Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Wykłady

Transkrypt

1 Materiały dydatyczne Matematya Semestr III Wyłady Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin

2 WIII RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU. Pojęcia wstępne. Równania różniczowe o zmiennych rozdzielonych 3. Równania jednorodne. Pojęcia wstępne Równaniem różniczowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci F y y y... y n 0 Rozwiązaniem (całą równania różniczowego nazywamy ażdą funcję y y tóra spełnia to równanie tożsamościowo. Rzędem równania różniczowego nazywamy rząd najwyższej pochodnej szuanej funcji występującej w tym równaniu. Jeżeli funcja F występująca w równaniu różniczowym jest wielomianem stopnia zmiennych y y... y n to liczbę nazywamy stopniem równania różniczowego. Równanie różniczowe stopnia pierwszego nazywamy równaniem różniczowym liniowym. Całą ogólną (rozwiązaniem ogólnym równania różniczowego rzędu n nazywamy funcję y y c c... c n tóra zależy od n dowolnym wzajemnie niezależnych stałych c c... c n taą że przyjmując dowolne stałe wartości c c... c n otrzymamy wszystie znajdujące się w danym obszarze rzywe całowe i wyłącznie te rzywe. Nadając występującym w całce ogólnej stałym c c... c n oreślone wartości otrzymujemy całę szczególną (rozwiązanie szczególne równania różniczowego. Całą osobliwą (rozwiązaniem osobliwym równania różniczowego nazywamy całę tórej nie można otrzymać z całi ogólnej przez nadanie stałym c c... c n oreślonych wartości. Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie o warunach początowych polega na wyznaczeniu taiej całi szczególnej y tóra spełnia waruni początowe Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin

3 n... y y y y y y n gdzie liczby 0 y 0 y... y n (są dane nazywamy wartościami początowymi. Równaniem liniowym rzędu n nazywamy równanie różniczowe postaci n n n y a y a y... a y a y f n n gdzie funcje ai i 0... n oraz 0 f są danymi funcjami ciągłymi w przedziale J. Zagadnieniem o warunach brzegowych dla równania różniczowego liniowego rzędu n nazywamy zadania polegające na wyznaczaniu całi y tóra spełnia w przedziale J waruni y y... n J ( y są dane nazywane warunami brzegowymi.. Równanie o zmiennych rozdzielonych Równaniem o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie różniczowe postaci P y y Q gdzie P Q są funcjami o argumentach y oraz (odpowiednio ciągłymi w pewnych przedziałach. Rozwiązanie ogólne (całę ogólną znajdujemy całując obie strony równania P y dy (rozwiązanie ogólne w postaci uwiłanej. 3. Równanie jednorodne Qd stąd y C Równaniem jednorodnym nazywamy równanie różniczowe postaci y y f gdzie f y jest funcją ciągłą ilorazu w pewnym przedziale. Stosujemy podstawienie: y u stąd y u oraz y u u. Po podstawieniu otrzymujemy równanie różniczowe o zmiennych rozdzielonych o nowej funcji niewiadomej u f u u u przy założeniu 0 f u u 0. Literatura: P. Roz. VIII 8.; P. Roz.. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 3

4 WIII RÓWNANIE LINIOWE PIERWSZEGO RZĘDU. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Równanie liniowe. Równanie Bernoulliego. Równanie liniowe Równanie postaci Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 4 y p y f p f funcje ciągłe w pewnym przedziale nazywamy równaniem różniczowym liniowym rzędu pierwszego. Jeżeli f 0 wówczas równanie (o zmiennych rozdzielonych y p 0 nazywamy równaniem różniczowym liniowym jednorodnym.. Metoda uzmienniania (wariacji stałej a. Znajdujemy rozwiązanie ogólne (całę ogólną równania liniowego jednorodnego y C e P gdzie P jest funcją pierwotną funcji p b. Uzmienniamy stałą C: C C Znajdujemy funcję C dla tórej liniowego niejednorodnego. P p. y C e P jest rozwiązaniem ogólnym równania. Metoda przewidywań (metoda współczynniów nieoznaczonych Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest postaci y y y gdzie y 0 jest rozwiązaniem ogólnym równania liniowego jednorodnego natomiast y jest dowolnym rozwiązaniem szczególnym (całą szczególną równania liniowego niejednorodnego. 0

