Temat: Prawo Hooke a. Oscylacje harmoniczne. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, siła sprężysta, prawo Hooke a, oscylacje harmoniczne,

Transkrypt

1 sg M Teat: Prawo Hooe a. Oscylacje haroniczne. Zagadnienia: prawa dynaii Newtona, siła sprężysta, prawo Hooe a, oscylacje haroniczne, ores oscylacji. Koncepcja: Sprężyna obciążana różnyi asai wydłuża się badane jest wydłużenie w funcji siły obciążającej. Masa zawieszona na sprężynie, wytrącona z pionowego położenia równowagi, wyonuje oscylacje haroniczne ores oscylacji zależny jest od rodzaju sprężyny i asy obciążającej. Zadania: A. Wyznaczanie zależności poiędzy wydłużenie sprężyny i siłą obciążającą, dla dwóch różnych sprężyn. B. Badanie oresu oscylacji ciężara zawieszonego na sprężynie w funcji asy obciążającej dla dwóch rodzajów sprężyn. Uład poiarowy i procedura wyonania. Rys.1. Uład doświadczalny badania wydłużenia sprężyny i oscylacji haronicznych.

2 sg M W zestawie doświadczalny znajduje się oplet odważniów 10g 00 g, szala o asie 10 g oraz dwie różne sprężyny o następujących paraetrach: sybol Spr. 1 Spr. średnica zwoju sprężyny: D 31, 9,0 grubość drutu: d 0,80 0,60 ilość zwojów: N asa sprężyny s 16,8 g 5,8 g Zadanie A A.1. Dla swobodnie wiszącej sprężyny (bez szali) odczytujey za poocą sali ilietrowej położenie ońca (dolnego) sprężyny i rejestrujey jao wartość l 0 w tabeli (w pozycji obciążenia = 0 - patrz Rys. na str.5). A.. Dla sprężyny obciążonej asą odczytujey na sali położenie tego saego ońca i rejestrujey jao wartość l w tabeli. Przy rejestracji asy obciążającej sprężynę należy uwzględnić asę saej szali, tóra wynosi 0 g. A.3. Poiary A. powtarzay dla olejnych obciążeń wzrastających co 0 g. Wynii rejestrujey w tabeli: Spr. (a) Spr. (b) [g] l [] = l l 0 [] l [] = l l 0 [] 0 l 0 = A.4. Poiary A.1 i A.3 powtarzay dla drugiej sprężyny. A.5. Dla ażdej z badanych sprężyn wyonujey poiar wydłużenia przy obciążeniu ciężarie o nieznanej asie zapisując wynii w tabelce: Spr. (a) Spr. (b) l [] = l l 0 [] l [] = l l 0 [] A.6. W raach opracowania wyniów sporządzay na podstawie otrzyanych poiarów wyresy zależności () wydłużenia sprężyny w funcji asy obciążającej punty poiarowe. A.7. Wyorzystując algoryt obliczeniowy regresji liniowej wyznaczay współczynnii ierunowe zależności liniowych () i nanosiy te linie proste na ty say wyresie. Na podstawie tych wartości wyznaczay współczynnii sprężystości sprężyn. Niepewność poiaru wyznaczanych wartości szacujey zgodnie z procedurą opisaną w opracowaniu wzory (7). A.8. Wyorzystując obliczone wartości współczynniów sprężystości oraz zależność () obliczay asę nieznanych ciężarów w oparciu o poiary w pt. A.5.

