Przez system Walrasa w ekonomii matematycznej rozumiemy zazwyczaj układ równań różniczkowych dynamiki cen w n-produktowej gospodarce

Transkrypt

1 PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVIII ZESZYT EMIL PANEK SYSTEM WALRASA I ZAPASY 1. WSTĘP Przez sysem Walrasa w ekonomii maemaycznej rozumiemy zazwyczaj układ równań różniczkowych dynamiki cen w n-produkowej gospodarce ṗ() = σ f (p()), (1) gdzie: zmienna czasu, R+ 1 = [0, + ), n liczba owarów (wywarzanych i/lub zużywanych) w gospodarce, p() = (p 1 (),..., p n ()) wekor cen owarów w momencie, ṗ() = (ṗ 1 (),..., ṗ n ()) pochodna funkcji (rajekorii) cen w momencie, f (p()) = ( f 1 p(),..., f n p()) funkcja popyu nadwyżkowego(excess demand funcion), f (p()) = f d (p()) f s (p()), f d (p()) = ( f d 1 (p()),..., f n d (p())) funkcja zagregowanego popyu na owary w momencie, f s (p()) = ( f s 1 (p()),..., f n s (p())) funkcja zagregowanej podaży owarów w gospodarce w momencie, σ dodani wskaźnik proporcjonalności (prędkości reakcji cen na zmianę popyu i podaży) 1. Układ równań (1) opisuje prosy mechanizm dososowywania cen do popyu i podaży, zgodnie z kórym: jeżeli popy na pewien owar przekracza jego podaż, a więc gdy w gospodarce mamy do czynienia z niedoborem owaru, jego cena zaczyna rosnąć, jeżeli popy na owar jes niższy od jego podaży, j. gdy w gospodarce mamy nadmiar pewnego owaru, wówczas jego cena zaczyna maleć, jeżeli popy na owar jes równy jego podaży, cena owaru nie zmienia się, zob. np. [4], [5]. Opisany mechanizm zakłada nie ylko anropomorficzne ucieleśnienie rynku konkurencyjnego w posaci niewidzialnej ręki, ale akże bezwzględne jego podporządkowanie zasadzie, że ransakcje kupna-sprzedaży owarów dochodzą do skuku dopiero 1 Nie jes o najogólniejsza posać równania dynamiki cen w gospodarce Walrasa, zob. np. []. W celu zachowania prosoy dalszych wywodów świadomie pozosajemy przy równaniu (1).

2 196 Emil Panek po osiągnięciu przez gospodarkę równowagi. Nie można w żadnym razie układu (1) rakować jako opisu codziennych ransakcji w gospodarce rynkowej, kóre są zawierane permanennie bez względu na o czy ceny p(), po kórych są sprzedawane i/lub kupowane owary, są w chwili zawierania ransakcji cenami równowagi walrasowskiej, czy nie. Dobrze oczywiście, jeżeli są, ale najczęściej ak nie jes i nik się w prakyce specjalnie nad ym nie zasanawia. Wówczas w (1) f (p()) 0, a o oznacza, że chwilowo ma miejsce niedobór jednych owarów (f i (p()) > 0), prowadzący do wzrosu ceniwkonsekwencji do wzrosu ich podaży w przyszłości oraz nadmiar innych ( f j (p()) < 0), prowadzący do powsawania zapasów, kórych w sysemie Walrasa w ogóle się nie uwzględnia. W modelu, kóry prezenujemy poniżej, zapasy nie mają wpływu na ceny owarów. Rosną, gdy na rynku ma miejsce nadwyżka podaży i maleją, gdy zachodzi syuacja odwrona. Za gromadzenie i dysrybucję zapasów odpowiada rząd lub powołana przez rząd agencja, kóra przyjmuje (nieodpłanie) nadwyżki owarów od producenów po o, aby w syuacji niedoboru móc je przekazać (również nieodpłanie) finalnym odbiorcom zbiorowym, reprezenowanym np. przez akie insyucje pożyku publicznego jak opieka społeczna, zdrowona czy pozarządowe organizacje charyaywne. Pokażemy, że przy sandardowych założeniach również w akiej nieypowej gospodarce isnieje (globalnie sabilny) san równowagi konkurencyjnej.. PROSTY SYSTEM WALRASA Z ZAPASAMI Niech f s (p()) = ( f s 1 (p()),..., f n s (p())) oznacza wekor podaży owarów w gospodarce w momencie, kóry dalej uożsamiamy z ich produkcją w ym momencie. Przez z() = (z 1 (),..., z n ()) oznaczamy wekor zapasów w momencie, naomias przez μ (0, 1) sopę nauralnego ubyku zapasów. Jeżeli popy fi d (p()) na owar i-y przekracza podaż (produkcję) fi s (p()), jego zaspokojenie wymaga sięgnięcia po zapasy, kóre w rezulacie zmaleją. Jeżeli fi d (p()) = fi s (p()), wedy w momencie nie ma porzeby sięgania po zapasy, ale zmieniają się one z yułu ich nauralnego ubyku (ze sopą μ ). Jeżeli fi d (p()) = fi s (p()) μz i (), wedy zapasy pozosają na sałym poziomie. Jeżeli f d i (p()) < f s i (p()) μz i (), zapasy owaru i-ego rosną. W prezenowanym modelu, podobnie jak w jego wersji oryginalnej, ceny owarów na rynku kszałują się zgodnie z równaniem (1). Srumień dochodów konsumenów w momencie jes równy warości zrealizowanego popyu p(), min { f s (p()), f d (p()) } czyli produkcji sprzedanej (a nie wyworzonej) przez producenów; symbolem min { f s (p()), f d (p()) } = (min { f s 1 (p), f d 1 (p )},..., min { f s n (p), f d n (p )} ) oznaczamy uaj wekor popyu zrealizowanego przy cenach p, a symbolem x, y n iloczyn skalarny wekorów x, y R n : x, y = x i, y i. Wekor owarów, kóre nie i=1

