METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ"

Transkrypt

1 Problemy Kolejnictwa Zeszyt 5 97 Prof. dr hab. inż. Władysław Koc Politechnia Gdańsa METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ SPIS TREŚCI. Wprowadzenie. Ogólna ocena sytuacji geometrycznej 3. Przyjęcie loalnego uładu współrzędnych 4. Oreślenie podstawowych danych do projetowania 5. Procedura projetowania rejonu zmiany ierunu trasy 6. Przyład obliczeniowy 7. Podsumowanie STRESZCZENIE Zastosowanie ciągłych pomiarów satelitarnych toru olejowego z antenami zainstalowanymi na poruszającym się pojeździe szynowym, powoduje potrzebę opracowania nowej metody projetowania uładów geometrycznych toru. Ponieważ ształtowanie ierunów prostych trasy na podstawie taich pomiarów nie sprawia żadnych trudności, w pracy supiono się na westii projetowania odcinów położonych w łuu. Założono, że projetowanie uładu geometrycznego będzie się odbywać w odpowiednim roboczym uładzie współrzędnych, by następnie na drodze odpowiedniej transformacji przenieść uzysane rozwiązanie do uładu globalnego. Przedstawiono cały to postępowania wraz z wyprowadzaniem odpowiednich zależności teoretycznych. Całość zilustrowano przyładami obliczeniowymi, w tórych wyorzystano dane uzysane z istniejącej linii olejowej.. WPROWADZENIE W połowie 008 rou nastąpiło w naszym raju uruchomienie Atywnej Sieci Geodezyjnej ASG-EUPOS, będącej narodową siecią permanentnych stacji GNSS []. Oferuje ona serwisy dla geodezji i nawigacji oraz pozwala na wyznaczenie położenia w dowolnym miejscu w raju z doładnościami na poziomie 3 cm. Oznaczało to możliwość

2 98 W. Koc efetywnego wyorzystania systemu GPS w pomiarach inwentaryzacyjnych linii olejowych. W związu z zaistniałą sytuacją, zespół badawczy Politechnii Gdańsiej, Aademii Marynari Wojennej w Gdyni, Załadu Linii Kolejowych PKP PLK S.A. w Gdyni oraz firmy Leica Geosystems przeprowadził na początu 009 rou esperyment pomiarowy polegający na objeździe iludziesięcioilometrowego odcina linii olejowej ciągniiem szynowym WM-5 z przyczepą (wagonem-platformą) PWM-5, na tórej zostały zainstalowane cztery anteny do pomiarów satelitarnych GPS, rejestrujące współrzędne z częstością 0 Hz oraz doładnościami wyznaczenia współrzędnych płasich na poziomie 3 cm [6]. W 00 rou dwie podobne ampanie pomiarowe (w innych loalizacjach) zostały zrealizowane ponownie, przy czym ich metodya została odpowiednio zmodyfiowana. Wyznaczone współrzędne puntów WGS-84 transformowano do państwowego uładu odniesień przestrzennych 000 [8]. Uzysane wynii pomiarów upoważniają do postawienia tezy, że zastosowana technia pomiarowa, już na obecnym etapie jej rozwoju, otwiera zupełnie nowe perspetywy. Jej wyorzystanie umożliwia bardzo precyzyjne oreślenie podstawowych danych do projetowania modernizacji linii olejowej (ierunów głównych trasy i jej ąta zwrotu), a taże ze stosunowo niewielim błędem współrzędnych istniejącej osi toru. Odtworzenie ierunów prostych trasy (i oreślenie występujących na nich deformacji poziomych) na podstawie pomiarów satelitarnych nie sprawia właściwie żadnych trudności. Bardziej złożona jest westia oceny odcinów położonych w łuu. Omawiana technia pozwala na odtworzenie rejonu zmiany ierunu trasy (łui ołowe i rzywe przejściowe) w dostosowaniu do wymagań projetu modernizacji [4]. Powstała sytuacja wymaga jedna podjęcia działań nad stworzeniem procedury projetowania dostosowanej do nowej technii pomiarowej [3].. OGÓLNA OCENA SYTUACJI GEOMETRYCZNEJ W wyniu pomiarów satelitarnych otrzymujemy zbiór współrzędnych Y i, X i puntów położonych w osi toru, oreślonych w państwowym uładzie odniesień przestrzennych 000. Przedstawienie ich w formie graficznej pozwala na ogólną ocenę sytuacji geometrycznej. Na rysunu poazano wybrany fragment uładu geometrycznego obejmujący dwa odcini proste i zawarty pomiędzy nimi łu wyorąglający (wyraźnie zdeformowany). W tym miejscu należy zauważyć, że o ile pomiary satelitarne na odcinach prostych toru są przeprowadzane bardzo precyzyjnie, to na odcinach położonych w łuach pojawia się dodatowy błąd pomiarowy wyniający z poprzecznego odchylenia anten na platformie od osi toru na sute występowania przechyłi. Odchylenie to (oznaczone jao δ) zależy od wartości przechyłi h oraz wysoości h a zainstalowania anten nad płaszczyzną toru i jest oreślone wzorem

3 Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 99 Rys.. Przyładowy fragment trasy olejowej w uładzie państwowym 000 gdzie: δ = s h + h h s s s rozstaw osi toów szynowych. a (.) Pierwszy człon we wzorze (.) jest pratycznie nieistotny, natomiast błąd δ można by znacznie zmniejszyć obniżając wysoość zainstalowania anten. Jedna w ażdym przypadu precyzyjne oreślanie położenia osi toru w łuu wymagałoby jednoczesnego pomiaru przechyłi. Z pratycznego puntu widzenia nie wydaje się to jedna onieczne. Odcini proste pozwalają bowiem na bardzo doładne oreślenie podstawowej danej do projetowania ąta zwrotu trasy. Pomierzone współrzędne osi toru na łuu, mimo że są obarczone pewnym błędem, w zupełności wystarczą do oszacowania występujących wartości parametrów uładu rzywoliniowego. Wzór (.) może się natomiast oazać przydatny podczas weryfiacji uzysanego rozwiązania projetowego przy porównywaniu nowo zaprojetowanych rzędnych z rzędnymi uładu istniejącego. Rzędne istniejące będzie można wówczas orygować wyorzystując wartość zaprojetowanej przechyłi. Pomierzone współrzędne prostej z lewej strony rozpatrywanego uładu geometrycznego (rys. ) i prostej z prawej strony tegoż uładu, możemy wyorzystać do wyznaczenia metodą najmniejszych wadratów równań obu prostych w uładzie Y, X w postaci X = A + B Y. Z puntu widzenia poszuiwań rzeczywistego ierunu trasy luczową, wartość stanowi tutaj współczynni nachylenia prostej B = tan ϕ. Wyznaczenie ątów nachylenia ϕ i ϕ obu prostych względem osi Y pozwala na oreślenie ąta zwrotu trasy = ϕ ϕ. Znajomość równań obydwu prostych umożliwia wyznaczenie współrzędnych puntu przecięcia ierunów głównych trasy. Znajomość współrzędnych puntu W(Y W, X W ), gdy azymuty ierunów głównych i ąt zwrotu stycznych można precyzyjnie oreślić,

