Dynamika modelu Solowa i modelu Mankiwa-Romera-Weila z endogenicznymi stopami oszczędności

Transkrypt

1 The Wroclaw School of Banking Research Journal ISSN I eissn Vol 5 I No 5 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu ISSN I eissn R 5 I Nr 5 Dynamika modelu Solowa i modelu Mankiwa-Romera-Weila z endogenicznymi sopami oszczędności Auor: Małgorzaa amieniecka Absrak Celem niniejszego opracowania jes analiza własności i dynamiki modelu wzrosu gospodarczego z endogeniczną sopą oszczędności Punkem wyjścia do rozważań są dyskrene wersje neoklasycznego modelu wzrosu Solowa oraz rozszerzonego modelu Solowa Okazuje się że modyfikacja w posaci zmiennych sóp oszczędności zależnych od parameru o charakerze behawioralnym ma znaczny wpływ na dynamikę układu czyniąc ją bardziej różnorodną Pojawiają się rozwiązania okresowe quasi-okresowe oraz chaos deerminisyczny Prognozowanie w długim okresie saje się mocno ograniczone Słowa kluczowe: wzros gospodarczy model Solowa model Mankiwa-Romera-Weila bifurkacje chaos deerminisyczny zmienne sopy oszczędności wykładnik Lapunowa warunki równowagi JEL: C62 E20 O4 Wprowadzenie Nieliniowe modele wzrosu gospodarczego szczególnie e kóre wyjaśniają przyczyny i powsawanie flukuacji gospodarczych (cykli) o sosowane od la narzędzie makroekonomiczne Temayce ej poświęcone są prace: Carsa Hommesa (Hommes ) Marji Lines i Franka Weserhoffa (Lines ; Weserhoff 2006c) Hansa-Walera Lorenza (Lorenz 987) Robera ruszewskiego (ruszewski 2006) i wielu innych Coraz częściej również w polskiej lieraurze pojawia się pogląd że w związku z osanim kryzysem finansowym możemy spodziewać się jeszcze większego zaineresowania modelowaniem układów o złożonej dynamice (Malaga 20 Celem niniejszego opracowania jes skonsruowanie modelu wzrosu gospodarczego uwzględniającego endogeniczną sopę oszczędności a nasępnie zbadanie jego dynamiki Posłużą do ego dyskrene wersje neoklasycznego modelu wzrosu Solowa oraz rozszerzonego modelu Solowa Model Solowa sosowany jes jako punk wyjściowy do dalszych rozważań nad wzrosem gospodarczym Wśród zale modelu Solowa najczęściej wymieniana jes zgodność z zw fakami sylizowanymi aldora (aldor 957) prosoa i możliwość modyfikacji modelu w aki sposób aby uwzględniał wpływ ineresujących nas zagadnień na zachowanie układu makroekonomicznego (Telega 202) Najbardziej znaną modyfikacją modelu Solowa jes opracowany w 992 roku przez N Gregory ego Mankiwa Davida Romera i Davida N Weila (Mankiw i in 992) dwuwymiarowy model uwzględniający dodakowy czynnik produkcji w posaci kapiału ludzkiego apiał ludzki definiowany przez S Ryszarda Domańskiego (Domański 993) jako zasób wiedzy i umiejęności zdrowia energii wialnej zaware w społeczeńswie i od kilku wieków sanowi obiek zaineresowania ekonomisów również w odniesieniu do analizy polskiej gospodarki Według SR Domańskiego pierwszym ekonomisą kóry zwrócił uwagę na kapiał zawierający się w czynniku pracy był William Pey ( ) Zauważył on że kapiał kwiący w człowieku charakeryzuje się wieloma podobieńswami z kapiałem rwałym (rzeczowym) Małgorzaa amieniecka olegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa w Warszawie eniecka@kopoznanplć

