ANALIZA STATECZNOŚCI STALOWYCH WIEŻ TELEKOMUNIKACYJNYCH O PARAMETRACH LOSOWYCH

Transkrypt

1 MARCIN KAMIŃSKI Zakład Konstrukcji Stalowych Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska olitechnika Łódzka JACEK SZAFRAN Zakład Konstrukcji Stalowych Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska olitechnika Łódzka IOTR ŚWITA Zakład Konstrukcji Stalowych Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska olitechnika Łódzka ANALIZA STATECZNOŚCI STALOWYCH WIEŻ TELEKOMUNIKACYJNYCH O ARAMETRACH LOSOWYCH Opiniodawca: Tematem niniejszej pracy jest zastosowanie uogólnionej metody perturacji stochastycznej do wyznaczenia proailistycznych momentów ociążenia krytycznego stalowych wież telekomunikacyjnych. Ociążenia te wyznacza się przy pomocy Stochastycznej Metody Elementów Skończonych dla losowo określonych parametrów geometrycznych przekroju i modułu Younga stali konstrukcyjnej. Wykorzystując metodę funkcji odpowiedzi olicza się wartości oczekiwane i odchylenia standardowe sił krytycznych, które można wykorzystać przy montażu kolejnych urządzeń nadawczych, a także do wyznaczania wskaźników niezawodności tych konstrukcji. rzeprowadzana analiza ma również na celu weryfikację wrażliwości konstrukcji na parametry projektowe przyjęte jako zmienne losowe. 1. WSTĘ Zastosowanie metod proailistycznych w rozwiązywaniu prolemów inżynierskich polegających na analizie losowej znalazło swoje ezpośrednie

2 zastosowanie w normach do projektowania Eurocode. W zakresie konstrukcji stalowych stosuje się podział ogółu przekrojów stalowych w zależności od ich smukłości na cztery klasy w celu określenia, czy zniszczenie następuje przez uplastycznienie, czy poprzez utratę stateczności. W szczególnych przypadkach zjawiska niestateczności mogą okazać się decydujące, również w przypadku z lokalnymi lu gloalnymi parametrami losowymi [1,, ]. owszechnie stosowana w udownictwie w trakcie procesu projektowania optymalizacja ma na celu ograniczenie do minimum kosztów konstrukcji, a co się z tym wiąże, redukcję przekrojów elementów przy najardziej optymalnych schematach statycznych ustroju konstrukcyjnego - w ten sposó uzyskuje się lekki ustrój, w którym rezerwy nośności zostały możliwie ograniczone. Jak wiadomo, zmniejszanie przekrojów efektywnych w konstrukcjach stalowych prowadzi do znacznego zwiększenia smukłości kluczowych elementów konstrukcyjnych, a prolematyka stateczności konstrukcji wiąże się między innymi ze znajomością podstawowych charakterystyk zarówno materiału, przekroju i jej wymiarów geometrycznych. Niestety trudne do przewidzenia zmienne parametry materiału i przekroju, mając na względzie szczególnie jego postępującą korozję, mogą w istotny sposó przyspieszyć utratę stateczności - stąd też konieczność rozwiązywania zagadnień proailistycznego wyoczenia dla skomplikowanych schematów statycznych konstrukcji oraz różnorodnego sposou ociążeń. W celu przeprowadzenia ogólnej oceny stateczności zastosowano w pracy metodę perturacji stochastycznej zrealizowaną numerycznie przy pomocy Metody Elementów Skończonych. rzy jej pomocy znaleziono i przeanalizowano zmienność wartości oczekiwanych i odchyleń standardowych w funkcji rozrzutu losowego założonych parametrów losowych. Analizę przeprowadzono na przykładzie jednej z wielu typowych przestrzennych prętowych konstrukcji stalowych wieży telefonii komórkowej, jakich wiele nadal projektuje się i wykonuje w praktyce udowlanej. Uzyskane wyniki, jak również zastosowaną metodę można z powodzeniem zastosować przy analizie niezawodności [1] takich wież (w kontekście analizy deformacji, stanu naprężenia oraz stateczności), ale również przy dalszej optymalizacji kształtu jej struktury wewnętrznej. Należy podkreślić, że, ze względu na charakter metody perturacji, w trakcie modelowania losowego ociążenia krytycznego sprawdza się również wrażliwość ociążenia krytycznego omawianej konstrukcji na zmienne projektowe [11], jakimi są tutaj moduł Younga dla stali oraz średnice krawężników. Wynika to z faktu wyznaczania w metodzie perturacji gradientów tego ociążenia względem oydwu zmiennych, dotyczy nie tylko gradientów pierwszego rzędu, ale do n-tego rzędu włącznie i, co najważniejsze, nie jest właściwe dla innych metod oliczeniowych stosowanych w mechanice stochastycznej.