4 00 W. Koc umożliwia łatwe przeniesienie zaprojetowanego uładu geometrycznego w teren. Współrzędne Y W i X W stanowią rozwiązanie uładu równań X w = A + B Y w X w = A + B Y w sąd otrzymujemy A A Y = w B B, X = A A A + B B B w. (.) 3. PRZYJĘCIE LOKALNEGO UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH Aby można było wyorzystywać uzysane dane pomiarowe do zaprojetowania rejonu zmiany ierunu trasy, należy interesujący nas jej fragment wyodrębnić z całości uładu geometrycznego oraz doonać odpowiedniej transformacji (przesunięcia i obrotu) uładu współrzędnych. Najorzystniej będzie, jeśli nowy uład współrzędnych pozwoli na symetryczne ustawienie uładu geometrycznego z naniesionymi ierunami głównymi trasy i będzie obejmował całość rejonu zmiany ierunu trasy, tj. łu ołowy z rzywymi przejściowymi (oraz odcinami przylegających prostych). Na rysunu przedstawiono loalny uład współrzędnych x, y, w tórym będzie się odbywać projetowanie uładu geometrycznego, by następnie na drodze odpowiedniej transformacji przenieść go do uładu globalnego. Wprowadzono tam również pomocniczy uład współrzędnych x, y, wyorzystywany do wyznaczania puntów rzywej przejściowej. Rys.. Przyjęty loalny uład współrzędnych Oprócz wyznaczenia rzędnych y(x) luczową sprawą będzie oreślenie długości całego uładu, wyniającego z wartości rzutów rzywych przejściowych l KP i części łuowych l ŁK na oś odciętych. Umożliwi to późniejsze przeniesienie rozwiązania do uładu globalnego przy wyorzystaniu wzorów [7]:

5 Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 0 Y = Y 0 + x cos β y sin β (3.) X = X 0 + x sin β + y cos β (3.) gdzie: Y 0, X 0 współrzędne puntu O w uładzie współrzędnych 000, β ąt obrotu uładu odniesienia. Znajomość wartości l KP i l ŁK pozwala wyznaczyć współrzędne początu uładu loalnego w państwowym uładzie odniesienia 000. Odległość puntu O(Y 0, X 0 ) od wierzchoła W(Y w, X w ), tórego współrzędne wyznacza się wyorzystując wzór (.), jest następująca: OW l l KP + AK = cos Uwzględniając występujący współczynni nachylenia prostej B oraz wyorzystując związi otrzymujemy ( XW XO) = B ( YW YO) i ( Y Y ) ( X X ) OW W O W O Y O = Y ± W lkp + lak + B cos, XO = XW ± + =( ) B( lkp + lak ). + B cos (3.3) Przyjęcie odpowiedniego znau w powyższych wzorach wymaga rozpatrzenia danej sytuacji geometrycznej. Sposób wyznaczania ąta obrotu β zostanie wyjaśniony w puncie 4 artyułu. 4. OKREŚLENIE PODSTAWOWYCH DANYCH DO PROJEKTOWANIA Oreślenie rzędnych osi toru w loalnym uładzie współrzędnych x, y będzie się odbywać dla następujących danych wyjściowych: ąta zwrotu stycznych, promienia łuu ołowego R, przechyłi na łuu h 0, długości l przyjętego rodzaju rzywej przejściowej. W uładzie globalnym możemy stosunowo łatwo wyznaczyć ąt zwrotu, bowiem odtworzenie ierunów prostych trasy na podstawie pomiarów satelitarnych nie sprawia żadnych trudności. Bardziej złożona jest westia oceny odcinów położonych w łuu w celu oszacowania występującego promienia łuu ołowego R, a taże długości tegoż łuu oraz długości rzywych przejściowych.

6 0 W. Koc Ja już wcześniej wyjaśniono, nowe położenie osi toru powinno odpowiadać loalnemu uładowi współrzędnych x, y poazanemu na rysunu, co pozwoli na symetryczne ustawienie danego uładu geometrycznego z naniesionymi ierunami głównymi trasy [5]. Przyład efetów taiej operacji, przeprowadzonej dla fragmentu uładu geometrycznego z rysunu, przedstawiono na rysunu 3. Rys. 3. Przyładowy fragment trasy olejowej w loalnym uładzie współrzędnych (w sali sażonej); ) istniejący przebieg trasy y(x), ) wyznaczony ierune główny trasy y (x), 3) wyznaczony ierune główny trasy y (x) Wzory na nowe współrzędne trasy w przesuniętym do puntu O(Y 0, X 0 ) i obróconym o ąt β loalnym uładzie współrzędnych x, y opisują zależności [7]: x = (Y Y 0 ) cos β + (X X 0 ) sin β, (4.) y = (Y Y 0 ) sin β + (X X 0 ) cos β. (4.) Nowy począte uładu współrzędnych przyjmujemy na prostej. Wybieramy odciętą Y 0 puntu trasy przed łuiem, znajdującego się w pobliżu prostej aprosymującej; równanie prostej umożliwia nam wyznaczenie rzędnej X 0. Wartości Y 0 i X 0 na prostej wyznaczają począte przesuniętego uładu współrzędnych. Sposób oreślenia ąta obrotu β wyjaśniają rysuni 4 i 5 [5]. Zależy on od ierunu zwrotu trasy. Ogólny wzór na ąt obrotu β jest następujący: β = ϕ+ = ( ϕ+ ϕ). (4.3)

7 Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 03 Rys. 4. Schemat ideowy wyznaczenia ąta obrotu β w przypadu zwrotu trasy w prawo (gdy ąt zwrotu = ϕ ϕ > 0) Rys. 5. Schemat ideowy wyznaczenia ąta obrotu β w przypadu zwrotu trasy w lewo (gdy ąt zwrotu = ϕ ϕ < 0) W przypadu zwrotu trasy w prawo (rys. 4), gdy ąt zwrotu = ϕ ϕ > 0, po doonaniu obrotu uładu otrzymujemy dodatnie wartości rzędnej y. W przypadu zwrotu trasy w lewo (rys. 5), gdy ąt zwrotu = ϕ ϕ < 0, wartości rzędnej y są ujemne; możemy jedna dla celów pratycznych doonać ich lustrzanego odbicia względem osi x.

8 04 W. Koc W nowym uładzie współrzędnych proste aprosymujące są opisane następującymi zależnościami: A X0 + B Y0 y( x) = + tan( ϕ β) x = tan( ϕ β ) x, (4.4) B sinβ cosβ A X0 + B Y0 y( x) = + tan( ϕ β ) x. (4.5) B sinβ cosβ Dzięi poazanemu na rysunu 3 przeniesieniu interesującego nas fragmentu trasy do loalnego uładu współrzędnych x, y możemy oszacować wartość promienia łuu ołowego, a taże orientacyjne długości rzutów na oś x łuu ołowego i rzywych przejściowych. W celu wyznaczenia wartości promienia R wyorzystamy wartość strzałi f c, oreślonej w puncie środowym łuu, względem cięciwy l c o zmieniającej się długości; wartości promienia R wyznacza się ze ścisłej zależności lc fc R = + 8f. c 5. PROCEDURA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY 5.. Roboczy uład współrzędnych Dla ażdej sytuacji geometrycznej możemy utworzyć wiele loalnych uładów współrzędnych, z tórych ażdy jest oreślony w uładzie globalnym przez przyjęte współrzędne jego puntu początowego. Tymczasem położenia puntu początowego dla nowoprojetowanego uładu geometrycznego w tej fazie nie jesteśmy jeszcze w stanie oreślić. Wiemy tylo, że punt ten powinien wyznaczać począte rzywej przejściowej i leżeć na prostej porywającej się z ieruniem głównym trasy. Dlatego też musimy przyjąć roboczy uład współrzędnych x, y, nie powiązany z uładem globalnym, tórego począte w puncie O (0, 0) będzie stanowić począte rzywej przejściowej, odchylającej przebieg trasy od ierunu głównego, a na ońcu łączącej się z łuiem ołowym. Ze względu na symetrię wystarczy rozpatrywać połowę całego uładu, tj. rejon od początu rzywej przejściowej do środa łuu ołowego (rys. 6). Po wyznaczeniu długości l KP i l ŁK musimy ta przesunąć począte roboczego uładu współrzędnych wzdłuż osi x, aby uzysać rzędną wierzchoła W odpowiadającą uładowi loalnemu (rys. ). H = TW = ( lkp + lak )tan (5.)