2 The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN I eissn I Vol 5 I No 5 (Woźniak 2005) Model Mankiwa Romera i Weila zaliczany formalnie do nowej eorii wzrosu jes z powodzeniem modyfikowany i sosowany do wyjaśnienia zjawiska konwergencji zarówno w wersjach sochasycznych (evin Lee i in 997: ) jak i deerminisycznych Modyfikacje doyczą np uwzględniania wiedzy echnologicznej jako kolejnego czynnika produkcji (Nonneman Vanhoud 996: ) ransferu echnologii pomiędzy krajami (Dowrick Rogers 2002: ) współzależności miedzy krajami (Erur och 2007: ) zmiany posaci funkcji produkcji (Masanjala Papageorgiou 2004: 7 20 Tworzone są również wielowymiarowe modele (Tokarski 2007) W opracowaniu przyjęo założenie że model Mankiwa-Romera-Weila sanowi solidną podsawę do worzenia nowych modeli uwzględniających czynniki endogeniczne Zgodnie z wynikami uzyskanymi w 200 roku przez BS Bernanke a oraz RS Gurkaynaka długookresowy wzros powinien być skorelowany ze zmiennymi behawioralnymi kóre mają wpływ na sopę oszczędności (Bernanke Gurkaynak 200 W arykule zosanie przeprowadzona szczegółowa analiza modelów Solowa i Mankiwa-Romera- Weila po wprowadzeniu modyfikacji w posaci zmiennych sóp oszczędności zgodnie z propozycją Richarda H Daya (Day 982: ) Analiza numeryczna zaproponowanych modeli przeprowadzona będzie za pomocą programu idmc 2 Główne założenia wykorzysanych modeli Model Solowa Model Solowa w wersji podsawowej uwzględnia dwa czynniki produkcji: kapiał fizyczny () i efekywny zasób pracy (AL) Populacja oraz posęp echniczny charakeryzują się sałą i egzogeniczną sopą wzrosu odpowiednio n > 0 g > 0 Produkcja w ym modelu może być przeznaczona na konsumpcję lub akumulację kapiału Funkcja produkcji Y F( AL) spełnia neoklasyczne założenia: jes rosnąca w empie malejącym o sałych korzyściach skali i można ją przedsawić w posaci inensywnej apiał amoryzuje się według sopy δ > 0 a część dochodów przeznaczonych na akumulację kapiału wynosi s (0 i jes wielkością sałą Równanie ruchu dla kapiału przyjmuje posać: sy + ( + δ ) ( 2 idmc - ineracive dynamical model calculaor MLines AMedio wwwgioriousorg/idmc apiał w okresie nasępnym jes równy kapiałowi z okresu poprzedniego pomniejszonemu o deprecjację i powiększonemu o fakyczne inwesycje (kóre są równe oszczędnościom) Zakładam sałą egzogeniczną sopę wzrosu (n > 0) populacji L: L ( n) (2) + + L oraz sałą egzogeniczną sopę (g > 0) posępu echnicznego A: A ( g) (3) + + A Produk w okresie Y opisany jes dwuczynnikową funkcją produkcji Y F( A L ) spełniającą neoklasyczne założenia i zależy od kapiału > 0 oraz nakładu efekywnej pracy A > 0 L Niech: k A L (4) oznacza kapiał przypadający na jednoskę efekywnej pracy Wówczas Y (5) y A L oznacza produk przypadający na jednoskę efekywnej pracy orzysając z założenia o sałych korzyściach skali (funkcja produkcji jes jednorodna sopnia pierwszego): Y F( A L ) A L F A L f ( k ) A L Podsawiając (2) (3) (4) (5) do równania ( orzymujemy równanie opisujące dynamikę kapiału na jednoskę efekywnej pracy: k [ sf ( k ) ( ) k ] ( n ( g + δ (6) Model Mankiwa-Romera-Weila Model sworzony zosał w 992 r