Sygnały stochastyczne

Transkrypt

1 Sygnały stochastyczne

2 Zmienne losowe E zbiór zdarzeń elementarnych (zbiór możliwych wyniów esperymentu) e E zdarzenie elementarne (wyni esperymentu) B zbiór wybranych podzbiorów zbioru E β B zdarzenie losowe Pr funcja odwzorowująca zbiór B na domnięty przedział [, ] [ ] Pr : B, Jeżeli eli odwzorowanie to spełnia asjomaty: B { } { β} Pr β Pr E = ( B E ) { } { } { } β, β B oraz β β = Pr β β = Pr β + Pr β { } i j i j i j i j to Pr β, β B nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia β Uporządowaną tróję (E, B, Pr) nazywa się przestrzenią probabilistyczną

3 Jeżeli zbiórejest zbiorem liczbowym ( E R), lub elementom tego zbioru można w sposób wzajemnie jednoznaczny przyporządować liczby rzeczywiste, to w zbiorze E oreślona jest zmienna losowa rzeczywista. Definicja. Zmienną losową rzeczywistą, oreśloną w przestrzeni probabilistycznej (E, B, Pr) nazywamy funcję ( e), taą, że : E R R { e : ( e) } < B, (zbiór zdarzeń elementarnych, taich, że e < jest zdarzeniem, czyli elementem zbioru B) ( ) Pr ± = Zmienne losowe Realizacje zmiennych losowych η ζ y z

4 Definicja. zmienna losowa rzeczywista w przestrzeni probabilistycznej (E, B, Pr), E R przyjmująca wartości w zbiorze Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy funcję F [ ] : R, taą, że = Pr { < } F Własności: lim F =, lim F = > F F (dystrybuanta jest funcją niemalejącą)

5 Zmienne losowe dysretne Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych E jest zbiorem sończonym lub przeliczalnym to E = { e }, =,,..., M lub N ( E ) { },,,..., lub = = M N Każdemu zdarzeniu elementarnemu można przyporządować prawdopodobieństwo Pr { } =Pr{ } p = e = Zbiór { p } nazywa się rozładem dysretnej zmiennej losowej p = Dystrybuantą zmiennej losowej dysretnej jest funcja schodowa (przedziałami stała)

6 Przyład E B = E Rzut ostą do gry: = { e, e, e, e, e, e } e e oczo ocza Zdarzenia elementarne Zmienna losowa itd. p = P { = } =, =,...,6 6 e e = = = = itd. F P

7 Zmienne losowe ciągłe E nieprzeliczalny zbiór zdarzeń elementarnych ( E ) nieprzeliczalny zbiór realizacji zmiennej losowej ( E ) R Najczęściej ( E ) [ a, b], ( E ) [, ), ( E ) (, ) Dystrybuanta jest funcją ciągłą, różniczowalną prawie wszędzie Definicja 3. { < + } = F ( + ) F Pr Funcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej nazywa się funcję ( E ) f : R f lim ( + ) d F F F = d

8 f = df d d = F f λ λ Własności: E f (bo F jest funcją niemalejącą) f d = ( bo F = ) F F ( ) ( ) F f { < } = F ( ) F ( ) Pr{ } Pr < = f d

9 Parametry zmiennych losowych zmienna losowa ciągła, przyjmująca wartości ( E ) f funcja gęstości prawdopodobieństwa Definicja Momentem zwyłym rzędu r zmiennej losowej nazywa się liczbę = d r r f d Momentem centralnym rzędu r zmiennej losowej nazywa się liczbę r r ( ) = ( ) d f gdzie jest momentem zwyłym rzędu pierwszego

10 zmienna losowa dysretna, przyjmująca wartości p ( E ) { },,,..., = = M = Pr{ = } prawdopodobieństwo zdarzenia Definicja Momentem zwyłym rzędu r zmiennej losowej nazywa się liczbę r M = = p r Momentem centralnym rzędu r zmiennej losowej nazywa się liczbę r M ( ) = ( ) p = gdzie jest momentem zwyłym rzędu pierwszego r