9 Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 05 Rys. 6. Roboczy uład współrzędnych Procedura projetowania doprowadzi do oreślenia współrzędnych puntu początowego w uładzie globalnym za pomocą wzorów (3.3) i w onsewencji umożliwi transformację z wyorzystaniem wzorów (4.) i (4.) rejonu zmiany ierunu trasy do uładu loalnego obejmującego wyłącznie łu ołowy i rzywe przejściowe (bez odcinów prostych). 5.. Oreślenie rzędnych rzywej przejściowej w uładzie współrzędnych, y ) Znając podstawowe dane projetowe przystępujemy najpierw do wstawienia w uład geometryczny rzywej przejściowej o długości l. Naszym celem jest zapisanie równania rzywej przejściowej w uładzie współrzędnych x, y. Obowiązujący wzór na rzywiznę w uładzie współrzędnych prostoątnych ( x) = y ( x) { + [ y ( x) ] } wsazuje na istotne znaczenie nachylenia stycznej, tóre w danym przypadu jest znaczne; zaczyna się od wartości y ( 0) = tan i następnie na długości rzywej nieco maleje. Dlatego też będzie orzystne zastosowanie tradycyjnej procedury, czyli założenie pomocniczego uładu współrzędnych x, y, w tórym oś odciętych jest styczna do rzywej przejściowej i porywa się z ieruniem głównym trasy (rys. 6). Ze względów pratycznych będzie orzystne zapisywanie równania rzywizny w postaci 3 (5.) l () = R gl () (5.3)

10 06 W. Koc gdzie: l położenie puntu rzywej przejściowej na jej długości, g(l) funcja zmiennej l, zależna od rodzaju rzywej przejściowej, przy czym g(0) = 0, g(l ) =. Przyładowe równania funcji g(l) są następujące: l dla paraboli trzeciego stopnia gl ()=, (5.4) 3 l l dla rzywej Blossa gl ()= 3 l l, (5.5) 3 l dla cosinusoidy gl ()= π l, (5.6) l l dla sinusoidy gl () = si π. (5.7) l π l Możemy wówczas łatwo oreślić rzędne rampy przechyłowej (jeśli taa występuje) l hl () = h gl (), 0 (5.8) oraz przyspieszenie niezrównoważone al () = am gl () (5.9) gdzie: h 0 wartość przechyłi na łuu, a m niezrównoważone przyspieszenie na łuu ołowym, a m Vp h0 = R s g, ( 36, ) V p masymalna prędość pociągów pasażersich, g przyspieszenie ziemsie. Ta, ja się to powszechnie pratyuje, przyjmujemy, że zamodelowana rzywizna (l) odnosi się do swego rzutu na oś x, czyli że l = x, g(l) = g ). W wyniu taich założeń otrzymujemy wyjściowe równanie rzywizny x R g x 0 ( ) = ( ). (5.0) Wyznaczenie w sposób ścisły funcji y ) na podstawie 0 ) wymagałoby rozwiązania równania różniczowego (5.), co jedna na drodze analitycznej jest niemożliwe. Dlatego też znów tradycyjnie tratujemy 0 ) jao rzywiznę wyjściową, będącą przybliżeniem rzywizny docelowej ). Przejście od 0 ) do ) odbywa się w ten sposób, że uznajemy 0 ) jao równanie drugiej pochodnej szuanej funcji y ), przy czym z uwagi na przyjęty pomocniczy uład współrzędnych x, y musimy wprowadzić zna ; mamy zatem y ( x) = 0 ( x). (5.)

11 Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 07 Równanie to następnie dwurotnie całujemy, uzysując y ) i y ); uwzględniamy przy tym waruni: y (0) = 0 i y (0) = 0. Krzywizna ) uzysanej rzywej przejściowej, tórą wyznaczamy z równania (5.), różni się, oczywiście od rzywizny wyjściowej 0 ). Różnica ta zależy od wartości nachylenia stycznej y ). W stosowanych w olejnictwie rzywych przejściowych (gdy ta ja w rozpatrywanym przez nas przypadu przyjmujemy uład współrzędnych, w tórym począte rzywej jest styczny do osi odciętych) wartość y ) na długości jest niewiela, dlatego też różnica pomiędzy rzywiznami 0 ) i ) jest pratycznie nieistotna. Tai sposób wyznaczania rzędnych rzywej przejściowej znalazł zastosowanie w fundamentalnej pracy H. Bałucha []. Oprócz samego równania y ) istotną wielość projetową stanowi nachylenie stycznej na ońcu rzywej przejściowej, tj. wartość y = l ), występująca w równaniu (5.6) Transformacja rzywej przejściowej do roboczego uładu współrzędnych Kolejnym etapem działań jest transformacja rzywej przejściowej do przyjętego roboczego uładu współrzędnych, poprzez doonanie obrotu jej uładu odniesienia o ąt /. W związu z ieruniem obrotu, zgodnym ze wsazówami zegara, w stosowanych wzorach transformacyjnych [7] występują ujemne wartości ąta. x = x y + cos sin, y = x y + sin cos. Ponieważ 0, π, po uwzględnieniu zależności y ) otrzymujemy równania parametryczne rzywej przejściowej w roboczym uładzie współrzędnych: x( x) = x cos y( x) sin, (5.) y( x) = x sin + y( x) cos. (5.3) W tym miejscu należałoby przypomnieć, że w uładzie współrzędnych artezjańsich za pomocą równań parametrycznych jest opisywana lotoida, rzywa przejściowa powszechnie stosowana w drogach ołowych. Występujący w równaniach (5.) i (5.3) parametr x 0, l, a odcięta rzywej przejściowej x 0, l KP, gdzie

12 08 W. Koc lkp = l cos y ( l ) sin. Rzędna ońcowa rzywej przejściowej wynosi ykp = y( lkp ) = l sin + y ( l ) cos. a wartość stycznej na ońcu skp = tan arctan y ( l ) +. (5.4) (5.5) (5.6) 5.4. Oreślenie rzędnych łuu ołowego Znając położenie rzywej przejściowej, możemy wpisać w uład geometryczny łu ołowy o promieniu R. Długość jego rzutu na oś x, tj. wartość l ŁK, oreślamy na podstawie warunów styczności: na początu łuu, tj. dla x = l KP, y ( lkp ) = skp na środu łuu, tj. dla x = l KP + l ŁK, y ( lkp + lak ) = 0 Stosowne wzory opisują sytuację poazaną na rysunu 7. Rys. 7. Schemat położenia łuu ołowego względem loalnego uładu współrzędnych W uładzie współrzędnych x, y równanie odcina łuu ołowego będącego częścią projetowanego przez nas uładu geometrycznego jest następujące:

