Modele chaotyczne w ekonomii

Transkrypt

1 Wiold Orzeszko Kaedra Ekonomerii i Saysyki Modele chaoyczne w ekonomii Sreszczenie W niniejszym arykule rozważono kwesię wykorzysania chaoycznych sysemów dynamicznych do modelowania zjawisk ekonomicznych. Przedsawiono przesłanki uzasadniające zaineresowanie ekonomisów eorią chaosu i zaprezenowano związki z innymi koncepcjami modelowania. Omówiono isoę modeli chaoycznych, ich wady i zaley oraz płynące z nich wnioski. Dodakowo dokonano zesawienia wybranych chaoycznych modeli zjawisk ekonomicznych, opublikowanych w świaowej lieraurze ekonomicznej. Wprowadzenie Pierwsze nieliniowe modele deerminisyczne pojawiły się w ekonomii w połowie XX wieku. Opierają się one na założeniu, że źródłem obserwowanych w rzeczywisości ekonomicznej flukuacji i niesabilności mogą nie być zakłócenia zewnęrzne, lecz czynniki endogeniczne. Szczególnym przypadkiem ej klasy modeli są chaoyczne sysemy dynamiczne, kórych ewolucja cechuje się obecnością nieregularnych cykli o zmiennym okresie i ampliudzie oraz jes bardzo rudno odróżnialna od losowej. Specyficzne własności chaoycznych sysemów dynamicznych zaowocowały w ciągu osanich la wzrosem zaineresowania eorią chaosu wśród ekonomisów i powsaniem wielu eoreycznych modeli, generujących chaos. Celem niniejszej pracy jes prezenacja ekonomicznych aspeków zasosowania chaoycznych sysemów dynamicznych do opisu procesów ekonomicznych a akże podsumowanie obecnego sanu wykorzysania eorii chaosu w eorii ekonomii.

2 Nieliniowe sysemy dynamiczne w opisie zjawisk ekonomicznych Epoką, w kórej nasąpił gwałowny rozwój nauk nauralnych było oświecenie. Wielu ówczesnych badaczy było jednocześnie filozofami. Nic więc dziwnego, że dominujący nur filozoficzny oświecenia racjonalizm, zasadniczo wpłynął na kszałujące się w ym okresie paradygmay nauk empirycznych 1. Racjonaliści głosili wiarę w możliwość naukowego poznania praw rządzących świaem i w konsekwencji ich opanowania. Dokonywane na gruncie fizyki i asronomii odkrycia powierdzały, że rzeczywiście isnieją pewne uniwersalne, a jednocześnie sosunkowo prose prawa, umożliwiające opisanie i prognozowanie zjawisk fizycznych. Deerminisyczny charaker zjawisk nauralnych wydawał się ak oczywisy, że uważano go za podsawową własność procesów zachodzących w przyrodzie. Sąd eż ideałem nauki sał się jednoznaczny opis świaa rządzonego przez deerminisyczne prawa 2. Jednak znalezienie ich i opisanie okazywało się niekiedy zadaniem zby rudnym. Isonym problemem w wielu wypadkach była duża liczba składników układów, problemy z ich obserwacją oraz rudność z rozwiązywaniem układów równań różniczkowych, opisujących ich dynamikę 3. Z ego powodu do analizy skomplikowanych zjawisk nauralnych zaczęo wykorzysywać rachunek prawdopodobieńswa. Okazało się, że dzięki meodom saysycznym możliwe jes scharakeryzowanie oraz prognozowanie złożonych procesów, szczególnie akich, w kórych wysępowała duża liczba niezależnych od siebie czynników 4. Tak rakowana saysyka uważana była za meodę pomocniczą, w niedokładny sposób opisującą zdeerminowany świa, kóra, choć w prakyce przydana, w isocie nie ujmuje prawdziwej naury zjawisk. W ym rozumieniu nie było sprzeczności pomiędzy ujęciem deerminisycznym a saysycznym, gdyż doyczyły one różnych poziomów poznania 5. Wzorem dla wczesnych ekonomisów, podobnie jak i dla innych badaczy zjawisk empirycznych, była fizyka i jej deerminisyczne prawa mechaniki klasycznej. Przykładem poglądów ekonomisów klasycznych na ema deerminizmu prawidłowości ekonomicznych była opinia Milla wyrażona w 1844 r.: Nie ma prawa i odsępswa od niego prawa zachodzącego w dziewięćdziesięciu dziewięciu przypadkach i odsępswa w jednym. Są dwa 1 Por. Prokhorov A.B. [2001], Nonlinear Dynamics and Chaos Theory in Economics: a Hisorical Perspecive, maszynopis, EC 816, s Tempczyk M. [1995], Świa harmonii i chaosu, Pańswowy Insyu Wydawniczy, Warszawa, s Tempczyk M., op. ci., s Ibidem, s Ibidem, s