przez NG Mankiwa D Romera i DN Weila (Mankiw i in 992: ) w celu pokazania że neoklasyczna eoria wzrosu dobrze wyjaśnia różnice w poziomie dochodów między krajami oraz zjawisko konwergencji warunkowej Model Mankiwa- Romera-Weila uwzględnia kapiał ludzki kóry saje się kolejnym obok kapiału fizycznego () i efekywnego zasobu pracy (AL) czynnikiem produkcji Podobnie jak w modelu Solowa populacja oraz posęp echniczny charakeryzują się sałymi i egzogenicznymi sopami wzrosu odpowiednio: n > 0 i g > 0 Produk w bieżącym okresie przeznaczany jes na konsumpcję akumulację kapiału fizycznego i akumulację 670

3 Małgorzaa amieniecka Dynamika modelu Solowa i modelu Mankiwa-Romera-Weila z endogenicznymi sopami oszczędności kapiału ludzkiego (H) Trzyczynnikowa funkcja produkcji F(HAL) spełnia neoklasyczne założenia apiał fizyczny oraz kapiał ludzki deprecjonują się według sałych sóp: δ > 0 oraz δ H > 0 Część dochodów przeznaczonych na akumulację kapiału fizycznego oraz kapiału ludzkiego wynosi odpowiednio: s s H (0 s + s H < Uwzględniając powyższe założenia równania ruchu opisujące dynamikę całkowiych zasobów kapiału fizycznego i ludzkiego w modelu Mankiwa-Romera-Weila przyjmują posać: s Y + ( ) (7) + δ H ) H + shy + ( δ H (8) Tak jak w modelu Solowa populacja L wzrasa w sałym empie n (2) a posęp echniczny w sałym empie g (3) Niech: H Y k h y A L A L A L Ponownie korzysając z założenia o sałych korzyściach skali orzymujemy: H Y F( H A L ) A L F A Lϕ( k h ) A L A L Wówczas równania ruchu opisujące dynamikę kapiału fizycznego i ludzkiego przypadające na jednoskę efekywnej pracy przyjmują posać: (9) k [ ( ) ( ) + s φ k h δ k ( n+ ( g+ + (0) h + [ shφ( k h) ( δh) h] ( n+ ( g+ + Zmienne sopy oszczędności Zarówno model Solowa jak i model Mankiwa- Romera-Weila charakeryzują się egzogenicznymi sałymi sopami oszczędności W konsruowanych modelach ograniczenia e zosaną usunięe Sopy oszczędności będą zmienne w czasie i endogeniczne Powyższy posula zosanie zrealizowany poprzez adapację propozycji RH Daya (Day 982: ) wiążącej sopę oszczędności z dochodem posiadanym mająkiem i realną sopą procenową Dla modelu Solowa oszczędności są eraz opisane równaniem: ( b sy a k r a > 0 b ( 0 r) r oznacza realną sopę procenową: df ( k) a i b o paramery r dk kóre mają charaker behawioralny i obrazują zachowanie konsumena w sosunku do realnej sopy procenowej (uśrednione wielkości dla całej populacji) Implemenując powyższe założenie w modelu Mankiwa-Romera-Weila orzymujemy: b s y a k r (2) (3) bh sh y ah h r H a a H > 0 b ( 0 r ) bh ( 0 rh ) r r H realne sopy procenowe: ϕ( k h) ϕ ( k h) równe krańcowej produkywności każdego ypu kapiału r r H k h a ah b bh paramery o charakerze behawioralnym obrazujące zachowanie konsumena w sosunku do realnych sóp procenowych (uśrednione wielkości dla całej populacji) Bez sray ogólności w dalszej części opracowania założono że sopy deprecjacji kapiału fizycznego i ludzkiego w modelu Mankiwa- Romera-Weila są równe Uprości o sronę algebraiczną przekszałceń Podobnie: a a H oraz b bh W dalszych rozważaniach przyjęo funkcję produkcji ypu γ Cobba-Douglasa Wówczas: f ( k) k oraz α b ϕ ( k h) k