13 Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 09 a równanie stycznej do łuu ( ) y ( x )= R x, x l AK,0, x y ( x ) =. R x ( ) W puncie styczności rzywej przejściowej i łuu ołowego, tj. dla x = l AK lak y ( lak ) = = s KP R l sąd wynia, że l AK ( AK ) skp = ( + skp ) R. (5.7) Znajomość l KP i l ŁK umożliwia oreślenie położenia początu uładu współrzędnych x, y względem puntu W, dzięi oreśleniu wysoości H za pomocą wzoru (5.). Można również teraz zapisać równanie łuu ołowego w postaci funcji jawnej y = y(x). KP ( KP AK ) AK ( ) y( x)= y + R l + l x R l Rzędna środa łuu ołowego wynosi ( ), x l, l + l. (5.8) KP KP AK yl ( + l ) = y + R R l. (5.9) KP AK KP AK 5.5. Uzupełnienie rzędnych dla drugiej części projetowanego rejonu trasy Ze względu na symetrię, roboczy uład współrzędnych (rys. 6) obejmował połowę całego uładu, tj. rejon od początu rzywej przejściowej do środa łuu ołowego. Po przeniesieniu rozwiązania do uładu loalnego (z wyorzystaniem wzoru (5.) należy jeszcze uzupełnić rzędne dla drugiej części projetowanego rejonu, tj. dla x lkp + lak,lkp + lak. Stanowić one będą lustrzane odbicie przedstawionego rozwiązania uzysanego dla x 0, lkp + lak. Jeżeli długość rzutu całego zaprojetowanego uładu geometrycznego na oś x oznaczymy jao L, gdzie L= lkp + lak, wówczas dla drugiej rzywej przejściowej, tj. dla x L lkp, L, otrzymamy równania parametryczne: x = L x( x ), y = y( x ), (5.0)

14 0 W. Koc gdzie x 0, l, x ) jest oreślone równaniem (5.), a y ) równaniem (5.3). Dla drugiej połowy łuu ołowego obowiązuje równanie KP ( KP AK ) AK ( ) y( x)= y + R x l l R l, x l + l, l + l. (5.) KP AK KP AK 6. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY 6.. Ustalenie podstawowych danych do projetowania W przyładzie obliczeniowym wyorzystamy dane z pomiarów satelitarnych przeprowadzonych w 00 rou, zobrazowane na rysunu. Wyznaczone równanie ierunu głównego trasy z lewej strony rozpatrywanego uładu geometrycznego (tj. prostej ) jest następujące: X = , , Y. (6.) Jego ąt nachylenia ϕ = arctan B =, rad. Kierune główny trasy z prawej strony rozpatrywanego uładu geometrycznego (tj. prosta ) jest opisany równaniem X = 50989, , Y, (6.) a ąt nachylenia ϕ = 0,53000 rad. Kąt zwrotu trasy wynosi zatem = ϕ ϕ =, rad. Można również za pomocą wzoru (4.3) oreślić ąt obrotu uładu odniesienia w celu przeniesienia pomierzonych puntów trasy do loalnego uładu współrzędnych. W danym przypadu wynosi on β = 0, rad. Aby uzysać obraz uładu tai ja na rysunu 3, musimy jeszcze przyjąć odciętą początu uładu loalnego. Przyjmując Y 0 = 6565,56600 m otrzymujemy na podstawie równania (6.), rzędną X 0 = ,07880 m puntu O położonego na prostej. Zastosowanie wzorów (4.) i (4.) prowadzi do sytuacji geometrycznej przedstawionej na rysunu 3. Równania prostych, wyznaczone za pomocą wzorów (4.4) i (4.5), są następujące: y = 0, x, (6.3) y = 405,456 0, x. (6.4) Z rysunu 3 wynia, że długość rzutu całego uładu geometrycznego na oś x wynosi ooło 000 m, a sam uład stanowi w zasadzie ompozycję pięciu olejnych łuów. W rozpatrywanym przypadu uznajemy, że jest to sytuacja nieprawidłowa, a wyznaczanie wartości promieni poszczególnych łuów ołowych mija się z celem. W za mian spróbujemy zastosować jeden łu ołowy z dwiema rzywymi przejściowymi i postaramy się ja najlepiej wpisać w istniejący uład geometryczny.

15 Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej Rozpatrzono szereg wariantów rozwiązań problemu projetowego; jeden spośród nich zostanie przedstawiony w sposób szczegółowy. Przyjęto prędość v p = 0 m/h i założono, że rzywa przejściowa mieć będzie rzywiznę liniową. Podstawowymi danymi do projetowania będą: ąt zwrotu stycznych =, rad, promień łuu ołowego R = 700 m, wartość przechyłi na łuu h 0 = 70 mm, rzywa przejściowa (z prostoliniową rampą przechyłową) o długości l = 30 m. Przy taich danych parametry inematyczne przyjmą następujące wartości: przyspieszenie niezrównoważone na łuu ołowym a m = 0,503 m/s, prędość zmiany przyspieszenia na rzywej przejściowej ψ = 0,7 m/s 3, prędość podnoszenia oła na rampie przechyłowej f = 4,00 mm/s. 6.. Oreślenie równań rzywej przejściowej i rampy przechyłowej w ich wewnętrznym (pomocniczym) uładzie współrzędnych Liniowa zmiana rzywizny na długości rzywej przejściowej jest opisana wzorem l l () =. R Standardowo przyjmujemy, że zamodelowana rzywizna (l) odnosi się do swego rzutu na oś x (rys. 6), czyli że l = x. W wyniu taich założeń otrzymujemy równanie rzywizny Znamy też równanie rampy przechyłowej x R g x x 0 ( ) = ( ), gdzie g( x ) =. l l hx ( ) = h gx ( ). Tratujemy 0 ) jao rzywiznę wyjściową, będącą przybliżeniem rzywizny docelowej ); pozwala nam to na znalezienie szuanej funcji y ), jao rozwiązania równania różniczowego (5.), tóre przyjmuje postać x y ( x) =. R l Równanie to następnie dwurotnie całujemy, uwzględniając waruni: y (0) = 0 i y (0)= 0. Otrzymujemy w ten sposób równanie rzywej przejściowej w postaci paraboli trzeciego stopnia. y 0 3 x ( x) = =, x. (6.5) 6 R l

16 W. Koc Rzędna ońcowa rzywej przejściowej wynosi l y( x = l) = =, m, 6 R a nachylenie stycznej na ońcu l y ( x = l) = = 0, R 6.3. Oreślenie rzędnych rzywej przejściowej w roboczym uładzie współrzędnych Przejście do roboczego uładu współrzędnych odbywa się przez doonanie obrotu uładu odniesienia rzywej przejściowej o ąt / = 0, rad. Uwzględniając wzory (5.) i (5.3) otrzymujemy równania parametryczne rzywej przejściowej w uładzie współrzędnych x, y: 3 x 7 x( x) = x cos + sin = 0, 8089 x + 4, x 3, (6.6) 6 R l 3 x 7 y( x) = x sin cos = 0, x 6, x 3. (6.7) 6 R l Występujący w tych równaniach parametr x 0, 30 m, zaś odcięta rzywej przejściowej x 0,, gdzie l KP l lkp = x( l ) = l cos + sin = 07, 66 6 R Rzędna ońcowa rzywej przejściowej wynosi l ykp = y( l ) = l sin cos = 7, R a wartość stycznej na ońcu m. m, l skp = y ( l ) = tan arctan( ) + R = 0, Oreślenie rzędnych łuu ołowego Długość rzutu łuu ołowego na oś x, tj. wartość l ŁK, oreślamy na podstawie wzorów (5.6) i (5.7), wprowadzając wyznaczone s KP dla paraboli trzeciego stopnia.

