NUMERYCZNA SYMULACJA STOPNIOWEGO USZKADZANIA SIĘ LAMINATÓW KOMPOZYTOWYCH NUMERICAL SIMULATION OF PROGRESSIVE DAMAGE IN COMPOSITE LAMINATES

Transkrypt

1 JANUSZ GERMAN, ZBIGNIEW MIKULSKI NUMERYCZNA SYMULACJA STOPNIOWEGO USZKADZANIA SIĘ LAMINATÓW KOMPOZYTOWYCH NUMERICAL SIMULATION OF PROGRESSIVE DAMAGE IN COMPOSITE LAMINATES S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W artyule przedstawiono wynii numerycznych symulacji stopniowego uszadzania się laminatów ompozytowych o różnej onfiguracji warstw. Symulacje wyonano przy pomocy własnych procedur zapisanych w programie Mathcad. W szczególności rozważono płasie elementy onstrucyjne poddane rozciąganiu i ścinaniu. Każdorazowo porównano wynii otrzymane przy wyorzystaniu różnych ryteriów wytężeniowych oraz zastosowaniu różnych sposobów degradacji sztywności. Słowa luczowe: ompozyt włónisty, analiza wytrzymałościowa, nośność, progresywna degradacja This paper presents numerical simulations of progressive damage in composite laminates with various ply stacing sequences. Plane structural elements subjected to tension and shear loading are considered. Numerical results obtained by utilizing different failure criteria and stiffness degradation methods are compared. Simulations were performed by utilizing author s code written in frame of Mathcad. Keywords: composite laminates, strength analysis, load capacity, progressive damage Dr hab. inż. Janusz German, prof. PK, mgr inż. Zbigniew Miulsi, Katedra Wytrzymałości Materiałów, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnia Kraowsa.

2 14 Oznaczenia E 1 podłużny moduł Younga E 2 poprzeczny moduł Younga G 12 moduł ścinania ν 12 więszy współczynni Poissona X T wytrzymałość na rozciąganie w ierunu włóien X C wytrzymałość na ścisanie w ierunu włóien Y T wytrzymałość na rozciąganie w ierunu poprzecznym do włóien Y C wytrzymałość na ścisanie w ierunu poprzecznym do włóien S wytrzymałość na ścinanie w płaszczyźnie głównych osi materiałowych α 1 współczynni rozszerzalności termicznej w ierunu włóien α 2 współczynni rozszerzalności termicznej w ierunu poprzecznym do włóien 1, 2, 6 elementy tensora naprężenia w notacji Voigta, odpowiednio 11, 22, 12 ε 1, ε 2, ε 6 elementy tensora odształcenia w notacji Voigta, odpowiednio ε 11, ε 22, 2ε 12 FPF obciążenie niszczące pierwszą warstwę laminatu LPF obciążenie niszczące ostatnią warstwę laminatu ULF obciążenie niszczące laminat F i, F ij elementy tensorów wytrzymałości N x, N y, N xy, M x, M y, M xy uogólnione siły wewnętrzne w powłoce 1. Wstęp Zagadnienia wytrzymałościowe w przypadu laminowanych ompozytów włónistych należy rozpatrywać na trzech poziomach obserwacji, wyniających z budowy laminatu. Najniższy poziom obserwacji to poziom mirosopowy (materiałowy), na tórym rozróżniamy sładnii tworzące ompozyt, tzn. włóna i matrycę. Ich własności wytrzymałościowe decydują bezpośrednio o cechach wytrzymałościowych warstwy ompozytowej. Kolejny poziom obserwacji to poziom warstwy rozumianej jao podstawowy sładni ompozytu warstwowego, ale jednocześnie będącej już elementem zdolnym do samodzielnego przenoszenia obciążenia. Pojawia się zatem problem oreślenia jej nośności, czyli wartości obciążenia, jaie jest ona w stanie bezpiecznie przenieść. I wreszcie najwyższy poziom analizy wytrzymałościowej to poziom laminatu jao zbioru warstw, tórych własności i sposób ułożenia decydują bezpośrednio o nośności ompozytu. Z pratycznego puntu widzenia najbardziej istotny jest ten ostatni przypade, gdyż zadaniem onstrutora jest zaprojetowanie do oreślonego celu odpowiedniego laminatu. W przypadu laminatu nie funcjonuje pojęcie wytrzymałości. Jest on bowiem onstrucją złożoną z pojedynczych warstw i ta ja w przypadu ażdej onstrucji inżyniersiej można mówić tylo o jego nośności. Pojęcie wytrzymałość ma natomiast

