MARCIN KAMIŃSKI Załad Konstrucji Stalowych Wydział Budownictwa, Architetury i Inżynierii Środowisa Politechnia Łódza PIOTR ŚWITA Załad Konstrucji Stalowych Wydział Budownictwa, Architetury i Inżynierii Środowisa Politechnia Łódza ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI WYBRANYCH KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH O PARAMETRACH LOSOWYCH Opiniodawca: prof. dr hab. inż. Paweł Śniady Tematem niniejszej pracy jest zastosowanie probabilistycznej analizy numerycznej opartej na uogólnionej metodzie perturbacji stochastycznej do wyznaczenia probabilistycznych momentów obciążenia rytycznego. Obciążenia te wyznaczono przy pomocy Stochastycznej Metody Elementów Sończonych dla losowo oreślonych parametrów geometrycznych przeroju i modułu Younga stali. Wyorzystując metodę funcji odpowiedzi wyznaczano wartości oczeiwane i odchylenia standardowe sił rytycznych dla płasiej oraz przestrzennej ramy stalowej, tóre następnie będzie można wyorzystać do wyznaczania ich wsaźniów niezawodności.. WSTĘP Zastosowanie metod probabilistycznych w rozwiązywaniu problemów inżyniersich polegających na analizie losowej znalazło ostatnio bezpośrednie zastosowanie w normach do projetowania. Ja wiadomo, przeroje stalowe dzieli się na lasy w zależności od ich smułości w celu oreślenia, czy zniszczenie następuje przez uplastycznienie, czy też poprzez utratę stateczności. W szczególnych przypadach zjawisa niestateczności mogą oazać się decydujące, również w przypadu z loalnymi lub globalnymi parametrami losowymi [,, 3]. Powszechna optymalizacja w budownictwie ma na celu
ograniczenie do minimum osztów onstrucji, a co się z tym wiąże, prowadzi do reducji wymiarów przerojów elementów przy najbardziej optymalnych schematach statycznych ustroju onstrucyjnego. W ten sposób uzysuje się możliwie lei ustrój, w tórym rezerwy nośności zostały możliwie ograniczone lub też prawie wyczerpane, a systematyczne zmniejszanie przerojów efetywnych prowadzi do znacznego zwięszenia smułości luczowych elementów onstrucyjnych. Ja dowodzi zagadnienie Eulera, problematya stateczności onstrucji wiąże się między innymi ze znajomością podstawowych charaterysty zarówno materiału, przeroju, ja również wymiarów geometrycznych. Niestety trudne do przewidzenia zmienne parametry materiału i przeroju, szczególnie uwzględniając orozję przeroju stalowego mogą mieć znaczący wpływ na zjawiso wyboczenia. Dlatego też istnieje onieczność rozwiązywania zagadnień probabilistycznego wyboczenia dla sompliowanych schematów statycznych onstrucji oraz różnorodnego sposobu obciążeń. W celu przeprowadzenia ogólnej oceny stateczności zastosowano w pracy metodę perturbacji stochastycznej zrealizowaną numerycznie przy pomocy Metody Elementów Sończonych. Przy jej pomocy znaleziono i przeanalizowano zmienność wartości oczeiwanych i odchyleń standardowych w funcji rozrzutu losowego założonych parametrów losowych. Analizę przeprowadzono na przyładzie wybranych stalowych płasich i przestrzennych onstrucji prętowych, a w dalszej olejności będzie można ją bezpośrednio wyorzystać w analizie niezawodności tych strutur []. Uzysane wynii dowodzą jednoznacznie, że z dobrym przybliżeniem rozrzut losowy obciążenia rytycznego jest równy rozrzutowi wejściowych zmiennych losowych.. STOCHASTYCZNA METODA PERTURBACJI Rozważmy zmienną losową b b ω i jej funcję gęstości prawdopodobieństwa jao pb. Wartości oczeiwane i centralne momenty probabilistyczne tej zmiennej definiujemy jao i Eb b bpbdb, m b b E[b] pb μ m db.
