MODELE EKONOMICZNE Z DYNAMIKĄ CHAOTYCZNĄ

Monika Miśkiewicz-Nawrocka MODELE EONOMICZNE Z DYNAMIĄ CHAOTYCZNĄ Wprowadzenie Od czasu pojawienia się w lieraurze pojęcia deerminisycznego chaosu można znaleźć wiele przykładów układów dynamicznych (zarówno z czasem ciągłym, jak i z czasem dyskrenym) o chaoycznej dynamice. Są wśród nich układy z różnych dziedzin nauki: maemayczne, fizyczne, chemiczne, biologiczne, medyczne, a akże ekonomiczne. Do opisu zjawisk ekonomicznych od połowy XX wieku sosuje się nieliniowe modele deerminisyczne. Podejście akie zaproponowali M. alecki, J. Tinberger i N. aldor, kórzy do opisu cykli koniunkuralnych [7, s. 26-273] wykorzysali modele deerminisyczne. Jednak ich modele nie opisywały zby dobrze złożonej dynamiki zjawisk ekonomicznych [7, s. 3]. W 975 roku R. May i J.R. Beddingon [3, s. 35, za: 8] zasygnalizowali możliwość zasosowania eorii chaosu w ekonomii. Od ego czasu zbudowano wiele nowych modeli ekonomicznych z dynamiką chaoyczną oraz zidenyfikowano chaos w wielu już isniejących. Nieliniowe układy chaoyczne wzbudziły ak duże zaineresowanie wśród ekonomisów, ponieważ pozwalają generować szeregi o bardzo skomplikowanej dynamice. W arykule zosaną zaprezenowane wybrane modele ekonomiczne o chaoycznej dynamice.. Chaos deerminisyczny Począki eorii chaosu sięgają końca XIX wieku i są związane z pracami francuskiego maemayka Henri Poincaré. Poincaré, badając zachowanie się pojedynczych rajekorii rzech ciał niebieskich, odkrył isnienie bardzo złożonych srukur rajekorii chaoycznych [9, s. ]. Do prekursorów eorii deerminisycznego chaosu można również zaliczyć: P. Faou, G.M. Julia (począek XX wieku) [8, s. 6], G. Birkhoffa (laa dwudziese XX wieku), M.L. Carwigha i J.E. Lilewooda (laa czerdziese), S. Smale a, A.N. ołmogorowa i jego