3 . METODA ERTURBACJI STOCHASTYCZNEJ Rozważmy zmienną losową ω i jej funkcję gęstości prawdopodoieństwa jako p(). Centralne momenty proailistyczne tej zmiennej definiujemy jako m E[] p m d. (1) odstawowym założeniem perturacji stochastycznej jest rozwinięcie wszystkich wprowadzanych zmiennych i wszystkich funkcji stanu w szereg Taylora przy założeniu parametru perturacji w postaci małego >. W przypadku losowej wielkości siły krytycznej rozwinięcie to dla losowej wielkości przedstawia się następująco [7]: n n Δ, n () 1 n! n1 n gdzie Δ () jest wariacją pierwszego rzędu w otoczeniu jej wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana ędzie więc równa. E n n! n n1 () 1 n n pd Δ pd Z numerycznego punktu widzenia rozwinięcie () jest zapisane jako suma wszystkich składników, ale równanie () jako zapis całkowy jest zawsze wyznaczane dla granic skończonych, a dolna i górna granica całkowania musi mieć fizyczne uzasadnienie lu jest określona na drodze eksperymentalnej. rzy zmiennej losowej zgodnej z rozkładem Gaussa lu innym symetrycznym rozkładem prawdopodoieństwa równanie () można zapisać jako

4 1 1 m... E m! m m m (5) Wartość oczekiwana może yć oliczona analitycznie lu wyznaczona w postaci symolicznej wtedy i tylko wtedy, gdy znamy funkcję parametru losowego. Rachunkowa implementacja symoliczna, wprowadzona do programu komputerowego (np. MALE), a także połączona z zadawalającą wizualizacją odpowiednich charakterystyk losowych zapewnia szysze rozwiązanie zadanego prolemu i ułatwia analizę jakościową otrzymanych wyników. Znajomość analitycznej funkcji (), a więc i jej pochodnych, umożliwia ezpośrednio otrzymanie wartości oczekiwanych momentów wyższych rzędów również w postaci analitycznej, np. jako funkcji parametru oraz rozrzutu losowego zadanej zmiennej losowej. Wówczas dodatkowo można wyrać rozkład prawdopodoieństwa, zgodnie z którym chcemy analizować wyraną zmienną (norma zaleca tutaj rozkład normalny, logarytmicznonormalny lu funkcję Gumela, ale w praktyce inżynierskiej również stosuje się rozkład Weiulla) i analizować charakterystyki losowe siły krytycznej jako kominacje tych parametrów. Wyniki liczowe takiej analizy można porównywać z rezultatami dostatecznie dużych symulacji Monte-Carlo lu, w szczególnych przypadkach, wynikami teoretycznymi uzyskanym na drodze ezpośredniego całkowania. Biorąc pod uwagę klasyczny w liniowej teorii stateczności wzór Eulera dla elki swoodnie podpartej na ou końcach [5, ], wyznaczenie wartości oczekiwanej siły krytycznej przy zadanym losowym parametrze w postaci długości elementu l, przedstawia się w postaci: π EJ 1 α l 15 α l 15 α l E l π EJ l 8 95 α 8 l α 1 l () onieważ we wzorze (1) dla kolejnych momentów centralnych występują kolejne pochodne różnicy pomiędzy zmienną losową, a jej wartością oczekiwaną, więc należy się spodziewać, iż długość rozwinięcia perturacyjnego dla kolejnych momentów centralnych ędzie wzrastała nieproporcjonalnie szyciej niż rząd rozpatrywanego momentu. Widać to dorze na przykładzie wariancji siły krytycznej, której rozwinięcie zamieszczono poniżej jedynie z dokładnością do wyrazów rzędu szóstego. Otrzymujemy [8]