3 sens w przypadu pojedynczej warstwy ompozytowej, tóra jest sładniiem laminatu. Przy atualnym stanie wiedzy nie ma teorii, pozwalającej na analizę wytrzymałościową ompozytu warstwowego jao całości. Konieczne jest zejście z poziomem obserwacji do pojedynczych warstw sładowych i w oparciu o ich wytrzymałość zbudowanie algorytmu analizy wytrzymałościowej całego ompozytu. Podstawowym roiem do wyznaczenia nośności laminatu jest zatem sprawdzenie wytrzymałości ażdej warstwy z osobna i oreślenie, tóra z nich niszczy się jao pierwsza. Naprężenia i odształcenia w poszczególnych warstwach wyznacza się przy zastosowaniu lasycznej teorii laminatów. Po wyznaczeniu naprężeń działających w ażdej warstwie i przetransformowaniu ich do głównych osi materiałowych, oreśla się wytężenie warstw, przy zastosowaniu jednego z wybranych ryteriów wytężeniowych. Procedurę wyznaczania nośności laminatu przedstawiono na rys. 1 [3]. 15 Rys. 1. Algorytm analizy wytrzymałościowej warstwowego laminatu ompozytowego Fig. 1. Algorithm of strength analysis of composite laminate

4 Kryteria wytężeniowe dla warstwy ompozytowej stosowane w pracy Kryterium masymalnego naprężenia: X Y Kryterium masymalnego odształcenia: ε ε C C Lc Tc X 6 1 Y 2 S ε 6 ε ε 1 ε ε 2 γ T C T C X X Y Y S ε = ε = ε = ε = γ = Lt Lc Tt Tc LT E1 E1 E2 E2 G12 Kryterium Azzi ego-tsaia-hilla: LT T T Lt Tt X Y X S T X dla 1 > 0 X = C X dla 1 < 0 T Y dla 2 > 0 Y = C Y dla 2 < 0 Kryterium Tsaia-Wu: F + F + F + F + F + F + 2F F1 = F2 = F6 = 0 T C T C X X Y Y F = F = F = F = 0,5 F F X X Y Y S 11 T C 22 T C Kryterium Hoffmana: 2 2 C T C T X + X Y + Y 6 C T C T C T C T 1 C T X X X X Y Y X X Y Y S Kryterium energetyczne: A A X Y X Y S A = 2ν 12 E2 E E 1 2

5 17 T X dla 1 > 0 X = C X dla 1 < 0 T Y dla 2 > 0 Y = C Y dla 2 < 0 2. Wynii przeprowadzonych symulacji Numeryczne symulacje stopniowego uszadzania się laminatów przeprowadzono dla wielu onfiguracji laminatów oraz różnych sposobów ich obciążenia. W artyule zostaną przedstawione wynii wybranych symulacji. Podzielono je na ila grup w zależności od sposobu obciążenia laminatu. Obliczenia wyonano dla laminatów wyonanych z taśm prepreg włóno węglowe/eposyd o nazwie Torayca T300/Vicotex 174B, dla tórego charaterystyi sztywnościowe, wytrzymałościowe i termiczne po laminowaniu są następujące: E1 = 137 GPa E2 = GPa G12 = 4.8 GPa ν 12 = 0.3 T C T C X = 1531 MPa X = 1390 MPa Y = 41 MPa Y = 145 MPa S = 98 MPa α 1 = 3,1 10 α 2 = 3,1 10 K K Grubość pojedynczej warstwy wynosi t 0 = 0,123 mm. Temperatura laminowania wynosi 120 C, zaś temperatura esploatacji 20 C Rozciąganie laminatów Jao pierwsze zostaną przedstawione wynii symulacji dotyczących wyznaczenia nośności laminatów jednoierunowo rozciąganych. Przez nośność rozumiana jest wartość obciążenia, powyżej tórej następuje utrata możliwości przenoszenia obciążenia o zadanym ierunu. Schemat obciążenia laminatu poazano na rys. 2. Dla laminatu o onfiguracji [0/90] s obliczenia wyonano dla trzech sposobów degradacji macierzy sztywności oraz trzech ryteriów wytrzymałościowych. Otrzymane wynii zestawiono w tabeli 1. Wartość siły odpowiadającą nośności odniesiono do powierzchni przeroju poprzecznego laminatu. Rys. 2. Laminat poddany jednoosiowemu rozciąganiu Fig. 2. Laminate under uniaxial tension