5 Jeżeli równanie liniowe niejednorodne jest postaci oraz funcja y p y f p stała f jest wielomianem funcją postaci e a sin b cos sumą (ombinacją liniową lub iloczynem tych funcji wówczas przewidujemy rozwiązanie szczególne y analogicznej postaci.. Równanie Bernoulliego Równaniem Bernoulliego nazywamy równanie różniczowe postaci y p y f y gdzie R oraz p f są funcjami ciągłymi w pewnym przedziale. Dla n 0 lub n otrzymujemy równanie różniczowe liniowe. Stosujemy podstawienie y z dla 0 stąd y z. Po podstawieniu otrzymujemy równanie różniczowe liniowe o nowej funcji niewiadomej z z p z f Literatura: P. Roz. VIII 8.; P. Roz.. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 5

6 WIII 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE DRUGIEGO RZĘDU. PRZYPADKI SZCZEGÓLNE F ( y y' y'' 0 rozwiązanie ogólne y y( C C C C R. Szczególne przypadi równań rzędu drugiego. Równanie postaci y f Równanie postaci strony czyli y f rozwiązujemy za pomocą dwurotnego całowania prawej y f d C y C d C C y y C C.. Równanie postaci y f y Równanie to nie zawiera w sposób jawny y. Stosujemy podstawienie y p stąd y p. Po podstawieniu otrzymujemy równanie różniczowe pierwszego rzędu o niewiadomej funcji p p 3. Równanie postaci y f y y p f p Równanie to nie zawiera w postaci jawnej zmiennej niezależnej. Stosujemy podstawienie y p p p y stąd y p py y p py Po podstawieniu otrzymujemy równanie różniczowe pierwszego rzędu o niewiadomej funcji p p y p p f y p y Literatura: P. Roz. VIII 8.; P. Roz. I. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 6

7 WIII 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE DRUGIEGO RZĘDU O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynniach. Równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynniach. Równania liniowe jednorodne o stałych współczynniach Równanie postaci y ay by 0 a b R nazywamy równaniem różniczowym jednorodnym drugiego rzędu o stałych współczynniach. Szuamy rozwiązań równania postaci y e r (r stała. Po podstawieniu y y y otrzymujemy równanie (liczbowe charaterystyczne: r ar b 0. Jeżeli a 4b 0 wówczas rozwiązanie ogólne równania różniczowego jest postaci r r y C e C e gdzie r r są różnymi pierwiastami równania charaterystycznego a C C dowolnymi stałymi.. Jeżeli 0 wówczas rozwiązanie ogólne równania różniczowego jest postaci r0 r0 y C e C e gdzie r 0 jest pierwiastiem podwójnym równania charaterystycznego a C C dowolnymi stałymi. 3. Jeżeli 0 wówczas rozwiązanie ogólne równania różniczowego jest postaci gdzie rer imr r y C e sin C e cos charaterystycznego C C są dowolnymi stałymi. i r jest jednym z pierwiastów zespolonych równania. Równania liniowe niejednorodne rzędu drugiego o stałych współczynniach Równanie postaci y ay by f nazywamy równaniem różniczowym liniowym niejednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynniach.. Metoda uzmienniania (wariacji stałych Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 7

8 a. Znajdujemy rozwiązanie ogólne (całę ogólną równania liniowego jednorodnego tóre jest postaci b. Uzmienniamy stałe C C Rozwiązując uład równań y C y C y C C C C C C y C y y C y f 0 znajdujemy funcje C C dla tórych ogólnym równania liniowego niejednorodnego. y C y C y jest rozwiązaniem. Metoda przewidywań (metoda współczynniów nieoznaczonych Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest postaci y y y 0 gdzie y 0 jest rozwiązaniem ogólnym równania liniowego jednorodnego natomiast y jest dowolnym rozwiązaniem szczególnym (całą szczególną równania liniowego niejednorodnego. Jeżeli funcja e a cos bsin sumą f jest wielomianem funcją postaci (ombinacją liniową lub iloczynem powyższych funcji wówczas przewidujemy rozwiązanie szczególne y analogicznej postaci. Literatura: P. Roz. VIII 8.3; P. Roz. I. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 8