17 Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 3 l AK l tan + R = arctan( ) l + tan + arctan( ) R R, (6.8) co dla naszych danych liczbowych daje l ŁK = 93,83 m. Na podstawie równania (5.8) możemy zapisać równanie łuu ołowego w postaci funcji jawnej y = y(x). W rozpatrywanym zadaniu projetowym przedstawia się ono następująco: ( ) y( x) = 7, , 475 x,, Rzędna środa łuu ołowego wynosi y(l KP +l ŁK ) = 34,89 m. x 07, 66, 04, 475. (6.9) 6.5. Uzupełnienie rzędnych dla drugiej części projetowanego rejonu trasy Znajomość l KP i l ŁK umożliwia oreślenie położenia początu loalnego uładu współrzędnych (rys. ) dzięi oreśleniu wysoości H za pomocą wzoru (5.). W naszym przypadu wynosi ona H = (07, ,83) 0, = 7,7 m. Możemy teraz zapisać równania obydwu prostych w uładzie loalnym obejmującym wyznaczone rozwiązanie. Prostą opisuje oczywiście równanie (6.3), natomiast równanie prostej jest następujące: y = 45,450 0, x. (6.0) W loalnym uładzie współrzędnych x, y musimy teraz uzupełnić rzędne dla drugiej części projetowanego rejonu trasy. Część ta, obejmująca x 04, 475, 048, 950, będzie stanowić lustrzane odbicie przedstawionego rozwiązania uzysanego dla x 0, 04, 475. Dla drugiej rzywej przejściowej, tj. dla x 94, 88, 048, 950, otrzymamy równania parametryczne: x( x ) = 048, 950 0, 8089 x 4, x 3, (6.) y( x ) = 0, x 6, x 3, (6.) gdzie x 0, 30. Dla drugiej połowy łuu ołowego, tj. dla x 04, 475, 94, 88, obowiązuje równanie ( ) y( x) = 7, x 04, 475, (6.3)

18 4 W. Koc Zaprojetowany uład geometryczny poazano na rysunu 8. W loalnym uładzie współrzędnych sprawdzamy wartości różnic pomiędzy rzędnymi istniejącego toru i rzędnymi zaprojetowanymi. Jeżeli jesteśmy usatysfacjonowani uzysanym rozwiązaniem, przenosimy je do uładu globalnego. Jeśli zaprojetowany uład za bardzo odbiega od istniejącego, przeprowadzamy ponowną procedurę wyznaczania rzędnych, przy zmienionych wartościach podstawowych parametrów geometrycznych. Rys. 8. Istniejący i zaprojetowany uład geometryczny w loalnym uładzie współrzędnych; ) istniejący przebieg trasy y(x), ) wyznaczony ierune główny trasy y (x), 3) wyznaczony ierune główny trasy y (x), 4) zaprojetowany przebieg trasy y P (x) 6.6. Przeniesienie projetu do uładu globalnego Wyznaczone współrzędne puntów trasy w loalnym uładzie współrzędnych musimy teraz przenieść do uładu globalnego. Będzie to zatem operacja odwrotna do przeprowadzonej w puncie 4. Do transformacji zostaną wyorzystane wzory (3.) i (3.). Ponieważ ąt β jest znany, należy tylo oreślić współrzędne początu uładu loalnego w uładzie współrzędnych 000. Wyorzystując wzory (3.3) otrzymujemy: Y 0 = 65649,055 m oraz X 0 = ,9493 m. Po przeniesieniu naszego rozwiązania do państwowego uładu odniesień przestrzennych 000 otrzymujemy sytuację poazaną na rysunu Przyład rozwiązania alternatywnego W rozwiązaniu przedstawionym na rysunach 8 i 9 nowo zaprojetowana trasa przebiega na całej swej długości obo osi trasy istniejącej. W pewnych sytuacjach bardziej orzystne może się oazać zachowanie istniejącego przebiegu trasy na ja najwięszej długości, nawet osztem wystąpienia onieczności przeprowadzenia więszych zmian w oreślonym rejonie. Przy naszych danych pomiarowych odpowiadać temu będzie rozwiązanie uzysane po zastosowaniu promienia łuu ołowego R = 600 m oraz przechyłi na łuu h 0 = 75 mm (przy zachowaniu tego samego rodzaju i długości rzywej przejściowej).

19 Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 5 Rys. 9. Istniejący i zaprojetowany uład geometryczny w uładzie państwowym 000 ; ) istniejący przebieg trasy X(Y), ) wyznaczony ierune główny trasy X (Y), 3) wyznaczony ierune główny trasy X (Y), 4) zaprojetowany przebieg trasy X P (Y) Wartości parametrów inematycznych są następujące: przyspieszenie niezrównoważone na łuu ołowym a m = 0,494 m/s, prędość zmiany przyspieszenia na rzywej przejściowej ψ = 0,58 m/s 3, prędość podnoszenia oła na rampie przechyłowej f = 4,00 mm/s. Na rysunu 0 poazano istniejący i zaprojetowany uład geometryczny w loalnym uładzie współrzędnych, a na rysunu w państwowym uładzie odniesień przestrzennych 000. W obu wariantach obliczeń masymalne przemieszczenia poprzeczne toru są rzędu 50 m. Rys. 0. Istniejący i zaprojetowany uład geometryczny w loalnym uładzie współrzędnych (rozwiązanie alternatywne); ) istniejący przebieg trasy y(x), ) wyznaczony ierune główny trasy y (x), 3) wyznaczony ierune główny trasy y (x), 4) zaprojetowany przebieg trasy y P (x)

20 6 W. Koc Rys.. Istniejący i zaprojetowany uład geometryczny w uładzie państwowym 000 (rozwiązanie alternatywne); ) istniejący przebieg trasy X(Y), ) wyznaczony ierune główny trasy X (Y), 3) wyznaczony ierune główny trasy X (Y), 4) zaprojetowany przebieg trasy X P (Y) 7. PODSUMOWANIE Już w najbliższym czasie radyalną poprawę w zaresie ształtowania geometrycznego torów olejowych będzie można uzysać po zastosowaniu ciągłych pomiarów satelitarnych, z antenami zainstalowanymi na poruszającym się pojeździe szynowym. Pozwala to na odtworzenie położenia osi torów w bezwzględnym uładzie odniesienia, a liczba wyorzystywanych współrzędnych zależy jedynie od przyjętej częstości próbowania sygnału. Ja stwierdzono w wyniu przeprowadzonych badań terenowych, zastosowana w torach olejowych nowa technia pomiarowa otwiera zupełnie nowe perspetywy. Jej wyorzystanie umożliwia bardzo precyzyjne oreślenie podstawowych danych do projetowania modernizacji linii olejowej (ierunów głównych trasy i jej ąta zwrotu), a taże ze stosunowo niewielim błędem współrzędnych istniejącej osi toru. Dalsze podniesienie uzysiwanej doładności w oreślaniu położenia toru na drodze pomiarów satelitarnych wydaje się być jedynie westią czasu. Zastosowanie satelitarnej technii pomiarowej (w wariancie pomiarów ciągłych) powoduje onieczność opracowania nowej metody projetowania uładów geometrycznych toru. O ile ształtowanie ierunów prostych trasy na podstawie pomiarów satelitarnych nie stwarza specjalnych trudności, o tyle bardziej złożona jest westia projetowania odcinów położonych w łuu. Aby można było wyorzystywać uzysane