3 prawa, z kórych każde może działać we wszyskich su przypadkach, zaś zachodzące zdarzenie jes efekem ich współdziałania. 6 Oznacza o, że nie rzeba odwoływać się do pojęcia prawdopodobieńswa, gdyż isnieje możliwość znalezienia prawa uniwersalnego (o charakerze deerminisycznym) uwzględniającego współdziałające prawidłowości. Z drugiej srony zauważano jednak, że sysemy ekonomiczne mogą podlegać działaniu dużej ilości czynników, a przez o bywają bardziej złożone niż niekóre układy fizyczne. Sanowisko o wyraził Marshall swierdzając, że zależności ekonomiczne nie przypominają prosych i precyzyjnych praw grawiacji, lecz zdają się być bardziej podobne np. do skomplikowanych i rudniejszych do przewidywania praw rządzących przypływami 7. Ponado zwrócił on uwagę na fak, że złożone i niepewne zachowanie uczesników rynków, z uwagi na naurę ludzkiego posępowania, można opisać jedynie w niedokładny sposób, a formułowane reguły bywają zawodne. Sposobem na ominięcie ych komplikacji była sosowana przez Marshalla analiza cząskowa, polegająca na badaniu zależności pomiędzy wybranymi czynnikami przy założeniu sałości pozosałych 8. W ym celu Marshall wyodrębniał zmienne endogeniczne sysemu, pozosałe rakując jako dane czynniki egzogeniczne, zaś przedmioem badania były związki pomiędzy zmiennymi endogenicznymi, niekiedy poszerzone o wpływ wybranych czynników egzogenicznych, jednak generalnie bez budowania obrazu dynamiki całego złożonego sysemu 9. Zrezygnowanie z klauzuli ceeris paribus nie daje gwarancji zgodności modelu ekonomicznego z rzeczywisością, bowiem niezwykle rudne lub wręcz niemożliwe jes pełne określenie uwarunkowań zajścia opisywanych przez nie zdarzeń. Nigdy bowiem nie ma pewności, czy nie isnieje jakaś nieuwzględniona okoliczność, bez kórej mimo spełnienia określonych doąd warunków pojawienia się nasępswa, analizowany skuek jednak nie zajdzie. Oznacza o, że w sferze zjawisk ekonomicznych nigdy nie będziemy mogli z pewnością powiedzieć, czy w wyniku zajścia pewnego układu warunków pojawi się, czy nie pojawi, pewne inne zjawisko jako ich nasępswo. 10 Powyższa cecha jes jednym z powodów, dla kórych formułowane prawa ekonomiczne uznaje się za sochasyczne. Nieco inną kwesią jes, czy same zjawiska ekonomiczne mają charaker deerminisyczny. Jednak, jak rafnie ujmuje o Z. Czerwiński: Z prakycznego punku widzenia jes obojęne, czy [deerminisyczne; przyp. au.] ilościowe prawa ekonomiczne 6 Tłum. wł. za: Prokhorov A.B., op. ci., s Prokhorov A.B., op. ci., s Czerwiński Z. [1992], Dylemay ekonomiczne, Pańswowe Wydawnicwo Ekonomiczne, Warszawa, s Prokhorov A.B., op. ci., s Czerwiński Z., op. ci., s

4 isnieją, lecz są ak złożone, że nie porafimy ich wykryć, czy eż że ich w ogóle nie ma. W obu przypadkach nie umiemy wskazać akich przekszałceń układu zmiennych egzogenicznych, kóre by dokładnie wyznaczały układ zmiennych endogenicznych, i jakkolwiek (prakycznie wyobrażalne) przekszałcenie przyjmiemy, zawsze empirycznie swierdzamy odchylenia między warościami ych przekszałceń na zaobserwowanych warościach zmiennych egzogenicznych a zaobserwowanymi warościami zmiennych endogenicznych. ( ) Czy źródłem ich [zn. zakłóceń losowych; przyp. au.] jes,indeerminizm świaa zjawisk ekonomicznych, czy raczej niedosaeczne rozpoznanie ego świaa, na en ema ekonomeryk jeżeli nie chce być filozofem wypowiadać się nie musi. 11 To pragmayczne rozumowanie wydaje się być przekonującym uzasadnieniem sosowania modeli sochasycznych do opisu zjawisk ekonomicznych. Jednak na wczesnym eapie rozwoju ekonomii wśród rozważanych modeli dominowały deerminisyczne, a wśród nich najprossze, zn. liniowe. Założenie o liniowym charakerze deerminisycznego sysemu w zasadzie implikuje isnienie pojedynczego punku równowagi, do kórego ewoluuje w czasie sysem. Dzieje się ak dlaego, że pozosałymi zidenyfikowanymi przez maemayków zachowaniami granicznymi sysemów liniowych są rozbieżność (kóra nie ma sensownej inerpreacji ekonomicznej, gdyż np. oznacza upadek gospodarki lub prowadzi do ujemnych cen 12 ) oraz cykl graniczny, kóry jes jednak z punku widzenia własności maemaycznych modelu syuacją bardzo mało prawdopodobną. Z ego powodu modele liniowe w swoich podsawach wyraźnie nawiązują do paradygmau ekonomii klasycznej o isnieniu sabilnego punku równowagi. Isonym powodem kryyki deerminisycznych modeli liniowych była zauważona na począku XX w. ich niezgodność z obserwacjami, polegająca na niemożności generowania ypowych dla wielu zjawisk ekonomicznych nieokresowych cykli (np. gospodarczych) oraz oscylacji o nieregularnych ampliudach. Na przełomie la 30. i 40. zaproponowano rozwiązanie ego problemu, polegające na dodaniu do liniowego modelu składnika losowego, mającego reprezenować m.in. zakłócenia o charakerze egzogenicznym, j. czynniki poliyczne, decyzje z zakresu poliyki gospodarczej pańswa, zmiany echnologiczne, ip. 13 Posępując zgodnie z ą filozofią zakłada się, że immanenne siły opisujące procesy ekonomiczne zachowują się regularnie, zn. powodują zbieżność procesu do punku 11 Ibidem, s Bullard J.B., Buler A. [1991], Nonlineariy and Chaos in Economic Models: Implicaions for Policy Decisions, maszynopis B, The Federal Reserve Bank of S. Louis., s Por. np. Grandmon J.-M., Malgrange P. [1986], Nonlinear Economic Dynamics: Inroducion, Journal of Economic Theory, vol. 40, s. 3, Prokhorov A.B., op. ci., s. 10.