Modele ekonomiczne z dynamiką chaoyczną 57 współpracowników (laa sześćdziesiąe) [9, s. ]. Prowadzone przez nich badania wykazały nieznane wcześniej własności dynamiki nieliniowej oraz bardzo skomplikowaną i nieregularną dynamikę prosych nieliniowych układów dynamicznych [8, s. 6]. Wśród wielu badaczy różnych dyscyplin naukowych eorię chaosu najbardziej rozpowszechniło odkrycie Edwarda Lorenza w laach siedemdziesiąych *. Lorenz odkrył podsawową cechę nieliniowych układów chaoycznych wrażliwość układu na zmianę warunków począkowych. Rozgłos eorii chaosu i jej zasosowaniom do modelowania układów dynamicznych dodakowo nadała praca M.J. Feigenbauma, kóry jako pierwszy wykorzysał kompuery do badania słabo rozumianej w laach 7. nieliniowej dynamiki [5, s. 32, 286]. Termin chaos deerminisyczny zosał wprowadzony w 975 roku przez T.Y. Li i J.A. Yorke a, jednak w lieraurze można znaleźć wiele definicji chaosu w deerminisycznych układach dynamicznych. Definicje e nie zawsze są równoważne (jednoznaczne), ponieważ wywodzą się z różnych dyscyplin maemaycznych, j. eoria równań różniczkowych i różnicowych, jakościowa eoria układów dynamicznych czy eoria ergodyczna [23, s. 82]. Pomimo wielości definicji deerminisycznego chaosu spoykanych w lieraurze, badacze (naukowcy) są zgodni, że prawidłowa definicja chaosu powinna dobrze oddawać naurę dynamiki chaoycznej, czyli zakładać isnienie dynamiki nieokresowej w badanym układzie deerminisycznym, wrażliwość na zmianę warunków począkowych oraz isnienie pewnego isonego mechanizmu deerminisycznego odpowiedzialnego za rekurencyjne zachowanie się układu [6, s. 34]. Powszechnie sosowana definicja chaosu odwołuje się do wierdzenia T.Y. Li i J.A. Yorke a o chaosie [23, s. 86]. Twierdzenie podaje sosunkowo ławy do sprawdzenia warunek wysarczający isnienia dynamiki chaoycznej w układach dynamicznych o znanej funkcji generującej f. Najbardziej znanymi przykładami odwzorowań chaoycznych w sensie Li, Yorke a są odwzorowanie logisyczne i odwzorowanie rójkąne. Niekóre z powsałych modeli ekonomicznych zosały skonsruowane ak, aby spełniały założenia i warunki wierdzenia Li, Yorke a [23, s. 88-89]. Przykładem jes neoklasyczny model wzrosu Daya [5, s. 46- -44]. Ponado powsały również modele generowane przez chaoyczne odwzorowania maemayczne, w szczególności przez funkcję logisyczną. Przykładami są model wzrosu Havelmo-Suzera [22, s. 253-276; 23, s. 92-97; 9, s. 22] oraz chaoyczny model popyu konsumpcyjnego Benhabiba i Daya [, s. 3- -8; 2, s. 37-55; 23, s. 99-2]. Podsawowym arybuem dynamiki chaoycznej jes wrażliwość układu na zmianę warunków począkowych. Definicja odwołująca się do pojęcia wrażli- * Lorenz rozpoczął swoje prace w 96 roku, ale społeczność naukowa doceniła je dopiero w laach 7. ubiegłego wieku.

58 Monika Miśkiewicz-Nawrocka wości zosała sformułowana przez R.L. Devaneya [6, za: 23, s. 88] w 987 roku. Według ej definicji układ dynamiczny ( X, f ) jes układem chaoycznym w zbiorze X, jeśli odwzorowanie f jes wrażliwe na zmianę warunków począkowych i opologicznie ranzyywne oraz zbiór punków okresowych odwzorowania f jes gęsy w zbiorze X. Miarą wspomnianej wrażliwości układu na zmianę warunków począkowych są wykładniki Lapunowa, kóre mierzą średnie empo rozchodzenia się w przesrzeni sanów rajekorii począkowo bliskich sobie punków. Im większa warość dodaniego największego wykładnika Lapunowa, ym większa wrażliwość układu na zmianę warunków począkowych, a akże większy poziom chaosu. Isnienie w układzie więcej niż jednego dodaniego wykładnika określa się mianem hiperchaosu [2, s. 24]. Niekórzy auorzy uznają isnienie dodaniego największego wykładnika Lapunowa za warunek konieczny i wysarczający isnienia chaosu w układzie [9, s. 3-33]. Trajekorie ypowego układu chaoycznego worzą w przesrzeni sanów bardzo złożoną srukurę, zw. dziwny arakor, kóra nie wypełnia jej w sposób przypadkowy. Pojęcie dziwnego arakora również jes sosowane do definiowania chaosu układ jes chaoyczny, gdy ma dziwny arakor [, s. 88]. W prakyce do idenyfikacji chaosu w procesach rzeczywisych wielu auorów posługuje się definicją mówiącą, że układ dynamiczny jes chaoyczny, gdy jes wrażliwy na zmianę warunków począkowych [23, s. 6; 2, za: 8, s. 9]. Zaleą ej definicji jes możliwość zweryfikowania jej za pomocą największego wykładnika Lapunowa oraz wymiaru korelacyjnego. Naomias jej wadą jes fak, że odnosi się ylko do układów dyssypaywnych. W przypadku układów konserwaywnych do badania regularności dynamiki wykorzysuje się pojęcie enropii ołomogorowa. Według ej definicji układ dynamiczny jes chaoyczny, gdy ma dodanią, skończoną enropię [8, s. 9]. Nieskończona enropia oznacza, że układ jes losowy, naomias enropia równa oznacza, że układ jes deerminisyczny. 2. Przykłady chaoycznych układów dynamicznych 2.. Model aldora [7, s. 264-265; 8, s. 38-4] Jednym z najwcześniejszych nieliniowych modeli ekonomicznych jes opublikowany przez N. aldora [, s. 78-92] w 94 roku model cyklu koniunkuralnego. aldor rozwinął i zmodyfikował model zaprezenowany przez M. aleckiego w pracy Próba eorii koniunkury w 933 roku *. Model aldora układu dynamicznego z czasem ciągłym ma posać: * alecki przedsawił swoje dzieło języku niemieckim na III Europejskiej onferencji Towarzyswa Ekonomerycznego w Leyden w 933 roku, a w 935 roku Próba eorii koniunkury zosała opublikowana w języku angielskim i francuskim [7, s. 262].