3 znalazły w momencie nabywcy na rynku Numerical sudy of he wave disk micro-engine operaion 197 max { f s (p()) f d (p()), 0 } = ( max { f s 1 (p()) f d 1 (p()), 0},..., max { f s n (p()) f d n (p()), 0 }) zosaje nieodpłanie gromadzony w posaci zapasów. Tam gdzie zapasy owaru i są dodanie, z i () > 0, ich dynamikę opisuje równanie ż i () = f s i (p()) f d i (p()) μz i(). (a) Naomias am gdzie dochodzi do wyczerpania zapasów, j. gdy z i () = 0, przyjmujemy: ż i () = max{ f s i (p()) f d i (p()) μz i (), 0}. (b) Przez sysem Walrasa z zapasami rozumiemy układ n równań różniczkowych dynamiki cen owarów i ich zapasów w gospodarce konkurencyjnej: ż i () = ṗ() = σ[ f d (p()) f s (p())], (3) fi s (p()) fi d (p()) μz i (), max{ fi s (p()) fi d (p()) μz i (), 0}, i = 1,..., n. gdy gdy z i () > 0, z i () = 0, Weźmy dowolny wekor cen p 0 > 0 i dowolny wekor z 0 0. Δ Definicja 1. Określone na półosi czasu R 1 + = [0, + ) rozwiązanie p(), z() układu (3)-(4) z dodanią funkcją p() i nieujemną funkcją z(), spełniające warunek począkowy p(0) = p 0 > 0, z(0) = z 0 0 (5) nazywamy (p 0, z 0, ) dopuszczalną rajekorią cen i zapasów w gospodarce Walrasa. Obowiązuje sandardowy układ założeń : (I) f d, f s C 1 (R+ n \{0} R n ), (II) p i = 0 f i (p) > 0, (III) p 0 λ >0 ( f d (λp) = f d (p) & f s (λp) = f s (p) ), (IV) p 0 ( p, f d (p) = p, f s (p) ) (prawo Walrasa), n (V) p P+(1) n = {p R+ n p i = 1} λ R n \ (R+ n R ) n i=1 λj(p)λ T < 0 Z ich inerpreacją można zapoznać się np. w pracy [4] rozdz. 3 (4)

