(u) y(i) f 1. (u) H(z -1 )

Transkrypt

1 IDETYFIKACJA MODELI WIEERA METODAMI CZĘSTOTLIWOŚCIOWYMI Opracowanie: Anna Zamora Promotor: dr hab. inż. Jarosław Figwer Prof. Pol. Śl.

2 MODELE WIEERA

3 MODELE WIEERA Modele obietów nieliniowych Modele nierozłączne Modele rozłączne Modele Wienera Modele Hammersteina

4 MODELE WIEERA Model Wienera ui y L i Hz -1 f 2 y L yi Model Hammersteina ui f 1 u Hz -1 yi Model Hammersteina - Wienera ui f 1 u Hz -1 y L i f 2 y L yi

5 MODELE WIEERA Definicja: Modelem Wienera nazywamy model nieliniowy, w tórym wyróżniamy dynamiczną część liniową i następującą po niej statyczną część nieliniową.

6 MODELE WIEERA Metody identyfiacji modeli Wienera: - stochastyczne bazujące na rozłączności problemów identyfiacji części liniowej i nieliniowej przy założeniu białości pobudzenia; - zwięszania liczby parametrów w celu uzysania problemu liniowego + dowolna metoda estymacji liniowej; - orelacyjne opierające się na zależności, że wadrat orelacji wzajemnej wyjścia z wejściem jest wprost proporcjonalny do orelacji drugiego rzędu między tymi sygnałami; - iteracyjne polegające na identyfiacji na zmianę części liniowej i nieliniowej przy parametrach drugiej tratowanych jao stałe współczynnii.

7 TWIERDZEIE BUSSGAGA

8 TWIERDZEIE BUSSGAGA Założenia: - sygnały φt i ψt są generowane przez stacjonarny proces losowy, a ich amplitudy mogą być tratowane jao zmienne losowe X oraz Y - zmienne losowe X oraz Y mają rozład normalny x 2 p x = e 1 y 2 p y = e 2 π 2 π - zerową wartość oczeiwaną + = E { x} x p x dx= 0 E{ y} y p y dy= 0 - jednostową wariancję + = + = + = { 2} 2 E x x p x dx= 1 { 2} 2 E y y p y dy= 1

9 TWIERDZEIE BUSSGAGA Twierdzenie: Stosune dwu funcji orelacji wzajemnej sygnałów gaussowsich φt oraz ψt przed i po tym ja jeden z nich uległ nieliniowemu załóceniu amplitudy jest stały: R φψ τ = R τ V φψ

10 TWIERDZEIE BUSSGAGA Oznaczenia: - funcja orelacji wzajemnej między sygnałami φt oraz ψt R φψ - funcja orelacji wzajemnej między sygnałami φt oraz Ψt R φψ - nieliniowa funcja V:R R Ψ τ = E{ φ t ψ t τ } τ = E{ φ t Ψ t τ } t = V ψ t

11 POSTULAT

12 POSTULAT Twierdzenie Bussganga dla niezałóconego modelu Wienera: Ry L y gdzie c stały współczynni. τ = c R τ yy ui y L i Hz -1 fy L yi

13 POSTULAT Z twierdzenia Bussganga wynia, że identyfiacja części liniowej w postaci charaterystyi amplitudowo-fazowej w dziedzinie częstotliwości metodą orelogramową może być przeprowadzona na podstawie znajomości sygnału wyjściowego z elementu nieliniowego bez znajomości sygnału wewnętrznego y L i, myląc się co najwyżej co do wartości wzmocnienia statycznego.