6 18 Kryterium wytężeniowe Zestawienie otrzymanych wyniów dla laminatu [0/90] s [MPa] całowita eliminacja warstwy Sposób degradacji zerowanie odpowiednich elementów macierzy sztywności T a b e l a 1 reducja odpowiednich elementów macierzy sztywności [8] Azzi-Tsai-Hill 763,5 MPa 765,5 MPa 758,0 MPa Tsai-Wu 765,5 MPa 765,5 MPa 755,9 MPa Masymalne naprężenie 765,5 MPa 765,5 MPa 776,2 MPa Aby wyazać, że omawiane metody degradacji mogą dawać wynii znacznie różniące się od siebie, do analizy wybrano laminat o bardziej złożonej onfiguracji [0 2 /±15/±30/±45/±60/±75/90 2 ] s. Jao ryterium wytrzymałościowe dla warstwy przyjęto ryterium Azzi ego-tsaia-hilla. Wynii obliczeń zestawiono w tabeli 2. Przedstawione wynii wyazują duże podobieństwo pomiędzy metodą zerowania i reducji odpowiednich elementów macierzy sztywności. Masymalne różnice w prognozowaniu zniszczenia poszczególnych warstw sięgają tutaj o. 3%. Więsze różnice dostrzec można między metodą całowitej eliminacji warstwy a dwoma pozostałymi. Chociaż obciążenie niszczące laminat jest prognozowane przez wszystie trzy metody na zbliżonym poziomie ( MPa), to jedna bardzo duże różnice występują przy obciążeniach niszczących poszczególne warstwy. Dla warstw ±45 obciążenie niszczące prognozowane przez metodę całowitej eliminacji warstwy jest o o. 85% wyższe niż w przypadu pozostałych metod. Co więcej, obciążenie niszczące warstwy ±45 wyznaczone według metody całowitej eliminacji warstwy jest już blisie nośności laminatu, a wyznaczone w następnym rou obciążenie niszczące warstwy ±30 jest jednocześnie obciążeniem niszczącym laminat. Natomiast w przypadu pozostałych metod obciążenie niszczące warstwy ±45 stanowi dopiero o. 50% nośności laminatu, a całowite zniszczenie laminatu jest poprzedzone sucesywnym uszadzaniem się warstw ±30, ±15 i 0. Można zatem mówić o dużej różnicy wyniów analizy zniszczenia wyznaczanych przy użyciu omawianych metod. Uszodzenie Zestawienie wyniów T a b e l a 2 Obciążenie [MPa] Metoda degradacji eliminacja zerowanie reducja pierwsza warstwa warstwy ± warstwy ± warstwy ± warstwy ± warstwy ± warstwa FPF / LPF 4,04 4,13 4,25

7 2.2. Ścinanie laminatów Kolejno zostaną przedstawione wynii symulacji dotyczących wyznaczenia nośności laminatów poddanych ścinaniu. Rozważono różne onfiguracje laminatów. Przyjęto ryterium wytrzymałościowe Azzi ego-tsaia-hilla oraz metodę degradacji polegającą na obniżaniu współczynniów sztywności (Liu i Tsai [8]). Schemat obciążenia laminatu przedstawiono na rys Rys. 3. Laminat poddany ścinaniu Fig. 3. Laminate under shear forces W pierwszej olejności przeanalizowano laminat [0/90] s. Obciążenie niszczące pierwszą warstwę wynosi 72,5 MPa, zaś rozład naprężeń warstwowych wywołuje jednaowe wytężenie we wszystich warstwach, co oznacza jednoczesne spełnienie ryterium wytrzymałościowego. Na podstawie analizy stanu naprężenia lub ryterium identyfiacji według Craddoca [2] można stwierdzić, że uszodzenie następuje w wyniu ścinania i pęania osnowy. 1 2 X > = Y = 1, 2, 3, X 0 > = 0 6 S gdzie: indes oznaczający numer warstwy w laminacie. Ze względu na uszodzenie we wszystich warstwach matrycy, nie może nastąpić redystrybucja obciążeń na inne warstwy, więc nie jest możliwe przeprowadzenie analizy po uszodzeniu. Jest to zatem obciążenie niszczące cały laminat, ULF = 72,5 MPa. Następnie przeanalizowano laminat o onfiguracji [30/ 30] s. Wyznaczone dla niego naprężenie niszczące pierwszą warstwę wynosi 249,7 MPa. Rozład naprężeń w przeroju nie jest jednaowy we wszystich warstwach, a przedstawia się następująco: 1 = 2 = 6 = 1 515,7 1 19,0 1 16, ,7 2 36,0 2 26, ,7 3 36,0 3 26, ,7 4 19,0 4 16,6