Podstawowym założeniem perturbacji stochastycznej jest rozwinięcie wszystich wprowadzanych zmiennych i wszystich funcji stanu w szereg Taylora przy założeniu parametru perturbacji w postaci małego >. W przypadu losowej wielości siły rytycznej P rozwinięcie to dla losowej wielości b wyraża się następująco [7, 8]: n n P n P P ε Δb, n 3 b n! n gdzie εδb ε b b jest wariacją pierwszego rzędu b w otoczeniu jej wartości oczeiwanej Wartość oczeiwana P będzie więc równa b. n P n! n n b 5 n n P bpbdb P ε Δb pbdb E P Z numerycznego puntu widzenia rozwinięcie 3 jest zapisane jao suma wszystich sładniów, ale równanie 5 jao zapis całowy jest zawsze wyznaczane dla granic sończonych, a dolna i górna granica całowania musi mieć fizyczne uzasadnienie lub jest oreślona na drodze esperymentalnej. Przy zmiennej losowej zgodnej z rozładem Gaussa lub innym symetrycznym rozładem prawdopodobieństwa równanie 5 można zapisać jao E P P b ε P b b μ b m! ε m m P b b m μ m b... 6 Wartość oczeiwana może być obliczona analitycznie lub wyznaczona w postaci symbolicznej wtedy i tylo wtedy, gdy znamy funcję parametru losowego b.
Rachunowa implementacja symboliczna, wprowadzona do programu omputerowego np. MAPLE, a taże połączona z zadawalającą wizualizacją odpowiednich charaterysty losowych zapewnia szybsze rozwiązanie zadanego problemu i ułatwia analizę jaościową otrzymanych wyniów. Znajomość analitycznej funcji P b, a więc i jej pochodnych, umożliwia bezpośrednio otrzymanie wartości oczeiwanych momentów wyższych rzędów również w postaci analitycznej, np. jao funcji parametru oraz rozrzutu losowego zadanej zmiennej losowej. Wówczas dodatowo można wybrać rozład prawdopodobieństwa, zgodnie z tórym chcemy analizować wybraną zmienną norma zaleca tutaj rozład normalny, logarytmiczno-normalny lub funcję Gumbela, ale w pratyce inżyniersiej również stosuje się rozład Weibulla i analizować charaterystyi losowe siły rytycznej jao ombinacje tych parametrów. Wynii liczbowe taiej analizy można porównywać z rezultatami dostatecznie dużych symulacji Monte-Carlo lub, w szczególnych przypadach, wyniami teoretycznymi uzysanym na drodze bezpośredniego całowania. Biorąc pod uwagę lasyczny w liniowej teorii stateczności wzór Eulera dla beli swobodnie podpartej na obu ońcach [5, 6], wyznaczenie podstawowych momentów siły rytycznej przy zadanym losowym parametrze w postaci długości elementu l, przedstawia się w postaci: wartość oczeiwana: π EJ 6 6 b 3 ε α l 5 ε α l 5 ε α l E P l π EJ l 8 8 95 ε α l 395 ε α l 7 wariancja: EJ 6 6 ε α l 75 ε α l 5 ε α l π μ P b l 8 moment centralny rzędu trzeciego: 3 EJ 6 6 8 ε α l 5 ε α l 6 π μ3 P b 6 l 9
moment centralny rzędu czwartego: l α ε 3 l α ε 8 l EJ π b P μ 6 8 8 8 3. ANALIZA STATECZNOŚCI I ELEMENTY SKOŃCZONE Rozważmy liniowy element sończony w postaci pręta prostego, tórych węzły oznaczamy jao i and j. Energię odształcenia pręta pryzmatycznego dla wyidealizowanego elementu sończonego w zagadnieniach liniowej teorii sprężystości zapisujemy jao [9, ] U q q q q T s T gdzie q α jest następującym wetorem przemieszczeń węzłów u,,u,u,u,u u j z j y j x i z i y i x q, s jest macierzą sztywności sprężystej elementu oznaczoną jao A E l s 3 i to macierz sztywności geometrycznej elementu sończonego