11 moment zwyły rzędu pierwszego nazywa się wartością oczeiwaną zmiennej losowej ( nadzieja matematyczna ) Często oznacza się = E[ ] moment zwyły rzędu drugiego nazywa się wartością średniowadratową zmiennej losowej = E ( ) moment centralny rzędu drugiego nazywa się wariancją zmiennej losowej Najczęściej oznacza się = σ σ ( ) = odchylenie standardowe zmiennej losowej

12 Interpretacja fizyczna ɶ = ɶ = E ɶ = zmienna losowa scentrowana sładowa stała zmiennej losowej ɶ sładowa zmienna zmiennej losowej = + ɶ = E moc oczeiwana zmiennej losowej = E oczeiwana wartość suteczna zmiennej losowej σ = ɶ moc oczeiwana sładowej zmiennej = + σ [ ] σ = E E

13 Dwuwymiarowe zmienne losowe Rozważmy przestrzenie probabilistyczne (E,B, Pr ) i (E,B, Pr ) i zmienne losowe i η, oreślone na zbiorach zdarzeń elementarnych tych przestrzeni (może być E =E i B =B ) Utwórzmy łączną przestrzeń probabilistyczną (E, B, Pr), taą, że E = E E B B = B Związi probabilistyczne między zmiennymi losowymi i η można opisać za pomocą łącznej funcji gęstości prawdopodobieństwa f ( gdzie i y η, y ), są realizacjami zmiennych losowych i η. Jeżeli zmienne losowe i η są zmiennymi dysretnymi, o sończonej liczbie realizacji, odpowiednio M i N, to wprowadza się pojęcie zbioru prawdopodobieństw Pr, y : =,..., M, l =,..., N { η l } łącznych M N = l = f, y ddy = η { y } Pr, = η l

14 Momenty łączne i η zmienne losowe o realizacjach i y Definicja Momenty łączne zmiennych losowych i η = r s r s η y f, y ddy Momenty centralne zmiennych losowych i η η gdzie r s r s ( ) ( ) = ( ) ( ) η η η y η f, y ddy = η, η = η r s r s r= r= s= s= Rzędem momentu nazywa się liczbę (r + s)

15 Momenty rzędu : r s r s r= r= η s= s= η η = σ η η = σ η współczynni orelacji zmiennych losowych i η ( )( η η ) cov (, η) = współczynni owariancji zmiennych losowych i η Własności: a = a, a R + η = + η uśrednianie jest operacją liniową =, ση = η η σ cov (, η) = η η

16 Definicja Zmienne losowe i η nazywa się niezależnymi jeżeli dla ażdej pary ( E ) i ( ) (, ) y η η η E zachodzi: f y = f f y zmienne losowe ciągłe ( y ) = ( ) ( y ) Pr, Pr Pr η l η l =,..., M, l =,..., N zmienne losowe dysretne Własności: Jeżeli i η są zmiennymi losowymi niezależnymi oraz ζ = + η, to σ = σ + σ ζ η Jeżeli i η są zmiennymi losowymi niezależnymi, to η = η (współczynni orelacji jest równy iloczynowi wartości oczeiwanych) Ponieważ cov, η = η η, więc jeżeli i η są zmiennymi losowymi niezależnymi, to cov (, η ) =

17 Procesy stochastyczne Niech (E,B, Pr) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś T pewnym podzbiorem liczb rzeczywistych T R Definicja Procesem stochastycznym nazywamy funcję : E T R taą, że dla ażdego ustalonego t funcja jest zmienną T : t E R losową oreśloną na zbiorze zdarzeń elementarnych E przestrzeni probabilistycznej (E,B, Pr) Zbiór T najczęściej utożsamia się ze zbiorem puntów na osi czasu. Może to być czas ciągły lub czas dysretny, czylit = t najczęściej t = nt. t T { } Proces stochastyczny, jao model losowego sygnału fizycznego, nazywa się sygnałem stochastycznym (z czasem ciągłym lub czasem dysretnym) n n

