WYKŁAD 15. Rozdział 8: Drgania samowzbudne

Transkrypt

1 WYKŁAD 5 Rozdział 8: Drgania samowzbudne 8.. Istota uładów i drgań samowzbudnych W tym wyładzie omówimy właściwości drgań samowzbudnych [,4], odróżniając je od poznanych wcześniej drgań swobodnych, wymuszonych i parametrycznych. Mając w pamięci lasyfiację drgań ze względu na źródło energii, podaną w Wyładzie i przywołaną przy opisie drgań parametrycznych, stwierdzamy najpierw, że drgania samowzbudne mogą powstać i utrzymywać się nawet bardzo długo w postaci ustalonych drgań oresowych, w warunach, gdy z pewnych przyczyn fizycznych położenie równowagi uładu staje się niestateczne, a bilans energii drgań powstających woół tego położenia zostaje zrównoważony. Oznacza to, że samowzbudzenie drgań wymaga istnienia stałego źródła energii, z tórego energia jest pobierana najpierw na pobudzenie, a potem na podtrzymanie drgań oresowych, mimo naturalnych oporów ruchu. Ułady samowzbudne należą do ategorii uładów autonomicznych, to jest taich, w tórych nie występują oddziaływania jawnie zależne od czasu (siły wymuszające lub oddziaływania powodujące zmienność parametrów w czasie). Do ategorii uładów autonomicznych należą również poznane wcześniej ułady wyazujące drgania swobodne tłumione. Nazywamy je uładami dysypatywnymi, a w przypadu brau tłumienia uładami zachowawczymi. 8.. Podstawowe właściwości drgań samowzbudnych Aby przybliżyć właściwości uładów samowzbudnych jeszcze przed poazaniem ich przyładów w naturze lub technice, zaczniemy od analizy ich bilansu energetycznego na przyładzie modelu uładu o jednym stopniu swobody. Równanie ruchu taiego uładu można zapisać w postaci: mx S( x) P( x, x ), (8.) gdzie S (x) jest potencjalną siłą restytucyjną, a P( x, x ) oznacza siłę oddziaływania samowzbudnego (z założenia niezależną jawnie od czasu). Doonamy analizy energetycznej uładu opisanego równaniem (8.). Pomnożymy je stronami przez prędość, otrzymując równość: 98

2 Ponieważ dv mv dt de oraz dt Zauważmy, że wielość dv mv S( x) v vp( x,. (8.) dt dep dx dep S( x) v, więc wyrażenie (8.) przyjmuje postać: dx dt dt d dt vp( x, E E vp( x,. (8.3) p jest mocą siły P( x,. Siła ta może pobudzić drgania i zapewnić ich oresowość tylo wtedy, gdy na płaszczyźnie fazowej uładu (8.) istnieją obszary, w tórych vp ( x, 0 oraz taie, w tórych vp ( x, 0. Trajetoria fazowa odpowiadająca drganiom oresowym, zwana cylem granicznym, jest zamniętą rzywą C na płaszczyźnie fazowej, wzdłuż tórej zeruje się cała (cyrulacja): C P( x, dx 0. (8.4) Oznacza to, że wzdłuż cylu granicznego bilans energetyczny uładu jest zrównoważony i w ażdym oresie drgań samowzbudnych taa sama porcja energii jest doprowadzana z pewnego stałego źródła oraz odprowadzana z uładu. Podsumujmy podstawowe właściwości drgań samowzbudnych oreślone w powyższych rozważaniach. a) Drgania samowzbudne wymagają stałego źródła energii. b) Siła oddziaływania samowzbudnego powoduje, że położenie równowagi uładu staje się niestateczne. c) Istnieją drgania oresowe, tórym na płaszczyźnie fazowej odpowiada trajetoria zamnięta nazywana cylem granicznym. d) Istnieją obszary płaszczyzny fazowej w otoczeniu cylu granicznego, na zewnątrz i we wnętrzu, w tórych wszystie inne trajetorie zbliżają się do cylu granicznego. Mówimy wtedy, że cyl graniczny przyciąga trajetorie z pewnego obszaru płaszczyzny fazowej i jest stateczny. e) Po przebyciu przez punt fazowy pełnego cylu granicznego, stan energetyczny uładu drgającego jest niezmieniony, choć podczas ruchu energia mechaniczna nie jest zachowana. f) Cyl graniczny otaczający niestateczne położenie równowagi nie może istnieć w uładzie liniowym, dlatego drgania samowzbudne w swej istocie są nieliniowe. 99