4 198 Emil Panek gdzie ( ) fi J(p) =, f = f d f s p j (n,n) (λ jes wekorem wierszowym, T jes znakiem ranspozycji, R n + oznacza nieujemny, a R n niedodani orhan przesrzeni R n ). O własnościach (p 0, z 0, )-dopuszczalnych rajekorii cen i zapasów mówi poniższe wierdzenie. Twierdzenie 1. Przy założeniach (I) (IV) : (i) każde rozwiązanie układu (3) (4) spełnia warunek: 0(p() > 0 & z() 0), (i) rajekoria cen p() leży na powierzchni kuli n-wymiarowej Kr n (0) o promieniu r = p 0 E i środku w 0 (przez x E oznaczamy normę Euklidesa wekora x R n ). Dowód. (i) Załóżmy, że ( ( > 0) i {1,..., n} pi ( ) = 0 ). Wedy p i ( ) > 0 (zgodnie z warunkiem (II)). Trajekoria cen jes funkcją ciągłą i różniczkowalną na obszarze określoności zaem ε >0 ( ε, ) (p i () < 0) i ponieważ p 0 i > 0, więc > 0 (p i ( ) = 0 & ṗ i ( ) 0), co jes sprzeczne z warunkiem (II) i kończy dowód części (i). (i) Z prawa Walrasa orzymujemy: czyli 0 ( p(), ṗ() = σ p(), f d (p()) f s (p()) = 0 ), sąd 0 ( 0 0 p(θ), ṗ(θ) dθ = p(), p() p 0, p 0 = p() E p 0 E = 0), n p i () = r, gdzie r = p 0 E. i=1 3. RÓWNOWAGA Δ Definicja. Mówimy, że sysem Walrasa z zapasami jes w równowadze (długookresowej), jeżeli usalą się akie ceny p() p oraz akie zapasy z() z, przy kórych f d ( p) = f s ( p). (6)

5 Numerical sudy of he wave disk micro-engine operaion 199 W równowadze spełnione są jednocześnie dwa układy równań: f d ( p) f s ( p) = 0 (7a) oraz f s ( p) f d ( p) μ z = 0, (7b) a sąd wynika, że z = 0. Sysem Walrasa (3) (4) w równowadze pozbywa się zapasów. Ławo zauważyć eż, że ceny p w równowadze są dodanie. Rzeczywiście, zakładając p i = 0 dla pewnego i, z warunku (II) orzymujemy f i ( p) = fi d ( p) fi s ( p) > 0, co przeczy (7a). Z dodaniej jednorodności sopnia 0 funkcji popyu f d (p) i podaży f s (p) wnioskujemy, że jeżeli p > 0 jes wekorem cen równowagi, o jes nim akże jego dowolna dodania wielokroność. Półprosą P = {λ p λ>0} nazywamy radycyjnie promieniem cen równowagi. Pokażemy, że w sysemie Walrasa z zapasami ceny równowagi isnieją i są określone jednoznacznie z dokładnością do srukury. Twierdzenie. Przy założeniach (I) (V) isnieje dokładnie jeden wekor cen równowagi rynkowej (spełniający warunek (6)) określony z dokładnością do srukury. Dowód. Uwórzmy funkcję w = (w 1,..., w n ):P n +(1) R n, w i (p) = max {p i + f i (p), 1 p i}, i = 1,..., n. ( ) Wówczas w i C 0 (P n +(1) R n ) oraz p P n +(1) (w(p) > 0). Rzeczywiście, jeżeli p i = 0, o zgodnie z warunkiem (II) f i (p) > 0, czyli w i (p) p i + f i (p) = f i (p) > 0. Jeżeli zaś p i > 0, o w i (p) 1 p i > 0. Niech φ(p) = w(p) w(p), gdzie x = x i (wszędzie dalej ak samo). i Wówczas φ C 0 (P+(1) n R+) n oraz p P+(1) n (φ(p) > 0 & φ(p) = w(p) w(p) = 1),

6 00 Emil Panek zaem φ jes ciągłym odwzorowaniem simpleksu P+(1) n w siebie. Z wierdzenia Brouwera (zob. np. [3], rozdz.1, 4) płynie wówczas wniosek, że p P+(1)(φ( n p) = p > 0). Zgodnie z definicją odwzorowania w(p), p P+(1) (w(p) n 1 ) p, czyli w szczególności w( p) 1 p, zn. w( p) 1 p = 1. Pokażemy, że w( p) > 1. W ym celu załóżmy w( p) = 1. Wedy w( p) = 1 p, zn. zgodnie z (*) 1 p = w( p) p + f ( p), czyli f ( p) 1 p < 0. Oznacza o, że p, f ( p) < 0, co jes sprzeczne z prawem Walrasa (IV). Zaem w( p) > 1, zn. p = φ( p) = w( p) w( p) czyli w( p) > 1 p i wobec (*) w( p) = p + f ( p), co zgodnie z (**) prowadzi do warunku: w( p) <, ( ) 1 p = p + f ( p) w( p). ( ) Mnożąc obusronnie (***) przez wekor f ( p) orzymujemy znowu (zgodnie z prawem Walrasa): p, f ( p) + f ( p), f ( p) p, f ( p) = = 0, w( p) czyli f ( p), f ( p) = 0, co oznacza że f ( p) = f d ( p) f s ( p) = 0. Obie funkcje f d (p), f s (p) są dodanio jednorodne sopnia zero (warunek (III) ), więc również λ >0 ( f (λ p) = f d (λ p) f s (λ p) = f d ( p) f s ( p) = 0 ). Załóżmy, że isnieją dwa wekory cen równowagi p 1, p o różnej srukurze: p 1 = p1 p 1 p = p p i przyjmijmy oznaczenie: p(τ) = p 1 + τ( p p 1 ), τ [0, 1]. Wówczas p(0) = p 1, p(1) = p ( oraz τ [0, 1] p(τ) P n + (1) ).