18 Będziemy oznaczać: ( t), η( t), ζ ( t ) sygnały stochastyczne z czasem ciągłym [ ] i odpowiednio [ ], [ ] nt = n η n ζ n sygnały stochastyczne z czasem dysretnym Realizacje procesów (sygnałów) stochastycznych oznacza się ( t), y( t), z( t) i odpowiednio [ n], y[ n], z[ n] Dla ustalonego t = t ( n = n ) i [ ] t n zmienne losowe mogą być ciągłe lub dysretne Sygnały stochastyczne można slasyfiować jao: ciągłe z czasem ciągłym, ciągłe z czasem dysretnym, dysretne z czasem ciągłym, dysretne z czasem dysretnym

19 .5 Ciągły z czasem ciągłym.5 Ciągły z czasem dysretnym.5 t.5 n Dysretny z czasem ciągłym Dysretny z czasem dysretnym t.5 n

20 .5 t.5 ( t).5.5 ( t) ( t ) t 5 t 5 3 t t t t t zmienna losowa o realizacjach : t, t, t, t, 3 4 Funcja gęstości prawdopodobieństwa Podobnie 3 4 ( ; ) f t ( ) : f ; t ( ( 3) ) : f ; t 3 3 ( ( 4) ) : f ; t 4 4 Procesy i można scharateryzować dwuwymiarową funcją gęstości prawdopodobieństwa l l ( ( ) ( l), ;, ) f t t l

21 Ogólnie proces stochastyczny można opisać wielowymiarową funcją gęstości prawdopodobieństwa Opis tai jest mało użyteczny n ( ( n),,, ; ),,, n f t t t Jeżeli zmienne losowe mają sończone wartości średniowadratowe = t dla ażdego t T można procesy stochastyczne scharateryzować pewnymi parametrami, podobnie ja zmienne losowe Definicja. Wartością oczeiwaną sygnału stochastycznego t nazywa się deterministyczną funcję czasu E[ ] t = t f ; t d = wartość oczeiwana zmiennej losowej

22 Definicja. Wartością średniowadratową sygnału stochastycznego t nazywa się deterministyczną funcję czasu Definicja 3. t f ; t d = Wariancją sygnału stochastycznego t nazywa się deterministyczną funcję czasu = σ t t f ; t d ( t) σ = t

23 Rozważmy dwie zmienne losowe = t i t, t, t T Związi probabilistyczne między tymi zmiennymi opisuję łączna dwuwymiarowa funcja gęstości prawdopodobieństwa (, ; ), f t t na podstawie tórej można wyznaczyć momenty łączne zmiennych losowych i Definicja 4. Funcją autoorelacji procesu stochastycznego t nazywamy funcję dwóch zmiennych t i Definicja 5. zmiennych t i t, = =, ;, d d R t t t t f t t Funcją autoowariancji procesu stochastycznego t nazywamy funcję dwóch t (, ) = = (, ) C t t t t t t R t t t t

24 Procesy stochastyczne ciągłe z czasem dysretnym [ ] n.5 3 n zmienna losowa o realizacjach [ ] [ ] [ ] [ ] : n, n, n, n, [ n.5 ] [.5 ] n [ n] n n n3 n n n Funcja gęstości prawdopodobieństwa Podobnie 3 4 ( ; ) f n ( ) : f ; n ( ( 3) ) : f ; n 3 3 ( ( 4) ) : f ; n 4 4 Wielowymiarowa łączna funcja gęstości prawdopodobieństwa ( ( ),,, ; ),,, f n n n

25 Analogicznie ja dla procesów z czasem ciągłym definiuje się: n f ; n d Wartość oczeiwana: [ ] E[ ] n = = wartość oczeiwana zmiennej losowej n f ; n d Wartość średniowadratowa: [ ] = Wariancja: [ ] = [ ] Funcja autoorelacji: [ ] [ ] [ ] σ n n n f ; n d, = =, ;, d d R n n n n f n n Funcja autoowariancji: [, ] = [ ] [ ] [ ] [ ] = [, ] [ ] [ ] C n n n n n n R n n n n