8 20 Uszodzeniu ulega warstwa 30. Kryteria identyfiacji sposobu uszodzenia [2] dla warstw = 2, 3 X > = Y 0 1 X > = S 1 oreślają, że za uszodzenie warstw odpowiedzialne jest zniszczenie osnowy. Po uatualnieniu sztywności laminatu, otrzymujemy następujący rozład naprężeń w warstwach 1 = 2 = 6 = 1 560,4 1 22,1 1 14, ,6 2 5,3 2 4, ,6 3 5,3 3 4, ,4 4 22,1 4 14,3 Przy taim stanie naprężenia pozostałe warstwy nie ulegają jeszcze uszodzeniu, więc laminat może przenieść zwięszone obciążenie. Obciążenie niszczące laminat wynosi 552,5 MPa, a naprężenia mu towarzyszące mają wartości: 1 = 2 = 6 = ,9 1 59,2 1 37, ,8 2 10,0 2 9, ,8 3 10,0 3 9, ,9 4 59,2 4 37,6 Uszodzeniu ulegają warstwy 30, a identyfiacja mechanizmu zniszczenia 1 2 = 1, 4 X > = Y 1 1 X > = S 1 pozwala stwierdzić, że warstwy niszczą się poprzez uszodzenie włóien. Naprężenie niszczące cały laminat ULF = 552,5 MPa. Taie samo rozwiązanie otrzymano dla laminatu [60/ 60] s. Kolejno rozważono laminat [45/ 45]s, dla tórego naprężenie uszadzające pierwszą warstwę wynosi 245,5 MPa. Naprężenia warstwowe wynoszą: 1 = 2 = 6 = 1 452,8 1 10,7 1 6, ,4 2 38,3 2 1, ,4 3 38,3 3 1, ,8 4 10,7 4 8,

9 Widzimy, że dla taiej onfiguracji laminatu naprężenia styczne są równe 0, co powoduje, że wytrzymałość warstwy na ścinanie nie ma wpływu na wytrzymałość laminatu na ścinanie. Uszodzeniu ulega warstwa 45, a mechanizm zniszczenia na podstawie poniższych nierówności: 1 2 = 2, 3 X > = Y 0 1 X > = S 1 związany jest z pęaniem osnowy. Po uwzględnieniu degradacji sztywności uszodzonych warstw otrzymujemy następujący stan naprężenia w warstwach 1 = 2 = 6 = 1 485,0 1 9,4 1 2, ,7 2 6,1 2 9, ,7 3 6,1 3 9, ,0 4 9, tóry nie powoduje uszodzenia pozostałych warstw. Dalsza analiza prowadzi do obciążenia, przy tórym zniszczeniu ulegają włóna warstwy 45, a spowodowane jest to różnicą wytrzymałości na rozciąganie i ścisanie wzdłuż włóien. Obciążenie to jest równe 682 MPa. Naprężenia przedstawiają się następująco: 1 = 2 = 6 = ,2 1 51,3 1 3, ,9 2 13,0 2 2, ,9 3 13,0 3 2, ,2 4 51,3 4 3, Przy ta prowadzonej analizie warstwa 45 pozostała nadal nieuszodzona, jedna laminat uległ zniszczeniu, ULF = 682 MPa. Warto zaznaczyć, że można ta dobrać onfigurację laminatu, przy tórej jego nośność na ścinanie nie będzie zależeć (lub będzie zależeć w niewielim stopniu) od wytrzymałości warstwy na ścinanie Nośność ruri poddanej ciśnieniu wewnętrznemu Rozważono również elementy obciążone wieloierunowo. W przedstawionym w artyule przypadu poszuiwano nośności ruri obciążonej ciśnieniem wewnętrznym, wyonanej z ompozytu grafit/eposyd, przy różnych onfiguracjach laminatu oraz przy zastosowaniu różnych ryteriów wytrzymałościowych dla warstwy. Jao ryterium nośności przyjęto uszodzenie pierwszej warstwy. Promień ruri wynosi R = 4 cm, grubość pojedynczej warstwy t = 0.15 mm. Charaterystyi sztywnościowe, wytrzymałościowe i termiczne ompozytu są następujące:

