T PT =. c.. u. Stroa 8 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II Stwierdzeie..5 Trójąty o dwóch wierzchołach idealych i jedym ącie zwyłym α = mają pole rówe P T = T T o Dowód Pierwszy ro polega a złożeiu ze sobą dwóch trójątów o jaich mowa w stwierdzeiu. Otrzymamy figurę T złożoą z trójąta idealego, T ' o jedym ącie zwyłym rówym z trójątem idealym o trzech wierzchołach idealych. Zamy pole tej figury. Jest to suma pól trójątów z tórych się słada. Korzystamy z asjomatu jedosti AJ, tóry mówi,że PT 0 = oraz ze stwierdzeia..4 mówiącego, że P T =. Zauważmy, że trójąty T T ' są przystające. Stąd wiose, że ich pola są rówe: sumy AS otrzymamy: P T = P T '. Czyli ostateczie z asjomatu P T + P T ' = P T + P T0. Sąd P T = P T + P T0. Wstawiając dae do powyższego rówaia: P T = + i dzieląc obie stroy rówaia przez dwa: 4 P T = = zajdujemy wartość pola dla trójąta idealego c.. u. o jedym ącie zwyłym rówym. Stroa 9 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II Potrafimy już wyliczyć pola dla ilu przyładowych trójątów idealych. Teraz zajmiemy się uogólieiem tego zagadieia. Pomoce oażą się poiższe dwa twierdzeia: Twierdzeie..6 Jeśli α < β to trójąt T β daje się umieścić w trójącie Tα. dowód Umieśćmy trójąt Tα w modelu Poicarego z doładością do przystawaia w tai sposób, że jego ramioa zawierają się w prostych pioowych ϒ, ϒ. Mając dae β > α chcemy sostruować trójąt T β Tα. Niech ąt α zajduje się między rzywymi ϒ,ϒ. Rysujemy eulidesową prostą styczą do ϒ w pucie A. Zauważmy, że α = α bo to ąty wierzchołowe oraz α = α poieważ α uzupełia się do ąta z ątem - α i α uzupełia się do ąta z ątem - α. Stąd α = α. Niech β będzie ątem z twierdzeia taim, że β > α i iech ma z α wspóly wierzchołe C ja a rysuu. Zauważmy, że soro β > α to rówież β > α bo α = α. Prosta tóra zawiera drugie ramię ąta β przetie ϒ, w pucie B. Narysujmy eulidesową styczą do ϒ w tym pucie. Wtedy β = β bo oba ąty β, β uzupełiają się do z ątem - β. Kąt β = β bo to ąty wierzchołowe, czyli β = β. Stroa 0 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II '' B α α ' α A α C α C Przyjmijmy, że T β to ieeulidesowy trójąt o dwóch ątach idealych, tai ja w twierdzeiu. Niech α Tα, β T β. Zauważmy, że soro β > α i ąty leżą a jedej rzywej to T β Tα. c.. u. Twierdzeie..7 Pole trójąta typu Tα o dwóch wierzchołach idealych dla ąta postaci α = wyosi P T = α. α dowód Podzielmy ąt a rówych ątów o mierze. Rozważmy figurę powstałą z sumy trójątów idealych typu T, gdzie α = lub sumy - trójątów idealych typu T 0. Stroa z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II PTα PT0 Możemy więc apisać, że P Tα = P T. Korzystając ze 0 stwierdzeia.. mamy pole P T 0 =, sąd otrzymujemy: P T = α = = = α Twierdzeie..8 Pole trójąta typu Tα o dwóch wierzchołach idealych współmierego z dla wymierego ąta postaci α = wyosi P T = α. α dowód Podzielmy ąt a rówych ątów o mierze ja w dowodzie twierdzeia..7 i wybierzmy spośród ich. Rozważmy sumę trójątów idealych typu T o ącie α = oraz - trójątów idealych typu T 0, ja a rysuu. Stroa z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II Zauważmy, że pole trójąta Tα gdzie α = jest rówe różicy sumy pól trójątów T o ącie α = oraz sumy pól trójątów T 0 : 0 T P T P T P =. Korzystając z twierdzeia..7 oraz stwierdzeia.. mamy,że: α = = + = = T P Stroa z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II