5 !!!! () Var (7) Z tego względu oraz iorąc pod uwagę rak automatycznych narzędzi symolicznych do wyprowadzania takich wzorów dla z góry zadanego rzędu perturacji momenty rzędu trzeciego oraz czwartego ograniczamy do jedynie pierwszych paru składników korzystając z następujących zależności [8]: 8 1 d p E (8) jak również d p E (9) Ostatecznie, wykorzystując podstawowe zależności znane z rachunku prawdopodoieństwa, oliczamy współczynniki wariancji, skośności oraz

6 kurtozę dla siły krytycznej ezpośrednio, wykorzystując powyższe zależności. Mamy Var, β E σ,. (1) σ. ANALIZA STATECZNOŚCI I ELEMENTY SKOŃCZONE Rozważmy liniowy element skończony w postaci pręta prostego, których węzły oznaczamy jako i oraz j. Energię odkształcenia pręta pryzmatycznego dla wyidealizowanego elementu skończonego w zagadnieniach liniowej teorii sprężystości zapisujemy jako [9, 1] 1 T s 1 T U qk q qk q (11) gdzie q (α) jest następującym wektorem przemieszczeń węzłów i i i j j j ux,u y,uz,ux,u y,uz q, (1) s k jest macierzą sztywności sprężystej elementu oznaczoną jako 1 1 s E A k (1) l 1 1 i k ( ) to macierz sztywności geometrycznej elementu skończonego

7 F 1 1 k (1) l 1 1 Funkcjonał energii potencjalnej w odniesieniu do elementu skończonego może yć przedstawiony jako T q R q 1 T s q k k J (15) co, wykorzystując procedurę jego minimalizacji, pozwala otrzymać k s k q R (1) rocedura agregacji elementów skończonych w jeden układ gloalny prowadzi do równania macierzowego postaci s K K Fˆ r Rˆ (17) s gdzie K Fˆ jest macierzą sztywności geometrycznej, K jest macierzą sztywności sprężystej, ociążenie R (α) ma charakter proporcjonalny typu Rˆ, gdzie ( ) to mnożnik ociążenia; R ˆ ( ) - pewne ociążenie wyjściowe. Warunkiem otrzymania wartości krytycznej oraz ociążenia krytycznego R R ˆ jest niezerowe rozwiązanie równania: s det K K Fˆ (18)

8 W przypadku losowym chcemy ustalić zależność pomiędzy wielkością krytyczną i zmienną losową, którą proponujemy w postaci wielomianowej jako m k Dmk (19) Współczynniki D mk są określone numerycznie w zależności od serii deterministycznych rozwiązań prolemu stateczności przy pomocy modelu MES z parametrem losowym o wartości iterowanej wewnątrz przedziału,. Ostateczną postać funkcji znajdujemy przy pomocy metody najmniejszych kwadratów i ostatecznie oliczamy pochodne cząstkowe funkcji z następującym równaniem: k λ ( m ) k k k nk n(k1) n jdm1 n jdm... Dm nk. () j1 j W przypadku zdefiniowania ociążenia krytycznego jako wielomianu λ () 9 k D k k (1) wartość oczekiwana siły krytycznej jest oliczana z zależności E 9 k 8 8 λ D D 7 α.88 D D () 1α 18α k 1 97α k 9 8 D 1 D 5 D 9 18 D8 8 D7 D 1 D5 D D 9 5 D8 D7 D 1 D D D D 7 D 7 D 5 8 () Zgodnie z wcześniejszymi uwagami długość rozwinięcia wzrasta znacznie szyciej niż rząd rozpatrywanego momentu centralnego, tak więc wzorów