5 równowagi, naomias powodem obserwowanych nieregularności w zachowaniu szeregów czasowych są czynniki egzogeniczne o charakerze losowym, kóre zwykle nie mają czyso ekonomicznego charakeru. Za wórców ej filozofii, kóra w ekonomerii sała się dominującą w analizie cykli ekonomicznych, uważa się Eugeniusza Słuckiego i Ragnara Frischa 14. Oczywiście model ekonomiczny z samej swej naury jes ylko niedoskonałym opisem rzeczywisych procesów. Dlaego eż zrozumiałe jes, a nawe pożądane, aby w modelu rozważać ylko e czynniki, kóre odgrywają isoną rolę w kszałowaniu się zjawiska. Pozosałe zmienne objaśniające, kóre w niewielkim sopniu wpływają na zmienną objaśnianą, można rakować jako przejaw działania czynników przypadkowych i jako akie mogą one zosać uznane za składnik losowy. Jednakże wąpliwy wydaje się model, kóry z góry pomija zmienne isonie wpływające na jego własności. Dodakowo sosowanie koncepcji składnika losowego może prowadzić do przyjęcia nienaukowej posawy, wyrażającej się w zby pochopnym zaakcepowaniu własnej niewiedzy na ema mechanizmów kszałowania się zjawiska, bez próby ich głębszej analizy. Poprzesanie na nazwaniu czynnikiem losowym skomplikowanej czy pozornie przypadkowej przyczyny może spowodować niepoznanie ego, co w isocie jes poznawalne. Sochasyczne modele liniowe są obecnie dominującym narzędziem analizy ekonomicznych szeregów czasowych. W wielu wypadkach ich sosowanie uzasadnia się dobrym dopasowaniem do rzeczywisych danych. Jednak należy posawić pyanie, czy sama ocena dopasowania nie prowadzi do nadużywania modeli określonej klasy? Problem en ilusruje poniższy przykład 15. Rozparzmy nieliniowy model Hicksa z podłogą (ang. floor) i sufiem (ang. ceiling): C I Y C 0 c Y max{ I f, I 0 β ( Y 1 Y 2 )}, (1) min{ Y c 1, C I }, gdzie współczynnik c symbolizuje krańcową skłonność do konsumpcji, zaś β - akceleraor. Zmienna I f jes dolnym ograniczeniem poziomu inwesycji, zaś Y c jes górną granicą produkcji. Jeśli gospodarka ewoluuje w przedziale pomiędzy podłogą i sufiem, wówczas opisywana jes przez równanie: 14 Barne W.A., Medio A., Serleis A. [1997], Nonlinear And Complex Dynamics In Economics, maszynopis, Washingon Universiy, s Lorenz H.-W. [1989], Nonlinear Dynamical Economics and Chaoic Moion, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, s. 29.

6 Y C I. (2) 0 0 ( c β) Y 1 βy 2 W oparciu o model Hicksa przeprowadzono nasępujący eksperymen: przyjęo warości paramerów powodujące eksplodujące oscylacje wielkości produkcji: Y 25,0 (0,75 1,5) 1 1, 5Y 2 Y, (3) a nasępnie do wygenerowanego z powyższego modelu szeregu czasowego dopasowano sochasyczny model liniowy posaci: Y A ( c β) Y βy u. (4) 1 2 Orzymano nasępujący model 16 : Y 28,5 (0,713 0,887) Y 1 0, 887Y (5) 2 ( R 2 0,92, DW 2,17) Prowadzi on do nieprawdziwego wniosku o sabilnym charakerze gospodarki ( β <1), podczas gdy w isocie szereg zosał wygenerowany z modelu niesabilnego ( β >1). Z punku widzenia ekonomii pozyywnej jes więc bezwarościowy. Przykład en pokazuje, że koncepcja dodawania szumu do modelu liniowego może prowadzić do błędnego rozpoznania mechanizmu badanego zjawiska ekonomicznego. Wynika sąd posula, aby we wsępnym eapie procesu modelowania dokonywać idenyfikacji własności danych, umożliwiającej dobór właściwej klasy modeli. Alernaywą dla sochasycznych modeli liniowych w opisie zjawisk ekonomicznych są nieliniowe sysemy dynamiczne. Dzięki możliwości generowania arakorów cechują się one szeroką gamą poencjalnych zachowań granicznych. W szczególności, w przeciwieńswie do układów liniowych, wiele z nich generuje cykle. Zwolennicy sosowania nieliniowych sysemów dynamicznych wywodzą się m.in. z grupy ekonomisów, kwesionujących paradygma ekonomii klasycznej o zdążaniu sysemu do sabilnego punku równowagi. Uznają oni ezę, że źródłem obserwowanych w rzeczywisości ekonomicznej flukuacji i niesabilności mogą nie być zakłócenia zewnęrzne, lecz czynniki endogeniczne, kóre w związku z ym powinny zosać uwzględnione w modelu. Według ej filozofii, czynnik losowy w modelu nie gra zasadniczej roli, a zaem model jes deerminisyczny. Waro podkreślić, że pierwsi badacze cykli ekonomicznych j. Haberler, Hayek, Schumpeer czy Wicksell w 16 Lorenz H.-W., op. ci. s. 29.