F l Funcjonał energii potencjalnej w odniesieniu do elementu sończonego może być przedstawiony jao q R q q T s T P J 5 co, wyorzystując procedurę jego minimalizacji, daje w rezultacie R q s 6 Procedura agregacji elementów sończonych w jeden uład globalny prowadzi do równania macierzowego postaci ˆ ˆ R r K K F s 7 gdzie ˆ F K jest macierzą sztywności geometrycznej, s K jest macierzą sztywności sprężystej, obciążenie R α ma charater proporcjonalny typu ˆ R, gdzie to mnożni obciążenia; ˆ R - pewne obciążenie wyjściowe. Waruniem otrzymania wartości rytycznej oraz obciążenia rytycznego ˆ R R jest niezerowe rozwiązanie równania:
s K ˆ det K F 8 W przypadu losowym chcemy ustalić zależność pomiędzy wielością rytyczną i zmienną losową b, tórą proponujemy w postaci wielomianowej jao m Dmb 9 Współczynnii D m są oreślone numerycznie w zależności od serii deterministycznych rozwiązań problemu stateczności przy pomocy modelu MES z parametrem losowym o wartości iterowanej wewnątrz przedziału b b b, b b. Ostateczną postać funcji znajdujemy przy pomocy metody najmniejszych wadratów i ostatecznie obliczamy pochodne cząstowe funcji z następującym równaniem: λ b m j n n n jdmb n jdmb... Dm n j. W przypadu zdefiniowania obciążenia rytycznego jao wielomianu λ 9 D b wartość oczeiwana siły rytycznej jest obliczana z zależności
9 8 8 D b D 37 α ε 3.688 D b 3 D E λ 6α 8α 6 97α ε 6 3 68 D b 6 D b 5D b 7D 9 5 3D9b 68D8b 8D ε 36D6b D5b D 7 6 7D9b 56D8b D7b ε D b 6D3b D 8 5 7 3D 9 6 7 3 b b D 5 8 6 3 b. ANALIZA NUMERYCZNA.. STALOWA RAMA JEDNONAWOWA, MODEL i 3D Głównym celem pierwszego przyładu obliczeniowego jest porównanie obciążenia rytycznego obliczonego dla dwu- rys. i trójwymiarowego modelu rys. tej samej stalowej ramy, w onteście jego charaterysty losowych. W tym celu ramy zostały obciążone jednostowymi siłami supionymi, przyłożonymi osiowo do odpowiednich słupów. Znajomość poszuiwanych charaterysty losowych jest ja wiadomo onieczna do analizy niezawodności onstrucji, tórej zdjęcie zostało przedstawione na rys. 3. Do stworzenia aprosymacji wielomianowych dla obydwu modeli rys. wyorzystano omercyjny program MES ROBOT, natomiast obliczenia algebraiczne przeprowadzono przy pomocy programu MAPLE. W obliczeniach wybrano moment bezwładności przeroju słupów jao wartość losową, dla tórej przeanalizowano wartości oczeiwane i odchylenia standardowe. Z porównania wielomianowych funcji odpowiedzi wynia, iż model 3D jest sztywniejszy od modelu D, co niewątpliwie jest zgodne z intuicją i pratyą inżyniersą. Wybór momentu bezwładności jao wielości losowej ma aspet pratyczny biorąc pod uwagę procesy orozji [] niebezpieczne dla onstrucji stalowych.