Modele ekonomiczne z dynamiką chaoyczną 59 ( I( Y, ) S( Y )) Y & = α,, () ( Y ) δ & = I,, (2) gdzie: Y = Y () wielkość produkcji, = () warość kapiału zaangażowanego w produkcję, I = I() poziom inwesycji, S = S() poziom oszczędności, δ > współczynnik spadku kapiału, α paramer. W swoim modelu aldor przyjął nasępujące założenia: oraz isnieje aki poziom produkcji Y, że: oraz: I >, I <, S <, S >, (3) Y < Y I > dla Y < Y, (4) YY I < dla Y > Y, (5) YY gdzie dolne indeksy oznaczają pochodne odpowiadające i-emu argumenowi. Przedsawiony model generuje zachowania cykliczne na podsawie zmiennych endogenicznych. Przyjmując Y & = ΔY +, & = Δ +, orzymujemy dyskreną wersję modelu aldora: Δ Y + =, ( I ( Y ) S ( Y )) α, (6) Δ + = I, ( Y ) δ. (7) Ponieważ Δ Y + = Y + Y, Δ + = +, więc: ( I ( Y ) S ( Y )) Y Y + = α, +, (8) ( Y, ) + ( δ ) = I. (9) + W powyższym modelu funkcja oszczędności I może mieć posać:

6 Monika Miśkiewicz-Nawrocka I = c 2 2 ( dy + ε ) + ey + a f g, () gdzie a, c, d, e, f, g, ε są paramerami. Funkcja () spełnia założenia aldora (3). Dla małych warości parameru a rajekorie układu aldora zmierzają do punku sałego, dla większych warości a do cyklu, naomias dla a przekraczającego pewną warość kryyczną do dziwnego arakora [8, s. 39]. Na rysunku przedsawiono dziwny arakor modelu aldora dla warości paramerów: a =, 2, c = 2, d =,, e =, 5, f = 28, g = 4, 5, s =,2, α = 2, δ =, 5, ε =, oraz dla sanu począkowego 65,265. ( Y ) ( ) w przesrzeniach ( Y, ), ( Y ), ( ), =, Y +, + Rys.. Dziwny arakor w modelu aldora w przesrzeniach ( Y, ), ( Y, Y + ), (, + )