7 swoich eoriach odwoływali się właśnie do czynników endogenicznych jako przyczyn obserwowanej w gospodarce cykliczności 17. Nieliniowe modele deerminisyczne sosowane są w ekonomii od połowy XX w 18. Znanymi ich przykładami są modele Kaldora, Hicksa, Goodwina, Samuelsona, Harroda oraz Kaleckiego 19. Za zwolenników wyjaśniania cykli jako efeku działania czynników endogenicznych uważa się przede wszyskim keynesisów oraz poskeynesisów, chociaż sysemy nieliniowe sosowane są również i przez neoklasyków. Źródłem cykliczności we współcześnie konsruowanych nieliniowych modelach deerminisycznych są najczęściej opóźnienia czasowe w reakcjach dososowawczych agenów do sygnałów z rynku oraz wpływające na eraźniejszość ich zmienne oczekiwania, doyczące przyszłości sysemu 20. Zasosowanie sysemów nieliniowych do analizy zjawisk ekonomicznych jes nauralnym uzupełnieniem modelowania liniowego. Nie oznacza o jednak, że zawsze ma ono znaczącą przewagę. Wiele bowiem zależy od rodzaju nieliniowości, a czasem i od przedmiou badania. Przykładowo, nieliniowości w sysemie mogą być ak słabe, że aproksymowanie ich modelem liniowym nie prowadzi do isonych błędów w poznaniu własności rzeczywisego procesu. Jednak podejście o może być dość ryzykowne, szczególnie w przypadku sysemów wielowymiarowych, gdzie nawe pozornie niewielkie nieliniowości mogą zasadniczo wpływać na podsawowe własności modelu 21. W efekcie wnioski płynące z modelu nieliniowego i aproksymującego go modelu liniowego mogą być całkowicie rozbieżne 22. Analiza skomplikowanych własności nieliniowych sysemów dynamicznych unaoczniła ekonomisom nieprawdziwość niekórych sereoypów, doyczących mechanizmów regulujących procesy ekonomiczne. Przykładowo: wykazano, że ingerencja pańswa w gospodarkę, polegająca na symulacji jej wzrosu poprzez zwiększenie wydaków w okresie sagnacji oraz ich zmniejszaniu w okresie wzrosu, może paradoksalnie prowadzić do zwiększenia ampliudy wahań koniunkuralnych 23. Podobnie: spekulacyjne działania uczesników rynku, polegające na dokonywaniu zakupów, gdy cena owaru jes niska (prowadzące do wzrosu ceny) i jej sprzedaży, gdy jes wysoka (impuls do spadku ceny), wcale nie muszą prowadzić do usalenia się ceny na poziomie równowagi. Wręcz przeciwnie, ich działania mogą powodować wzros ampliudy flukuacji cen owaru. W obu przypadkach 17 Grandmon J.-M., Malgrange P., op. ci., s Prokhorov A.B., op. ci., s Por. Grandmon J.-M., Malgrange P., op. ci., s. 3, Prokhorov A.B., op. ci., s Grandmon J.-M., Malgrange P., op. ci., s Lorenz H.-W., op. ci., s Por. Bullard J.B., Buler A., op. ci., s Baumol W.J., Banhabib J. [1989], Chaos: Significance, Mechanism, and Economic Applicaions, Journal of Economic Perspecives, vol. 3, no. 1, s. 80.

8 powodem wysępowania ych paradoksalnych reakcji są opóźnienia czasowe w dososowaniu się podmioów do określonych sygnałów. Chaoyczne sysemy dynamiczne w eorii ekonomii Wczesne nieliniowe modele cykli gospodarczych były kryykowane za ich niezgodność z rzeczywisością. Ich dynamika była zby regularna, aby można było przyjąć, że są w sanie dobrze opisać złożony charaker realnych sysemów ekonomicznych. Z ego powodu zaineresowanie wśród ekonomisów wzbudziły własności chaoycznych sysemów dynamicznych i generowanych przez nie szeregów czasowych. Spośród modeli nieliniowych o właśnie sysemy chaoyczne wyróżniają się największym bogacwem poencjalnych zachowań. W szczególności sysemy e mogą generować szeregi o zmiennym okresie i ampliudzie, kóre ze względu na swą złożoną ewolucję wydają się być losowe. Możliwość zasosowania eorii chaosu w ekonomii zosała po raz pierwszy zasygnalizowana w 1975 r. przez Maya i Beddingona 24. Od ego momenu znaleziono chaos w wielu isniejących modelach zjawisk ekonomicznych oraz zbudowano nowe modele z dynamiką chaoyczną. Do idenyfikacji chaosu w rozważanych sysemach najczęściej wykorzysywano wierdzenie Li i Yorke a (1975). W wielu pracach punkem wyjścia był pewien goowy, deerminisyczny model z czasem dyskrenym lub ciągłym, kóry po ewenualnych przekszałceniach przyjmował posać równania różnicowego lub różniczkowego z chaosem. Niekiedy przekszałcano model sayczny w aki sposób, aby orzymać model dynamiczny, kóry nasępnie poddawano analizie 25. Niekórym isniejącym ekonomicznym modelom z chaosem można zarzucić, że sprawiają wrażenie, jakby konsruowane były pod kąem pewnych konkrenych wierdzeń uławiających idenyfikację chaosu (np. wspomnianego wierdzenia Li i Yorke a) lub były bezpośrednią aplikacją znanych na gruncie maemayki odwzorowań chaoycznych (np. odwzorowania logisycznego). W efekcie część z nich może nie być wysarczająco przekonująca dla ekonomisy, zaś rozważane warości paramerów bywają czasami wąpliwe z punku widzenia ich inerpreacji ekonomicznej. Jednak z drugiej srony waro podkreślić, że założenia maemayczne, porzebne do wygenerowania dynamiki chaoycznej, nie narzucają nienauralnych z punku widzenia eorii ekonomii własności sysemów, zn. 24 Baumol W.J., Banhabib J., op. ci., s Zawadzki H. [1996], Chaoyczne sysemy dynamiczne, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej im. Karola Adamieckiego, Kaowice, s. 188.