21 Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 7 dane pomiarowe, należy interesujący nas rejon zmiany ierunu trasy wyodrębnić z całości uładu geometrycznego oraz doonać odpowiedniej transformacji (przesunięcia i obrotu) uładu współrzędnych. Najorzystniej będzie, jeśli nowy uład współrzędnych (x, y) pozwoli na symetryczne ustawienie uładu geometrycznego z naniesionymi ierunami głównymi trasy. Opracowując przedstawioną w artyule oncepcję sposobu projetowania rejonu zmiany ierunu trasy dążono do uzysania rozwiązania analitycznego, a więc najbardziej przyjaznego w pratycznym stosowaniu. Omawianą metodę zilustrowano przyładem obliczeniowym, w tórym wyorzystano dane uzysane z istniejącej linii olejowej. Oczywiście, w celu wdrożenia podanej procedury niezbędne będzie opracowanie w najbliższym czasie odpowiedniego wspomagania omputerowego. BIBLIOGRAFIA. Bałuch H.: Optymalizacja uładów geometrycznych toru. Warszawa, Wydawnictwa Komuniacji i Łączności, Bosy J., Grasza W., Leonczy M.: ASG-EUPOS The Polish contribution to the EUPOS project. Symposium on Global Navigation Satellite Systems, Berlin, Germany, 4 November, Koc W.: Projetowanie uładów geometrycznych toru w dostosowaniu do systemu GPS. IX Konferencja Nauowo-Techniczna Nowoczesne Technologie i Systemy Zarządzania w Kolejnictwie, Kościeliso, 3 grudnia, Koc W., Specht C.: Application of the Polish active GNSS geodetic networ for surveying and design of the railroad. First International Conference on Road and Rail Infrastructure CETRA 00, Opatija, Croatia, 7 8 May, Koc W., Specht C.: Wynii pomiarów satelitarnych toru olejowego. Technia Transportu Szynowego, 009, nr Koc W., Specht C., Jurowsa A., Chrostowsi P., Nowa A., Lewińsi L., Bornowsi M.: Oreślanie przebiegu trasy olejowej na drodze pomiarów satelitarnych. II Konferencja Nauowo-Techniczna Projetowanie, Budowa i Utrzymanie Infrastrutury w Transporcie Szynowym INFRASZYN 009, Zaopane, 4 wietnia Korn G.A., Korn T.M.: Matematya dla pracowniów nauowych i inżynierów. Warszawa, PWN, Specht C.: System GPS. Pelplin, Wydawnictwo BERNARDINUM, 007.

A. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna

A. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Koła rowerowe malują fraktale

Koła rowerowe malują fraktale Koła rowerowe malują fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Rozważmy urządzenie sładającego się z n ół o różnych rozmiarach, obracających się z różnymi prędościami. Na obręczy danego oła, obracającego

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza

Bardziej szczegółowo

Władysław Koc Cezary Specht Piotr Chrostowski. Projektowanie i eksploatacja dróg szynowych z wykorzystaniem mobilnych pomiarów satelitarnych

Władysław Koc Cezary Specht Piotr Chrostowski. Projektowanie i eksploatacja dróg szynowych z wykorzystaniem mobilnych pomiarów satelitarnych Władysław Koc Cezary Specht Piotr Chrostowski Projektowanie i eksploatacja dróg szynowych z wykorzystaniem mobilnych pomiarów satelitarnych Gdańsk 2018 PRZEWODNICZĄCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19)

4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19) 256 Fale 4.15 Badanie dyfracji światła laserowego na rysztale oloidalnym(o19) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej sieci dwuwymiarowego ryształu oloidalnego metodą dyfracji światła laserowego. Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa

Bardziej szczegółowo

Rozjazdy z nieliniową krzywizną toru zwrotnego dla różnych prędkości jazdy pociągów

Rozjazdy z nieliniową krzywizną toru zwrotnego dla różnych prędkości jazdy pociągów PROBLEMY KOLEJNICTWA RAILWAY REPORT Zeszyt 181 (grudzień 018) ISSN 055-145 (dru) ISSN 544-9451 (on-line) Rozjazdy z nieliniową rzywizną toru zwrotnego dla różnych prędości jazdy pociągów Władysław KOC

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Podstawy analizy wypadów drogowych Instrucja do ćwiczenia 1 Wyznaczenie prędości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Spis treści 1. CEL ĆWICZENIA... 3. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ

WYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ WYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ Wstęp. Za wyjątie nielicznych funcji, najczęściej w postaci wieloianów, dla tórych ożna znaleźć iniu na drodze analitycznej, pozostała więszość

Bardziej szczegółowo

Q strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania:

Q strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania: Filtracja to zjawiso przepływu płynu przez ośrode porowaty (np. wody przez grunt). W więszości przypadów przepływ odbywa się ruchem laminarnym, wyjątiem może być przepływ przez połady grubego żwiru lub

Bardziej szczegółowo

Koła rowerowe kreślą fraktale

Koła rowerowe kreślą fraktale 26 FOTON 114, Jesień 2011 Koła rowerowe reślą fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Od Redacji: Fratalom poświęcamy ostatnio dużo uwagi. W Fotonach 111 i 112 uazały się na ten temat artyuły Marcina

Bardziej szczegółowo

1. RACHUNEK WEKTOROWY

1. RACHUNEK WEKTOROWY 1 RACHUNEK WEKTOROWY 1 Rozstrzygnąć, czy możliwe jest y wartość sumy dwóch wetorów yła równa długości ażdego z nich 2 Dane są wetory: a i 3 j 2 ; 4 j = + = Oliczyć: a+, a, oraz a 3 Jai ąt tworzą dwa jednaowe

Bardziej szczegółowo

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja rzywoliniowych obietów 3d Jan Prusaowsi 1), Ryszard Winiarczy 1,2), Krzysztof Sabe 2) 1) Politechnia Śląsa w Gliwicach, 2) Instytut Informatyi

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g zares rozszerzony 1. Wielomiany bardzo zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wsazać jednomiany podobne; potrafi

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna przestrzeni

Geometria analityczna przestrzeni ALGEBRA LINIOWA 1 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr zimowy 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Wetory, długość wetora Geometria analityczna przestrzeni Zadanie 1 [5.1] Obliczyć długości podanych

Bardziej szczegółowo

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony) Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia

Bardziej szczegółowo

ef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza

ef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyi i Informatyi Stosowanej Aademia Górniczo-Hutnicza Wyład 12 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN ZAKŁAD MECHATRONIKI LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI INSTRUKCJA

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN ZAKŁAD MECHATRONIKI LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI INSTRUKCJA POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN ZAKŁAD MECHATRONIKI LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI INSTRUKCJA ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 4 Temat: Identyfiacja obietu regulacji

Bardziej szczegółowo

Równanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki

Równanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 15. Rozdział 8: Drgania samowzbudne

WYKŁAD 15. Rozdział 8: Drgania samowzbudne WYKŁAD 5 Rozdział 8: Drgania samowzbudne 8.. Istota uładów i drgań samowzbudnych W tym wyładzie omówimy właściwości drgań samowzbudnych [,4], odróżniając je od poznanych wcześniej drgań swobodnych, wymuszonych

Bardziej szczegółowo

A4: Filtry aktywne rzędu II i IV

A4: Filtry aktywne rzędu II i IV A4: Filtry atywne rzędu II i IV Jace Grela, Radosław Strzała 3 maja 29 1 Wstęp 1.1 Wzory Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, tórych używaliśmy w obliczeniach: 1. Związe między stałą czasową

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci

Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Ćwiczenie 4 - Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Strona 1/13 Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Spis treści 1.Cel ćwiczenia...2 2.Wstęp...2 2.1.Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych.