Modele ekonomiczne z dynamiką chaoyczną 6 2.2. Model CARAL [3, s. 45-7, za: 4, s. 53-56] Model CARAL (Consan Absolue Risk Aversion z funkcją produkcji Leoniewa) należy do szerokiej klasy modeli nakładających się pokoleń OLG. Rozważmy gospodarkę złożoną z dwóch pokoleń: ludzi młodych i ludzi sarszych. Członkowie każdego pokolenia żyją i konsumują w dwóch okresach swojego życia (młodość i sarość), ale pracują ylko w pierwszym z nich, kiedy są młodzi. Niech c oraz c + oznaczają poziomy konsumpcji w obu okresach, naomias l poziom pracy w okresie. Głównym problemem młodego pokolenia na począku okresu jes wybranie poziomów konsumpcji c i c + oraz poziomu pracy l, ak aby maksymalizować ogólną użyeczność przy pewnych ograniczeniach budżeowych. Oznaczmy przez u ( c ) oraz 2 ( c + ) konsumpcji odpowiednio w pierwszym i drugim okresie. Niech ( ) u funkcje użyeczności dla poziomu v oznacza użyeczność pracy (poziom niezadowolenia z każdej wykonanej jednoski pracy). Załóżmy, że powyższe funkcje użyeczności wyrażają się nasępującymi wzorami: u c ( c ) = re u, r >, () + α, < α <, (2) α ( c ) c 2 = v =, γ >. (3) γ ( l ) l γ Pierwsze wyrażenie opisuje funkcję użyeczności o sałej bezwzględnej awersji do ryzyka, naomias dwa pozosałe o sałej względnej awersji do ryzyka. Rozwiązując wyżej posawiony problem opymalizacyjny, dynamika poziomu konsumpcji wyraża się wzorem * : c γ c α ( l rc e ) =. (4) + Powyższe równanie opisuje opymalną ewolucję poziomu konsumpcji pochodzącą z międzyokresowych wyborów konsumena pomiędzy konsumpcją a czasem wolnym. Wprowadzając do modelu liniową funkcję produkcji Leoniewa, dynamika pracy jes dana wzorem: l * Szczegółowe rozwiązanie zob. [4].

62 Monika Miśkiewicz-Nawrocka l = b ( l c ) +. (5) Powyższe równania opisują ewolucję układu dynamicznego, gdzie paramer γ > oznacza elasyczność użyeczności pracy, < α < jes elasycznością użyeczności przyszłej konsumpcji, b jes współczynnikiem produkywności, naomias r oznacza sromość wykładniczej funkcji użyeczności. Medio i Negroni [4] pokazali, że układ CARAL (4)-(5) ma punk równowagi, kóry może zosać zaburzony poprzez zmianę warości paramerów modelu. W szczególności, przy odpowiedniej zmianie paramerów, zachowanie dynamiki modelu pokazuje bardzo bogay scenariusz, pojawiają się zachowania okresowe, nieokresowe, a nawe chaoyczne. Dla warości paramerów γ =, 2, α =, 49, r = 3 oraz b =, 57 dynamika układu (4)-(5) jes chaoyczna. Przy rajekorie punków zmierzają do ograniczonego zbioru, worząc chaoyczny arakor. Chaoyczny arakor układu CARAL dla powyższych zaprezenowano na rysunku 2. Rys. 2. Chaoyczny arakor układu CARAL (4)-(5) dla sanu począkowego c =,3, l, 3 2.3. Model rynku pracy [8, s. 47-483] = Rozważmy pewną gospodarkę z wyróżnionym przedsiębiorswem oraz wyróżnionym robonikiem-konsumenem. Funkcja produkcji przedsiębiorswa jes funkcją Cobba-Douglasa. Zakładając, że kapiał ma sałą warość unormowaną do, funkcja produkcji wyraża się wzorem: a Y = DL, < a <, D >, (6) gdzie D jes paramerem odzwierciedlającym sały posęp echnologiczny.

Modele ekonomiczne z dynamiką chaoyczną 63 Niech π oraz ω oznaczają odpowiednio całkowiy zysk przedsiębiorswa oraz sawkę płac. Załóżmy, że cena jednoski wyworzonego owaru p jes równa jeden. Wówczas funkcja zysku ma posać: π = DL a ωl. (7) Rozwiązując zadanie maksymalizacji zysku (4.9), orzymujemy funkcję popyu na pracę daną wzorem: L D = f ( ) a ω ω =. (8) ad Robonik-konsumen maksymalizuje swoją użyeczność wyrażoną za pomocą funkcji CES: u [ ] b b b ( C, L) = C + ( N L), (,) b, (9) gdzie N > jes maksymalną wielkością podaży siły roboczej, a C > poziomem konsumpcji konsumena. Załóżmy, że N =. Rozwiązując zadanie maksymalizacji funkcji użyeczności (9), przy ograniczeniu budżeowym C = ωl, orzymujemy opymalną funkcję podaży siły roboczej: Niech z( ) L S = f 2 ω =. (2) ( ) + ω ω = L S oznacza nadwyżkowy popy na pracę, gdzie L i S są bieżącą warością popyu i podaży pracy. Płaca jes uporządkowana w sposób ciągły przez bieżący nadwyżkowy popy na pracę zgodnie z nasępującą regułą: gdzie l jes sałą. Osaecznie model ma posać: b b ( ) = l( L S ) ω& = lz ω, l >, (2) a D ω L& = g( L L) = g L = g( f ( ) L) ad ω, g >, (22)