h gdzie 0 < γ < 0 < α < 0 < β < α + β < Po modyfikacji czyli wprowadzeniu zmiennych sóp oszczędności zgodnie z: ( (2) (3) oszczędności w obu analizowanych modelach będą zależne od dochodu i będą rosły wraz ze wzrosem realnej sopy procenowej Model Solowa ze zmienną sopą oszczędności Po uwzględnieniu zmiennej sopy oszczędności zgodnie z ( równanie opisujące dynamikę kapiału na jednoskę efekywnej pracy przyjmuje posać: γ k+ a( bγ k ) k + ( δ) k ( n+ ( g+ (4) Pierwszym elemenem analizy zmodyfikowanego modelu Solowa będzie wyznaczenie równowagi (sanu sacjonarnego) Równowaga jes punkem sałym równania (4) i spełnia warunek: k k * + k 67

4 The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN I eissn I Vol 5 I No 5 Twierdzenie Model Solowa z endogeniczną sopą oszczędności opisany równaniem (4) posiada jedno położenie równowagi: γ k * > 0 (5) γ k* θ γ + a δ ( n+ ( g+ θ ab Dowód: punk sały równania (4) spełnia warunek: k + k k * zaem: γ k* a( bγ ( k*) ) k* + ( δ) k* (6) ( n+ ( g+ Powyższe po przekszałceniach przyjmuje posać: γ + a δ ( n+ ( g+ γ ( k*) ab Po oznaczeniu prawej srony równania przez θ orzymujemy rozwiązanie równania (6): γ γ k* θ γ + a δ ( n+ ( g+ θ ab olejnym eapem analizy zaproponowanego modelu jes wyznaczenie warunków przy kórych wyznaczona równowaga jes lokalnie asympoycznie sabilna Twierdzenie 2 Równowaga (6) jes lokalnie asympoycznie sabilna gdy paramer a spełnia nierówność: γ 3 (7) ( n+ ( g+ + δ < a< ( n+ ( g+ + δ γ Dowód: niech: γ d ( k) a( bγ k ) k + ( δ ) ( n + ( g + [ k] oznacza prawą sronę równania (4) Punk sały równania (4) jes asympoycznie sabilny gdy : < d'( k*) < (8) a + δ (2 γ) abθ d'( k*) ( n+ ( g+ Zaem warunek lokalnej asympoycznej sabilności przyjmuje posać: a + δ (2 γ) abθ < < ( n+ ( g+ kóra po podsawieniu: + a δ ( n+ ( g+ θ ab jes równoważna: ( a + δ)( γ < + 2 γ < ( n+ ( g+ Prose przekszałcenia algebraiczne prowadzą do zależności: γ 3 ( n+ ( g+ + δ < a< ( n+ ( g+ + δ γ Przykładowo dla: γ 059 ; n000; δ 005 ; g005; b03 obszar lokalnej asympoycznej sabilności ze względu na paramer a ogranicza się do przedziału (0;5 23) Przekraczanie obszaru lokalnej asympoycznej sabilności wiąże się z wysępowaniem zjawiska bifurkacji kóre polega na jakościowej zmianie własności modelu maemaycznego układu dynamicznego przy drobnej zmianie jego paramerów (np warunków począkowych procesu albo warunków brzegowych) W dynamice bifurkacją (łac rozdwojeniem) nazywa się zmianę liczby rozwiązań równania różniczkowego lub różnicowego przy zmianie parameru ego równania Przed przysąpieniem do analizy scenariusza uray sabilności i lokalnych bifurkacji przedsawione będą podsawowe pojęcia z eorii bifurkacji (Medio Lines 200 Dla jednoparamerowej rodziny dyskrenych układów dynamicznych sabilne położenie równowagi raci sabilność w wyniku bifurkacji podwojenia okresu gdy przy zmianie parameru bifurkacyjnego jedna z rzeczywisych warości własnych macierzy linearyzacji zmniejszając swoją wielkość przekracza - podczas gdy pozosałe warości własne są co do modułu mniejsze od jedynki Skukiem ej bifurkacji jes powsanie orbiy okresowej o okresie 2 kóra może być sabilna lub niesabilna W wyniku