9 WIII 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE. WSTĘP. Równania różniczowe cząstowe liniowe pierwszego rzędu. Równania różniczowe cząstowe liniowe drugiego rzędu 3. Klasyfiacja równań różniczowych cząstowych liniowych drugiego rzędu Równaniem różniczowym cząstowym o niewiadomej funcji u u y z równanie F y z u u u u u u y z y... 0 w tórym występuje co najmniej jedna pochodna cząstowa tej funcji. nazywamy Rzędem równania różniczowego cząstowego nazywamy liczbę n jeżeli w równaniu tym występuje pochodna cząstowa rzędu n funcji u natomiast nie występuje w nim pochodna cząstowa rzędu wyższego niż n. Rozwiązaniem szczególnym (całą szczególną równania różniczowego cząstowego rzędu u C n G spełniającą dane równanie w ażdym puncie n w obszarze G nazywamy funcję tego obszaru. Rozwiązaniem ogólnym (całą ogólną nazywamy zbiór wszystich rozwiązań szczególnych tego równania.. Równania różniczowe cząstowe liniowe rzędu pierwszego Równaniem różniczowym cząstowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie B y z C y z f y z A y z u o niewiadomej funcji u u y z u y u z. Załadamy że funcje A B C f są lasy C w jednym obszarze G R 3. Jeżeli funcja f y z 0 w obszarze G wówczas równanie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym. B y z C y z A y z u u u 0 y z Równanie jednorodne rozwiązujemy metodą charaterysty. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 9

10 Równaniem różniczowym cząstowym liniowym jednorodnym rzędu pierwszego o u u y nazywamy równanie niewiadomej funcji B y A y u u 0 y gdzie funcje A B C w pewnym płasim obszarze D R.. Równania różniczowe cząstowe liniowe drugiego rzędu Równania różniczowe cząstowe liniowe drugiego rzędu jest postaci A u u y u y y B y C y a y b y c yu d y 0 u u y o niewiadomej funcji u u y. Załadamy że funcje A B C a b c d są lasy C w pewnym obszarze płasim D i nie zniają jednocześnie w żadnym puncie tego obszaru. 3. Klasyfiacja równań cząstowych rzędu drugiego Rozpatrujemy lasyfiację równań postaci ze względu na zna wyrażenia (wyróżnia w obszarze D. a y b y y A yc y B y D 0 równanie nazywamy równaniem typu hiperbolicznego. c y D 0 równanie nazywamy równaniem typu parabolicznego. D 0 równanie nazywamy równaniem typu eliptycznego. 4. Postać anoniczna Zna wyróżnia jest niezmienniiem dowolnego przeształcenia nieosobliwego g y f y jeżeli funcje f g C i jaobian Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 0 D D y 0 w rozpatrywanym obszarze. Stosując zamianę zmiennych niezależnych możemy sprowadzić równanie do następującej postaci nazywanej postacią anoniczną.

11 a u u f u u u 0 gdy 0 (równanie typu hiperbolicznego. b u f u u u 0 gdy 0 (równanie typu parabolicznego. c u u f u u u 0 gdy 0 (równanie typu eliptycznego. Literatura: Janowsi W. Matematya Tom II PWN Warszawa 969r. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin

12 WIII 6 DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA. prawdopodobieństwa. Własności prawdopodobieństwa. prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz wyróżniona rodzina zdarzeń losowych M. Prawdopodobieństwem nazywamy funcję oreśloną na rodzinie M o wartościach należących do zbioru liczb rzeczywistych R tóra spełnia następujące asjomaty P: M R Asjomat Dla dowolnego zdarzenia A M prawdopodobieństwo P A spełnia nierówność: P A 0 Asjomat Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności: P. Asjomat 3 Prawdopodobieństwo sumy przeliczalnej liczby zdarzeń wyłączających się parami A A i j jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: i j P A PA. Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się zeru: P 0. Jeżeli A B to P A PB 3. P A B P A PB PA B 4. P A P A A zdarzenie przeciwne do zdarzenia A. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin

13 Twierdzenie Jeżeli wszystie zdarzenia elementarne są jednaowo prawdopodobne to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A ( A E jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu przez liczbę wszystich zdarzeń elementarnych tj. P( A n gdzie E e e en A ei ei ei Twierdzenie (z tórego często orzystamy stanowi treść tzw. lasycznej definicji prawdopodobieństwa podanej przez P. Laplacea w 8 r. Literatura: RP. Roz. II.-.4. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 3

14 WIII 7 PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE. NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ. Prawdopodobieństwo warunowe. Niezależność pary zdarzeń losowych 3. Niezależność n zdarzeń ( n. Prawdopodobieństwo warunowe Niech A B oraz P( B 0. Prawdopodobieństwem warunowym zajścia zdarzenia A pod waruniem zajścia zdarzenia B nazywamy liczbę P( A B P( A B P( B. Niezależność zdarzeń Niech będzie danym zbiorem zdarzeń elementarnych oraz A B. Jeżeli informacja o zajściu zdarzenia B nie wpływa na prawdopodobieństwo zdarzenia A możemy przypuszczać że nie ma zależności między tymi zdarzeniami. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeżeli 3. Niezależność n zdarzeń ( n P( A B P( A P( B Zdarzenia A A... A n nazywamy niezależnymi jeżeli dla ażdej liczby naturalnej n i dowolnego ciągu liczb naturalnych i i... i spełniających waruni i i... i n zachodzi wzór i i... i i i... i P A A A P A P A P A Równość ta oznacza że prawdopodobieństwo iloczynu dowolnych spośród zdarzeń Ai ( i... n równa się iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 4

15 Z definicji wynia że zdarzenia A B C są niezależne jeżeli są niezależne parami tzn. oraz P( A B P( A P( B P( A C P( A P( C P( B C P( B P( C P( A B C P( A P( B P( C Literatura: RP. Roz. II.5.6. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 5

16 WIII 8 SCHEMAT BERNOULLIEGO. PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE. WZÓR BAYESA.. Schemat Bernoulliego. Prawdopodobieństwo całowite 3. Wzór Bayesa. Schemat Bernoulliego Niech S będzie pewnym doświadczeniem losowym. Doświadczenie S powtarzamy sończoną ilość razy. Załadamy że wyni doświadczenia jest niezależny od wyniów innych doświadczeń (doświadczenia niezależne. Załóżmy ponadto że w wyniu doświadczenia S może zajść zdarzenie A (suces albo zdarzenie przeciwne A (poraża. Załadamy że prawdopodobieństwo sucesu A dla ażdego doświadczenia S jest stałe i równe p. Prawdopodobieństwo porażi A oznaczamy symbolem q (q = p. Oreślony ciąg powtórzeń doświadczenia S nazywamy schematem Bernoulliego natomiast poszczególne doświadczenia S nazywamy próbami Bernoulliego. Twierdzenie Prawdopodobieństwo P otrzymania ( 0 n sucesów w ciągu n prób Bernoulliego oreślone jest wzorem gdzie: 0 p i q p. P n p n q n. Prawdopodobieństwo całowite Twierdzenie (o prawdopodobieństwie całowitym Niech zdarzenia A A... A n wyłączają się parami ( Ai A j dla i j przy czym P( A i 0 dla i =... n i niech ich suma będzie zdarzeniem pewnym tzn. A A... A E wówczas dla dowolnego zdarzenia B( B E zachodzi wzór (.6 P( B P( A P( B A P( A P( B A... P( A P( B A n n n Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 6

17 3. Wzór Bayesa Załadamy że zdarzenia A... P ( B 0 wówczas P( A P( B A P( A B... n. P( B Literatura: RP. Roz..8. A An spełniają założenia poprzedniego twierdzenia oraz Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 7