9 mechanizmy generujące chaos nie są same w sobie sprzeczne z prawami ekonomicznymi 26. Ponado udowodniono, że w modelach dwu- i więcej wymiarowych nawe słabe nieliniowości mogą generować chaos 27. Z ego powodu lisa ekonomicznych modeli z chaosem wciąż się powiększa, sając się jednocześnie eoreyczną podsawą do idenyfikacji chaosu deerminisycznego w ekonomicznych szeregach czasowych. Wiele chaoycznych modeli ekonomicznych odwołuje się do pojęcia równowagi sysemu. Pojęcie o jes inaczej rozumiane z maemaycznego i ekonomicznego punku widzenia 28. Dla maemayka jes o punk równowagi, będący punkem sałym analizowanego odwzorowania. Ekonomiści przyzwyczajeni do myślenia w kaegoriach modeli liniowych, dość częso równowagę ekonomiczną sysemu uożsamiają z maemaycznym pojęciem równowagi. Typowe dla modeli liniowych isnienie pojedynczego, sabilnego sanu granicznego powoduje, że analiza ekonomicznych własności sysemu saje się sayczna, gdyż zosaje sprowadzona do badania jego zachowania w punkcie równowagi. Tymczasem z ekonomicznego punku widzenia równowaga sysemu polega na spełnianiu pewnych nałożonych warunków o charakerze ekonomicznym, przykładowo - na zrównaniu warości określonych zmiennych, np. popyu i podaży. W ym ujęciu nie można wykluczyć isnienia wielu sanów spełniających nałożone warunki, a wówczas o sysemie ewoluującym pomiędzy akimi sanami będzie można powiedzieć, że pozosaje w równowadze ekonomicznej. Tak rozumiana równowaga saje się więc pojęciem dynamicznym. Nie jes zaem błędem logicznym mówienie o chaoycznej równowadze sysemu, przez kórą rozumieć się będzie syuację, kiedy rajekoria ewolucji sysemu jes chaoyczna 29, a jednocześnie sysem pozosaje w równowadze ekonomicznej. Typowa dla wielu modeli procesów ekonomicznych jes obecność paramerów. Przykładowo, w modelach wzrosu gospodarczego mogą one reprezenować narzędzia oddziaływania na gospodarkę, zaś celem analizy jes znalezienie akich ich wielkości, kóre prowadziłyby do opymalnej ścieżki wzrosu. Jeśli jednak analizowany model ma dynamikę chaoyczną, sprawa się zasadniczo komplikuje. Z jednej srony, modele deerminisyczne dają z naury większe możliwości serowania gospodarką, niż modele odwołujące się do idei zakłóceń zewnęrznych, gdyż endogeniczny charaker procesu umożliwia wykorzysanie narzędzi poliyki fiskalnej czy pieniężnej, reprezenowanych w modelu w posaci 26 Por. np. Bullard J.B., Buler A., op. ci., s Brock W.A., Hommes C.H. [1997], Models of Complexiy in Economics and Finance, maszynopis, Universiy of Wisconsin, Madison, s Por. Bullard J.B., Buler A., op. ci., s Np. w sensie definicji Li i Yorke a.