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzei z wyorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. Godło autora pracy: EwGron. Wprowadzenie. O poziomie cywilizacyjnym raju, obo wielu

Bardziej szczegółowo

9. Sprzężenie zwrotne własności

9. Sprzężenie zwrotne własności 9. Sprzężenie zwrotne własności 9.. Wprowadzenie Sprzężenie zwrotne w uładzie eletronicznym realizuje się przez sumowanie części sygnału wyjściowego z sygnałem wejściowym i użycie zmodyiowanego w ten sposób

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

Ocena odcinków prostych trasy kolejowej

Ocena odcinków prostych trasy kolejowej Ocena odcinków prostych trasy kolejowej na podstawie pomiarów satelitarnych Władysław Koc, Piotr Chrostowski W pracy przedstawiono kolejny moduł opracowywanego w Politechnice Gdańskiej programu komputerowego

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami, łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej ł

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami, łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej ł 1. Dane Droga klasy technicznej G 1/2, Vp = 60 km/h poza terenem zabudowanym Prędkość miarodajna: Vm = 90 km/h (Vm = 100 km/h dla krętości trasy = 53,40 /km i dla drogi o szerokości jezdni 7,0 m bez utwardzonych

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 5

Zadania do rozdziału 5 Zadania do rozdziału 5 Zad.5.1. Udowodnij, że stosując równię pochyłą o dającym się zmieniać ącie nachylenia α można wyznaczyć współczynni tarcia statycznego µ o. ozwiązanie: W czasie zsuwania się po równi

Bardziej szczegółowo

ZASADY WYZNACZANIA BEZPIECZNYCH ODSTĘPÓW IZOLACYJNYCH WEDŁUG NORMY PN-EN 62305

ZASADY WYZNACZANIA BEZPIECZNYCH ODSTĘPÓW IZOLACYJNYCH WEDŁUG NORMY PN-EN 62305 ZASADY WYZNACZANIA BEZPIECZNYCH ODSTĘPÓW IZOLACYJNYCH WEDŁUG NORMY PN-EN 62305 Henry Boryń Politechnia Gdańsa ODSTĘPY IZOLACYJNE BEZPIECZNE Zadania bezpiecznego odstępu izolacyjnego to: ochrona przed bezpośrednim

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1 Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

Metody optymalizacji nieliniowej (metody programowania nieliniowego) Ewa Niewiadomska-Szynkiewicz Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej

Metody optymalizacji nieliniowej (metody programowania nieliniowego) Ewa Niewiadomska-Szynkiewicz Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Metody optymalizacji nieliniowej metody programowania nieliniowego Ewa Niewiadomsa-Szyniewicz Instytut Automatyi i Inormatyi Stosowanej Ewa Niewiadomsa-Szyniewicz ens@ia.pw.edu.pl Instytut Automatyi i

Bardziej szczegółowo

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 3.10.2004 24. (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Założenia wstępne

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Wykład 21: Studnie i bariery cz.1.

Wykład 21: Studnie i bariery cz.1. Wyład : Studnie i bariery cz.. Dr inż. Zbigniew Szlarsi Katedra Eletronii, paw. C-, po.3 szla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szlarsi/ 3.6.8 Wydział Informatyi, Eletronii i Równanie Schrödingera

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań

Optymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe 1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnia Gdańsa Wydział Eletrotechnii i Autoatyi Katedra Inżynierii Systeów Sterowania MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI Systey ciągłe budowa odeli enoenologicznych z praw zachowania Materiały poocnicze

Bardziej szczegółowo

Ochrona odgromowa obiektów budowlanych. Nowe wymagania wprowadzane przez normy

Ochrona odgromowa obiektów budowlanych. Nowe wymagania wprowadzane przez normy Ochrona odgromowa obietów budowlanych. Nowe wymagania wprowadzane przez normy serii PN-EN 62305 Andrzej Sowa Politechnia Białostoca Podstawowym zadaniem urządzenia piorunochronnego jest przejęcie i odprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Temat: Prawo Hooke a. Oscylacje harmoniczne. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, siła sprężysta, prawo Hooke a, oscylacje harmoniczne,

Temat: Prawo Hooke a. Oscylacje harmoniczne. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, siła sprężysta, prawo Hooke a, oscylacje harmoniczne, sg M 6-1 - Teat: Prawo Hooe a. Oscylacje haroniczne. Zagadnienia: prawa dynaii Newtona, siła sprężysta, prawo Hooe a, oscylacje haroniczne, ores oscylacji. Koncepcja: Sprężyna obciążana różnyi asai wydłuża

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne

Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne Wydział PRACOWNA FZYCZNA WFi AGH mię i nazwiso 1.. Temat: Ro Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wyonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne Cel

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Eletrotechnii, Informatyi i Teleomuniacji Uniwersytet Zielonogórsi Eletrotechnia stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 1. Przykłady i zadania, GiS 2008) 4 Pochodne

Bardziej szczegółowo

Zaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8)

Zaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8) Zaliczenie wyładu Technia Analogowa Przyładowe pytania (czas zaliczenia 3 4 minut, liczba pytań 6 8) Postulaty i podstawowe wzory teorii obowdów 1 Sformułuj pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa Wyjaśnij

Bardziej szczegółowo

( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego

( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

3. Kinematyka podstawowe pojęcia i wielkości

3. Kinematyka podstawowe pojęcia i wielkości 3. Kinematya odstawowe ojęcia i wielości Kinematya zajmuje się oisem ruchu ciał. Ruch ciała oisujemy w ten sosób, że odajemy ołożenie tego ciała w ażdej chwili względem wybranego uładu wsółrzędnych. Porawny

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. . (odp. a)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. . (odp. a) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 11 Rzucamy trzy razy monetą A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie Oreślić zbiór zdarzeń elementarnych Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 52 INTERFERENCYJNY POMIAR KRZYWIZNY SOCZEWKI (pierścienie Newtona) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie, przy znanej długości fali

ZADANIE 52 INTERFERENCYJNY POMIAR KRZYWIZNY SOCZEWKI (pierścienie Newtona) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie, przy znanej długości fali ZADANIE 52 INTERFERENCYJNY POMIAR KRZYWIZNY SOCZEWKI (pierścienie Newtona) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie, przy znanej długości fali świetlnej, promienia rzywizny soczewi płaso-wypułej

Bardziej szczegółowo

PROJEKTOWANIE PLANU PRZEPŁYWU ŁADUNKÓW W SYSTEMIE AGV

PROJEKTOWANIE PLANU PRZEPŁYWU ŁADUNKÓW W SYSTEMIE AGV Technologia i Automatyzacja ontażu 1/2013 PROJEKTOWAIE PLAU PRZEPŁYWU ŁADUKÓW W SYSTEIE AGV Alesander IEOCZY Streszczenie Artyuł zawiera opis podstawowych problemów projetowania systemu AGV oraz stosowanego

Bardziej szczegółowo

Pomiary napięć przemiennych

Pomiary napięć przemiennych LABORAORIUM Z MEROLOGII Ćwiczenie 7 Pomiary napięć przemiennych . Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów pomiarów wielości charaterystycznych i współczynniów, stosowanych do opisu oresowych