3 Uwagi. Uład samowzbudny może mieć wiele cyli granicznych zawartych jeden w drugim i otaczających położenie równowagi. Są one na przemian stateczne i niestateczne.. Może się zdarzyć, że stateczne położenie równowagi jest otoczone przez niestateczny cyl graniczny, a ten zawiera się w więszym cylu statecznym. Technicznym przyładem taiego uładu jest zegar wahadłowy, tórego uruchomienie wymaga odchylenia o ąt więszy od pewnego ąta granicznego. Mniejszy ąt początowy prowadzi do zatrzymania zegara. Istnienie statecznego cylu granicznego poażemy w sposób poglądowy na poniższym przyładzie uładu samowzbudnego opisanego równaniem Van der Pola [,4]. Przyład 8. Dla oscylatora Van der Pola o równaniu: m x xc( a x ) x 0 (a) gdzie c[ns/m³] i a[m] są stałymi dodatnimi, poazać obszary doprowadzania i odprowadzania energii na płaszczyźnie fazowej, zbadać stateczność puntu osobliwego i naszicować obraz fazowy z cylem granicznym. Z równania ruchu (a) wynia, że: P( x, c( a x ) v. (b) Doprowadzanie energii ma miejsce, gdy vp ( x, 0, co prowadzi do warunu: Na prostych oraz c( a x ) v 0 x( a, a). (c) x a nie ma wymiany energii z otoczeniem, natomiast w obszarach x a x a ma miejsce dysypacja, czyli odprowadzanie energii z uładu. Punt osobliwy uładu, dla tórego x 0 i x 0 jest jeden: x 0. Postać zlinearyzowana równania (a) woół puntu osobliwego jest następująca: Ponieważ współczynni przy x m x ca x x 0 (d) jest ujemny, punt osobliwy jest niestateczny. Może to być ogniso, jeśli ca m m, lub węzeł, jeśli ca m m. Wybrane trajetorie fazowe rozpatrywanego uładu Van der Pola poazano na poazano na Rys. 8.. Trajetorie te otrzymano metodą izolin dla następujących danych: /m=[/s²], c/m=[/m²s], a=[m]. Izolinami są rzywe przerywane oraz obie osie płaszczyzny fazowej. Literą L oznaczono 00

4 cyl graniczny trajetorię zamniętą, do tórej dążą wszystie trajetorie fazowe, niezależnie od tego w jaim puncie się zaczynają w chwili t=0. Punt osobliwy x=0 jest ognisiem niestatecznym. Rys. 8. zaczerpnięto z pracy [4]. Rys. 8.. Obraz fazowy uładu Van der Pola z Przyładu 8. [4] 8.3. Przyłady drgań samowzbudnych w technice W wielu uładach technicznych wytworzonych przez człowiea, ale taże w naturze występują źródła energii, tóre przy odpowiednich mechanizmach przenoszenia i zamiany mogą zasilać w energię ułady drgające, wywołując efet samowzbudzenia. Powszechnie znane w technice i bardzo niebezpieczne jest zjawiso flatteru srzydeł samolotu lub powłoi raiety, w tórym źródłem energii jest ruch lecącego obietu, a mechanizm transferu energii wynia z interacji odształcalnego elementu tego obietu i strumienia powietrza przy dużych prędościach opływu. Znane w budowie maszyn drgania samowzbudne wirujących wałów napędowych wyniają z tarcia wewnętrznego w materiale wału, a źródłem energii samowzbudnych drgań poprzecznych jest ruch obrotowy wału napędzanego przez silni. Wózi pojazdów szynowych mogą wyazywać boczne drgania samowzbudne wyniające z geometrii profilu oła jezdnego oraz ształtu przeroju szyny, a źródłem energii tych drgań jest ruch roboczy wóza wzdłuż toru. Drgania strun instrumentów smyczowych to też 0