18 WIII 9 ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Oreślenie zmiennej losowej. Rozład prawdopodobieństwa zmiennej losowej 3. Dystrybuanta zmiennej losowej Niech ( P będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową nazywamy ażdą funcję o wartościach rzeczywistych oreśloną na przestrzeni zdarzeń elementarnych taą że dla ażdej liczby R zbiór zdarzeń elementarnych dla tórych ( jest zdarzeniem losowym czyli { ; ( }. R Rozładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej nazywamy funcję P (A oreśloną na rodzinie B zbiorów borelowsich prostej ( A P({ : ( A} P dla ażdego A R. R wzorem Jeżeli zbiór A jest np. przedziałem liczbowym wówczas stosujemy następujące oznaczenie funcji P : A ( a b ( A P( a b P( ( a b P A ( a P ( A P (( a P( a P( ( a A { } P A b P o o ( A P ( b P( b P( b ({ } P( { } P( o o o Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy funcję F zmiennej F( P( dla ażdego R. R oreśloną wzorem Rozład P zmiennej losowej wyznacza dystrybuantę F. Można wyazać że również dystrybuanta F wyznacza jednoznacznie rozład P. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 8

19 Twierdzenie. Dla ażdego przedziału a.b na prostej P R ( a b P( a b F( b F( a gdzie F jest dystrybuantą zmiennej losowej.. Dla ażdej liczby o R P ({ o} P( o F( o 0 F( o gdzie F jest dystrybuantą zmiennej losowej oraz F( 0 lim F(. o t 0 Twierdzenie Dystrybuanta F ma następujące własności:. lim F( F( 0 lim F( F(. F jest funcją niemalejącą tzn. dla również F( F( 3. F jest funcją lewostronnie ciągłą tzn. lim F( F( o Można wyazać że ażda funcja o własnościach 3 jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej. Literatura: RP. Roz. III o Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 9

20 WIII 0 ZMIENNA LOSOWA TYPU SKOKOWEGO ZMIENNA LOSOWA TYPU CIĄGŁEGO. Zmienna losowa typu soowego. Zmienna losowa typu ciągłego. Zmienna losowa typu soowego (dysretna Zmienna losowa jest typu soowego (dysretnego jeżeli istnieje sończony lub przeliczalny zbiór liczb S...} tai że P( p (... gdzie p 0 oraz p. { Liczby nazywamy puntami soowymi zmiennej losowej a prawdopodobieństwo p jej soami. Rozładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu soowego nazywamy zbiór {( p ;...} gdzie jest wartością zmiennej losowej a p jest prawdopodobieństwem z jaim przybiera wartości. Dystrybuanta zmiennej losowej typu soowego sumowanie rozciąga się na te wsaźnii dla tórych. Zmienna losowa typu ciągłego F ( P( p gdzie. Zmienna losowa o dystrybuantach F jest typu ciągłego jeżeli istnieje nieujemna funcja f ( f ( 0 taa że dla ażdego R F ( f ( t dt. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 0

21 Funcję f nazywamy funcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej (wsaźni gęstości. Własności funcji gęstości: f ( 0 f ( d. Każda funcja f mające te własności jest funcją gęstości pewnej zmiennej losowej. W puntach w tórych funcja f jest ciągła zachodzi związe: F' ( f ( Literatura: RP. Roz. III Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin

22 WIII PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ. Wartość oczeiwana mediana moda.. Wariancje odchylenie standardowe i przeciętne parametry (wsaźnii położenia Wartość oczeiwana (wartość przeciętna wartość średnia nadzieja matematyczna Niech ( P będzie przestrzenią probabilistyczną oraz będzie zmienną losową oreśloną w przestrzeni.. Parametry położenia Wartością oczeiwaną zmiennej losowej typu soowego o rozładzie prawdopodobieństwa {( p...} nazywamy liczbę oznaczoną symbolem E ( (symbol E pochodzi od francusiego słowa espe rance nadzieja i oreśloną wzorem: E ( p jeżeli szereg jest bezwzględnie zbieżny tzn.. p Jeżeli p to zmienna losowa nie ma wartości oczeiwanej. Wartością oczeiwaną zmiennej losowej typu ciągłego o funcji gęstości f nazywamy liczbę E ( f ( d jeżeli cała niewłaściwa jest bezwzględnie zbieżna tzn. f ( d. Niech y g( będzie zmienną losową będącą funcją zmiennej losowej ( g -funcja ciągła. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin

23 Twierdzenie. Niech będzie zmienną losową typu soowego o rozładzie {( p...}. Wartością oczeiwaną zmiennej losowej Y g( jest liczba E( Y g( p o ile szereg ten jest zbieżny bezwzględnie.. Niech będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości f. Wartością oczeiwaną zmiennej losowej Y g( jest liczba E ( Y g( f ( d o ile liczba ta jest bezwzględnie zbieżna. Twierdzenie Własności wartości oczeiwanej:. E( a a R. E( a ae( a R 3. E( a b ae( b a b R 4. E[( a ] a E( a R N 5. E g ( g ( ] E[ g ( ] E[ g ( ] gdzie g g ( są jednoznacznymi [ ( funcjami zmiennej losowej oraz istnieją wartości oczeiwane E g ( ] E[ g ( ]. [ Medianą M e zmiennej losowej typu soowego nazywamy liczbę spełniającą nierówności: P ( P(. Jeżeli jest zmienną losową typu ciągłego o gęstości f i dystrybuancie F to ostatnie nierówności zapisujemy w postaci: M e F ( lub f ( d. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 3

24 Modą M o (wartością modalną dominantą zmiennej losowej nazywamy:. Dla zmiennej losowej soowej wartość zmiennej tórej odpowiada najwięsze prawdopodobieństwo.. Dla zmiennej losowej ciągłej wartość zmiennej dla tórej funcja gęstości osiąga masimum.. Parametry (wsaźnii rozrzutu. Wariancją zmiennej losowej typu soowego o rozładzie prawdopodobieństwa {( p...} nazywamy liczbą D ( ( stronie wzoru jest zbieżny. E( p gdy szereg po prawej. Wariancją zmiennej losowej typu ciągłego o gęstości f nazywamy liczbę D ( (( E( f ( d jeżeli cała jest zbieżna. Twierdzenie Własności wariancji. D ( E( E(. D ( E( ( E( 3. D ( a 0 a R 4. D ( a a D ( 5. D ( a b a D ( a b R. Odchyleniem standardowym (lub D( zmiennej losowej nazywamy piewiaste arytmetyczny drugiego stopnia z wariancji ( D (. Literatura: RP. Roz. V Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 4

25 WIII WYBRANE ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ. Rozład zmiennej losowej typu soowego. Wybrane rozłady zmiennej losowej typu ciągłego. Rozład zmiennej losowej typu soowego.. Rozład dwupuntowy Zmienna losowa ma rozład dwupuntowy jeżeli jest postaci {( p( p} gdzie p 0. 0 F( p o Jeżeli rozład dwupuntowy nazywamy rozładem zero-jedynowym. Wówczas 0 E( p D p( p... Rozład dwumianowy (Bernoulliego Zmienna losowa ma rozład Bernoulliego jeżeli jest on postaci {( p 0... n} n n gdzie p p q n N o p q p. 0 0 n n F( p q 0 n E( np D ( npq n.3. Rozład Poissona Zmienna losowa ma rozład Poissona jeżeli jej rozład prawdopodobieństwa jest postaci {( p 0...} gdzie p e 0 ( - parametr rozładowy.! 0 F ( 0 E ( D ( e 0! Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 5

26 Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 6. Wybrane rozłady zmiennej losowej typu ciągłego.. Rozład jednostajny (równomierny lub prostoątny Zmienna losowa ma rozład jednostajny w przedziale b a jeżeli gęstość f oreślona jest wzorem. 0 0 ( b b a a b a f 0 ( b b a a b a a F. ( ( ( a b D b a E.. Rozład wyładniczy Zmienna losowa ma rozład wyładniczy o parametrze 0 jeżeli gęstość f oreślona jest wzorem: ( e f ( e F. ( ( D E.3. Rozład normalny (rozład Gaussa Zmienna losowa ma rozład normalny ( m N jeżeli ma gęstość f oreśloną wzorem ( ( m e f gdzie. 0 R m m D m E d e F. ( ( ( ( Literatura: RP. Roz. VI