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

USTALANIE WARTOŚCI NOMINALNYCH W POMIARACH TOROMIERZAMI ELEKTRONICZNYMI

USTALANIE WARTOŚCI NOMINALNYCH W POMIARACH TOROMIERZAMI ELEKTRONICZNYMI Dr inŝ. Zbigniew Kędra Politechnika Gdańska USTALANIE WARTOŚCI NOMINALNYCH W POMIARACH TOROMIERZAMI ELEKTRONICZNYMI SPIS TREŚCI 1. Wstęp. Podstawy teoretyczne metody 3. Przykład zastosowania proponowanej

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)

Bardziej szczegółowo

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013 Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIŁ INŻYNIERII MECHNICZNEJ INSTYTUT EKSPLOTCJI MSZYN I TRNSPORTU ZKŁD STEROWNI ELEKTROTECHNIK I ELEKTRONIK ĆWICZENIE: E2 POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo

R w =

R w = Laboratorium Eletrotechnii i eletronii LABORATORM 6 Temat ćwiczenia: BADANE ZASLACZY ELEKTRONCZNYCH - pomiary w obwodach prądu stałego Wyznaczanie charaterysty prądowo-napięciowych i charaterysty mocy.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WARUNKÓW KONSOLIDACJI TORFÓW PRZECIĄŻONYCH WARSTWĄ POPIOŁÓW

ANALIZA WARUNKÓW KONSOLIDACJI TORFÓW PRZECIĄŻONYCH WARSTWĄ POPIOŁÓW Tomasz SZCZYGIELSKI Zygmunt MEYER ANALIZA WARUNKÓW KONSOLIDACJI TORFÓW PRZECIĄŻONYCH WARSTWĄ POPIOŁÓW. Wprowadzenie Celem pracy jest analiza możliwości wyorzystania ubocznych produtów spalania nazywanych

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ALGORYTM MRÓWKOWY (ANT SYSTEM) ALGORYTM MRÓWKOWY. Algorytm mrówkowy

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ALGORYTM MRÓWKOWY (ANT SYSTEM) ALGORYTM MRÓWKOWY. Algorytm mrówkowy PLAN WYKŁADU Algorytm mrówowy OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wyład 8 dr inż. Agniesza Bołtuć (ANT SYSTEM) Inspiracja: Zachowanie mrówe podczas poszuiwania żywności, Zachowanie to polega na tym, że jeśli do żywności

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie długości fali świetlnej za pomocą spektrometru siatkowego

Wyznaczanie długości fali świetlnej za pomocą spektrometru siatkowego Politechnia Łódza FTIMS Kierune: Informatya ro aademici: 2008/2009 sem. 2. Termin: 16 III 2009 Nr. ćwiczenia: 413 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie długości fali świetlnej za pomocą spetrometru siatowego Nr.

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. Ćwiczenie A2. Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny metodą dynamiczną.

INSTRUKCJA. Ćwiczenie A2. Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny metodą dynamiczną. INSRUKCJA Ćwiczenie A Wyznaczanie wpółczynnia prężytości prężyny metodą dynamiczną. Przed zapoznaniem ię z intrucją i przytąpieniem do wyonania ćwiczenia należy zapoznać ię z natępującymi zagadnieniami:

Bardziej szczegółowo

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Wpływ zamiany typów eletrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Grzegorz Barzy Paweł Szwed Instytut Eletrotechnii Politechnia Szczecińsa 1. Wstęp Ostatnie ila lat,

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie zespołów prądotwórczych do awaryjnego zasilania obiektów budowlanych mgr inż. Julian Wiatr CKSI i UE SEP

Zastosowanie zespołów prądotwórczych do awaryjnego zasilania obiektów budowlanych mgr inż. Julian Wiatr CKSI i UE SEP astosowanie zespołów prądotwórczych do awaryjnego zasilania obietów budowlanych mgr inż. Julian Wiatr CKSI i UE SE 1. odział odbiorniów energii eletrycznej na ategorie zasilania i ułady zasilania obietu

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI Zadania zamknięte (0- pkt) Zadanie Jeżeli a = log 6 to a jest równe: 4 A. B. C. - Zadanie Warunek x ; 8 jest rozwiązaniem nierówności: A. x + 5 > B. x 5 C. x 5 x + 5 Zadanie Wskaż warunek, który opisuje

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

, to niepewność sumy x

, to niepewność sumy x Wydział Fizyi UW (wersja instrucji 04.04a) Pracownia fizyczna i eletroniczna dla Inżynierii Nanostrutur oraz Energetyi i Chemii Jądrowej Ćwiczenie 6 Elementy testowania hipotez (z błędami złożonymi) oraz

Bardziej szczegółowo

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami, łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami

Przykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami, łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami 1. Dane Droga klasy technicznej G 1/2, Vp = 60 km/h poza terenem zabudowanym Prędkość miarodajna: Vm = 90 km/h (Vm = 100 km/h dla krętości trasy = 53,40 /km i dla drogi o szerokości jezdni 7,0 m bez utwardzonych

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1

ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1 ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1 Andrzej Zięba Pomiary wielości fizycznych mogą być doonywane tylo ze sończoną doładnością. Powodem tego jest niedosonałość przyrządów pomiarowych i nieprecyzyjność

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

1 Równania nieliniowe

1 Równania nieliniowe 1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),

Bardziej szczegółowo

Nr 2. Laboratorium Maszyny CNC. Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej

Nr 2. Laboratorium Maszyny CNC. Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Politechnia Poznańsa Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium Maszyny CNC Nr 2 Badania symulacyjne napędów obrabiare sterowanych numerycznie Opracował: Dr inż. Wojciech Ptaszyńsi Poznań, 3 stycznia

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiązanie i jest nie gorsze od j względem k-tego kryterium. 2) Macierz części wspólnej Utwórz macierz

wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiązanie i jest nie gorsze od j względem k-tego kryterium. 2) Macierz części wspólnej Utwórz macierz Temat: Programowanie wieloryterialne. Ujęcie dysretne.. Problem programowania wieloryterialnego. Z programowaniem wieloryterialnym mamy do czynienia, gdy w problemie decyzyjnym występuje więcej niż jedno

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge Rok szkolny 2014/2015r.

Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge Rok szkolny 2014/2015r. Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge - Definicja geodezji, jej podział i zadania. - Miary stopniowe. - Miary długości. - Miary powierzchni pola. - Miary gradowe.

Bardziej szczegółowo

Kierunki racjonalizacji jednostkowego kosztu produkcji w przedsiębiorstwie górniczym

Kierunki racjonalizacji jednostkowego kosztu produkcji w przedsiębiorstwie górniczym Kieruni racjonalizacji jednostowego osztu producji w przedsiębiorstwie górniczym Roman MAGDA 1) 1) Prof dr hab inż.; AGH University of Science and Technology, Kraów, Miciewicza 30, 30-059, Poland; email:

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na

Bardziej szczegółowo

Modelowanie krzywizny i odtwarzanie kształtu geometrycznego układów torowych

Modelowanie krzywizny i odtwarzanie kształtu geometrycznego układów torowych Modeowanie rzywizny i odtwarzanie ształtu geometrycznego uładów torowych Prof. dr hab. inż. Władysław Koc, dr inż. Piotr Chrostowsi, dr inż. Katarzyna Paiowsa Poitechnia Gdańsa, Wydział Inżynierii Lądowej

Bardziej szczegółowo