10 22 E1 = 88,53 GPa E2 = 6,72 GPa G12 = 4,03 GPa ν 12 = 0, 28 T C T C X = 1560 MPa X = 1760 MPa Y = 35,75 MPa Y = 178,0 MPa S = 61,72 MPa α 1 = 3,1 10 α 2 = 3,1 10 K K Schemat ruri oraz przyłożonego obciążenia przedstawiono na rys. 4. Rys. 4. Schemat ruri obciążonej ciśnieniem wewnętrznym Fig. 4. Vessel under internal pressure Temperatura laminowania wynosi 120 C, zaś temperatura esploatacji 20 C. Analizę przeprowadzono z wyorzystaniem sześciu ryteriów wytrzymałościowych: masymalnego naprężenia, masymalnego odształcenia, Azzi ego-tsaia-hilla, Tsaia-Wu, Hoffmana oraz ryterium energetycznego [4]. Do wyznaczenia rozładu sił wewnętrznych użyto lasycznych wzorów teorii powło: p R N x =, N y = p R, N xy = 0, M x = 0, M y = 0, M xy = 0 2 gdzie: N x siła osiowa, N y siła obwodowa, p ciśnienie wewnętrzne. Wynii obliczeń wyonanych według algorytmów autorów umieszczono w tabeli 3. Rozważono laminaty sześcio- i ośmiowarstwowe. Zauważyć można, że ryterium masymalnego odształcenia oraz ryterium energetyczne prognozują więsze wartości obciążenia niszczącego. Widzimy również, że ryterium masymalnego naprężenia, tóre nie uwzględnia interacji naprężeń 1 i 2, daje wartości porównywalne do ryteriów uwzględniających interację. W ażdym przypadu ryterium Hoffmana szacuje najniższą wartość uszodzenia pierwszej warstwy. Najwięszą wartość obciążenia niszczącego pierwszą warstwę dla laminatów sześciowarstwowych uzysano dla onfiguracji [90/45/-45] s, natomiast dla laminatów ośmiowarstwowych optymalną onfiguracją jest [54/ 54/54/ 54] s. Uład odniesienia przyjęto w ten sposób, że oś 0 wyznaczana jest ieruniem południowym, a druga oś ieruniem równoleżniowym. Kąty odmierzane są zgodnie z ogólnie przyjętą zasadą od osi 0.

11 Konfiguracja laminatu Ciśnienie niszczące pierwszą warstwę w rozważanych onfiguracjach laminatu mas. naprężenia Ciśnienie niszczące pierwszą warstwę (FPF) [MPa] mas. odształcenia Kryterium wytrzymałościowe 23 T a b e l a 3 Azzi-Tsai-Hill Tsai-Wu Hoffman energetyczne [90/0/90] s 2,88 3,44 2,86 2,98 2,81 3,50 [54/ 54/54] s 4,58 5,49 4,35 4,39 4,17 5,26 [90/45/ 45] s 4,78 6,12 4,62 4,79 4,44 6,12 [0/60/ 60] s 2,75 2,88 2,75 2,78 2,73 2,89 [90/150/30] s 3,27 3,75 3,13 3,14 3,02 3,61 [90/45/ 45/0] s 3,44 3,50 3,44 3,45 3,43 3,51 [90/70/ 70/0] s 4,16 5,01 4,14 4,31 4,06 5,10 [90/65/ 65/0] s 4,17 4,87 4,16 4,30 4,09 4,94 [90/60/ 60/0] s 4,11 4,63 4,11 4,22 4,06 4,68 [90 2 /35/ 35] s 5,45 6,79 5,30 5,49 5,13 6,81 [90 2 /40/ 40] s 5,75 7,33 5,62 5,87 5,44 7,45 [90 2 /45/ 45] s 5,19 6,17 5,14 5,34 5,04 6,27 [52/ 52/52/ 52] s 8,61 12,46 7,36 7,21 6,73 10,13 [54/ 54/54/ 54] s 7,98 11,07 7,41 7,58 6,98 10,53 [56/ 56/56/ 56] s 7,03 9,23 6,83 7,14 6,58 9,37 Warto zwrócić uwagę na różnice pomiędzy dwoma laminatami quasi-izotropowymi, [0/60/ 60] s oraz [90/150/30] s. Pomimo iż macierz sztywności tarczowej jest taa sama w obydwu przypadach (jest to własność laminatów quasi-izotropowych), to jedna naprężenia w poszczególnych warstwach są różne, co powoduje uszodzenie pierwszej warstwy przy innym ciśnieniu. Powodem tego jest onfiguracja laminatu w przyjętym uładzie współrzędnych oraz wpływ temperatury. Rezultaty obliczeń przy ustalonym ciśnieniu (2 MPa) przedstawiono poniżej. Przy pominięciu różnicy temperatur esploatacji i laminacji dla obu onfiguracji otrzymano taie same odształcenia powierzchni środowej: Odształcenia powierzchni środowej ( T = 0) [0 / 60 / 60] s [90 /150 / 30] s 4 4 ε 5, , ε , ε = ε 2 = 2, ε6 0 ε6 0