3 sg M Zadanie B B.1. Dla pierwszej z badanych sprężyn, obciążay ją wybrany odważniie i odciągay na niewielą odległość w dół, a następnie puszczay ta, aby otrzyać oscylacje ważne, aby oscylacje odbywały się w pionie. B.. Doonujey poiaru czasu t trwania 0 olejnych cyli oscylacji, wybierając jao chwilę zero ierzenia czasu najniższe położenie oscylującgo odważnia. Jeden cyl oscylacji (ores T ), to odstęp czasu poiędzy dwoa olejnyi np. najniższyi położeniai. B.3. Poiary B. powtarzay dla olejnych obciążeń wzrastających co 0 g. Należy uwzględnić, że asa saej szali 0 g. Wynii rejestrujey w tabeli: Spr. (a) Spr. (b) [g] t = 0 T [s] T [s] T [s ] t = 0 T [s] T [s] T [s ] B.4. Powtarzay poiary B.1 i B.3 dla drugiej sprężyny. B.5. W raach opracowania wyniów sporządzay na podstawie otrzyanych poiarów wyresy zależności T () wadratu oresu oscylacji w funcji asy obciążającej punty poiarowe. B.6. Wyorzystując algoryt obliczeniowy regresji liniowej wyznaczay współczynnii ierunowe oczeiwanych zależności liniowych T () i nanosiy te linie proste na ty say wyresie. Na podstawie tych wartości wyznaczay współczynnii sprężystości sprężyn. Niepewność poiaru wyznaczanych wartości szacujey zgodnie z procedurą opisaną w opracowaniu wzory (19). B.7. Na wyresie przedstawiay wynii poiarów (T, ) oraz przewidzianą teorią zależność T(), obliczoną w oparciu o otrzyane z poiarów paraetry uładu, B.8. Dla ażdej z badanych sprężyn, w oparciu o otrzyaną zależność T () obliczoną na podstawie poiarów, wyznaczay taą asę ciężara obciążającego, aby ores jego oscylacji na wybranej sprężynie wynosił doładnie T = 1 s. Inforacja dodatowa dla Zadań A i B Przy wyznaczania (w oparciu o wynii poiarów) niezbędnych paraetrów a i b poszuiwanej zależności liniowej (regresji liniowej) oraz odpowiadających i estyat odchyleń standardowych ożna posłużyć się funcją regresji liniowej REGLINP w aruszu alulacyjny typu MS Ecel lub inny. Przyładowo, dla prostej = z wyuszony punte (0, 0) jest to funcja REGLINP(znane_Y;znane_X;0;1), natoiast dla prostej = + podobna funcja REGLINP(znane_Y;znane_X;1;1) REGLINP jest funcją tablicową, czyli dającą w odpowiedzi tablicę wartości wyniowych. Odwołanie do wartości paraetrów w tablicy wyniów funcji REGLINP ożna zrealizować za poocą funcji INDEKS(tablica;nr_wiersza;nr_oluny). Współczynnii rozszerzenia dla różnych ilości stopni swobody oraz poziou ufności =,% ,97 4,53 3,31,87,65,5,43,37,3,8,13,05

4 sg M Teoria i wynii poiarów. Współcześnie forułuje się prawo Hooe a (XVII w.) w rozszerzonej postaci obejującej różne rodzaje deforacji sprężystych: poprzecznych, podłużnych i srętnych. Jednaże w przypadu pręta rozciąganego siłą zewnętrzną F zewn, jego wydłużenie względne opisywane jest prawe najbliższy pierwotnej wersji prawa Hooe a ( Jaie wydłużenie, taa siła Ut tensio, sic vis ): l F = E S, (1) l gdzie l jest długością pręta, l jego bezwzględny wydłużenie, S pole powierzchni przeroju poprzecznego, a F oznacza siłę sprężystą, tórą należy zrównoważyć siłą rozciągającą F zewn. Występujący we wzorze (1) sybol E oznacza tzw. oduł Younga, tóry jest iarą własności sprężystych ateriału przy deforacjach podłużnych podczas rozciągania i ścisania. Sprężyna wyonana z pręta sprężystego zwiniętego w ształt linii śrubowej jest bardziej złożony obiete niż prosty rozciągany pręt. Wydłużenie sprężyny przy jej rozciąganiu oznacza zwięszenie sou linii śrubowej, co wiąże się ze sręcanie pręta tworzącego zwoje (deforacja srętna). Oazuje się jedna, że i w ty przypadu wydłużenie sprężyny sutuje wystąpienie siły sprężystej proporcjonalnej do saego wydłużenia tzw. siła sprężysta opisana forułą: FS =, () gdzie = l = l l 0 oznacza wydłużenie sprężyny, l 0 - długość swobodną, l - długość sprężyny rozciągniętej, natoiast oznacza tzw. współczynni sprężystości sprężyny. Współczynni ten zależny jest od geoetrycznych paraetrów sprężyny (średnica D, ilość zwojów N ), od grubości d pręta tworzącego zwoje oraz od właściwości ateriału pręta oreślonych przez tzw. oduł sręcalności G : 4 G d =. (3) 3 8 N D Obciążenie zawieszonej pionowo sprężyny asą powoduje jej wydłużenie w tai stopniu, aby siła sprężysta sprężyny F S zrównoważyła siłę grawitacji działającą na asę obciążającą (Rys.), a zate: r r r F + F = 0 + g 0, (4) S G = sąd wynia zależność poiędzy wydłużenie sprężyny a asą obciążającą: g =, (5) gdzie g = 9,811 s - jest tzw. przyspieszenie ziesi (natężenie pola grawitacyjnego przy powierzchni Ziei).