7 Numerical sudy of he wave disk micro-engine operaion 01 Niech φ(τ) = p p 1, f (p,τ)) f ( p 1 ). Wówczas φ(0) = 0,φ C 1 ( [0, 1] R 1) oraz φ(τ) = λj(p(τ))λ T gdzie λ = p p 1 0, zn. φ(τ) < 0na[0, 1] ( zgodnie z warunkiem (V)), zaem φ(1) = p p 1, f ( p ) f ( p 1 ) < 0, co jes niemożliwe, gdyż f ( p 1 ) = f ( p ) = 0. Orzymana sprzeczność kończy dowód całego wierdzenia. 4. STABILNOŚĆ W sandardowej wersji modelu Walrasa sabilność gospodarki oznacza zbieżność jej dowolnej dopuszczalnej rajekorii cen do pewnego wekora cen równowagi z promienia P. Teraz musimy uwzględnić zbieżność zarówno cen, jak i zapasów do ich poziomu w równowadze. W przypadku cen będzie o pewien wekor p P, a w przypadku zapasów wekor z = 0. Δ Definicja 3. Sysem Walrasa z zapasami nazywamy (globalnie) asympoycznie sabilnym, jeżeli p 0 > 0 z 0 > 0 każda (p 0, z 0, ) dopuszczalna rajekoria cen i za- = pasów spełnia warunek: ( (i) p P lim ) p() = p, (i) lim z() = 0. Twierdzenie 3. Przy założeniach (I) (V) sysem Walrasa z zapasami jes globalnie asympoycznie sabilny. Dowód. Pokażemy najpierw, że p 1 P p P (( p 1, f (p ) > 0)). Dowód wzorowany jes na końcowym fragmencie dowodu wierdzenia. Weźmy dowolną parę wekorów cen p 1 P i p P oraz wprowadźmy oznaczenia: p 1 = p1 p 1, p = p p, p(τ) = p 1 + τ( p p 1 ), τ [0, 1]. Mamy wówczas p(0) = p 1, p(1) = p. Niech φ(τ) = p p 1, f (p(τ)) f ( p 1 ).

8 0 Emil Panek Wówczas φ(0) = 0,φ C 1 ([0, 1] R 1 ) oraz zgodnie z warunkiem (V) ( ) dφ(τ) τ [0, 1] = λj(p(τ))λ T < 0, dτ gdzie λ = p p 1 0. Zaem φ(1) = p p 1, f ( p ) f ( p 1 ) < 0. Ponieważ p 1 P, więc f ( p 1 ) = 0, czyli φ(1) = p, f ( p ) p 1, f ( p ) < 0. W myśl prawa Walrasa (warunek IV) p, f ( p ) = 0, zaem p 1, f ( p ) > 0, a sąd (wobec dodaniej jednorodności sopnia 0 funkcji popyu nadwyżkowego): p 1, f (p ) > 0. ( ) Weźmy eraz dowolną (p 0, z 0, ) dopuszczalną rajekorię cen p() i zapasów z() (rozwiązanie układu (3)-(4) z warunkiem począkowym (5)). Wówczas zgodnie z wierdzeniem 1 (i) 0 ( p() Kr n (0) ), gdzie r = p 0 E. Niech p będzie punkem, w kórym promień cen równowagi P przebija kulę Kr n (0). Jeżeli p 0 = p, o 0 (p() = p) oraz ż i () = μz i () 0,, gdy gdy zi 0 () > 0, zi 0 () = 0, zn. lim z() = 0. Załóżmy eraz, że p 0 p. Wówczas 0 (p() P). Uwórzmy funkcję Oczywiście V C 1 [0, + ) oraz 0: V() = 1 p() p, p() p 0. V() = p() p, ṗ() = σ p(), f d (p()) f s (p()) σ p, f d (p()) f s (p()) = σ p, f (p()) < 0 (zgodnie z (*)). Aby pokazać, że p() p wysarczy udowodnić, że V() 0. Ponieważ V() < 0 oraz V() 0 na półosi [0, + ), zaem lim V() = V 0. Załóżmy, że V > 0. Wówczas δ >0 0 ( p() p E δ ). Niech F(p()) = σ p, f (p()) oraz Ω={p Kr n (0) p p E δ}. Zbiór Ω jes zwary i zgodnie z (**) 0 ( V() = F(p()) < 0 & F(p) C 0 (Ω R 1 ) ), ( )