26 Sygnały stacjonarne Rozważmy proces stochastyczny, opisany n-wymiarową funcją gęstości prawdopodobieństwa Definicja. ( ( n) ) f,,, ; t, t,, tn, t, t,, tn T n Sygnał stochastyczny t nazywamy sygnałem stacjonarnym rzędu n jeżeli dla ażdego ciągu t, t,, t n T i dla ażdego ε zachodzi ( ( n) ) ( n) n f,,, ; t, t,, t = f,,, ; t + ε, t + ε,, t + ε n n Dla n = ( ; ) ( ; ) f t = f t + ε nie zależy od t (jest tylo funcją ) Dla n = ( ) f, ; t, t = f, ; τ, τ = t t n

27 Definicja. Sygnał stochastyczny t nazywamy sygnałem stacjonarnym w szerszym sensie (słabo stacjonarnym) jeżeli t = = const R t, t = R τ, τ = t t W onsewencji: = = = σ = t σ t const const C t, t = C τ, τ = t t

28 Funcje autoorelacji i autoowariancji: = ( ) = ( + ) R τ t t τ t τ t C τ = t t τ = t + τ t Własności: R = ( τ ) = ( τ ) C τ = R τ R τ R C τ C R C ( ) = ( ) = σ ( ) R τ R ( ) C τ C

29 Definicja 3. Sygnały stochastyczne t i η t nazywa się łącznie stacjonarnymi jeżeli są one sygnałami stacjonarnymi, a ich funcja orelacji wzajemnej jest funcją jednej zmiennej τ = t t, czyli Własności: η (, ) = = ( ) = ( + ) R t t R τ t η t τ t τ η t η η η C t, t = C τ, τ = t t η η η η η R τ = R τ C τ = C τ C τ = R τ η η

30 Sygnały losowe z czasem dysretnym Definicja [ ] Sygnał stochastyczny n nazywamy sygnałem stacjonarnym w szerszym sensie jeżeli [ ] const [ ] [ ] n = = R n, n = R m, m = n n W onsewencji: [ ] = = [ ] = σ = [ ] [ ] n σ n const const C n, n = C m, m = n n

31 Sygnały transmisji cyfrowej Sygnały o postaci: = [ ] ( ) t a n g t nt a[ n ] g ( t ) n= ciąg o długości T, przenoszący informację ono ształtujące widmo Załóżmy stacjonarność ciągów informacyjnych { [ ]} a [ ] [ ] E a n = m, E{ a n a n + } = R [ ] a Jeżeli E { } a ( ) m t = t = m g t nt ( τ ) ( τ ) R t + T, t + + T = R t, t +, Z n= to proces ( t ) nazywa się cylostacjonarnym

32 ( t ) Sygnały ergodyczne Sygnały stochastyczne z czasem ciągłym proces stacjonarny o sończonej wartości oczeiwanej ( t ) wybrana realizacja procesu losowego ( t ) m t t T T T = lim d wartość średnia ( t) T ψ τ t t τ t T T T = lim ( ) d funcja autoorelacji ( t) T Sygnały stochastyczne z czasem dysretnym [ n ] proces stacjonarny o sończonej wartości oczeiwanej [ n ] wybrana realizacja procesu losowego [ n] m = lim N N [ ] wartość średnia [ n] + N = N N ψ m m N [ ] = lim [ ] [ ] funcja autoorelacji N [ n] + = N

33 Definicja. Sygnał stochastyczny z czasem ciągłym nazywa się ergodycznym, jeżeli równości m = ψ ( τ ) = R ( τ ) zachodzą z prawdopodobieństwem równym, tzn. zachodzą dla prawie wszystich realizacji procesu stochastycznego ( t ) Definicja. Sygnał stochastyczny z czasem dysretnym nazywa się ergodycznym, jeżeli równości m = ψ [ m] = R [ m] zachodzą z prawdopodobieństwem równym, tzn. zachodzą dla prawie wszystich realizacji procesu stochastycznego [ n] O własnościach probabilistycznych ergodycznego sygnału losowego można wniosować na podstawie jednej jego realizacji, obserwowanej w dostatecznie długim przedziale czasu. W pratyce ergodyczność załada się a priori, tzn. przyjmuje się, że prawdopodobieństwo napotania sygnału nieergodycznego jest równe.