Rys.. Model D ramy stalowej pierwsza i druga postać wyboczeniowa Fig.. D FEM model of the steel frame first and second bucling configuration Rys.. Model 3D ramy stalowej Fig.. 3D FEM model of the steel frame Funcje wartości oczeiwanej zgromadzone rys. 5 zostały przedstawione w funcji współczynnia wariancji należącego do przedziału [,.]. Porównując oba modele można zauważyć, że wartość oczeiwana siły rytycznej dla modelu 3D jest ooło dziesięć razy więsza od wartości rytycznej uzysanej dla modelu D. Wartości oczeiwane rzędów drugiego, czwartego, szóstego, ósmego i dziesiątego mają w całym zaresie zmienności parametru α prawie identyczne wartości w modelu płasim, natomiast dla modelu 3D dla wartości tego parametru powyżej wartości. różnice pomiędzy rezultatami dla poszczególnych rzędów perturbacji są
znaczące. Ogólnie można stwierdzić, że im więszy współczynni wariancji tym mniejsza wartość oczeiwana obciążenia rytycznego zmiany te są jedna bardziej widoczne w modelu płasim rozpatrywanej onstrucji. Na rys. 6 zestawiono współczynnii wariancji obliczone w obydwu modelach i zestawione porównawczo na jednym wyresie, taże w funcji wejściowego współczynnia wariancji. Współczynnii dla obu modeli wyznaczono wyorzystując technię perturbacji rzędu drugiego, czwartego i szóstego. Z analizy wyresu wynia jednoznacznie, że współczynnii wariancji w modelu D są nieco więsze, niż te obliczone w modelu 3D. Jednocześnie można zauważyć istotne różnice pomiędzy wyniami uzysanymi dla różnych rzędów metody perturbacji dla zagadnienia płasiego, natomiast w modelu przestrzennym różnice pomiędzy poszczególnymi rzędami wzrastają wraz ze wzrostem współczynnia wejściowego. Rys. 3. Montaż onstrucji Fig. 3. Building site
Rys.. Funcja wielomianowa dla siły rytycznej przy zmiennym momencie bezwładności przeroju Fig.. Polynomial approximations for the itical force vs. inertia moment Rys. 5. Wartość oczeiwana siły rytycznej, model D po lewej i model 3D po prawej Fig. 5. The expected values for the itical force, D left vs. 3D right model
Rys. 6. Współczynnii wariancji siły rytycznej, dla modelu D i 3D Fig. 6. The variation coefficient of the itical force, D vs. 3D model.. ANALIZA RAMY WIELONAWOWEJ Stosując tą samą metodę analizy losowej zamodelowano ramę płasą sześcionawową i dwuondygnacyjną; obliczenia mnożnia siły rytycznej przeprowadzono dla modelu poazanego na rys. 7. Jao parametr losowy zgodny z rozładem Gaussa przyjęto moment bezwładności przeroju, a supione pionowe ścisające obciążenie jednostowe przyłożono do górnych ońców wszystich słupów; wszystie węzły onstrucji są idealnie sztywne. Zjawiso rzeczywistej podatności węzłów jest niewątpliwie ważne z inżyniersiego puntu widzenia, a jego wpływ na losowość uzysanych wyniów wymaga dalszych doładnych studiów. Aprosymacja wielomianowa funcji odpowiedzi została przedstawiona na rys.8, gdzie na osi pionowej odłożono wartości siły rytycznej, natomiast na osi poziomej moment bezwładności przeroju; funcja ta ma wyraźny charater nieliniowy i jest wlęsła. Na jej podstawie wyznaczono zgromadzone na rys. 9 wartości oczeiwane obciążenia rytycznego oraz jego współczynni wariancji. Na podreślenie zasługuje fat, iż dysretyzacja przedziału zmienności momentu bezwładności nie jest równomierna, a obliczenia przeprowadza się dla wartości odpowiadających onretnym profilom stalowym zasadnicza różnica w stosunu do modułu Younga, gdzie podział jest równomierny.