c.. u. Twierdzeie..9 Pole trójąta typu T α o dwóch wierzchołach idealych dla iewspółmierych z ątów α iewymierego ąta postaci wyosi P T = α. α dowód p Weźmy współmiere z ąty q, m taie, że: p q < α < m. Na podstawie twierdzeia..6 możemy stwierdzić, że: P T α > P T m sąd oczywiście P Tα >. Podobie a podstaie twierdzeia..6 otrzymamy m p q > P T α. Reasumując pole trójąta o iewymierym ącie α mieści się między wielościami: p > P Tα > q m. α α Rozważmy ciąg wymierych ątów postaci p q dla N zbiegających do iewymierego ąta α z prawej stroy. Rozważmy rówocześie ciąg wymierych Stroa 4 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II ątów postaci m dla N zbiegających do iewymierego ąta α z lewej stroy. Możemy powiedzieć, że: p > P Tα > q m. Kolejy ro aszego rozumowaia opiera się a twierdzeiu o trzech ciągach, tóre mówi, iż jeśli dae są trzy ciągi a, b i c taie, że dla ażdego więszego od pewej liczby aturalej N: i to. p Poieważ α q oraz α m to a mocy powyższego P T = α. α c.. u. Uwaga: Jeśli zadajesz sobie pytaie ja moża dobrać ciąg m tai, że m α to zauważ, że wystarczy dobrać go ta by zbiegał do α przy dążącym do iesończoości. Podobie ciąg p q tai, że p q α wystarczy dobrać ta by zbiegał do α. Defiicja..0 Defetem w trójącie o ątach α, β, γ azywamy liczbę: T = α + β α, β, γ + γ Twierdzeie.. Pole trójąta o ątach α, β, γ wyosi: P T = T = α + β α, β, γ α, β, γ + γ Stroa 5 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II dowód Korzystając z asjomatów i wyprowadzoych wcześiej twierdzeń astępujący ciąg przeształceń pozwala a zalezieie pola trójąta o trzech ątach α, β, γ w geometrii ieeulidesowej. Zauważmy, że trójąt idealy moża podzielić a sończoą liczbę trójątów idealych o jedym, dwu lub trzech ątach zwyłych. Przyjmijmy, że day jest podział ja a rysuu: α P T α P T α, β, γ β P T β P T γ γ T = α, β, γ T γ T β T α T0 Wtedy z AS oraz z stwierdzeia.. otrzymamy, że: P Tα, β, γ + P T γ + P T β + P T α = P T0. Po zastosowaiu twierdzeń..7..9 otrzymamy: P T + [ γ ] + [ β ] + [ α ]. α, β, γ = Co prowadzi do ostateczego wiosu: P T = γ + β + α = T. α, β, γ α, β, γ c.. u. FIGURY WIELOKĄTNE Dla zdefiiowaia defetu figury wieloątej będziemy posługiwać się reprezetacją tych figur w modelu Kleia. Defiicja.. Stroa 6 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II Defetem figury wieloątej azywać będziemy liczbę będącą różicą eulidesowej sumy ątów w reprezetacji tej figury, w modelu Kleia oraz ieeulidesowej sumy ątów. Przy czym przyjmujemy, że ąty w wierzchołach idealych są rówe zeru. W = eulidesowa suma ątów ieeulidesowa suma ątów Pod pojęciem sumy ątów figury wieloątej rozumieć będziemy sumę wszystich ątów przyległych do wierzchołów tej figury. Dla przyładowej sompliowaej figury wieloątej przedstawioej a rysuu iżej jest to suma wszystich zazaczoych ątów. Licząc defet zazaczoe ąty sumujemy ajpierw w sesie eulidesowym astępie od tej wielości odejmujemy sumę zazaczoych ątów w sesie ieeulidesowym. Przyład Na rysuu czerwoymi łuami zazaczoo wszystie ąty figury wieloątej. Uwaga Warto zauważyć, że defet wypułego -ąta ma wartość: W = - α + α +... + α. Gdzie - jest eulidesową sumą ątów -ąta, atomiast α + α +... + α to ieeulidesowa suma ątów. Przy czym α = 0 i [, ] dla wierzchołów idealych. i Łatwo jest dowieść prawdziwości tego wzoru. Otóż ażdą figurę wieloątą moża podzielić a sończoą liczbę iezachodzących