TWIERDZENIE FRISCHA-WAUGHA-STONE A A PYTANIE RUTKAUSKASA

Transkrypt

1 Uniwersye Szczecińsi TWIERDZENIE FRISCHA-WAUGHA-STONE A A PYTANIE RUTKAUSKASA Zagadnienia, óre zosaną uaj poruszone, przedsawiono m.in. w pracach [], [2], [3], [4], [5], [6]. Konferencje i seminaria nauowe sprzyjają sawianiu pyań, na óre odpowiedzi padają po paru, a nawe parunasu laach. Ta było z pyaniem i odpowiedzią, jaie zadał Ruausas (parz [3], s ) Na onferencji nauowej eonomeryów w Zaopanem profesor Ruausas z Liewsiej Aademii Nau posawił nasępujące pyanie: Załóżmy, że: ) dochód narodowy rośnie liniowo: D = δ + δ 0 2) dochód szałują zjawisa I oraz M, 3) gospodara rozwija się w sposób zrównoważony (nie ma przypadów znaczących błędów gospodarczych, rażącej niegospodarności ip.) Ja wyjaśnić i maemaycznie opisać paramer δ? Na onferencji miała miejsce cieawa dysusja. Jaa jes prawidłowa odpowiedź na o pyanie? Załóżmy, że zachodzi relacja: D = I + α 2M + β + α 3 + U α, ()

2 8 oraz, że I i M mają podobnie ja dochód rendy liniowe: I = δ + δ0 + I, (2) M = δ + δ + M 2 20, (3) przy czym rendy rozparujemy z doładnością do sładnia losowego. Wówczas prawidłowa odpowiedź maemayczna jes nasępująca: δ = +. (4) δα + δ 2α 2 β Eonomiczna inerpreacja ego zapisu jes nasępująca: Dynamia dochodu narodowego jes średnią ważoną dynamii inwesycji i zarudnienia sorygowaną paramerem, mierzącym efe inercji dochodu narodowego. Przy czym wagami są odpowiednio paramery, mierzące efeywność inwesycji i zarudnienia. W przypadu więszej liczby wpływających czynniów ( i =, 2,...,) uogólnienie ma posać: = δ i α i β δ +. (5) Ta więc dynamia dochodu narodowego wynia z dynamii zjawis szałujących dochód ( δ i, i =, 2,..., ), z ich efeywności ( α i, i =, 2,...,) oraz inercji gospodari. Aby zmierzyć wpływ inercji, należy wprowadzić zmienną czasową do zbioru argumenów funcji dochodu narodowego. Rolę czasu w opisie maemaycznym funcjonowania gospodari przedsawiono w siążce [5]. Obecność argumenu czasu przy opisie dochodu narodowego jes nieodzowna. Oazuje się, że obo efeywności, zarudnienia i inwesycji dużą rolę w procesie wzrosu odgrywa inercja gospodari (podobnie ja w dynamice aich obieów, ja np. sai). Odpowiedź nawiązuje do zasady pięcioąa źródeł sił sprawczych: empus, locus, homo, casus e foruna regi facum. Możemy uznać, że przy sałym miejscu odpowiedź uwzględnia czery elemeny pięcioąa: miejsce, zdarzenia, czas, przypade. Pełne objaśnienie zmian dochodu narodowego wymagałoby badań eonomerycznych z uwzględnieniem wpływu człowiea. Kszałowanie dochodu narodowego zależy bowiem od ludzi (słonność do oszczędzania, onsumpcji, dyscypliny pracy, ip.) Relację () między dochodem narodowym a zjawisami go szałującymi rozparzymy pod ąem sensowności dla Polsi za laa Dane o dochodzie narodowym, inwesycjach i zarudnieniu podano w ablicy, graficzne przedsawienie rendów ych zmiennych poazano na rysunach, 2 oraz 3. Widzimy, że dochód rośnie liniowo, inwesycje mogą być opisane rendem liniowym, naomias

3 Twierdzenie Frischa-Waugha-Sone a a pyanie Ruausasa 9 zarudnienie waha się. Widoczny jes bra orelacji między dochodem a zarudnieniem, w związu z ym oszacujemy relacje: Y = I + β + β 0 + U gdzie U,Y, I są sładniami losowymi. Ro α, (6) Y = δ + δ 0 + Y, (7) I = δ + δ0 + I, (8) Dochód narodowy, inwesycje i zarudnienie w Polsce w laach Y (w mln zł) I (w mln zł) Tablica Z (w ys. osób) , , , , , , , , , , , , , ,70 5 7, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9 Ź ródł o : Dane saysyczne GUS. Dochód (w mln zł) Rys.. Trend dochodu narodowego w laach Ź ródło : Opracowanie własne.