10 paramerów. Jednakże z drugiej srony, duża wrażliwość sysemów chaoycznych na zmianę warunków począkowych powoduje niemożność przewidywania skuków decyzji gospodarczych w dłuższym horyzoncie czasowym. W efekcie nie jes możliwe wyznaczenie opymalnych warości paramerów ani ym bardziej odpowiednie wyregulowanie odpowiadających im narzędzi oddziaływania na gospodarkę 30. Można zaem powiedzieć, że z punku widzenia możliwości prakycznego wykorzysania chaoycznych modeli ekonomicznych korzysna jes syuacja, kiedy paramery znajdują się poza srefą chaosu. Znalezieniem akich sref zajmuje się eoria bifurkacji. Jednak zakres jej poencjalnych zasosowań w ekonomii wydaje się być dużo szerszy. Analiza bifurkacji modeli ekonomicznych wiąże się również z ciekawymi implikacjami naury eoreycznej. Przykładowo, wykazano, że może ona pomóc w zunifikowaniu pewnych, jak doąd konkurencyjnych, eorii ekonomicznych. Udowodniono bowiem, że pewne znane w eorii ekonomii modele gospodarki, w zależności od warości wysępujących w nich paramerów, mogą prowadzić do sabilnego punku równowagi (charakeryzującego podejście ekonomii klasycznej) lub bardziej złożonego (ypowego dla eorii Keynesa) np. cykli lub nawe chaosu 31. Wspomniane modele wzrosu sanowią w eorii ekonomii isoną, lecz oczywiście nie jedyną, grupę modeli chaoycznych. Wśród ekonomicznych modeli z chaosem dominują makroekonomiczne. Wiele z nich jes modyfikacją znanych na gruncie eorii ekonomii modeli, np. Ricardo, Hicksa, Solowa, Keynesa, Samuelsona, Kaldora, Goodwina czy Haavelmo. Modyfikacje e polegają zazwyczaj na wprowadzeniu do modelu chaoycznej funkcji generującej, kórej własności spełniają założenia modelu i są sensowne z punku widzenia eorii ekonomii. Wśród pozosałych modeli można wyróżnić mikroekonomiczne (np. modele pajęczynowe), finansowe, logisyczne, modele eorii gier i in. W abeli 1 zaprezenowano przykłady ekonomicznych modeli z dynamiką chaoyczną, wraz z odnośnikami do lieraury źródłowej. Analiza własności chaoycznych sysemów dynamicznych prowadzi do ciekawych, z punku widzenia ekonomisy, wniosków. Do najważniejszych z nich można zaliczyć nasępujące: 1. źródłem złożonej cykliczności zjawisk gospodarczych mogą być czynniki endogeniczne (deerminisyczne), 30 Por. Bullard J.B., Buler A., op. ci. 31 Barne W.A. i in., op. ci., s. 62.

11 2. pozornie losowe szeregi czasowe mogą pochodzić od bardzo prosych (np. jednowymiarowych) sysemów generowanych przez deerminisyczne reguły, 3. rynki modelowane przez sysemy chaoyczne nie są efekywne, gdyż możliwe jes ich krókookresowe prognozowanie przy wykorzysaniu wiedzy o sanach z przeszłości, 4. znajomość deerminisycznych praw ewolucji sysemu nie jes równoważna możliwości dokładnego prognozowania jego ewolucji w dowolnym horyzoncie czasowym (wrażliwość na zmianę warunków począkowych sysemów chaoycznych w prakyce powoduje wykładniczy wzros błędów prognoz 32 ), 5. powodem pojawiania się w szeregach obszarów różnej zmienności mogą być bifurkacje polegające np. na przejściu od dynamiki regularnej do chaoycznej. Innym źródłem wysępowania nagłych zmian w przebiegu procesu może być, spowodowane zaburzeniami zewnęrznymi, przeskakiwanie rajekorii sysemu do obszarów przyciągania innych arakorów lub sama funkcja generująca, 6. posawienie wyraźnej granicy pomiędzy losowością a deerminizmem jes niezwykle rudne. Tabela 1. Ekonomiczne modele z dynamiką chaoyczną w lieraurze świaowej Auor Model Modele makroekonomiczne J. Benhabib, R. Day (1980), (1982) Zmodyfikowany model OLG Diamonda. J. Benhabib, G. Laroque (1988) Model OLG A. Bhaduri, D.J. Harris (1987) Zmodyfikowany model wzrosu Ricardo. J.M. Bla (1983) Model wzrosu Hicksa. M. Boldrin, L. Monrucchio (1986) Model opymalnego wzrosu. M. Boldrin, K. Nishimura, T. Shigoka, Model opymalnego wzrosu. M. Yano (2001) L. Colombo, G. Weinrich (2001) Model OLG z konsumenami, producenami i rządem, dopuszczający sochasyczny charaker decyzji konsumenów. R.A. Dana, P. Malgrange (1984) Model wzrosu z mnożnikiem i akceleraorem. R. Day (1982), (1983) Modele wzrosu: klasyczny i Solowa. R. Day, W. Shafer (1985) Keynesowski model sałych cen w ramach modelu IS- LM. R. Deneckere, S. Pelikan (1986) Model opymalnego wzrosu. R. Farmer (1986) Model OLG z gospodarką produkcyjną. G. Gabisch (1984) Model wzrosu z mnożnikiem i akceleraorem ypu Samuelsona. J-M. Grandmon (1985) Model OLG. F.R. Hahn (1992) Walrasowska gospodarka wymiany. 32 Por. np. Tempczyk M., op. ci., s

