Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Transkrypt

1 Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Eletrotechnii, Informatyi i Teleomuniacji Uniwersytet Zielonogórsi Eletrotechnia stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera Informatya stacjonarne-dzienne drugiego stopnia z tyt. magistra inżyniera Aprosymacja Laboratorium, prowadzący: mgr inż. Błażej Cichy Ro aademici 2010/ Nieco teorii 1.1 Definicje norm Istnieje wiele definicji norm dla błędów. Oto trzy najszerzej stosowane: Błąd masymalny: E (f = max 1 N { f(x y } (1 Błąd średni: E 1 (f = 1 N Błąd średniowadratowy: E 2 (f = 1 N N f(x y (2 N f(x y 2 (3 1.2 Wielomian aprosymacyjny stopnia pierwszego Gdy mamy n węzłów szuamy funcji liniowej o następującej postaci: y = ax + b (4 Współczynnii a i b można wyznaczyć rozwiązując następujący uład dwóch równań (tzw. uład normalny: ( ( a + x b = x y x 2 ( x a + nb = 1.3 Aprosymacja wielomianem dowolnego stopnia Uogólniony wzór na uład normalny z tórego można wyznaczyć współczynnii wielomianu aprosymacyjnego dowolnego stopnia dla zbioru (x j, y j o n elementach prezentuje y (5 1

2 Aprosymacja 2 się następująco: ( m i=0 a i x i+ j = y j x j, = 0, 1, 2,..., m (6 1.4 Aprosymacja wielomianem tygonometrycznym Poniższe zależności są oreślone dla parzystej liczby węzłów. Wielomian interpolacyjny rzędu m dla n węzłów jest dany następującym wzorem: T m (x = a m (a j cos(jx + b j sin(jx (7 j=1 Współczynnii a j oraz b j (zwane taże współczynniami Fouriera wyznaczamy według następujących wzorów: a j = 2 n b j = 2 n f(x cos(jx, j = 0, 1, 2,..., m f(x sin(jx, j = 1, 2,..., m 1.5 Ortogonalny wielomian aprosymacyjny wielomiany Grama Wielomiany tego typu oferują najlepszy w sensie aprosymacji średniwadratowej wielomian przybliżający daną funcję. Wielomian aprosymacyjny dla m równo odległych węzłów ma następującą postać: P m (x = m =0 Oznaczenie ˆF oreśla wielomiany Grama: ˆF ( n (q = ( ( 1 s s s=0 c (n ˆF s ( + s s ( x x0 h q(q 1... (q s + 1 n(n 1... (n n + 1 Działają one na n+1 węzłach a zmienna przyjmuje następujące wartości: = 0, 1, 2,..., m Współczynnii s i c oreślamy następująco: c = i=0 y i ˆF (n (x i, s = [ 1.6 Aprosymacja wielomianem Chebyszewa q=0 (8 (9 (10 ˆF (n (q] 2 (11 Wielomian aprosymujący Czebyszewa stopnia n na przedziale 1, 1 jest oreślony jao następująca suma: P N (x = c j T j (x (12

3 Aprosymacja 3 Oznaczeniu T j (x oznacza odpowiedni wielomian Chebyszewa (definicja znajduje się w wyładzie dot. interpolacji. Współczynnii c j są oreślone w następujący sposób dla wyznaczenia wartości c 0 orzystamy z poniżej relacji : c 0 = 1 n + 1 f(x (13 Pozostałe wartości współczynniów wyznaczamy w następujący sposób: c j = 2 n + 1 =0 ( j(2 + 1 f(x cos 2n + 2 =0 j = 1, 2, 3,..., n (14 Naturalnie aprosymacji doonuje się na ściśle oreślonych węzłach wyznaczanych według wzoru: ( (2 + 1 x = cos ( Dopasowanie funcji y = Ax M Podobnie ja w poprzednim przypadu dysponujemy zbiorem N par {x i, y i }. Dla rzywej aprosymacyjnej w postaci: y = Ax M (16 Dla arbitralnie wybranej wartości M współczynni A wyznaczamy według następującego wzoru: N A = xm y (17 N x2m 1.8 Dopasowanie funcji y = Ce Ax Dopasowanie danych do następującej funcji wyładniczej: y = Ce Ax (18 Wymaga pewnym elementarnych przeształceń. W pierwszej olejności należy z logarytmować obydwie strony: ln(y = Ax + ln(c Po wprowadzenie dodatowych oznaczeń: Y = ln(y, X = x, B = ln(c. Otrzymamy liniową relację pomiędzy zmiennymi X i Y : Y = AX + B (19 Współczynnii A, B wyznaczamy za pomocą uładu (??. Natomiast współczynni C obliczamy następująco: C = e B.

4 Aprosymacja 4 2 Zadania 1. Wyznaczyć wielomian aprosymacyjny pierwszego stopnia (funcja liniowa dla następujących danych: x i y i Narysować powyższe punty oraz wyres wielomianu aprosymacyjnego. Wyznaczyć błędy dla otrzymanej funcji. 2. Znaleźć wielomian aprosymujący stopnia drugiego dla następujących danych: x i y i Doonać interpolacji wielomianem trygonometrycznym następujące dane: x i y i Dla jaiego rzędu n = 1, 2, 3, 4 otrzymamy najlepsze przybliżenie. 4. Wyznaczyć wielomian aprosymacyjny stopnia drugiego dla następujących danych: x i y i Następnie wyznaczyć ortogonalny wielomian aprosymacyjny stopnia drugiego z wyorzystaniem wielomianów Grama. Porównać obydwa otrzymane wielomiany. 5. W tabeli zostały zebrane dane z pewnego esperymentu: Czas w [s] Odlego w [m] Oazuje się, że dane z tabeli są opisane za pomocą następującej relacji: d = 1 2 gt2, gdzie d jest odległością w metrach a t to czas mierzony w seundach. Wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemsiego g. 6. Wyznaczyć rzywą typu e x dla następujących danych. x i y i Wyznaczyć wielomian aprosymujący stopnia co najwyżej drugiego dla następującej funcji f(x = sin(x na przedziale 0, /2. 8. Znaleźć postać wielomianu Czebyszewa dla funcji e x na przedziale 1, 1. Zastosować cztery węzły.

5 Aprosymacja 5 Literatura [1] Bjärc Ae i Dahlquist Germund. Metody numeryczne. PWN, Warszawa, [2] Jerzy Brzóza i Lech Dorobczyńsi. Programowanie w MATLAB. Warszawa, Wydanie I, [3] Zenon Fortuna, Bohdan Macuow i Janusz Wąsowsi. Metody numeryczne. WNT, Warszawa, [4] Jerzy Klama i in. Metody numeryczne. Politechnia Śląsa, Gliwice, [5] David Kincaid i Ward Cheney. Analiza numeryczna. WNT, Warszawa, [6] Anna Kamińsa i Beata Pańczy. Matlab. Ćwiczenia z..., Przyłady i zadania. Warszawa, Wydanie I, [7] Wanat Kazimierz. Algorytmy numeryczne. Helion, Gliwice, [8] Bogumiła Mroze i Zbigniew Mroze. MATLAB i Simulin. Poradni użytownia. Wydanie II, [9] Jurij Povsteno. Wprowadzenie do metod numerycznych. Aademica Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, Wydanie drugie poprawione i uzupełnione, [10] Rudra Pratap. MATLAB 7 dla nauowców i inżynierów. PWN, [11] Wiesława Regel. Wyresy i obiety graficzne w MATLAB. Warszawa, Wydanie I, [12] Marcin Stachursi. Metody numeryczne w programie Matlab. Warszawa, Wydanie I, 2003.