27 WIII 3 ZMIENNA LOSOWA DWUWYMIAROWA. Zmienna losowa typu soowego. Zmienna losowa typu ciągłego Niech ( P. Y będą zmiennymi losowymi oreślonymi na przestrzeni probabilistycznej Zmienne losowe [ ( Y ( ]. Y przyporządowują ażdemu zdarzeniu elementarnemu wetor Zmienną losową dwuwymiarową ( Y nazywamy odwzorowanie ( Y : R wyznaczone przez uporządowaną parę ( Y zmiennych losowych Y. Dystrybuantą zmiennej losowej dwuwymiarowej ( Y nazywamy funcję rzeczywistą F zmiennych y oreśloną wzorem F( y P( Y y Niech A będzie dowolnym zbiorem borelowsim przestrzeni R. Rozładem prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej ( Y nazywamy funcję P Y ( A oreśloną następująco: P Y ( A P({ ( ( Y( A}.. Dwuwymiarowa zmienna losowa typu soowego Zmienna losowa ( Y jest typu soowego (dysretna jeżeli istnieje sończony lub przeliczalny zbiór par wartości ( i yi ( i j... tai że P( i Y yi pij dla ażdej pary wsaźniów i j gdzie p 0 oraz. ij i j p ij Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 7

28 Rozładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej ( Y typu soowego nazywamy zbiór {(( y p : i j...} i j ij. Dystrybuanta F zmiennej losowej ( Y typu soowego jest postaci F( y y y. i j Wartością oczeiwaną zmiennej losowej ( Y typu soowego nazywamy liczbę E( Y i y j pij przy założeniu że szereg jest bezwzględnie zbieżny. i j. Dwuwymiarowa zmienna losowa typu ciągłego Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 8 p ij i j Dwuwymiarowa zmienna losowa ( Y jest typu ciągłego jeżeli istnieje nieujemna funcja f (funcja gęstości taa że dla ażdej pary liczb rzeczywistych ( y zachodzi wzór: y F ( y f ( y ddy gdzie F jest dystrybuantą zmiennej losowej ( Y. Wartością oczeiwaną zmiennej losowej ( Y typu ciągłego o gęstości f nazywamy liczbę E ( Y yf ( y ddy przy założeniu że cała podwójna jest bezwzględnie zbieżna. Z definicji i własności dystrybuanty wynia że: f ( y ddy. Można wyazać że jeżeli funcja gęstości f jest ciągła w puncie ( y to: F y f ( y. Literatura: RP. Roz. IV

29 WIII 4 ROZKŁADY BRZEGOWE. NIEZALEŻNOŚĆ ZMIENNYCH LOSOWYCH. Rozłady brzegowe. Zmienne losowe niezależne 3. Zmienne losowe niesorelowane Rozłady brzegowe. Niezależność zmiennych losowych. Oznaczamy i pij p j p p. j i ij Zbiór {( i pi : i...} nazywamy rozładem brzegowym zmiennej losowej natomiast zbiór {( y i p i :...} - rozładem brzegowym zmiennej Y. Zmienne losowe Y typu soowego są niezależne jeżeli pij p i p j dla wszystich i j. Dystrybuantą F rozładu brzegowego zmiennej losowej nazywamy funcję F ( pi R natomiast dystrybuantę F Y rozładu brzegowego zmiennej losowej Y i nazywamy funcję Funcję i F ( y p y R. Y j y y f oreślamy wzorem j j f ( f ( y dy nazywamy funcję gęstości rozdziału brzegowego zmiennej losowej natomiast funcję f Y oreśloną wzorem f Y ( y f ( y d nazywamy funcją gęstości rozładu brzegowego zmiennej losowej Y. Dystrybuanty rozładów brzegowych zmiennych losowych typu ciągłego F ( f ( d R - dystrybuanta rozładu brzegowego zmiennej losowej Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 9

30 y F ( y f ( y dy y R - dystrybuanta rozładu brzegowego zmiennej losowej Y. Y Y Zmienne losowe Y typu ciągłego są niezależne jeżeli f ( y f ( fy ( y dla wszystich y R. Twierdzenie Jeżeli zmienne losowe Y są niezależne i istnieją E ( oraz E (Y to E( Y E( E( Y. Kowariancją zmiennych losowych Y nazywamy liczbę cov( Y E[( E( ( Y E( Y ]. Jeżeli cov( Y 0 to Y nazywamy zmiennymi losowymi niesorelowanymi. Twierdzenie Jeżeli zmienne losowe Y są niezależne to są niesorelowane. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe. Współczynni orelacji zmiennej losowej ( Y : Literatura: RP. Roz. IV 4.. cov( Y. D ( D ( Y Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 30