nasępujących po sobie bifurkacji podwojenia okresu mogą powsawać orbiy o okresie 486 a akże może wysąpić zjawisko chaosu deerminisycznego Badanie długorwałych zachowań modelu uławia analiza numeryczna Za pomocą diagramów bifurkacyjnych przeanalizować można wpływ zmian parameru a na dynamikę modelu Rysunek przedsawia diagram bifurkacyjny ze względu na paramer a dla γ 059 ; n 000; δ 005 ; g 005; b 03 wraz z odpowiadającym mu wykładnikiem Lapunowa Model Solowa ze zmienną endogeniczną sopą oszczędności charakeryzuje się złożoną dynamiką dla warości parameru a przekraczających maksymalną warość z przedziału wyznaczonego 672

5 Małgorzaa amieniecka Dynamika modelu Solowa i modelu Mankiwa-Romera-Weila z endogenicznymi sopami oszczędności Rys Diagram bifurkacyjny i odpowiadający mu wykładnik Lapunowa dla parameru a (5;74) Źródło: opracowanie własne nierównością (7) Począkowo kapiał zbiega do równowagi sacjonarnej k* W miarę wzrosu parameru a równowaga a raci sabilność i rajekoria saje się okresowa Im większa warość parameru a ym większy okres i ampliuda oscylacji Osaecznie obserwujemy zjawisko chaosu deerminisycznego (dodani wykładnik Lapunowa) przy czym obszary chaoyczne poprzedzielane są oknami sabilnych orbi (cykli) o niskim okresie kóre można zinerpreować jako maemayczne modele poencjalnych cykli gospodarczych (rys Prognozowanie w ym modelu jes ograniczone i zależy od warości wykładnika Lapunowa Im większy dodani wykładnik Lapunowa ym krószy czas w kórym możemy przewidzieć warość modelowanej zmiennej W dalszej części opracowania uwzględnione zosaną zmienne sopy oszczędności w modelu Mankiwa-Romera-Weila a nasępnie zbadana będzie dynamika ak skonsruowanego dwuwymiarowego modelu wzrosu gospodarczego Model Mankiwa-Romera-Weila ze zmienną sopą oszczędności Po wprowadzeniu zmiennych sóp oszczędności zgodnie z (2) i (3) równania opisujące ewolucję w czasie kapiału fizycznego oraz kapiału ludzkiego na jednoskę efekywnej pracy przyjmują posać: α k+ a( bα k h ) k + ( δ) k ( n+ ( g+ α h+ a( bβ k h ) h + ( δ) h ( n+ ( g+ (9) (20) Twierdzenie 3 Zmodyfikowany model Mankiwa-Romera-Weila opisany równaniami (9) i (20) posiada dokładnie jeden punk sały (k* h*) aki że: β k * > 0 (2 α α α k* θ α β α α h * > 0 (22) α α α h* θ α β + a δ ( n+ ( g+ θ ab Dowód: punk sały (k* h*) układu równań (9) (20) spełnia warunki: k + k k * oraz h + h h * Zaem: α (23) k * ( ( *) ( *) ) * ( ) * ( n ( g a b α k h k + δ k + + α h* a( bβ ( k*) ( h*) ) h* + ( δ) h* ( n+ ( g+ (24) Układ równań (23) (24) jes równoważny układowi: 673

6 The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN I eissn I Vol 5 I No 5 a + (2 ) ab ( k*) ( h*) δ α γ θ α β ( n+ ( g+ a + (2 ) ab ( k*) ( h*) δ β γ θ α β ( n+ ( g+ Oznaczenie prawej srony obu równań przez θ i przyrównanie lewych sron prowadzi do zależności: β h* k * α po uwzględnieniu kórej dosajemy rozwiązanie układu (23) (24) w posaci: α α (25) α α α h* θ α β a + δ (2 γ) abθ θ ( n+ ( g+ olejnym eapem analizy jes wyznaczenie obszaru zmienności paramerów modelu przy kórych równowaga jes lokalnie asympoycznie sabilna Do ego celu posłuży macierz linearyzacji kóra dla układu (9) (20) w ooczeniu równowagi sacjonarnej przyjmuje posać: a + δ (2 α) abθ abθα (26) ( n+ ( g+ ( n+ ( g+ Jk ( * h*) abθβ a + δ (2 ) abθ ( n+ ( g+ ( n+ ( g+ rj ( k* h*) oraz: de Jk ( * h*) [ 2( a + δ) abθ(4 α ) ] ( n+ ( g [ a + δ (2 α) abθ ][ a + δ (2 ) abθ ] αβa b θ ( n+ ( g+ 2 2 Równowaga będzie lokalnie asympoycznie sabilna gdy wszyskie warości własne macierzy Jacobiego będą co do modułu mniejsze od jedności Wymaganie o (Medio Lines 200 jes równoważne warunkom: + rj + de J > 0 rj + de J > 0 de J > 0 kóre dla równowagi (25) przyjmują posać: Ze względu na skomplikowaną srukurę algebraiczną powyższych nierówności przeprowadzona zosanie analiza numeryczna kóra wykaże isnienie kombinacji paramerów przy kórych równowaga jes lokalnie asympoycznie sabilna Przykładowo dla usalonych warości paramerów modelu: α 03 ; β 0 28 n 000; δ ; g 005; b 03 układ nierówności jes spełniony gdy a (00;2205) Swierdzenie: przy usalonej warości parameru b isnieje przedział zmienności parameru a ( a min ; amax ) dla kórego równowaga jes lokalnie asympoycznie sabilna przy czym a min jes dodanie i bliskie zeru Porównanie z analogicznym obszarem sabilności wyznaczonym dla modelu Solowa wskazuje że wprowadzenie kapiału ludzkiego do modelu Solowa ogranicza zakres lokalnej asympoycznej sabilności ze względu na paramer a Przekroczenie granicy obszaru wyznaczonego przez warunki: (27) (28) (29) prowadzi do uray sabilności i może wiązać się z wysępowaniem różnych ypów bifurkacji W przypadku układu (9) (20) uraa sabilności w obszarze gdzie a < amin jes związana z niskim poziomem oszczędności i co za ym idzie konsumpcją zgromadzonego kapiału Odmiennie wygląda syuacja w punkcie a amax Jeżeli: + rj + de J 0 oraz spełnione są jednocześnie warunki: 2 < rj < 0 i < de J < o mamy do czynienia z bifurkacją podwojenia okresu (Medio Lines 200 W przyoczonym przykładzie aka syuacja ma miejsce dla a 2205 max zaem w ym punkcie można spodziewać się uray sabilności na skuek bifurkacji podwojenia okresu Analiza numeryczna powierdza przewidywania Rysunki 2 i 3 przedsawiają diagramy bifurkacyjne dla kapiałów: fizycznego (k) ludzkiego (h) na jednoskę efekywnej pracy oraz odpowiadające im wykładniki Lapunowa dla α 03 ; β 0 28 n 000; δ ; g 005; b 03 Wzros sopy oszczędności poprzez paramer a prowadzi [ 2( a + δ ) abθ (4 α β )] [ a + δ (2 α) abθ ][ a + δ (2 ) abθ ] αβa b θ + + > ( n+ ( g+ ( n+ ( g [ 2( a + δ ) abθ (4 α β )] [ a + δ (2 α) abθ ][ a + δ (2 ) abθ ] αβa b θ + > ( n+ ( g+ ( n+ ( g [ a + δ (2 α) abθ ][ a + δ (2 ) abθ ] αβa b θ > ( n+ ( g+ 674 (27) (28) (29)

7 Małgorzaa amieniecka Dynamika modelu Solowa i modelu Mankiwa-Romera-Weila z endogenicznymi sopami oszczędności Rys 2 Diagram bifurkacyjny dla k i odpowiadający mu wykładnik Lapunowa dla parameru a (275;257) Źródło: opracowanie własne do posępującej desabilizacji układu Dla warości około 2466 obserwujemy bifurkację Neimarka-Sackera kóra charakeryzuje się zerowym wykładnikiem Lapunowa (rys 2 rys 3) i prowadzi do rozwiązań okresowych i quasi-okresowych Rys 3 Diagram bifurkacyjny dla h i odpowiadający mu wykładnik Lapunowa dla parameru a (275;257) Źródło: opracowanie własne 675