5 sg M l 0 l 0 F S F G Rys.. Poiary wydłużenia = l l 0 sprężyny obciążanej asą. (nie jest ważne względe tórego iejsca zierzyy w pionie odległości l i l 0, natoiast usi to być ten sa punt odniesienia) Zadanie A polega na sprawdzeniu oczeiwanej zależności liniowej poiędzy wydłużenie sprężyny i siłą rozciągającą, co jest równoważne sprawdzeniu zależności liniowej poiędzy wydłużenie a asą obciążającą zgodnie ze wzore (5). Przyładowe wynii poiarów zaieszczone zostały na wyresie Rys.3. Na podstawie otrzyanych poiarów (Rys.3) ożna stwierdzić, że spodziewana zależność liniowa dobrze opisuje wynii esperyentu. Dla poiarów z Rys.3 dopasowano linię prostą Y = a X (zgodnie z równanie (5), gdzie Y, X ) najlepiej odpowiadającą otrzyany wartościo współczynnii dopasowania oraz oszacowane niepewności standardowe, jao równe estyato odchyleń standardowych: sprężyna (a): a = 3,181 g 1, u(a) = S a = 0,014 g 1, n = 8 sprężyna (b): a = 0,477 g 1, u(a) = S a = 0,0057 g 1. n = 7 Przyrównanie współczynnia ierunowego a do oreślającego go wyrażenia, wyniającego ze wzoru (5), pozwala na wyznaczenie współczynnia sprężystości sprężyny (do obliczeń przyjąć należy wartości: g = 9,811 s -, u(g) = 0,010 s - ): g g a = =, (6) a a taże na oszacowanie niepewności standardowej oraz rozszerzonej ta obliczonej wartości, zgodnie z forułai: u( a) u( g) u ( ) = +, U( ) u( ) a g = p (7) gdzie współczynni rozszerzenia p przy pozioie ufności p 95% przyjuje wartości p =,43 Spr(a) oraz p =,5 Spr(b), dla liczby stopni swobody ν = n 1.

6 sg M Wydłużenie sprężyny w funcji asy obciążającej sprężyna (a) sprężyna (b) 600 = 3, [] = 0, [g] Rys.3. Wydłużenie sprężyny w zależności od asy obciążającej, dla dwóch różnych sprężyn. W wyniu obliczeń, dla przytoczonych w przyładzie poiarów, otrzyano następujące wartości współczynnia sprężystości i oszacowania niepewności rozszerzonej: sprężyna (a) = ( 3,084 ± 0,034 ) N 1, sprężyna (b) = ( 0,57 ± 0,63 ) N 1. Dla porównania otrzyanego wyniu z przewidywany współczynniie sprężystości wyniający ze wzoru (3) ożna obliczyć np. dla sprężyny ( Spr.(a) ) tę przewidzianą teorią wartość. Przyjując do obliczeń, że oduł sręcalności ateriału (taiego ja żelazo i stal) wynosi ooło G = 8, Pa oraz wyorzystując podane paraetry sprężyny, otrzyuje się wartość współczynnia sprężystości sprężyny równą = 3,5 N 1. W poiarach otrzyano, że ciężare o nieznanej asie zawieszony przyładowo na sprężynie (a) powodował jej wydłużenie o = 350 zierzone z niepewnością asyalną = 1. W oparciu o wzór (5) oraz obliczoną już wartość współczynnia a wyznaczyć ożna asę ciężara, otrzyując wartość: = ( 110,0 ± 1,3 ) g gdzie niepewność rozszerzoną oszacowano jao = Δ +!! wybierając współczynni rozszerzenia odpowiedni dla liczby poiarów stałej a.

7 sg M Zadanie B wiąże się z badanie dynaii ruchu asy zawieszonej na sprężynie w polu grawitacyjny. Stan równowagi zawieszonej asy oreśla równowaga siły grawitacji i siły sprężystej (Rys.4): r r r F + F = ( l l ) + g 0. (8) Srow G 0 0 = Jest to równowaga trwała, ponieważ ażde wychylenie asy w ierunu pionowy z położenia równowagi sutuje wystąpienie siły wypadowej przeciwnie sierowanej do tego wychylenia (Rys.4): r r r F = F + F F = l l ) g. (9) S G ( 0 + Połączenie wzorów (8) i (9) pozwala wyrazić działającą na asę siłę wypadową w funcji jej wychylenia = l l z położenia równowagi: F = ( l l) =. (10) l 0 l l F Srów F S 0 F G F G Rys.4. Opis położenia asy odchylonej z położenia równowagi o. Zgodnie z drugi prawe dynaii Newtona ruch asy pod działanie siły F = - (wzór (10)), przy poinięciu sił oporów ruchu oraz zaniedbaniu asy sprężyny, opisany jest równanie: d d t =, (11)