34 Estymatory parametrów i funcji Przy esperymentalnym wyznaczaniu parametrów statystycznych sygnału losowego nie dysponujemy wszystimi realizacjami ani też jedną realizacją z niesończenie długim zapisem sygnału. Parametry sygnału szacujemy, czyli estymujemy na podstawie sończonej liczby próbe jednej realizacji tego sygnału. Wyorzystuje się więc założenie o ergodyczności procesu, a więc również załada się jego stacjonarność. Funcja (algorytm), według tórej jest przeprowadzana estymacja, nazywa się estymatorem, natomiast wyni działania estymatora, czyli uzysane oszacowanie estymatą danego parametru. Przyład [ n ] m realizacja dysretnego procesu stochastycznego = lim N N + [ n] wartość średnia N n= N mˆ + N = [ n] estymator wartości średniej N n= W zależności od wyboru N i otrzymamy różniące się wartości estymat.

35 Ze względu na sończoną długość sygnału (ciągu) estymata jest zmienną losową Oznaczmy: b wybrany parametr statystyczny ( wartość średnia, wariancja itp. ) bˆ estymata tego parametru Estymata jest realizacją pewnej zmiennej losowej ˆβ. Przeprowadzając wielorotnie estymację danego parametru otrzymamy zbiór realizacji zmiennej losowej, dla tórego można wyznaczyć parametry statystyczne, taie ja wartość średnia, wariancja czy rozład gęstości prawdopodobieństwa f b ˆ wartość średnia, wariancja czy rozład gęstości prawdopodobieństwa ˆ Do oceny jaości estymacji (błędu estymacji) często wyorzystuje się ryterium błędu średniowadratowego ε = b b ˆ β + ˆ β = b b ˆ β + ˆ β ε ( b β ) = ˆ ˆ ˆ ˆ b bβ β β ˆ = + + β = b ˆ β + ˆ β ˆ β β

36 b ε = ˆ β + ˆ β ˆ β b ˆ β = B ( β ) ˆ obciążenie estymatora β β = σ ˆ ˆ ˆ wariancja estymatora β ( ˆ ) ε = B β + σ ˆ β Estymator nazywa się nieobciążonym, gdy B ( ˆ β ) =. W przeciwnym wypadu estymator nazywa się obciążonym (przy obliczaniu estymaty pojawia się błąd systematyczny) Estymator nazywa się zgodnym, gdy ze wzrostem N błąd ε w sensie statystycznym, tzn. gdy lim Pr N { ˆ } b b > δ = dla dowolnego δ

37 Przyłady f ˆ β ( bˆ ) Estymator obciążony B ˆb βˆβ b f ˆ β ( bˆ ) Estymator Estymator ˆb Estymatory nieobciążone Estymator ma mniejszą wariancję, a więc mniejszy błąd średniowadratowy (estymaty są bardziej supione w otoczeniu wartości średniej) ˆ β = b

38 Estymator wartości średniej m N = lim n N N n= [ ] Po pominięciu przejścia granicznego (losowym wybraniu sończonego fragmentu ciągu o długości N próbe) mˆ mˆ = N N + N n = [ ] n jest zmienną losową o wartości oczeiwanej N + N + N + mˆ = [ n] = [ n] = m = m N N N n= n= n= Estymator jest estymatorem nieobciążonym