12 B. Jullien (1988) Model OLG. H-W. Lorenz (1989) Model Kaldora cykli koniunkuralnych. A. Medio, G. Negroni (1996) Model CARAL - OLG z funkcją produkcji Leoniewa. M.J. Pohjola (1981) Nieliniowa wersja modelu wzrosu Goodwina. P. Reichlin (1986) Model OLG gospodarki produkcyjnej z ograniczoną subsyucją kapiał-praca. M.T. Suzer (1980) Model wzrosu Haavelmo. R.G. de Vilder (1995) Dwuwymiarowy model OLG z produkcją. Pozosałe modele ekonomiczne J. Benhabib, R. Day (1981) Model decyzji konsumenckich uzależnionych m.in. od poziomu bogacwa, przyzwyczajeń czy relacji korzyści praca/czas wolny. C. Chiarella (1986) Model pajęczynowy. R.A. Dana, L. Monrucchio (1986) Modele z zakresu eorii gier opisujące zachowania rynkowe duo- i oligopoli. P. De Grauwe. H. Dewacher, M. Modele kursów wymiany walu. Embrechs (1993) D.S. Dendrinos (1986) Zagadnienia logisyczne doyczące dynamiki rozwoju organizacji w przesrzeni. S. Keen (1995) Model finansowy ypu Minsky ego. P. Nijkamp (1987) Zagadnienia logisyczne doyczące dynamiki rozwoju organizacji w przesrzeni. T. Onozaki, G. Sieg, G. Yokoo (2000) Model pajęczynowy. D. Rand (1978) Modele z zakresu eorii gier opisujące zachowania rynkowe duo- i oligopoli. D.G. Saari (1984) D.G. Saari, S.R. Williams (1986) Mechanizmy głosowania. Sysemy o różnych poziomach decenralizacji informacji. F. Van der Ploeg (1985) Model Begga wyceny obligacji. R.W. Whie (1985) Zagadnienia logisyczne doyczące dynamiki rozwoju organizacji w przesrzeni. M. Woodford (1989) Decyzje przedsiębiorców doyczące konsumpcji i oszczędności. Źródło: opracowanie własne. Podsumowanie Wczesne modele deerminisyczne zjawisk ekonomicznych cechowały się dynamiką zby prosą, aby można było uznać, że dobrze opisują złożoną rzeczywisość. Teoria chaosu wnosi cenny wkład do modelowania procesów ekonomicznych, gdyż bogacwo zachowań opisywanych przez nią sysemów daje poencjalną możliwość wyeliminowania ej niezgodności pomiędzy eorią a prakyką. Dodakowo sysemy chaoyczne są deerminisyczne, zn. kładą nacisk na wzajemne oddziaływanie czynników endogenicznych,

13 co sanowi nawiązanie do prac pierwszych badaczy cykli gospodarczych. I choć do niekórych isniejących modeli chaoycznych można mieć z ekonomicznego punku widzenia pewne zasrzeżenia, o jednak eoria chaosu w żaden sposób nie jes sprzeczna z eorią ekonomii. Z powyższych powodów lisa isniejących ekonomicznych modeli z chaosem sysemaycznie się powiększa, sanowiąc wyzwanie i inspirację zarówno dla eoreyków ekonomii, jak i dla ekonomeryków. Chaoic models in economics Nonlinear deerminisic models have been appeared in economics in he middle of he 20h cenury. Their poin a he ineracions beween inernal forces as a source of complex dynamics in economic sysems. Chaoic dynamic sysems are a paricular ype of such models. Irregular frequencies and ampliudes of chaoic flucuaions make hem difficul o disinguish from a random behaviour. In fac, unlike ruly random processes, chaoic dynamics can be forecas very precisely in a shor run. Specific properies of chaoic moion have caused he noiceable increase of he populariy of chaos heory amongs economiss. For he las years he significan amoun of chaoic models of economic sysems has been developed. This paper deals wih possibiliies of using chaoic sysems o economic modeling. The reasons making chaos heory ineresing o economiss and relaions beween differen conceps of modeling have been presened. The basic properies of chaoic models and he implicaions for he economic heory have been described. Addiionally seleced chaoic models known in economics have been lised. Lieraura Barne W.A., Medio A., Serleis A. [1997], Nonlinear And Complex Dynamics In Economics, maszynopis, Washingon Universiy Baumol W.J., Banhabib J. [1989], Chaos: Significance, Mechanism, and Economic Applicaions, Journal of Economic Perspecives, vol. 3, no. 1, Benhabib J., Day R. [1980], Erraic accumulaion, Economics Leers, vol. 6, Benhabib J., Day R. [1981], Raional choice and erraic behaviour, Review of Economic Sudies, vol. 48,

14 Benhabib J., Day R. [1982], A characerizaion of erraic dynamics in he overlapping generaions model, Journal of Economic Dynamics and Conrol, vol. 4, Benhabib J., Laroque G., [1988], On compeiive cycles in producive economy, Journal of economic Theory, vol. 45, Bhaduri A., Harris D.J. [1987], The Complex Dynamics of he Simple Ricardian Sysem, Quarerly Journal of Economics, vol. 102, Bla J.M. [1983], Dynamic Economic Sysems A Pos-Keynesian Approach. Armonk: M.E.Sharpe Boldrin M., Monrucchio L. [1986], On he indeerminacy of capial accumulaion pahs, Journal of Economic Theory, vol. 40, Boldrin M., Nishimura K., Shigoka T., Yano M. [2001], Chaoic Equilibrium Dynamics in Endogenous Growh Models, Journal of Economic Theory, vol. 96, Brock W.A., Hommes C.H. [1997], Models of Complexiy in Economics and Finance, maszynopis, Universiy of Wisconsin, Madison Bullard J.B., Buler A. [1991], Nonlineariy and Chaos in Economic Models: Implicaions for Policy Decisions, maszynopis B, The Federal Reserve Bank of S. Louis Chiarella C. [1986], The Elemens of a Nonlinear Theory of Economic Dynamics, praca dokorska, Universiy of New Souh Wales Colombo L., Weinrich G. [2001], The Phillips Curve as o Long-Run Phenomenon in a Macroeconomic Model wih Complex Dynamics, Compuing in Economics and Finance, vol. 13 Czerwiński Z. [1992], Dylemay ekonomiczne, Pańswowe Wydawnicwo Ekonomiczne, Warszawa Dana R.A., Malgrange P. [1984], The dynamics of discree version of a growh cycle model, w: Analyzing he Srucure of Economeric Models, J.P.Anco, ed., Wighoff, Amserdam Dana R.A., Monrucchio L. [1986], Dynamic complexiy in duopoly games, Journal of Economic Theory, vol. 40, Day R. [1982], Irregular growh cycles, American Economic Review, vol. 72, Day R. [1983], The emergence of chaos from classical economic growh, Quarerly Journal of Economics, vol. 98,