a siebie trójątów zwyłych lub idealych. Pole taiego wieloąta będzie rówe sumie pól trójątów. Pole jedego Stroa 7 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II trójąta jest rówe jego defetowi: - ieeulidesowa suma ątów trójąta. Z geometrii eulidesowej wiemy, że mamy - taie trójąty to miimala liczba a jaą moża podzielić wieloąt o wierzchołach. Nieeulidesowa suma ątów wewętrzych wszystich trójątów słada się a sumę ątów wewętrzych -ąta. Co dowodzi, że pole -ąta jest rówe jego defetowi. Nie ma ogólego wzoru a defet figury wieloątej, podobego do powyższego wzoru a defet -ąta wypułego. Nie jest łatwo zaleźć tę wielość dla sompliowaej figury wieloątej ja w przypadu -ąta poieważ ie ma jasego podziału a trójąty triagulacji. Z tego względu defet defiiujemy jao różicę eulidesowej sumy ątów w reprezetacji figury w modelu ieeulidesowym z ieeulidesową sumą ątów. W dalszych rozważaiach pracy oażą się pomoce astępujące trzy faty mówiące o własościach defetu: Fat.. Jeśli W rozłada się a iezachodzące a siebie trójąty T, T,..., T to: W = T + T +... + T. dowód Niech W rozłada się a iezachodzące a siebie trójąty T, T,..., T. Poszczególe defety trójątów T i i {,..., } są rówe: T = α T = α T = α Jeśli dodamy te wielości to otrzymamy: T + T +... + T = α + β + γ α + β + γ... α + β + γ Rozład ma taą cechę, że dwa róże trójąty są albo rozłącze albo mają jede wspóly wierzchołe, albo cały jede bo. Niech: b liczba wierzchołów leżąca a rawędziach figury wieloątej; s - liczba wierzchołów wewętrzych. + β + β + β + γ + γ + γ. Stroa 8 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II Zauważmy, że suma miar ątów w trójątach T i, w wierzchołach leżących a rawędziach figury wieloątej jest rówa b, atomiast suma miar ątów w trójątach T i, leżących we wętrzu figury wieloątej jest rówa: s. Zauważmy Gdzie rówież, że ieeulidesowa suma miar wszystich ątów ależących do trójątów T i jest rówa: α +... + α + β +... + β + γ +... + γ = b + s + Σ. Σ ozacza ieeulidesową sumę miar ątów przyległych do wierzchołów figury wieloątej. Sąd: T +... + T = b s Σ = b + s Σ. Kąt ma taą samą miarę w geometrii ieeulidesowej ja i eulidesowej, iezależie od tego w jaim modelu figurę umieścimy. Rozważmy tę figurę, przy taiej samej triagulacji j.w. czyli przy taim samym podziale a trójąty z putu widzeia geometrii eulidesowej. Wiemy, że suma ątów w trójącie w geometrii eulidesowej wyosi. Poieważ mamy podział a trójątów, więc suma wszystich ątów ależących do trójątów T i jest rówa policzyć sumę wszystich ątów tej figury wieloątej więc od. Chcemy musimy odjąć wszystie ąty leżące a rawędziach figury wieloątej oraz wszystie ąty wewętrze. Stąd eulidesowa suma ątów wierzchołowych tej figury będzie rówa Σ = b + s e. Na mocy defiicji.. możemy więc stwierdzić, że: T +... + T = b + s Σ = Σ e Σ = W Co ończy dowód fatu. Fat..4 Dla ażdego trójąta idealego T > 0 dowód Załóżmy ie wprost, że T < 0. Wtedy a podstawie defiicji..0 mamy, że T = α + β + γ gdzie α + β + γ ozacza ieeulidesową sumę ątów. Zgodie z założeiem Stroa 9 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II α + β + γ < 0. Po przeształceiach otrzymamy astępującą ierówość: α + β + γ >. Nierówość ta jest sprzecza z fatem..4 rozdział pierwszy, tóry mówi, że ieeulidesowa suma ątów dla ażdego trójąta jest miejsza iż. Tym sposobem udowodiliśmy, że prawdą jest, że T > 0. Fat..5 Dla ażdej