8 sg M tórego rozwiązanie jest funcja haroniczna: ( t) = A sin( ω t + α), (1) gdzie A jest aplitudą oscylacji, natoiast α oznacza tzw. fazę początową obydwa paraetry ruchu zależą od warunów początowych. Paraetr ω, tzw. częstość ołowa oscylacji, zależny jest od właściwości uładu fizycznego i w przypadu asy oscylującej pod działanie siły sprężystej wyraża się wzore: ω =. (13) Otrzyane rozwiązanie (1) oznacza, że pod działanie siły sprężystej F = - asa wyonuje oscylacje haroniczne o oresie T równy: T π = = π. (14) ω Powyższy wzór (14) oreślający zależność oresu oscylacji od zawieszonej asy oraz współczynnia sprężystości otrzyany został bez uwzględnienia asy S saej sprężyny, tóra bierze jedna udział w ruchu. Próba uwzględnienia w sposób przybliżony asy S oscylującej sprężyny ożliwa jest przez wprowadzenie poprawi we wzorze (14) sprowadzającej go do postaci: T + eff = π, (15) gdzie tzw. asa efetywna sprężyny eff, przy założeniu > S, daje się teoretycznie oszacować jao: S eff. (16) 3 Ze wzoru (15) wynia, że dla oreślonej sprężyny wadrat oresu oscylacji T powinien zieniać się liniowo wraz z asą obciążającą sprężynę, tzn.: 4π 4π eff T = + = a + b. (17) Przyładowe wynii poiarów oresu oscylacji dla różnych as zaieszczono na wyresie Rys.5. Regresja liniowa dopasowania prostej y = a + b dla zależności poiędzy wadrate oresu T a asą dla danych poiarowych sprężyny Spr.(a) prowadzi do współczynniów dopasowania oraz oszacowanych niepewności standardowych, jao równych estyato odchyleń standardowych: a = 1,65 s g 1, u(a) = S a = 0,1 s g 1 ; n = 8 ; b = 0,100 s, u(b) = S b = 0,01 s.

9 sg M 6-9 -,5 Zależność wadratu oresu oscylacji T od asy,0 T = 1,65 + 0,1 1,5 T [s ] 1,0 0,5 0,0 0 0,05 0,1 0,15 0, [g] w zależności od asy obciążającej dla sprę- Rys.5. Kwadrat oresu oscylacji T żyny (a). Przyrównanie współczynniów a i b do oreślających je wyrażeń, wyniających ze wzoru (17), pozwala na wyznaczenie współczynnia sprężystości sprężyny oraz asy efetywnej eff poprzez obliczenie: a = 4π = 4π a 4π eff b = eff = b a (18) a taże na oszacowanie niepewności standardowej oraz rozszerzonej ta obliczonych wartości oraz eff, zgodnie z forułai: u( a) u( ) = U( ) p u( ) a = u( a) u( b) u ( eff ) = eff + a b U( ) = eff p u( eff ) (19) gdzie współczynni rozszerzenia p przy pozioie ufności p 95% przyjuje wartość p =,5 Spr(a), dla liczby stopni swobody ν = n = 6 w ty przyładzie. Wynii obliczeń dla przyładowych danych poiarowych (sprężyna (a)) oraz oszacowania niepewności rozszerzonej są następujące: = ( 3,11 ± 0,075 ) N 1, eff = ( 7,9 ±,4 ) g,

10 sg M ,60 1,40 1,0 1,00 Ores oscylacji T w funcji asy T [s] 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0 0,05 0,1 0,15 0, [g] Rys.6. Wyres funcji T() danej równanie (15) oraz punty poiarowe dla sprężyny (a) funcja T() dana wzore (15) bazuje na wartościach oraz eff obliczonych na podstawie poiarów. Na wyresie Rys.6 wyreślone są punty poiarowe oresu T oraz dana równanie (15) funcja T() opisująca zależność oresu od asy funcja ta obliczana jest dla wartości = 3,11 N 1 oraz eff = 0,0079 g. Ja to jest widoczne z wyresu, otrzyane na podstawie odelu ateatycznego paraetry fizyczne uładu pozwalają na dobry opis otrzyanych w poiarach wartości oresu oscylacji. Masa ciężara, dla tórego sprężyna (Spr. (a)) wyonywać będzie oscylacje o oresie T = 1 s, obliczona na podstawie wzoru (17), przy znanych wartościach a i b, wynosi: 1s = ( 71, ± 1,7) g gdzie niepewność rozszerzoną oszacowano jao "# = $! + "# wybierając współczynni rozszerzenia odpowiedni dla liczby poiarów stałych a, b.!! Literatura H. Szydłowsi Pracownia Fizyczna, PWN Warszawa 1973 i późn. J. Orear Fizya, T.1 i, WNT Warszawa 1990 R.Resnic, D.Halliday, J.Waler Podstawy fizyi, Materiały poocnicze dostępne w forie eletronicznej: o Instrucje opisujące algoryt opracowania wyniów poiaru, o Jednosti, stałe fizyczne, liczby, o Metody oszacowania niepewności poiaru. Opracowanie: M.Gajde, Katedra Fizyi, PŚ