9 analitycznych na wariancję oraz moment centralny trzeci i czwarty nie zamieszczono w pracy.. ANALIZA NUMERYCZNA Głównym celem jest wyznaczenie podstawowych charakterystyk losowych ociążenia krytycznego dla wieży telekomunikacyjnej, której model pokazano na rys. 1. W tym celu wieża została ociążona jednostkowymi siłami skupionymi w punktach zamocowania urządzeń telekomunikacyjnych oraz oczywiście ciężarem własnym wszystkich elementów konstrukcyjnych. Znajomość poszukiwanych charakterystyk losowych jest, jak wiadomo, konieczna do analizy niezawodności konstrukcji, a także określenia, jakie urządzenia da się zainstalować na istniejącej już konstrukcji. Do wykonania analizy komputerowej wykorzystano komercyjny program MES ROBOT, natomiast niezędne oliczenia symoliczne przeprowadzono przy pomocy programu MALE. Konstrukcja stalowa wieży ma wysokość 55, m i została ona podzielona na 9 sześciometrowych segmentów; posiada ona skratowanie typu X z krzyżulcami pracującymi na ściskanie i rozciąganie. rzekrój wieży jest trójkątem równoocznym, a rozstaw krawężników u podstawy wieży wynosi 7, m, zaś u wierzchołka,5 m. Najwyższy górny segment jest niezieżny, pozostałe osiem ma stałą zieżność wynoszącą w płaszczyźnie ściany 5%. Krawężniki wieży wykonano ze stalowych prętów pełnych o przekroju okrągłym o średnicach (poczynając od dołu) 11, 1, 9 oraz 8 mm. Segmenty wieży połączone ze soą za pomocą skręcanych kołnierzy pierścieniowych, a lachy węzłowe o gruości 1 mm przyspawano ezpośrednio do krawężników. Krzyżulce wykonano z kątowników nierównoramienne L1511, L181 oraz L98. Nad ostatnim segmentem wykonana jest dodatkowa konstrukcja wysokości 1, m z trzech rur 8,9x mocowanych do krawężników i usztywnionych ramką stanowiącą jednocześnie arierę pomostu. Wieża oparta jest na trzech stopach fundamentowych, w których osadzone są stalowe kotwy do połączenia z krawężnikami dolnego segmentu. rzyjęto stopy fundamentowe monolityczne, żeletowe, o wymiarach w rzucie,, m posadowione na głęokości, m. W oliczeniach wyrano moduł Younga oraz średnicę dolnej części krawężnika jako losowe parametry losowe posiadające rozkład Gaussa, dla których przeanalizowano najpierw funkcje odpowiedzi, a potem kolejno wartości oczekiwane, odchylenia standardowe i inne charakterystyki losowe ociążenia krytycznego. Model komputerowy w programie ROBOT został wykonany przy użyciu elkowych elementów skończonych D modelujących krawężniki, 15 elementów kratownicowych D do dyskretyzacji skratowania; łącznie wprowadzono 98 węzłów.

10 Rys. 1. Model D wieży stalowej Fig. 1. D FEM model of the steel tower Rys.. ierwsza postać wyoczenia dla modułu Younga (lewy wykres) oraz dla średnicy krawężników (prawy wykres) Fig.. First itical configuration for Young modulus (left) and for the random diameter of the structural elements (right) Wyniki przeprowadzonej analizy numerycznej zamieszczono na poniższych rysunkach z wyszczególnieniem pierwszej postaci wyoczenia dla oydwu parametrów projektowych (rys. ), a także funkcji odpowiedzi siły krytycznej na parametry projektowe moduł Younga w próie o liczności 1 (rys. ). Jak wynika z porównania oydwu postaci odkształconych z rys., utrata stateczności ma podony charakter w oydwu przypadkach, w którym dominuje ściskanie krawężników oraz zginanie ściskanych

11 krzyżulców, natomiast cała wieża zachowuje swoją pierwotną pionową oś symetrii i kształt podłużny. Kolejno pokazano wartości oczekiwane ociążenia krytycznego w odniesieniu do oydwu zmiennych losowych na rys. (dla analizy rzędu drugiego, czwartego, szóstego, ósmego i dziesiątego), a w dalszej kolejności współczynniki wariancji (rys. 5), współczynniki skośności (rys. ) oraz kurtozę (rys. 7) w modelach rzędu drugiego, czwartego i szóstego włącznie. Wszystkie charakterystyki losowe zostały pokazane w funkcji współczynnika wariancji wejściowej zmiennej losowej, który ilustruje wielkość losowych fluktuacji danego parametru projektowego, natomiast wartości przedstawione na osiach pionowych rys. oraz podano w kn. Rys.. Wielomianowa funkcja odpowiedzi dla siły krytycznej (pierwsza postać) dla losowego modułu Younga Fig.. olynomial response function for the itical load (first itical value) for the randomized Young modulus Rys.. Wartość oczekiwana siły krytycznej (pierwsza postać wyoczenia) dla losowego modułu Younga (lewy wykres) oraz średnicy krawężników (prawy) Fig.. The expected values for the itical force (first itical value) for the randomized Young modulus (left graph) and diameter (right)