39 Estymator funcji gęstości prawdopodobieństwa histogram Pr{ < + } prawdopodobieństwo, że realizacja zmiennej losowej przyjmuje wartości z przedziału (, + ) f lim Pr { < + } funcja gęstości prawdopodobieństwa Dysponujemy N próbami realizacji zmiennej losowej Estymatą funcji gęstości prawdopodobieństwa jest histogram, czyli funcja schodowa otrzymana następująco:. Obserwowany zares zmienności zmiennej [n] dzielimy na przedziały o szeroości,. Zliczamy liczby próbe występujących w poszczególnych przedziałach N Wówczas: fˆ ˆPr { } < + = N N ˆPr{ < + } N = = N

40 Przyład [ n ] ciąg N liczb losowych z przedziału (, ) o rozładzie równomiernym N =, =, N =, =,.5 ˆf ˆf N =, =, 5 N =, =, 5 ˆf ˆf

41 [ ] n ciąg N liczb losowych o rozładzie normalnym, m =, σ = N =, =,5 N =, =, ˆf ˆf N =, =, N =, =,.6 ˆf.4 ˆf

42 Stosuje się estymatory: Estymatory funcji autoorelacji N m ˆ [ ] ˆ R m = R [ m] = [ n] [ n + m], m =,, N N m n= n= N ˆ [ ] ˆ R m = R [ m] = [ n] [ n + m], m =,, N N Trzeba znać wartości próbe dla n N + m N m N m N m ˆ R m n n m n n m R m R m [ ] = [ ] [ + ] = [ ] [ + ] = [ ] = [ ] N m n= N m n= N m n= Inny estymator: Estymatory są nieobciążone N m ˆ [ ] ˆ R m = R [ m] = [ n] [ n + m], m =,, N N n= Estymator obciążony, ale o mniejszej wariancji

43 Estymatory widmowej gęstości mocy [ n ] N-elementowy fragment realizacja stacjonarnego procesu losowego N N jω ( e ) = F { [ ]} = [ ] X n n S N n= jω ( Ω ) = lim X ( e ) N jω ( e ) N ( Ω ) F [ ] N e periodogram jω n j = { } = [ ] e S R m R m X N [ ] m= widmowa gęstość mocy (uśrednianie po zbiorze realizacji) Ω m R m funcja autoorelacji procesu [n]

44 Naturalne estymatory: periodogram ˆ S X N N jω ( Ω ) = ( e ) Tai estymator charateryzuje się dużą wariancją, tóra nie zania do zera przy wydłużaniu segmentu danych, czyli nie jest estymatorem zgodnym. Wylucza to w pratyce możliwości jego zastosowania. transformata Fouriera estymatora funcji autoorelacji N { } [ ] Sˆ ( Ω ) = F Rˆ [ m] = Rˆ m e [ m] ( N ) m= jω m gdzie jest estymatorem funcji autoorelacji R ˆ Wariancja taiego estymatora nie maleje do zera przy wzroście długości segmentu danych N, a więc estymator nie jest zgodny.

45 W pratyce opracowano wiele różnych metod estymacji widma gęstości mocy. Można je podzielić na dwie grupy: metody nieparametryczne, w tórych nie doonuje się żadnych założeń dotyczących sygnału, metody parametryczne, w tórych załada się oreślony model sygnału, a następnie doonuje się estymacji parametrów modelu Metody nieparametryczne Metoda Cooleya [ ] [ ], Oblicza się periodogram ciągu n w n czyli N Sˆ ( Ω ) F [ n] w [ n], gdzie E w n E = { N } w = N [ ] w N Jao w N [n] przyjmuje się funcje ona taie ja przy projetowaniu filtrów FIR. Reduuje to wariancję estymatora. Metoda jest efetywna obliczeniowo i w związu z czym często stosowana. n=

46 Metoda Welcha ( i. Analizowany ciąg o długości N dzieli się na L podciągów ) [ n] o długości M. Podciągi te mogą na siebie zachodzić lub nie, czyli i =,, L, n =,, M, L M N. Oblicza się periodogram ażdego z podciągów ˆ S X e n e M i i jω ( i ) jω n = M = [ ] M M n= ( Ω ) 3. Uśrednia się wyznaczone periodogramy Sˆ ( Ω ) L = Sˆ L i= ˆ i ( i ) ( Ω ) Przy obliczaniu S Ω można zastosować metodę Cooleya, tzn. przyjąć M M i i n = M w = M Ew n= n= Sˆ n w n e, gdzie E w n M ( Ω ) [ ] jω [ ] [ ] [ ] w n jest dowolnym onem o długości M