4 20 Inwesycje (w mln zł) Rys. 2. Trend inwesycji w laach Ź ródł o : Opracowanie własne. Zarudnienie (w ys. osób) Rys. 3. Trend zarudnienia w laach Ź ródło: Opracowanie własne. Oszacowane paramery są nasępujące: 2 Ŷ =, I , ,, ϕ = 0, 2, (9) + Ŷ = , , 69333, (0) I = 4 255, , () (Isone paramery podreślono). Widzimy, że zachodzi (4), czyli: , = , 4 255, ,.

5 Twierdzenie Frischa-Waugha-Sone a a pyanie Ruausasa 2 Powyższa odpowiedź była możliwa na bazie wierdzenia Frischa-Waugha- -Sone a przyoczonego i omówionego w pracach [3 ], [5]. Twierdzenie Frischa-Waugha Esymacja paramerów liniowego równania regresji meodą najmniejszych wadraów na podsawie odchyleń od rendów liniowych daje aie same rezulay, jaie orzymuje się po wprowadzeniu do równania zmiennej czasowej. Szacując paramery modelu: i modelu: Y = α i X i + β + β 0 + u (2) orzymujemy aie same rezulay, jeżeli: oraz Y = α i X i + u (3) = δ + δ 0 Y, (4) Y + i = δ i + δ 0i X, (5) X + gdzie: Y, są odchyleniami od rendów. X α i, β za- W pracy [, s. 5] wyazano, że pomiędzy paramerami: δ, chodzi związe: δ = α iδ i + β. δ i, Uogólnienia ego wierdzenia doonał R. Sone [6], publiując es w 96 rou w Przeglądzie Saysycznym, za sprawą prof. Pawłowsiego. Twierdzenie Sone a mówi, że esymaory uzysane meodą najmniejszych wadraów dla regresji jednoczesnej i sorygowanej są idenyczne. R. Sone przyjmuje funcje regresji jednoczesnej: Y γ = [ X X2] + U, γ (6) 2

6 22 gdzie Y jes weorem olumnowym obserwacji zmiennej endogenicznej; X i X 2 są rozłącznymi macierzami obserwacji na zmiennych objaśniających; γ i γ 2 są weorami olumnowymi paramerów funcji regresji; U jes weorem sładniów losowych. Funcję regresji liniowej zmiennych X i X 2 oznaczamy jao: X = X 2 A + E, (7) gdzie A jes macierzą paramerów funcji regresji; E jes macierzą sładniów losowych. Oznaczając dalej przez Z różnicę między X i X 2 A (gdzie macierz A zosała oszacowana lasyczną meodą najmniejszych wadraów) orzymamy równanie regresji sorygowanej: Y = Zc + V, (8) R. Sone wyazał, że jeżeli paramery γ, c i A zosały oszacowane za pomocą lasycznej meody najmniejszych wadraów, o zachodzi ożsamość: ) γ = c. (9) Twierdzenie Frischa-Waugha-Sone a wydaje się mieć fundamenalne znaczenie w modelowaniu zjawis eonomicznych. W lieraurze przedmiou jes jedna dość rzado esplorowane. Zasadność odpowiedzi na pyanie Ruausasa opiera się również na fundamenalnym sposrzeżeniu zawarym w pięcioącie źródeł sił sprawczych, óry przedsawiono i omówiono w pracach [2], [3], [4]. CZAS MIEJSCE ZDARZENIA ZDARZENIE CZŁOWIEK TRAF Rys. 4. Uniwersalny pięcioą źródeł sił sprawczych Ź ródł o: Opracowanie własne.

7 Twierdzenie Frischa-Waugha-Sone a a pyanie Ruausasa 23 Każdy fa może mieć źródło sprawcze w upływie czasu, w zmianie miejsca, w zdarzeniach wcześniejszych lub współisniejących lub eż w przypadu. I ażdy model eonomeryczny zjawisa powinien o uwzględniać. Dla danych czasowych ważną zmienną objaśniającą powinien być czas, a dla danych przerojowych miejsce. Ignorowanie ego posulau sanowi jedno z źródeł niepowodzeń w apliacjach modeli eonomerycznych. Bibliografia [] Frisch M., Waugh F., Parial ime regressions as compared wih individual rends, Economerics 933, nr [2] Hozer J., Tempus locus homo casus e foruna regi facum. Zbiór esejów eonomicznych, Wydawnicwo Insyuu Analiz, Diagnoz i Prognoz Gospodarczych w Szczecinie, Szczecin 2003 [3] Hozer J., Maemayczno-eonomiczne modele funcjonowania gospodari, Wydawnicwo Uniwersyeu Szczecińsiego, Szczecin 2004 [4] Hozer J., Doszyń M., Eonomeria słonności, Polsie Wydawnicwo Eonomiczne, Warszawa 2004 [5] Hozer J., Zawadzi J., Zmienna czasowa i jej rola w badaniach eonomerycznych, Polsie Wydawnicwo Nauowe, Warszawa 990 [6] Sone R., Uogólnienie wierdzenia Frischa-Waugha, Przegląd Saysyczny 962, nr 4