figury wieloątej W > 0 dowód Każdą figurę wieloątą moża podzielić a sończoą liczbę iezachodzących a siebie trójątów: W = T T... T. Zgodie z fatem.. defet figury W wyosi W = T + T +... + T. Fat..4 mówi, że T jest wielością ieujemą więszą od zera. Sończoa suma defetów trójątów jest więc też wielością ieujemą, co ończy dowód fatu. Twierdzeie..6 Jeśli W jest dowolą figurą wieloątą o pewej liczbie wierzchołów idealych i pewej liczbie wierzchołów właściwych to PW= W. dowód Każdą figurę wieloątą moża podzielić a sończoą liczbę iezachodzących a siebie trójątów: W = T T... T Opierając się a AS asjomacie sumy oraz a stwierdzeiu.. możemy powiedzieć, że pole taiej figury wieloątej to suma pól trójątów: PW = PT + PT +... + PT Spróbujmy teraz wyzaczyć tę wielość. Z twierdzeia.. wiemy, że pole trójąta jest rówe jego defetowi, mamy więc: PT = PT = PT = T T T Sąd: PW = T + T +... + T. Pole figury wieloątej będzie więc sumą defetów trójątów a tóre została podzieloa. Korzystając z fatu.., Stroa 0 z 45

CZĘŚĆ DRUGA ROZDZIAŁ II poieważ W rozłada się a iezachodzące trójąty otrzymamy: P W = T + T +... + T =. Co ończy dowód twierdzeia. W Stroa z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ I CZĘŚĆ TRZECIA Aaliza teorii asjomatyczej Aaliza teorii asjomatyczej polega a zbadaiu iesprzeczości teorii co czyię w rozdziale pierwszym oraz sprawdzeiu iezależość asjomatów rozdział drugi. Wszystie rozważaia przeprowadzam opierając się a modelu Kleia. ROZDZIAŁ I Niesprzeczość teorii W tym rozdziale badam iesprzeczość teorii pola dla figur a płaszczyźie ieeulidesowej. Uład asjomatów czyli teoria zbudowaa a tych asjomatach jest iesprzeczy jeśli ie moża z iego wyprowadzić stwierdzeia i jaiegoś stwierdzeia do iego przeciwstawego. Niesprzeczości teorii moża dowieść poprzez sostruowaie fucji, tóra spełia wszystie asjomaty. Szuamy fucji L:{figury wieloąte}->r tóra przypisuje figurom liczbę rzeczywistą. Niech LW := W. Gdzie W zostało zdefiiowae w części drugiej defiicja.. jao defet. Przy dowodzeiu, że LW := W spełia asjomaty posłużymy się astępującym fatami pomociczymi: AKSJOMAT JEDNOSTKI Sprawdzimy czy fucja LW := W spełia asjomat jedosti AJ: Dla pewego ustaloego trójąta idealego T 0 jego pole wyosi. Zgodie z defiicją fucji L oraz z defiicją defetu defiicja..0 mamy, że L T 0 = T = α + β + γ = gdyż ąty w wierzchołach idealych 0 są rówe zeru, stad suma α + β + γ = 0. Wiose: Fucja L spełia asjomat jedosti. STRONA Z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ I AKSJOMAT MONOTONICZNOŚCI Sprawdzimy czy fucja LW := W spełia asjomat mootoiczości AM: Jeśli W W to LW LW. Zrobimy to bez odwoływaia się do pojęcia pola. Każdą figurę wieloątą moża podzielić a iezachodzące a siebie trójąty. Niech W i W będą figurami wieloątymi taimi, że W W oraz W W = T + T +... + T W i W = T +... + T +... + T = W + T + +... +. T Zauważmy, że możliwy jest podział figury W tai, że rozszerza o podział W, tz. że W jest podzieloe w tai sposób, że część trójątów podziału W tworzy podział W. Wówczas z defiicji fucji LW oraz z fatu.. rozdział drugi, cześć druga mamy: L W = = T + oraz L T T + T + +... + T... + T = T + T +... + T L W = L T +... + T +... + T = T +... + T +... + T = T +... + = T +... + T czyli L W = L W + T + +... + T. Sąd poieważ T>0 dla trójąta T fat..4, to L W > L. W Wiose: Fucja L spełia asjomat mootoiczości. AKSJOMAT SUMY