5 drgania samowzbudne, w tórych energia ruchu smycza jest przeazywana strunie za pośrednictwem siły tarcia o odpowiedniej charaterystyce. Przyładów drgań samowzbudnych można podać bardzo wiele i to nie tylo w mechanice i budowie maszyn, ale też w automatyce i robotyce, eletrotechnice, w uładach biologicznych, a nawet eonomii i demografii. W dalszym ciągu wyładu przedstawimy bliżej ila przyładów wraz z ich modelami matematycznymi. Przyład 8.. Drgania ciała na ruchomej płycie pod działaniem tarcia suchego Rozpatrzmy ciało o masie m spoczywające na sztywnej płycie, tóra może się poruszać w ierunu poziomym. Ciało jest połączone z nieruchomym puntem sprężyną o sztywności w sposób poazany na Rys. 8.a. Pomiędzy ciałem i płytą istnieje tarcie suche o charaterystyce zilustrowanej na Rys. 5b. Zbadać możliwość wystąpienia drgań samowzbudnych, załadając, że płyta porusza się ze stałą prędością 0. Rys. 8.. Uład drgający z Przyładu 8.: a) schemat uładu, b) charaterystya tarcia suchego Ważną cechą modelu tarcia suchego w tym przyładzie jest to, że współczynni tarcia nie jest wielością stałą, ale jest malejącą funcją prędości poślizgu tego współczynnia poazany na Rys. 8.b jest często spotyany w pratyce. Równanie ruchu ciała na poruszającej się płycie ma postać: w x. Przebieg 0 m x xt, (8.5) gdzie T mgf (w), f ( w) ( w)sgn( w), w v 0 x, a sgn(w ) jest funcją równą dla w 0 oraz dla w 0. Stosując przyjęte oznaczenia, równanie ruchu (8.5) zapiszemy w postaci: mx x mgf ( 0 x). (8.6) Przy stałej prędości ruchu płyty ( 0 ) istnieje jedno niezerowe położenie równowagi uładu, tóre wynia z warunu x 0 oraz x 0 w równaniu (8.6): mgf ( x 0 ) 0. (8.7) 0

6 Interesuje nas stateczność położenia równowagi oraz możliwość wystąpienia drgań samowzbudnych woół tego położenia. Dlatego wprowadzimy nową zmienną przy tórej położenie równowagi jest zerowe ( x x 0 0 0), a równanie ruchu przyjmuje postać: m mg f ) f ( ). (8.8) ( 0 0 Prawa strona równania ruchu (8.4) jest funcją prędości chwilowej oraz zależy od, charaterystyi tarcia suchego f (w) i od prędości ruchu płyty 0. Oznaczając tę funcję przez P( ), doprowadzamy równanie ruchu do postaci typu (8.): m P(), (8.9) tóra umożliwia badanie obszarów doprowadzania i odprowadzania energii na płaszczyźnie fazowej. Funcję P( ) uładzie poazano na Rys będącą siłą oddziaływania samowzbudnego w rozpatrywanym Rys Siła oddziaływania samowzbudnego P ( ) w Przyładzie 8. Typ i stateczność puntu osobliwego 0 na płaszczyźnie fazowej uładu (8.8) zależy od 0 pochodnej funcji P ( ) dla 0. Ponieważ P ( 0) 0, więc równanie ruchu (8.8) zlinearyzowane w otoczeniu 0 ma postać: gdzie: m c. (8.0) dp df c ( 0) ( 0). (8.) d dw Z wyresu funcji f (w) na Rys. 8. wynia, że przy założonej charaterystyce tarcia suchego mamy c 0 dla ażdej prędości płyty 0. Zatem punt osobliwy jest niestateczny i może być ognisiem lub węzłem. Zależnie od wartości stałych m,, c, punt osobliwy to: 03