14 IDETYFIKACJA MODELI WIEERA W DZIEDZIIE CZĘSTOTLIWOŚCI

15 STRUKTURA IDETYFIKOWAEGO MODELU vi ui z -d Bz -1 Az -1 y L i fy L yi - model Wienera SISO - część dynamiczną liniową opisuje dysretna 1 transmitancja postaci: z d z 1 B A z - część nieliniową opisuje funcja fy L i - sygnał wejściowy ui jest białym szumem o rozładzie normalnym i zerowej wartości oczeiwanej

16 ETAPY IDETYFIKACJI Identyfiacja nieparametryczna charaterystyi amplitudowo - fazowej Wyznaczenie odpowiedzi impulsowej poprzez IFFT zidentyfiowanej transmitancji Wyznaczenie parametrycznej reprezentacji transmitancji dysretnej Wyznaczenie oceny przebiegu sygnału wewnętrznego Aprosymacja charaterystyi statycznej elementu nieliniowego

17 ETAPY IDETYFIKACJI - założenie liniowości obietu: - estymator obciążony f. orelacji: - estymator gęstości widmowej mocy: - estymator ch-i ampl.-faz.: Identyfiacja charaterystyi amplitudowo fazowej metodą orelogramową 1 i v h i u i y + = = = + = τ τ τ i uy i y i u R 1 1 = Ω = Ω M M j uy p uy e R T j S τ τ τ S j S j H uu uy Ω Ω = Ω = + = τ τ τ i uu i u i u R 1 1 = Ω = Ω M M j uu p uu e R T S τ τ τ

18 ETAPY IDETYFIKACJI - uśrednianie po zbiorze realizacji: - wygładzanie częstotliwościowe: - zastosowanie ona przesunięciowego: Wygładzanie oceny gęstości widmowej mocy = Ω = Ω S i p i uy j S S j S 1 1 = Ω = Ω M M j uy p uy e R w T j S τ τ τ τ = Ω = Ω S i p i uu S S S = Ω + = Ω L L m uu S uu m S L S = Ω = Ω M M j uu p uu e R w T S τ τ τ τ + = Ω + = Ω L L m uy S uy m j S L j S 1 2 1

19 ETAPY IDETYFIKACJI - uśrednianie po zbiorze realizacji: - wygładzanie częstotliwościowe: Wygładzanie oceny charaterystyi amplitudowo - fazowej + = Ω + = Ω H H L L m H m j H L j H = Ω = Ω S H i p i H j H S j H 1 1

20 Wyznaczenie odpowiedzi impulsowej poprzez IFFT zidentyfiowanej transmitancji Wyznaczenie parametrycznej reprezentacji transmitancji dysretnej h ETAPY IDETYFIKACJI W 1 1 jωi i = H j e W Ω = 0 - aprosymacja np. metodą iteracyjną zidentyfiowanej charaterystyi amplitudowo fazowej transmitancją dysretną o założonych stopniach na i nb wielomianów Az -1 i Bz -1.

21 Identyfiacja przebiegu funcji nieliniowej f y L i ETAPY IDETYFIKACJI - odtworzenie sygnału wewnętrznego y L i na drodze filtracji wejścia ui przez zidentyfiowaną transmitancję dysretną bądź poprzez jego splot z odpowiedzią impulsową hi - wyreślenie yi w funcji y L i - aprosymacja uzysanej charaterystyi statycznej części nieliniowej modelu

22 IEJEDOZACZOŚĆ ROZWIĄZAIA ZADAIA IDETYFIKACJI

23 IEJEDOZACZOŚĆ ROZWIĄZAIA di ui Hz -1 1 / fy L + yi dwa różne modele i jednocześnie nierozróżnialne bez znajomości sygnału wewnętrznego di ui Hz -1 y L i fy L + yi

24 IEJEDOZACZOŚĆ ROZWIĄZAIA Rozwiązanie problemu niejednoznaczności Dla celów identyfiacji ja i symulacji przyjmujemy dodatowe założenie o jednostowej wariancji sygnału wewnętrznego y L i.