64 Monika Miśkiewicz-Nawrocka S& S = d( L S ) = d S = d( f ( ) S ) b 2 ω, d >, (23) b + ω ( L S ) ω& = l, l >. (24) L. Fani i P. Manfredi przeprowadzili numeryczne symulacje pokazujące, jak zmieniają się porrey fazowe powyższego modelu dla różnych warości parameru g, przyjmując D =, a =, 5, b =, d = 4, l = 4. Symulacje były przeprowa- * * * dzone w ooczeniu punku równowagi = ( L, S, ω ) = (.832,.832,.82) E. Warunkiem począkowym był punk E = (.825,.835,.8). Okazało się, że dla warości g >. 68 punk E jes lokalnie asympoycznie sabilny, w szczególności dla.68 < g <. 3 E jes sabilnym ogniskiem, a nasępnie saje się sabilnym węzłem. Dla,84 < g <. 68 rajekorie punków położonych wysarczająco blisko punku E począkowo oddalają się od siebie, a nasępnie są zbieżne do sabilnego cyklu granicznego. W przypadku gdy.82 < g <.84, cykl wykazuje małe oscylacje dla popyu i podaży. Naomias gdy.62 < g <. 82, rajekorie punków wędrują w sposób nieregularny, losowy w ograniczonym obszarze na płaszczyźnie ( L, S ). Przy rajekorie punków zmierzają do ograniczonego zbioru, worząc chaoyczny arakor. Dla.53 < g <. 62 auorzy orzymali quasi-okresowy arakor, a dla g <,53 globalną niesabilność..8.5.6.7.4.6.8.2.75.5.25 Rys. 3. Chaoyczne rajekorie układu (22)-(24) na płaszczyźnie ( S, L) dla g =,8. Warunek począkowy L =, 825, S =, 835, ω =, 8 Źródło: Opracowanie własne na podsawie: [8, s. 476].

Modele ekonomiczne z dynamiką chaoyczną 65 Podsumowanie Pomimo iż pojęcie deerminisycznego chaosu pojawiło się w lieraurze blisko 3 la emu, ciągle brak jes jednej jednoznacznej definicji. Najbardziej odpowiednią, oddającą naurę dynamiki chaoycznej, wydaje się być definicja podana na międzynarodowej konferencji na ema chaosu, zorganizowanej przez Royal Saisical Sociey w 986 roku, gdzie chaos zdefiniowano jako sochasyczne zachowanie wysępujące w układzie deerminisycznym [2, za: 8, s. 6]. Jednak definicja a jes nieformalna. Zasygnalizowana przez R. Maya i J.R. Beddingona możliwość zasosowania eorii chaosu w ekonomii spowodowała powsanie wielu nowych modeli ekonomicznych z dynamiką chaoyczną lub odkrycie chaosu w już isniejących modelach ekonomicznych. W arykule dokonano przeglądu definicji deerminisycznego chaosu oraz zademonsrowano chaoyczną dynamikę wybranych ekonomicznych modeli dynamicznych. Zdaniem auorki waro byłoby podjąć badania nad ulepszeniem i uzupełnieniem lisy modeli procesów ekonomicznych z dynamiką chaoyczną. Lieraura. Benhabib J., Day R.: Erraic Accumulaion. Economics Leers 98, Vol. 6, s. 3-8. 2. Benhabib J., Day R.: A Characerizaion of Erraic Dynamics in he Overlapping Generaion Model. Journal of Economic Dynamics and Conrol 982, Vol. 4, s. 37-55. 3. Benhabib J., Laroque G.: On Compeiive Cycles in Producive Economy. Journal of Economic Theory 988, Vol. 45, s. 45-7. 4. Bordignon S., Lisi F.: Predicive Accuracy for Chaoic Economic Models. Economics Leers 2, 7, s. 5-58. 5. Day R.: Irregular Growh Cycles. American Economic Review 982, Vol. 72, s. 46-44. 6. Devaney R.L.: An Inroducion o Chaoic Dynamical Sysems. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Redwood Ciy 987. 7. Drabik E.: Dynamiczne nieliniowe modele ekonomeryczne: model cykli koniunkuralnych aleckiego-aldora oraz model wzrosu. W: Rynek kapiałowy. Skueczne inwesowanie. Red. W. Tarczyński. Szczecin 22, s. 26-273. 8. Fani L., Manfredi P.: Neoclassical Labour Marke Dynamics, Chaos and he Real Wage Philips Curve. Journal of Economic Behavior & Organizaion 27, Vol. 62, s. 47-483. 9. Frank M., Sengos T.:Chaoic Dynamics in Economic Time-Series. Journal of Economic Surveys 988, Vol. 2, s. 3-33.. Garrido L.: Dynamical Sysems of Chaos. Lecures Noes in Physics 983, Vol. 79.