Sprawdzimy bez odwoływaia się do pojęcia pola, czy fucja LW := W spełia asjomat sumy AS: Jeśli figura wieloąta W jest sumą iezachodzących a siebie figur wieloątych W, W to LW = LW + LW. Niech W i W będą iezachodzącymi a siebie figurami wieloątymi taimi, że W = W W. Podzielmy W oraz W a iezachodzące a siebie trójąty zwyłe lub ideale: W T +... + T =, W = T +... + T. STRONA Z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ I Wtedy W W W = T +... + T + T +... + T =. Z fatu.. oraz defiicji fucji L otrzymujemy: L W = L T + T +... + T = T + T +... + T = T + T +... + T oraz L W = L T +... + T = T +... + T = T +... + T +... + T tych dwu wielości to: L W + L W = T +... + T + T +... + T. LW obliczamy orzystając rówież z fatu.. oraz defiicji fucji:. Suma L W = L W W = T +... + T + T +... + T = T +... + T + T +... + T Oazuje się, że zachodzi: L W = L W + L. W Wiose: LW spełia asjomat sumy. AKSJOMAT PRZYSTAWANIA Sprawdzimy czy fucja LW := W spełia asjomat przystawaia AP, tz. sprawdzimy czy jeśli W W to L W = L W. Jeśli W W to zaczy,że możemy jedą z tych figur rozciąć a sończoą ilość figur taich, że moża z ich złożyć drugą przystawaie przez rozład. Jeśli rozetę W a trójąty zwyłe lub ideale W = T + T +... + T ta by móc z ich złożyć W, to W = T + T +... + T. Wtedy po sorzystaiu z fatu.. otrzymamy: L W = = T + L T + T T +... + +... + T T = = L T + T T + T +... + +... + T T = = L W T + T +... + T = Wiose: LW spełia asjomat przystawaia. PODSUMOWANIE Oazało się, że fucja LW := W zdefiiowaa jao defet figury wieloątej spełia wszystie asjomaty teorii. Stąd wiose: asjomaty pola są iesprzecze. STRONA 4 Z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ II ROZDZIAŁ II Niezależość asjomatów W tym rozdziale uwodimy iezależość asjomatów pola. Asjomat iezależy to tai asjomat, tórego ie da się wyprowadzić logiczym rozumowaiem z pozostałych. Dowód przeprowadzimy ostruując fucję, tóra spełia wszystie asjomaty z wyjątiem tego, tórego iezależość dowodzimy. NIEZALEŻNOŚĆ AKSJOMATU JEDNOSTKI Rozważmy fucję W = 5 L W, gdzie fucja LW := W została L J zdefiiowaa w rozdziale drugim, części drugiej. Fucja L J ie spełia AJ bo Pozostałe asjomaty spełioe przez fucję L J T0 T0 = 5 L = 5 L J : AM: Niech W W. Poieważ LW spełia asjomat mootoiczości to zachodzi LW LW. Po obustroym pomożeiu ierówości przez pięć otrzymamy: LW 5 LW a więc W L W. AM jest spełioy. 5 L J J AS: Z tego, że LW spełia AS wiemy, że: LW = LW + LW. Po obustroym pomożeiu ierówości przez pięć otrzymamy: 5 LW = 5 LW + 5 LW. Sąd: L JW = L JW + L JW. AP: Jeśli W W to L W = L W. Po obustroym pomożeiu ierówości przez pięć otrzymamy: 5 LW = 5 LW. Sąd: L JW = L JW więc AP jest spełioy. Wiose: Asjomat jedosti jest iezależy od pozostałych. NIEZALEŻNOŚĆ AKSJOMATU SUMY Rozważmy fucję W = L W, gdzie fucja LW := W została L S zdefiiowaa w rozdziale drugim, części drugiej. STRONA 5 Z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ II Sprawdzimy czy L S spełia AS. Wyorzystując defiicje L, fat.. oraz to, że LW spełia AS policzymy L SW: L S W = L W W = W + W = W + W W + W Podobie zajdujemy wartości L SW, L SW : L S L S W W = L W = W W = L W = Otrzymamy stąd: L W = L W + L W + W. S S S W Zauważmy, że W > 0 oraz W > 0 fat..5. Czyli a podstawie powyższych rozważań dochodzimy do wiosu, że L W W L W L. Więc L S W ie spełia AS. S S + S W Pozostałe są spełioe przez L S : AJ: Wyorzystując defiicję defetu trójąta idealego, oraz to, że LW spełia asjomat jedości otrzymamy: L S T0 = L T0 = T0 = =. AM: Niech W W. Poieważ LW spełia asjomat mootoiczości to zachodzi LW LW przy założeiu, że L 0. Po obustroym podiesieiu ierówości do wadratu i pomożeiu otrzymaych wartości W i obustroie przez otrzymamy: LW LW sąd dostajemy LW LW AM jest spełioy. i ostateczie W L W. L J J AP: Jeśli W W to L W = L W. Po obustroym podiesieiu ierówości do wadratu LW = LW i pomożeiu otrzymaych wartości obustroie przez otrzymamy LW = LW sąd: L J J W = L W więc AP jest spełioy. STRONA 6 Z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ II Wiose: Asjomat sumy jest iezależy od pozostałych. NIEZALEŻNOŚĆ AKSJOMATU PRZYSTAWANIA Niech T 0 będzie ustaloym trójątem idealym o trzech wierzchołach idealych tym, tóry występuje w asjomacie jedosti. Rozważmy fucję L P W = L W T 0 gdzie fucja LW := W została zdefiiowaa w rozdziale drugim, części drugiej. Przy czym wyiiem operacji W T 0 jest masymala figura wieloąta zawarta w przeroju W T0. Przy czym jeśli W T 0 ma puste wętrze przyjmujemy, że W T 0 = Ø. Dodatowo L Ø = 0. P Sprawdzimy teraz czy L P spełia AP. Weźmy dwie figury wieloąte W oraz W taie, że W W oraz W w całości zawiera się w T 0 atomiast W jest z im rozłączy. Wtedy W T 0 = 0. W W L P W = W = W T oraz L L T0 L P W = W T = L 0 = 0. 0 Poieważ W T 0 0 oraz to defet 0 figury wieloątej W T 0 > 0 fat..5. Stąd wiose, że W W ale LP W LP W więc asjomat przystawaia ie jest spełioy. Pozostałe asjomaty są spełioe przez fucje L P : AJ: Spełioe bo: T = L T T = L T = = L P 0 0 0 0 T0 AM: Niech W W. Wtedy W T0 W T0 a więc T0 W rówież W T0 W T 0. Czyli LW LW oraz W L W T0 T0 L W więc LW T W Ostateczie LP W LP W. AM jest spełioy. L T. 0 STRONA 7 Z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ II AS: Niech W będzie sumą iezachodzących a siebie figur wieloątych W, W. Sprawdzimy czy L P spełia AS. Wyorzystując defiicje L oraz to, że L spełia AS policzymy L P: Nietrudo zauważyć, że zachodzi rówość: Policzmy wartość L S W : L W W 0 = S S W T W W = L W W = L W = Czyli W = L S W L + LW T. T0 0 T 0 T 0 W Podobie zajdujemy wartości L SW, L SW : L S W = W L L T 0 L S W = W T 0 oraz: LS W + LS W = L W 0 + LW T 0. T W T. 0 L T 0 W T. Mamy więc, że L W W = L W L. Więc L S spełia AS. S S + S W Wiose: Asjomat przystawaia jest iezależy od pozostałych. 0 NIEZALEŻNOŚĆ AKSJOMATU MONOTONICZNOŚCI Sostruujemy fucję H: W R gdzie W to zbiór wszystich figur wieloątych, R to zbiór liczb rzeczywistych, tóra spełia trzy asjomaty: AJ, AS, AP ale ie spełia AM. Wyorzystamy istieie fucji: f : R R mającej astępujące własości: f qx = q f x x R q Q f x + y = f x f x, y R + y f q = q q Q 4 f ie jest tożsamościowa Istieie taiej fucji f wyia z możliwości potratowaia zbioru liczb rzeczywistych jao przestrzei wetorowej ad ciałem liczb wymierych Q. Mając daą fucję fx ja wyżej, fucję HW defiiujemy jao: HW := flw. Gdzie fucja LW została zdefiiowaa w rozdziale poprzedim. STRONA 8 Z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ II Sprawdzimy czy HW spełia AJ, AS, AP: AJ: HW spełia AJ bo dla pewego ustaloego trójąta idealego T 0, z własości fucji fx mamy: H T0 0 f = f L T = =. Zatem HW spełia AJ. AS: Niech W będzie figurą wieloątą będącą sumą iezachodzących a siebie figur wieloątych W oraz W. Wtedy: H W = f L W = f L W W = f L W + L. Z