8 The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN I eissn I Vol 5 I No 5 Rys 4 Diagramy bifurkacyjne dla k i h Paramer a (2542;2546) Pozosałe warości paramerów: 005; g 005 α 03; β 028; b03; n 000; δ Źródło: opracowanie własne Osaecznie model wykazuje zachowania chaoyczne kórym odpowiada dodani wykładnik Lapunowa Ogranicza o możliwość prognozowania w długim okresie gdyż maksymalny horyzon czasowy prognozy jes proporcjonalny do odwroności największego wykładnika Lapunowa Obszary chaoyczne ak jak w poprzednim modelu przedzielone są oknami sabilnych orbi okresowych (maemayczne modele poencjalnych cykli gospodarczych) (rys 4) Zakończenie W pracy zaprezenowane zosały zmodyfikowane modele: Solowa oraz Mankiwa-Romera- Weila Modyfikacja polegała na wprowadzeniu zmiennej sopy oszczędności o charakerze endogenicznym zgodnie z propozycją RH Daya ( Przeprowadzona analiza wykazała że zarówno układ jedno- jak i dwuwymiarowy charakeryzują się złożoną dynamiką a sopień jej złożoności zależy od parameru obrazującego zachowanie konsumena w sosunku do realnych sóp procenowych W obu przypadkach układ raci sabilność na skuek bifurkacji podwojenia 676 okresu Ujawniają się zachowania cykliczne quasi-okresowe oraz chaoyczne Pojawienie się zjawiska chaosu deerminisycznego powoduje że horyzon czasowy dla możliwości prognozowania ogranicza się do zw charakerysycznego czasu Lapunowa Pomiędzy obszarami chaoycznymi pojawiają się okna sabilności o niskim okresie W przypadku modelu z kapiałem ludzkim pojawia się ponado bifurkacja Neimarka- Sackera z charakerysycznymi quasi-okresowymi rozwiązaniami Przeprowadzona analiza nie wyczerpuje emau ale unaocznia że założenie o zmienności sóp oszczędności wpływa znacząco na dynamikę obu ypów kapiału oraz że w zaproponowanych modelach możliwa i celowa jes analiza dynamiki również poza obszarem lokalnej asympoycznej sabilności Ponado okazuje się że rozszerzenie modelu Solowa o kapiał ludzki znacznie ogranicza obszar sabilności równowagi sacjonarnej Zaproponowane modele eksponują zmienne sopy oszczędności jako poencjalny czynnik pojawiania się okresowych wahań kapiału i ym samym mogą sanowić pomos łączący eorię wzrosu z eorią cyklu koniunkuralnego

9 Małgorzaa amieniecka Dynamika modelu Solowa i modelu Mankiwa-Romera-Weila z endogenicznymi sopami oszczędności Bibliografia Bernanke BS Gurkaynak RS (200 Is Growh Exogenous? Taking Mankiw Romer and Weil Seriously NBER Working Paper No 8365 Day RH (982) Irregular Growh Cycles The American Economic Review Vol 72 No 3 pp Domański SR (993) apiał ludzki i wzros gospodarczy Warszawa PWN Dowrick S Rogers M (2002) Classical and Technological Convergence: Beyond he Solow- Swan Growh Model Oxford Economic Papers Vol 54 No 3 pp Erur C och W (2007) Growh Technological Inerdependence and Spaial Exernaliies: Theory and Evidence Journal of Applied Economerics Vol 22 No 6 pp Hommes CH (99 Adapive learning and roads o chaos The case of he cobweb model Economic Leers 36 Hommes CH (993) Periodic almos periodic and chaoic behaviour in Hicks non-linear rade cycle model Economics Leers 4 Hommes CH (995) A reconsideraion of Hicks