12 Rys. 5. Współczynniki wariancji siły krytycznej (pierwsza postać wyoczenia) dla losowego modułu Younga (lewy wykres) oraz średnicy krawężników (prawy) Fig. 5. The coefficient of variation for the itical force (first itical value) for the random Young modulus (left graph) and random diameter (right) ierwszym ważnym rezultatem przeprowadzonej analizy jest potwierdzenie liniowej zależności siły krytycznej od modułu Younga, a także niezwykle dużej wrażliwości struktury na średnicę krawężników. W przypadku podstawowych charakterystyk losowych ociążenia krytycznego dla losowego modułu Younga otrzymujemy skośności i kurtozy z dorym przyliżeniem równe dla wszystkich rzędów metody perturacji, a także liniową zależność pomiędzy wyjściowym, a wejściowym współczynnikiem wariancji (rys. 5) również prawie identyczne dla przyliżenia rzędu drugiego, czwartego oraz szóstego. W związku z powyższym, jak należało oczekiwać na podstawie wzoru Eulera, ociążenie krytyczne ma rozkład Gaussa, tak więc stosowanie wzoru na wskaźnik niezawodności zgodnie z teorią przedstawioną w normie Eurocode jest uzasadnione. Co prawda na rys. widać wyraźnie, iż przy wzrastających wartościach α(e) wartości oczekiwane uzyskane dla różnych rzędów metody perturacji zaczynają się od sieie różnić, ale ze skali osi pionowej wynika, że zaoserwowane różnice są nadal w granicy łędu numerycznego metody (czwarta cyfra znacząca). Sytuacja jest znacznie ardziej skomplikowana w przypadku losowej średnicy krawężników, gdyż na podstawie wartości oczekiwanej widać znacznie większą wrażliwość na losowe fluktuacje średnicy krawężników, gdyż ze względu na optymalne zaprojektowanie przekrojów niewielka zmiana ich średnicy może doprowadzić do utraty stateczności. Stąd wynikają ograniczenia metody perturacji, którą można zastosować w tym szczególnym przypadku jedynie dla ardzo małych wartości α(d). Jak należało oczekiwać zwiększanie rozrzutu losowego tego parametru prowadzi do zmniejszania się wartości oczekiwanej ociążenia krytycznego (rys. ). W przyjętym zakresie zmienności współczynnika wariancji parametru d rozrzut losowy ociążenia krytycznego jest prawie trzykrotnie mniejszy niż wejściowy,

13 co przy wartościach współczynnika skośności oraz kurtozy, znacznie odiegających od (rys. i 7) prowadzi do wniosku, że rozkład ociążenia krytycznego jest tutaj całkowicie odmienny od krzywej Gaussa. Ze względu na wyraźnie dodatni charakter kurtozy można wnioskować, że otrzymany rozkład jest znacznie ardziej skoncentrowany wokół swojej wartości oczekiwanej, niż wejściowy rozkład średnicy elementów, a koncentracja ta wzrasta wraz ze wzrostem zastosowanego rzędu perturacji. Całkowicie odmiennie od poprzedniego przypadku wszystkie charakterystyki losowe są silnie zależne od zastosowanego rzędu przyliżenia w metodzie perturacji stochastycznej. Rys.. Współczynniki skośności siły krytycznej (pierwsza postać wyoczenia) dla losowego modułu Younga (lewy wykres) oraz średnicy krawężników (prawy) Fig.. The coefficient of skewness for the itical force (first itical value) for the random Young modulus (left graph) and random diameter (right) Rys. 7. Kurtoza siły krytycznej (pierwsza postać wyoczenia) dla losowego modułu Younga (lewy wykres) oraz średnicy krawężników (prawy) Fig. 7. Kurtosis for the itical force (first itical value) for the random Young modulus (left graph) and random diameter (right)