tego, że LW W spełia AS oraz z własości drugiej fucji fx mamy: f L W + L W = f L W + f L. Poieważ: W H W + H W = f L W + f L to zaczy, że AS jest spełioy bo: W H W = H W + H. W AP: Wiemy, że L W = L. Zatem: W H W = f L W = f L W = H. Stąd wiose, że HW spełia AP. W AM: Uzasadieie, że HW ie spełia AM wymaga wyprowadzeia wcześiej astępującego fatu: Fat.. Istieją liczby rzeczywiste y, z taie, że 0 < y < z oraz f y > f z. dowód Niech x będzie taą liczbą rzeczywistą, że f x x oraz x R. Taa liczba istieje dzięi temu, że fucja f ie jest tożsamościowa spełia własość 4. Możemy przyjąć, że x > 0. Jeśli x < 0 to zamiast xi bierzemy liczbę przeciwą do iego, czyli x, wtedy f x = f x = f x = f x i rówocześie f x x. Rozważmy dwa przypadi w zależości od tego czy fx > x. A Załóżmy, że fx > x. Niech a = q, gdzie q Q, będzie taą liczbą, że x < a < f x. Zauważmy,że taie a istieie poieważ istieje q spełiające: x f x < q < bo q Q. Wtedy x < q < f x. Niech STRONA 9 Z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ II a > x oraz a < f x. Poieważ f a = a z własości fucji f to f a < f x. Q q 0 x fx Wtedy przyjmiemy y = x, z = a. B Załóżmy, że fx < x. Niech a = q, gdzie q Q, będzie taą liczbą, że x > a > f x. Zauważmy,że taie a istieie poieważ istieje q spełiające: Poieważ x f x > q > bo q Q. Niech a < x oraz a > f x. f a = a z własości fucji f x to f a > f x. Q q 0 fx x Wtedy przyjmiemy y = x, z = a. Z powyższych obliczeń wyia, ze dla fucji f 0 < y < z oraz f y > f z. istieją liczby y, z, że c.. u. Jeśli 0 < y < z i f y > f z to dla dowolego N mamy: 0 < y < z y z i f > f. Pierwsza ierówość jest prawdziwa gdyż podzieleie y oraz z przez dowolą liczbę aturalą ie zmiei ich porządu a osi. Przyjrzyjmy się drugiej ierówości. Sorzystamy teraz z własości, y y z z mamy, że f = f = f y i podobie f = f = f z. y z Sąd wyia druga ierówość f > f. STRONA 40 Z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ II Szuamy W i V taich, że y L W = i z L V = oraz W V. Niech T to dowoly trójąt z wyróżioym boiem długości m. Wtedy T x T w tai sposób, że jego dwa ramioa porywają się z trójątem T, atomiast trzecie leży we wętrzu T. Ja a rysuu. Kostruujemy fucję h x taą, że: h x = T x. Fucja h x ma astępujące własości: - jest ciągła - jest malejąca - jest oreśloa a przedziale [ 0, m - lim x = 0 x L h Możemy rozszerzyć fucję h o wartość: h m = 0 ta by fucja była ciągła a całym odciu [0,m]. y z Wybierzmy ta małe, że: 0 < < < L T. Z własości 4 fucji f istieją a, b taie, że 0 < a < b < m. y Wtedy h b = L T b = oraz z h a = L T a =. Zauważmy, że soro a < b to odpowiadające tym parametrom trójąty T b, T a spełiają własość T b T a. Oazuje się więc, że moża zaleźć taie figury ideale W = T b i V = T a, że T b T a i f T b > f T a. Dzięi własości Dorboux fucji ciągłej h oraz mootoiczości tej fucji y z możemy stwierdzić, że: H W = f L W = f, H V = f L V = f. STRONA 4 Z 45

CZĘŚĆ TRZECIA ROZDZIAŁ II Czyli W V a jedocześie H V < H W. Fucja HW ie spełia AM, co dowodzi iezależości tego asjomatu. PODSUMOWANIE Wszystie asjomaty pola są iezależe. Dowody a iesprzeczość teorii oraz iezależość asjomatów zostały przeprowadzoe bez odwoływaia się do pojęcia pola. STRONA 4 Z 45

BIBLIOGRAFIA Bibliografia. O geometrii dla postroych - M. Kordos, L. Włodarsi. Historia filozofii - Władysław Tatariewicz. Femme fatale Witold Sadowsi 4. Iteret STRONA 4 Z 45