66 Monika Miśkiewicz-Nawrocka. aldor N.: A Model of he Trade Cycle. Economic Journal 94, Vol. 5, s. 78-92. 2. anz H., Schreiber T.: Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge Universiy Press, Cambridge 24 (second ediion). 3. May R., Beddingon J.R.: Nonlinear Difference Equaions: Sable Poins, Sable Cycles, Chaos. Maszynopis, 975. 4. Medio A., Negroni G.: Chaoic Dynamics in Overlapping Models wih Producion. W: Nonlinear Dynamics and Economics. Red. W.A. Barne, A.P. irman, M. Salmon. Cambridge Universiy Press, Cambridge 996. 5. Morrison F.: Szuka modelowania układów dynamicznych: deerminisycznych, chaoycznych, sochasycznych. Wydawnicwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 996. 6. Nowiński M.: Nieliniowa dynamika szeregów czasowych. Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław 27. 7. Orzeszko W.: Meody idenyfikacji i prognozowania chaoycznych szeregów czasowych. W: Meody ilościowe w naukach ekonomicznych. Czware Warszay Dokorskie z Zakresu Ekonomerii i Saysyki. Red. A. Welfe. Szkoła Główna Handlowa, Warszawa 24, s. 3-35. 8. Orzeszko W.: Idenyfikacja i prognozowanie chaosu deerminisycznego w ekonomicznych szeregach czasowych. Polskie Towarzyswo Ekonomiczne, Warszawa 25. 9. O E.: Chaos w układach dynamicznych. Wydawnicwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 997. 2. Sosvilla-Rivero S., Fernandez-Rodrigez F., Andrada-Felix J.: Tesing Chaoic Dynamics via Lyapunov Exponens. Working Papers 2-7, FEDEA. 2. Sewar I.: Czy Bóg gra w kości? Nowa maemayka chaosu. Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 994. 22. Suzer M.T.: Chaoic Dynamics and Bifurcaion in a Macro-model. Journal of Economic Dynamics and Conrol 98, Vol. 2, s. 253-276. 23. Zawadzki H.: Chaoyczne sysemy dynamiczne. Elemeny eorii i wybrane zagadnienia ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Akademii Ekonomicznej, aowice 996. THE ECONOMIC MODELS WITH CHAOTIC DYNAMICS Summary Since 975, when he R. May and J.R. Beddingon informed abou he possibiliy of applicaion of chaos heory in economics, buil many new economic models wih chaoic dynamics and chaos have been idenified in a number of already exising models. This paper presens briefly he heory of deerminisic chaos and properies of chaoic dynamic. In addiion, presens some economic models of chaoic dynamics.