14 5. WNIOSKI W niniejszej pracy zastosowano uogólnioną stochastyczną metodę elementów skończonych w połączeniu z metodą funkcji odpowiedzi do analizy zagadnień stateczności stalowej wieży telekomunikacyjnej, której parametrami losowymi yły moduł Younga oraz średnica krawężników. Analiza ta została wykonana przy pomocy programu komercyjnego MES ROBOT i programu do oliczeń symolicznych MALE. Jak należało się spodziewać na podstawie teorii Eulera, wyór modułu Younga jako gaussowskiego projektowego parametru losowego powoduje, iż ociążenie krytyczne ma również rozkład Gaussa, natomiast ulosowienie średnicy elementów konstrukcyjnych ma skutek odmienny otrzymujemy rozkład o wyraźnie ujemnej skośności i większej koncentracji wokół wartości oczekiwanej, niż rozkład Gaussa. W związku z tym wzór na wskaźnik niezawodności wg. teorii Cornella przedstawiony w normie Eurocode można wykorzystać jedynie w pierwszym z omawianych przypadków, natomiast modelowanie niezawodności dla losowej średnicy krawężników (np. wskutek ich intensywnej korozji) wymaga ardziej rozudowanego wzoru na ten wskaźnik. Jednocześnie zanotowano niezwykle dużą wrażliwość ociążenia krytycznego na średnicę krawężników przy raczej małej wrażliwości na moduł Younga; wynika to oczywiście z optymalnego przyjęcia odpowiednich przekrojów stalowych w trakcie projektowania wieży. W związku z tym analiza losowa przy użyciu metody perturacji mogła zostać przeprowadzona jedynie dla niewielkich współczynników wariancji zmiennej losowej, gdyż większe wartości tego współczynnika są związane ze znacznym wzrostem prawdopodoieństwa utraty stateczności przez konstrukcję. Wyniki przeprowadzonej analizy można jednak wykorzystać również w kontekście deterministycznych metod projektowych zapas ezpieczeństwa, czy też możliwość dalszego dociążania tego typu wieży nowymi urządzeniami można określić poprzez odjęcie od oliczonej wartości pierwszej siły krytycznej ciężaru już zamontowanych na wieży urządzeń. Niezwykle interesującym prolemem w zakresie analizy stateczności przy użyciu MES jest stan nadkrytyczny [11] i jego analiza proailistyczna, a także modelowanie podatności poszczególnych połączeń w konstrukcjach stalowych [1]. odziękowania Niniejszą pracę napisano w ramach projektu adawczego NN sponsorowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego.

15 Literatura [1] Elishakoff I.: roailistic Methods in the Theory of Structures. New York, Wiley-Interscience 198. [] Elishakoff I., Li Y. W., Starnes J. H.: Nonclassical rolems in the Theory of Elastic Staility. Camridge, Camridge University ress 1. [] apadopoulos V., Charmpis V., apadrakakis M.: A computationally efficient method for the uckling analysis of shells with stochastic imperfections. Comput. Mech., 9, s [] Sadovský Z., Drdácký M.: Buckling of plate strip sujected to localised corrosion a stochastic model, J. Thin-Walled Struct. 9, 1, s [5] Jones R. M.: Buckling of Bars, lates and Shells. Blacksurg, Bull Ridge ulishing, Virginia. [] Timoshenko S.., Gere J. M.: Theory of Elastic Staility (second ed.). New York, McGraw-Hill 191. [7] Kamiński M.: Generalized perturation-ased stochastic finite element method in elastostatics. Comput. Struct. 85, 7, s [8] Kamiński M., Świta.: Generalized Stochastic Finite Element Method in elastic staility prolems. Comput. Struct. 89, 11, s [9] Bathe K. J.: Finite Element rocedures. rentice Hall 199. [1] Kleier M.: Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych. Warsaw oznań, olish Scientific ulishers 198. [11] Mang H.A., Hofinger G., Jia X.: In the interdependency of primary and initial secondary equilirium paths in sensitivity analysis of elastic structures. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. (1-1), 11, s [1] Hadianfard M. A., Razani R.: Effects of semi-rigid ehavior of connections in the reliaility of steel frames. Struct. Safety 5,, s [1] Melchers R. E.: Structural Reliaility. Analysis and rediction. Ellis Horwood Ltd

16 STABILITY ANALYSIS OF STEEL TELECOMMUNICATION TOWERS WITH RANDOM ARAMETERS Summary The main aim of this paper is the staility analysis of the steel telecommunication tower with random parameters using the Generalized Stochastic Finite Element Method. The Taylor expansion with random coefficients of nth order is used to express all random state parameters and to determine the asic proailistic characteristics of the itical load. The Response Function Method assists to determine higher order partial derivatives of the structural response instead of the Direct Differentiation Method employed widely efore and sufficient to assure high quality of the resulting moments. The magnitude of the itical force is examined in terms of random Young modulus as well as of the main structural memers diameter to show how much extra load (in the new telecommunication equipment) may e applied in the future at this tower to prevent the structural failure. Further application of this methodology is seen in the reliaility analysis and reliaility-ased topology optimization of such steel structures.