non-linear rade cycle model Srucural Change and Economic Dynamics 6 Jakimowicz A (20 Dynamika nieliniowa w badaniach ekonomicznych Didacics of mahemaics No 8 (2) aldor N (957) A Model of Economic Growh The Economic Journal Vol 67 No 268 pp ruszewski R (2006) O pewnym modelu wzrosu gospodarczego z kapiałem ludzkim i endogenicznym posępie wiedzy Problemy wzrosu gospodarczego we współczesnych gospodarkach red D opycińska Szczecin Uniwersye Szczeciński s 8 24 ruszewski R (2006) Growh model wih human capial Complex economic dynamics Modeling Economies in Transiion red Władysław Welfe Pior Wdowinski Łódź AMFET s Lee Pesaran MH Smih R (997) Growh and Convergence in a Muli-Counry Empirical Sochasic Solow Journal of Applied Economerics Vol 2 No 4 pp Lines M (2007) Bifurcaion scenarios in a heerogeneous agen muliplier acceleraor model Pure Mahemaics and Applicaions 6 Lines M Weserhoff F (200) Infaion expecaions and macroeconomic dynamics: The case of raional versus exrapolaive expecaions Journal of Economic Dynamics and Conrol 34 Lorenz HW (987) Goodwin s nonlinear acceleraor and chaoic moion Journal of Economics 47 Malaga (2009) O niekórych dylemaach eorii wzrosu gospodarczego i ekonomii Warszawa Z Polskie Towarzyswo Ekonomiczne Mankiw N Gregory David Romer David N Weil (992) A Conribuion o he Empirics of Economic Growh Quarerly Journal of Economics 07 pp Masanjala WH Papageorgiou C (2004) The Solow Model wih CES Technology: Nonlineariies and Parameer Heerogeneiy Journal of Applied Economerics Vol 9 No 2 pp 7 20 Medio A Lines M (200 Nonlinear Dynamics: a Primer Cambridge Cambridge Universiy Press Nonneman W Vanhoud P (996) A Furher Augmenaion of he Solow Model and he Empirics of Economic Growh for OECD Counries The Quarerly Journal of Economics Vol No 3 pp Telega I (202) Trwałość w modelu wzrosu Solowa Analiza kryyczna Zeszyy Naukowe Nr 2 raków Polskie Towarzyswo Ekonomiczne Tokarski T (2007) Opymalne sopy inwesycji w N-kapiałowym modelu wzrosu gospodarczego Gospodarka Narodowa Nr 9 Weserhoff H (2006) Nonlinear expecaion formaion endogenous business cycles and sylized faco Sudies in Nonlinear Dynamics and Economerics 0 Issue 4 Aricle 4 Woźniak MG (2005) Znaczenie kapiału ludzkiego w skracaniu dysansu rozwojowego gospodarki Polski Zeszyy Naukowe Nr 3 raków Polskie Towarzyswo Ekonomiczne

10 The Wroclaw School of Banking Research Journal I ISSN I eissn I Vol 5 I No 5 Dynamics of he Solow and Mankiw-Romer-Weil model wih endogenous savings raes Absrac The purpose of he sudy is o analyze he properies and dynamics of economic growh model wih endogenous savings raes Consideraions are based on discree versions of he neoclassical Solow growh model and on he exended Solow model Variable savings raes ha depend on behavioral parameers are inroduced I urns ou ha his modificaion significanly diversifies he dynamics of he sysem There are periodical and quasi-periodical soluions as well as deerminisic chaos Therefore long run forecasing is limied eywords: economic growh Solow model Mankiw-Romer-Weil model bifurcaion deerminisic chaos variable savings raes Lyapunov exponen equilibrium condiions 678