12 24 jedna różne są naprężenia warstwowe: [0/60/ 60] s T = 0 1 = 2 = 6 = 1 50,1 1 15, ,6 2 9,6 2 5, ,6 3 9,6 3 5, ,6 4 9,6 4 5, ,6 5 9,6 5 5,7 6 50,1 6 15, [90/150/30] s T = 0 1 = 2 = 6 = 1 193,4 1 7, ,9 2 13,6 2 5,7 3 85,9 3 13,6 3 5,7 4 85,9 4 13,6 4 5,7 5 85,9 5 13,6 5 5, ,4 6 7, W przypadu uwzględnienia wpływu temperatury wyznaczone odształcenia powierzchni środowej są już różne, nawet jaościowo, i wynoszą: Odształcenia powierzchni środowej ( T 0) [0 / 60 / 60] s [90 /150 / 30] s 4 4 ε 1, , ε , ε = ε 2 = 1, ε6 0 ε6 0 a naprężenia w tym przypadu przedstawiają się następująco: [0/60/ 60] s T 0 1 = 2 = 6 = 1 26, ,7 2 23,1 2 1, ,7 3 23,1 3 1, ,7 4 23,1 4 1, ,7 5 23,1 5 1,2 6 26,

13 [90/150/30] s T 0 1 = 2 = 6 = 1 169, ,1 2 27,1 2 10,3 3 77,1 3 27,1 3 10,3 4 77,1 4 27,1 4 10,3 5 77,1 5 27,1 5 10, , Zatem w przypadu laminatów quasi-izotropowych, pomimo ich marosopowych własności sprężystych ja dla ciała izotropowego, stan naprężenia w warstwach zależy od orientacji laminatu w globalnym uładzie współrzędnych. 3. Wniosi W artyule przedstawiono wynii numerycznych symulacji stopniowego uszadzania się laminatów ompozytowych o różnej onfiguracji warstw. Poazano różnice wystęstępujące przy stosowaniu różnych ryteriów wytrzymałościowych oraz trzech wybranych sposobów degradacji sztywności. Pomimo że przy stosowaniu użytych w pracy metod degradacji obciążenie niszczące laminat prognozowane jest na zbliżonym poziomie, to jedna różnice występujące przy obciążeniach niszczących poszczególne warstwy mogą sięgać iludziesięciu procent. Przedstawiono ponadto różnice w zachowaniu się laminatów quasi-izotropowych w zależności od ich orientacji względem ierunów obciążenia, biorąc pod uwagę również wpływy termiczne. L i t e r a t u r a [1] C h a n g R.R., Experimental and theoretical analyses of first-ply failure of laminated composite pressure vessels, Composites Structures, 2000, Vol. 49, [2] C r a d d o c J.N., Behavior of composite laminates after First-Ply-Failure, Composites Structures, 1985, Vol. 3, [3] G e r m a n J., Podstawy mechanii ompozytów włónistych, Wydawnictwo Politechnii Kraowsiej, Kraów [4] H e b d a M., Zastosowanie energetycznego ryterium wytężeniowego do analizy wytrzymałościowej ompozytów włónistych, praca dotorsa, Politechnia Kraowsa, [5] H o f f m a n O., The Brittle Strength on Orthotropic Materials, Journal of Composites Materials, April 1967, [6] J o n e s R.M., Mechanics of Composite Materials, Taylor & Francis, Inc., Philadelphia [7] K a m T.Y., L i u Y.W., L e e F.T., First-ply failure strength of laminated composite pressure vessels, Composite Structures, 1997, Vol. 38, No. 1 4,

14 26 [8] L i u K., T s a i S.W., A progressive quadratic failure criterion for a laminate, Composites Science and Technology, 1998, Vol. 58, [9] M u c A., Projetowanie ompozytowych zbiorniów ciśnieniowych, Wydawnictwo Politechnii Kraowsiej, Kraów [10] T s a i S.W., W u E.M., A General Theory of Strength for Anisotropic Materials, Journal of Composites Materials, January 1971,