9 Numerical sudy of he wave disk micro-engine operaion 03 czyli isnieje Wówczas zn. 0 max F(p) = ε <0. p Ω ( V() ε <0 ), 0 V() ε. Orzymana sprzeczność dowodzi, że lim V() = 0, czyli lim p() = p. Rozwiązaniem równania (4) jes funkcja zapasów i ego owaru gdzie z i () = max{zi 0 e μ + e μ e μθ f i (θ)dθ, 0}, (8) 0 zi 0 e μ + e μ e μθ f i (θ)dθ = e [ μ zi 0 σ 1 e μθ ṗ i (θ) dθ] = = e μ [ z 0 i (1 μ)σ 1 p 0 i 0 ] σ 1 (1 μ)p i () σ 1 (1 μ) p i < 0. 0 Zaem zgodnie z (4) i (lim z i () = 0), co zamyka dowód wierdzenia. Ławo pokazać, że w szczególnym przypadku, gdy sopa ubyku zapasów μ = 0, a począkowy zapas owarów z 0 > 0, wedy dodanim cenom p odpowiada w równowadze dodani wekor zapasów z. Również aki san równowagi jes globalnie asympoycznie sabilny. Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej Kaedra Ekonomii Maemaycznej LITERATURA [1] McKenzie L.W. (00), Classical General Equilibrium Theory, The MIT Press, Cambridge. [] Morishima M. (1996), Dynamic economic heory, Cambridge Universiy Press. [3] Nikaido H., (1968), Convex Srucures and Economic Theory, Acad. Press, New York and London. [4] Panek E., (003), Ekonomia maemayczna, Wydawnicwo AEP, Poznań. [5] Takayama A., (1997), Mahemaical Economics, Cambridge Universiy Press.

10 04 Emil Panek SYSTEM WALRASA I ZAPASY Sreszczenie W lieraurze z zakresu równowagi ogólnej L. Walrasa sandardowo zakłada się, że o dynamice cen owarów w gospodarce konkurencyjnej decydują relacje między popyem i podażą, co jes oczywiście prawdą. Prawdą jes jednak również o, że różnice między popyem i podażą prowadzą do powsawania zapasów owarów, czego w sandardowych modelach równowagi ogólnej najczęściej już się nie uwzględnia. Arykuł jes skromną próbą wypełnienia ej luki. Przedsawiamy w nim nawiązujący do Walrasa model kszałowania cen, uzupełniony o układ równań dynamiki zapasów w gospodarce konkurencyjnej. Dowodzimy isnienia sanu równowagi konkurencyjnej w akiej gospodarce oraz jego globalnej sabilności. Słowa kluczowe: sysem Walrasa, równowaga konkurencyjna, sabilność WALRASIAN SYSTEM AND STOCKS Absrac In he lieraure concerning Walrasian general equilibrium i is normally assumed ha in he compeiive economy he decisive facor influencing he price dynamics is he relaion beween demand and supply, wha is acually rue. However i is also rue ha he differences beween demand and supply lead o he creaion of socks of goods, wha in sandard models of he general equilibrium is usually no aken ino consideraion. This aricle is a modes aemp o fill his gap. We presen in i a model of price adjusmen, which refers o Walras and is complemened by a sysem of equaions of socks dynamics in he compeiive economy. We prove he exisence of compeiive equilibrium in his economy and is global sabiliy. Keywords: Walras Sysem, compeiive equilibrium, sabiliy