7 ogniso niestateczne, gdy c m m lub węzeł niestateczny, gdy Moc nieliniowej siły oddziaływania samowzbudnego wynosi: c m N( ) P( ). (8.) Wyres tej funcji w sposób poglądowy poazano na Rys Wynia z niego, że energia do uładu drgającego doprowadzana jest dla 0, a odprowadzana na pozostałej części płaszczyzny fazowej. Oznacza to że może istnieć cyl graniczny oresowych drgań samowzbudnych w rozpatrywanym uładzie i jest to cyl stateczny, ponieważ tacza niestateczny punt osobliwy. m. Uwaga Rys Moc siły oddziaływania samowzbudnego P ( ) w Przyładzie 8. W przypadu idealnej charaterystyi tarcia suchego (model Coulomba), w tórej siła tarcia nie zależy od prędości poślizgu, moc siły P byłaby równa zeru przy 0 oraz ujemna dla wszystich innych wartości prędości. Punt osobliwy byłby środiem (stateczny), a cyl graniczny trajetorią, do tórej dążą asymptotycznie wszystie trajetorie zaczynające się po jego zewnętrznej stronie. Oznacza to że w taim uładzie niemożliwe jest samowzbudzenie drgań oresowych z położenia równowagi. Przyład 8.3. Drgania samowzbudne olumny Zieglera Kolumną Zieglera nazywamy uład dwóch cienich sztywnych prętów połączonych i zamocowanych przegubowo, ja poazano na Rys. 8.5 oraz poddanych sile o stałej wartości i ierunu zawsze zgodnym z ieruniem pręta. 04

8 Rys Kolumna Zieglera z Przyładu 8.3 Poszuując źródła energii w olumnie Zieglera, stwierdzamy, że jest to mechanizm powodujący, że siła działająca na pręt zawsze zachowuje ierune pręta. Siłę taą nazywamy siłą śledzącą. Może to być np. siła wywierana przez śmigło lub silni odrzutowy umieszczony na ońcu pręta. Siłą śledzącą jest siła ciągu raiety w zagadnieniu stateczności jej ruchu jao ciała odształcalnego. Rozpatrywany uład ma dwa stopnie swobody. Na jego przyładzie, analizując stateczność położenia równowagi, poażemy w jaich warunach mogą powstać drgania samowzbudne olumny. Nie będziemy badać rozwiązania oresowego, zatem wystarczy ograniczyć się do małych drgań i do równań zlinearyzowanych woół położenia równowagi. Równania ruchu można otrzymać jao równania Lagrange a II rodzaju. Przyjmując współrzędne uogólnione (, ), trzymujemy energię inetyczną, energię potencjalną, i siły uogólnione w postaci: E m m l mll cos ml, 6 6 (8.3) E p, (8.4) Q Fl sin, Q 0. (8.5) Wyniające z wyrażeń (8.3)-(8.5) równania Lagrange a są następujące: m m 3 Fl sin l 0, m l mll 3 m l l cos cos m l l sin m l l sin 0. (8.6) 05