31 WIII 5 WSTĘP DO STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ. Wybrane zagadnienia teorii estymacji statystycznej. Weryfiacja hipotez statystycznych Przedmiotem badań statystyi matematycznej są zbiory (zbiorowości tóre nazywamy populacjami generalnymi. Własności elementów populacji generalnej tóre podlegają badaniom statystycznym nazywamy cechami. Każdy podzbiór elementów wylosowanych z populacji generalnej nazywamy próbą losową. Próbę losową tratujemy jao n elementową zmienną losową... tórej wartościami są n elementowe ciągi n n.... Jeżeli zmienne losowe... n są niezależne to próbę losową nazywamy prostą. Zmienną losową U U n n n nazywamy statystyą.... tóra jest funcją zmiennych losowych... n. Wybrane zagadnienia teorii estymacji statystycznej... Estymatory.. Przedziały ufności Przedmiotem teorii estymacji jest wniosowanie o wartościach parametrów rozładu w populacji generalnej na podstawie próby losowej. Estymatorem parametru nazywamy ażdą jednoznacznie oreśloną funcję (statystyę U n U n... n tóre ma tę własność że prawdopodobieństwo zdarzenia U n jest tym bliższe jedności im więsza jest liczebność próby.. Przedziały ufności. Przedziałem ufności dla parametru nazywamy przedział losowy u u o tórym z danym prawdopodobieństwem (poziom ufności możemy twierdzić że zawiera Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 3 n n

32 nieznany parametr : P u n u n. Przedział ufności dla wartości oczeiwanej m w populacji generalnej o rozładzie normalnym N m w tórym jest znane.. Przedział ufności dla wartości oczeiwanej m w populacji generalnej o rozładzie normalnym N m w tórym nie jest znane. 3. Przedział ufności dla wartości oczeiwanej m w dowolnym rozładzie. 4. Przedział ufności dla prawdopodobieństwa p zmiennej losowej o rozładzie Bernoulliego 5. Przedział ufności dla wariancji w populacji generalnej o rozładzie normalnym N m w tórym m i są nieznane. Weryfiacja hipotez statystycznych. Hipotezy parametryczne. Hipotezy nieparametryczne 3. Testowanie hipotez Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie o rozładzie prawdopodobieństwa cechy populacji generalnej dotyczącej postaci funcji rozładu prawdopodobieństwa (hipoteza nieparametryczna albo wartości parametrów badanej cechy (hipoteza parametryczna. Sprawdzenie hipotezy statystycznej nazywamy weryfiacją hipotezy natomiast testem statystycznym nazywamy sposób weryfiacji hipotezy statystycznej. Weryfiacja hipotez parametrycznych. Weryfiacja hipotezy o wartości oczeiwanej m w populacji generalnej o rozładzie normalnym N m. Hipotezę orzeającą że wartość oczeiwana m jest równa liczbie m 0 zapisujemy H0: m m0 Hipotezę alternatywną orzeającą że m nie jest równe m 0 zapisujemy H : m m. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 3 0. Weryfiacja hipotezy o wariancji w populacji generalnej o rozładzie normalnym N m w tórym m i nie są znane. Weryfiowaną hipotezą jest H 0 : natomiast 0

33 hipotezą alternatywną: H : Weryfiacja hipotezy dotyczącej postaci rozładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej F. Hipoteza H 0 jest hipotezą orzeającą że dystrybuanta zmiennej losowej jest hipotezą alternatywną H : ma rozład o dystrybuancie różnej od założonej w H 0. Wybrane (najczęściej stosowane testy nieparametryczne (testy zgodności - test chi-wadrat Pearsona - test Kołmogorowa - test Kołmogorowa-Smirnowa Literatura: S. Roz. III 3. 3.; Roz. IV.-.4. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 33