25 PRZYKŁAD

26 PRZYKŁAD ZAŁOŻEIA STRUKTURY - model dynamicznej części liniowej: z 1 i = z u i y L z - symulowane funcje nieliniowe: f 1 y i L 0.5y = 2.0y L L i ; yl i i ; y i L < 0 0 f 2 y i L = 0.5 y L ; yl i i ; yl i ; y i L < f 3 y i L = y y L L i ; yl i ; yl i i 0.5 ; y i 0 L < f 2 3 y i = y i + 2 y i + 0. y i 4 L L L 5 L

27 PRZYKŁAD PARAMETRY - ciąg przetwarzanych danych: = bra szumów pomiarowych: vi = 0 - bra wygładzania częstotliwościowego i wygładzania po realizacjach zarówno ocen gęstości widmowych mocy ja i oceny charaterystyi amplitudowo fazowej - zastosowane ono przesunięciowe Bartletta Hanna - liczba wyznaczanych ocen funcji orelacji M = czas zaninięcia warunu początowego T = liczba wyznaczanych puntów charaterystyi amplitudowo fazowej W = 1024 ta, że częstotliwość podstawowa dysretnej dziedziny częstotliwości bin Ω=2π/W

28 PRZYKŁAD oretor liniowy IDETYFIKACJA IEPARAMETRYCZA

29 wielomian_a_symulacja = PRZYKŁAD oretor liniowy OCEY PARAMETRÓW DYAMICZEJ CZĘŚCI LIIOWEJ wielomian_b_symulacja = wielomian_a_identyfiacja = wielomian_b_identyfiacja =

30 IDETYFIKACJA PARAMETRYCZA PRZYKŁAD oretor liniowy

31 WYKRES FUKCJI y = fy L i PRZYKŁAD oretor liniowy

32 PRZYKŁAD oretor liniowy Dla przedziału { ,0} zaprosymowana funcja: fx = *x^ Dla przedziału {0,3.5013} zaprosymowana funcja: fx = *x^

33 IDETYFIKACJA IEPARAMETRYCZA PRZYKŁAD nasycenie

34 wielomian_a_symulacja = PRZYKŁAD nasycenie OCEY PARAMETRÓW DYAMICZEJ CZĘŚCI LIIOWEJ wielomian_b_symulacja = wielomian_a_identyfiacja = wielomian_b_identyfiacja =

35 IDETYFIKACJA PARAMETRYCZA PRZYKŁAD nasycenie

36 WYKRES FUKCJI y = fy L i PRZYKŁAD nasycenie

37 Dla przedziału { ,-0.5} zaprosymowana funcja: fx = *x^ Dla przedziału {-0.5,0.5} zaprosymowana funcja: fx = *x^ Dla przedziału {0.5,2.9634} zaprosymowana funcja: fx = *x^ PRZYKŁAD nasycenie

38 PRZYKŁAD strefa nieczułości IDETYFIKACJA IEPARAMETRYCZA

39 PRZYKŁAD strefa nieczułości OCEY PARAMETRÓW DYAMICZEJ CZĘŚCI LIIOWEJ wielomian_a_symulacja = wielomian_b_symulacja = wielomian_a_identyfiacja = wielomian_b_identyfiacja =

40 IDETYFIKACJA PARAMETRYCZA PRZYKŁAD strefa nieczułości

41 WYKRES FUKCJI y = fy L i PRZYKŁAD strefa nieczułości

42 Dla przedziału { ,-0.5} zaprosymowana funcja: fx = *x^ Dla przedziału {-0.5,0.5} zaprosymowana funcja: PRZYKŁAD strefa nieczułości fx = -2.02e-005*x^0-2.02e-005 Dla przedziału {0.5,3.6763} zaprosymowana funcja: fx = *x^

43 PRZYKŁAD funcja wielomianowa IDETYFIKACJA IEPARAMETRYCZA

44 PRZYKŁAD funcja wielomianowa OCEY PARAMETRÓW DYAMICZEJ CZĘŚCI LIIOWEJ wielomian_a_symulacja = wielomian_b_symulacja = wielomian_a_identyfiacja = wielomian_b_identyfiacja =

45 PRZYKŁAD funcja wielomianowa IDETYFIKACJA PARAMETRYCZA

46 WYKRES FUKCJI y = fy L i PRZYKŁAD funcja wielomianowa

47 PRZYKŁAD funcja wielomianowa Dla przedziału { ,3.592} zaprosymowana funcja: fx = *x^ *x^ *x^