9 Przyjmijmy dla uproszczenia, że m m m, l l l, oraz. Przy tych założeniach zlinearyzowane woół położenia równowagi 0, równania (8.6) mają postać: Dla 4 ml ( Fl) ml ( Fl) 0 3 ml ml 0 3 (8.7) F 0 olumna wyazuje drgania swobodne o dwóch postaciach harmonicznych odpowiadających dwóm różnym częstościom własnym. Parametr F 0 zmienia częstości własne i może w szczególności doprowadzić do zmiany drgań swobodnych w drgania samowzbudne. Poażemy to badając częstości własne. Załadając - ja w drganiach swobodnych - rozwiązanie oresowe: a sin( t ), a sin( t ), (8.8) podstawiając je do równań (8.7) i przyrównując do 0 wyznaczni główny uładu równań na a, a, otrzymujemy dwuwadratowe równanie na : D D B C 0, gdzie; (8.9) m l, B 3ml ml F, C. (8.0) Rozwiązania oznaczające wadraty częstości własnych są następujące: B B 4CD,. (8.) D Dwie różne częstości własne istnieją jeśli B 4CD 0 i dodatowo B 0. Jest ta na pewno przy małych wartościach siły śledzącej F. Wpływ siły śledzącej na częstości własne poazano na Rys Rys Zależność obydwu częstości drgań własnych olumny Zieglera od siły śledzącej 06

10 Przy pewnej granicznej wartości siły F częstości drgań są sobie równe. Przy dalszym wzroście siły F wyróżni równa się zeru, co oznacza, że obydwie mamy 0, częstości drgań przestają istnieć, położenie równowagi staje się niestateczne. Mogą zatem powstać drgania samowzbudne. Granicą tego stanu jest więc warune a ta do równania wadratowego na F : 0, tóry prowadzi do równości: ml ml F 4 m l 0, (8.) F 5 F 0. (8.3) 36 l 8 l Wyróżni równania wadratowego jest dodatni i łatwo poazać, że ma ono dwa rzeczywiste pierwiasti dodatnie F oraz F F. Zatem drgania samowzbudne mogą istnieć tylo w przedziale siły śledzącej F F, F ). Powstaje pytanie jaie jest zachowanie olumny ( Zieglera przy dużych siłach śledzących F F. Można poazać, że w tym zaresie B 0 i obydwa rozwiązania na wadraty częstości własnych są ujemne. Oznacza to, że częstości własne jao liczby rzeczywiste nie istnieją, a obie postacie drgań esponencjalnie narastają. Tego typu niestateczność położenia równowagi nazywamy dywergencją. Uwagi. Niestateczność olumny Zieglera typu dywergencja oznacza wyboczenie olumny pod działaniem siły śledzącej i przejście do innego położenia równowagi. Tego typu niestateczność występuje też w znanym z wytrzymałości materiałów przypadu wyboczenia pręta ścisanego (zagadnienie Eulera).. Niestateczność położenia równowagi w przypadu drgań samowzbudnych nosi nazwę niestateczności typu flatter []. Tym mianem oreśla się szeroą lasę drgań powstających w wyniu samowzbudzenia, a nie tylo drgania srzydeł i poszycia samolotów. 3. Zjawiso powstawania i ciągłego rozwoju drgań samowzbudnych w wyniu zmian pewnych parametrów (np. siły śledzącej w olumnie Zieglera) nazywamy bifuracją oscylacyjną lub bifuracją Hopfa. Bifuracja powstaje wtedy, gdy pewien parametr (w olumnie Zieglera jest to siła śledząca) osiąga wartość rytyczną (w przyładzie F r F ). Teoretyczne podstawy analizy taich drgań można znaleźć w monografii []. 07

11 4. Drgania samowzbudne typu flatter wyazują szyboobrotowe smułe wały napędowe, a ich przyczyną jest tarcie wewnętrzne w materiale wału. Modelowanie i analizę tych drgań oraz atywne i pasywne metody ich reducji są opisane w siążce [3]. Pytania sprawdzające do Wyładu 5. Jaie drgania nazywamy samowzbudnymi?. Co różni drgania samowzbudne od drgań wymuszonych? 3. Jaie właściwości ma położenie równowagi w przypadu drgań samowzbudnych? 4. Na czym polega niestateczność typu flatter i czym różni się od dywergencji? 5. Co to jest bifuracja oscylacyjna? 6. Co to jest cyl graniczny drgań samowzbudnych? 7. Jai jest warune samowzbudzenia w uładzie o jednym stopniu swobody? 8. Kiedy oscylator na ruchomej płycie lub taśmie wyazuje samowzbudzenie? 08