Rys. 7. Model ramy stalowej wielonawowej Fig. 7. FEM model of the multi-aisle steel frame Przerój słupa J y [cm ] współczynni siły rytycznej HEB6 9 3,6 HEB8 383 56,83 HEB 57 755,3 HEB 89 8,38 HEB 6 8,5 HEB6 9 8, HEB8 97 7,68 HEB3 57 835,9 HEB3 38 333,6 HEB3 3666 38,68 Rys. 8. Funcja wielomianowa siły rytycznej przy zmiennym momencie bezwładności przeroju Fig. 8. Polynomial approximations for the itical force vs. inertia moment Ja wynia z rysunu 9 różnice pomiędzy wartościami obliczonymi dla olejnych rzędów perturbacji są nieznaczne przy wejściowym współczynniu wariancji z przedziału [.,.5]; zwięszenie rzędu perturbacji prowadzi do zmniejszania się wartości oczeiwanej. Probabilistyczna zbieżność w odniesieniu do współczynnia wariancji ma asymptotyczny charater, ponieważ rzywa rzędu drugiego jest rzywą pośrednią pomiędzy rzywą rzędu czwartego, tóra
ma wartość masymalną, a rzywą rzędu szóstego, tóra osiąga najmniejsze wartości. Ogólnie wyniowe współczynnii wariancji są nieznacznie mniejsze od odpowiedniego współczynnia zmienności momentu bezwładności przeroju. Rys. 9. Wartość oczeiwana i współczynni wariancji siły rytycznej Fig. 9. The expected values and coefficients of variation for the itical force 5. WNIOSKI W niniejszej pracy zastosowano uogólnioną stochastyczną metodę elementów sończonych w połączeniu z technią funcji odpowiedzi do analizy zagadnień stateczności, a jao przyład posłużyły wybrane płasie i przestrzenne onstrucje prętowe, często spotyane w bieżących realizacjach inżyniersich. Analiza została wyonana przy pomocy programu omercyjnego MES ROBOT i programu do obliczeń symbolicznych MAPLE. Ja wiadomo, znajomość wartości oczeiwanych, wariancji, czy też odchyleń standardowych jest bardzo istotna, gdyż rezultaty przedstawionej analizy mogą zostać bezpośrednio wyorzystane do oreślania wsaźnia niezawodności zgodnie z Eurocode. Porównanie prostego modelu D i bardziej realistycznego modelu 3D tej samej onstrucji stalowej poazuje, iż w wyniu istniejących rezerw nośności przeroje poszczególnych elementów tej onstrucji można byłoby dalej optymalizować ze względu na globalny wsaźni niezawodności. Niezwyle interesującym problemem w zaresie analizy stateczności przy użyciu MES jest stan nadrytyczny i jego analiza w ujęciu probabilistycznym, a taże modelowanie podatności poszczególnych połączeń w onstrucjach stalowych [].
Literatura [] Elishaoff I.: Probabilistic Methods in the Theory of Structures. New Yor, Wiley-Interscience 983. [] Elishaoff I., Li Y. W., Starnes J. H.: Nonclassical Problems in the Theory of Elastic Stability. Cambridge, Cambridge University Press. [3] Papadopoulos V., Charmpis V., Papadraais M.: A computationally efficient method for the bucling analysis of shells with stochastic imperfections. Comput. Mech. 3, 9, s. 687-7. [] Sadovsý Z., Drdácý M.: Bucling of plate strip subjected to localised corrosion a stochastic model, J. Thin-Walled Struct. 39,, s. 7-59. [5] Jones R. M.: Bucling of Bars, Plates and Shells. Blacburg, Bull Ridge Publishing, Virginia 6. [6] Timosheno S. P., Gere J. M.: Theory of Elastic Stability second ed.. New Yor, McGraw-Hill 96. [7] Kamińsi M.: Generalized perturbation-based stochastic finite element method in elastostatics. Comput. Struct. 85, 7, s. 586-59. [8] Kamińsi M.: Potential problems with random parameters by the generalized perturbation-based stochastic finite element method. Comput. Struct. 88,, s. 37-5. [9] Bathe K. J.: Finite Element Procedures. Prentice Hall 996. [] Kleiber M.: Wprowadzenie do Metody Elementów Sończonych. Warsaw Poznań, Polish Scientific Publishers 986. [] Hadianfard M. A., Razani R.: Effects of semi-rigid behavior of connections in the reliability of steel frames. Struct. Safety 5, 3, s. 3 38. [] Melchers R. E.: Structural Reliability. Analysis and Prediction. Ellis Horwood Ltd. 987.
STABILITY ANALYSIS OF SOME STEEL FRAME STRUCTURES WITH RANDOM PARAMETERS Summary The main aim of this paper is the stability analysis of elastic systems with random parameters using the Generalized Stochastic Finite Element Method. The Taylor expansion with random coefficients of nth order is used to express all random functions and to determine up the basic probabilistic moments of the itical load. The Response Function Method assists to determine higher order partial derivatives of the structural response instead of the Direct Differentiation Method employed widely before and sufficient to assure high quality of the resulting moments. This approach is examined on the examples of and 3D steel frames with some geometrical and material parameters defined as the Gaussian variables. Further application of this methodology is of course in the reliability analysis and reliability-based optimization of steel engineering structures.