47 Metoda Blacmana-Tueya Jest to modyfiacja estymatora zdefiniowanego jao wyni transformacji Fouriera estymatora funcji autoorelacji. Poddaje się transformacji Fouriera iloczyn estymatora funcji autoorelacji i funcji wagowej w m czyli N Sˆ ( Ω ) = F { w [ ] ˆ [ ]} [ ] ˆ N m R m = w N m R [ m] e ( N ) m= N [ ] jω m Jao funcję wagową przyjmuje się ona stosowane przy projetowaniu filtrów FIR (Blacmana, Hamminga, Kaisera i in.) o długości nieparzystej i z zerem pośrodu [ ] [ ] czyli w m = w m, N m N N N Metoda rzado stosowana ze względu na małą efetywność algorytmów obliczeniowych

48 Metody parametryczne Gdy ciąg N próbe ma niewielą długość, to metody nieparametryczne, oparte na przeształceniu Fouriera, charateryzują się niewielą rozdzielczością. W metodach tych załada się, że wartości próbe poza obserwowanym onem są albo zerowe albo stanowią oresowe przedłużenie obserwowanego ciągu. Obliczone estymaty są estymatami nie tylo N obserwowanych próbe, ale również tych nieznanych, spoza przedziału obserwacji, co, w przypadu małych N, może prowadzić do znaczącego znieształcenia otrzymanych wyniów. Alternatywnymi metodami estymacji są metody parametryczne, w tórych załada się, że analizowany sygnał jest reacją (sygnałem wyjściowym) pewnego filtru o transmitancji operatorowej H ( z), na pobudzenie białym szumem o stałej widmowej gęstości mocy, czyli = H ( z) P( z) X z Z [ ] { } Z{ [ ]} gdzie X z = n, P( z) = p n [ ] jest białym szumem o wartości średniej = i wariancji (mocy średniej) p n m σ p p

49 z Ω = e, P e = σ p j Ω j jω jω ( e ) = ( Ω ) = σ p ( e ) X S H W celu wyznaczenia widmowej gęstości mocy należy więc wybrać model filtru i jego parametry. Algorytm postępowania będzie więc następujący: wybór odpowiedniego modelu i rzędu filtru; estymacja współczynniów (parametrów) filtru na podstawie danych, czyli ciągu [ n], n =,, N ; wyznaczenie widmowej gęstości mocy, zgodnie z powyższym wzorem. Często stosowanym modelem filtru jest filtr IIR o transmitancji p rząd filtru, q p H z B z = = A z q = p = b z a z

50 H z B z = = A z + q = p = b z a z Współczynnii filtru a i b wyznacza się na podstawie znanego ciągu [ n], n =,, N. W więszości metod wymagane jest p < N. Przedstawiony model jest w literaturze nazywany modelem ARMA (autoregressive moving average autoregresyjny z ruchomą średnią) Model tai jest stosowany w metodach Yule a-walera, Prony ego i Kumaresana-Prony ego Problemem jest ustalenie rzędu filtru p, a w przypadu dużych jego wartości problemy z numerycznym wyznaczeniem współczynniów filtru.

51 Prostszą wersją modelu ARMA jest model AR (autoregressive). Powstanie on po przyjęciu q =. Wówczas B(z) = z p i funcja transmitancji ma na płaszczyźnie z p-rotne zero w początu uładu współrzędnych. H z = p + = a z Model tai jest wyorzystywany w metodach Yule a-walera, Burga i metodach owariancyjnych. Metody te różnią się sposobem wyznaczania (estymacji) współczynniów filtru. Ostatecznie S jω ( Ω ) σ p H ( e ) = = p + = σ p a e jω