15 Day R., Shafer W. [1985], Keynesian chaos, Journal of Macroeconomics, vol. 7, De Grauwe P., Dewacher H., Embrechs M. [1993], Exchange Rae Theory: Chaoic Models of Foreign Exchange Markes, Blackwell, Oxford Dendrinos D.S. [1986], On he Incongruous Spaial Employmen Dynamics, w: Technological Change, Employmen and Spaial Dynamics, Nijkamp P., ed., Springer, Berlin- Heidelberg-New York Deneckere R., Pelikan S. [1986], Compeiive chaos, Journal of Economic Theory, vol. 40, Farmer R. [1986], Deficis and cycles, Journal of Economic Theory, vol. 40, Gabish G. [1984], Nonlinear Models of Business Cycle Theory, w: Seleced Topics in Operaions Research and Mahemaical Economics, Hammer G., Pallaschke D., eds., Springer, Berlin,Heidelberg,New York, Grandmon J-M. [1985], On endogenous compeiive business cycles, Economerica, vol. 50, Grandmon J.-M., Malgrange P. [1986], Nonlinear Economic Dynamics: Inroducion, Journal of Economic Theory, vol. 40, 3-12 Hahn F.R. [1992], Equilibrium dynamics and chaos: A exbook approach, Jahrbücher für Naionalökonomie und Saisik, vol. 210, Jullien B., [1988], Compeiive business cycles in an overlapping generaions economy wih producion, Journal of Economic Theory, vol. 46, Keen S. [1995], Finance and Economic Breakdown: Modeling Minsky's 'Financial Insabiliy Hypohesis', Journal of Pos Keynesian Economics, vol. 17, Li T.Y., Yorke J.A. [1975], Period Three Implies Chaos, American Mahemaical Monhly, vol. 82, Lorenz H.-W. [1989], Nonlinear Dynamical Economics and Chaoic Moion, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg May R., Beddingon J.R. [1975], Nonlinear Difference Equaions: Sable Poins, Sable Cycles, Chaos, maszynopis Medio A., Negroni G. [1996], Chaoic dynamics in overlapping generaions models wih producion, w: Nonlinear Dynamics and Economics, Barne W.A., Kirman A.P., Salmon M., eds., Cambridge Universiy Press, Cambridge

16 Nijkamp P. [1987], Long-Term Economic Flucuaions: A Spaial View, Socio-Economic Planning, vol. 21, Onozaki T., Sieg G., Yokoo G. [2000], Complex dynamics in a cobweb model wih adapive producion adjusmen, Journal of Economic Behavior and Organizaion, vol. 4, Ploeg F. van der [1985], Raional Expecaions, Risk and Chaos in Financial Markes, The Economic Journal, vol. 96, Pohjola M.J. [1981], Sable and Chaoic Growh: he Dynamics of a Discree Version of Goodwin s Growh Cycle Model, Zeischrif für Naionalökonomie, vol. 41, Prokhorov A.B. [2001], Nonlinear Dynamics and Chaos Theory in Economics: a Hisorical Perspecive, maszynopis, EC 816 Rand D. [1978], Exoic phenomena in games and duopoly models, Journal of Mahemaical Economics, vol. 5, Reichlin P. [1986], Equilibrium cycles in an overlapping generaions economy wih producion, Journal of Economic Theory, vol. 40, Saari D.G. [1984], The ulimae of chaos resuling from weighed voing sysems, Advances in Applied Mahemaics, vol. 5, Saari D.G., Williams S.R. [1986], On he local convergence of economic mechanisms, Journal of Economic Theory, vol. 40, Suzer M.T. [1980], Chaoic dynamics and bifurcaion in a macro-model, Journal of Economic Dynamics and Conrol, vol. 2, Tempczyk M. [1995], Świa harmonii i chaosu, Pańswowy Insyu Wydawniczy, Warszawa Vilder de R.G. [1995], Endogenous Business cycles, Tinbergen Insiue Research Series, vol. 96, Universiy of Amserdam Whie R.W. [1985], Transiions o Chaos wih Increasing Sysem Complexiy: The Case of Regional Indusrial Sysems. Environmen and Planning A, vol. 17, Woodford M. [1989], Imperfec financial inermediaion and complex dynamics, w: Economic Complexiy: Chaos, Sunspos, Bubbles, and Nonlineariy, Barne W.A., Geweke J., Shell K., eds., Cambridge Universiy Press, Cambridge Zawadzki H. [1996], Chaoyczne sysemy dynamiczne, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej im. Karola Adamieckiego, Kaowice