MIARA I ODWZOROWANIE RYZYKA FORWARD NA RYNKU SKOŃCZONYM

Transkrypt

1 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN Nr Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Kolegium Analiz Ekonomicznych Kaedra Maemayki i Ekonomii Maemaycznej jukin@sgh.waw.pl MIARA I ODWZOROWANIE RYZYKA FORWARD NA RYNKU SKOŃCZONYM Sreszczenie: Praca doyczy konsrukcji odwzorowania ryzyka forward w modelu rynku skończonego określonego na srukurze drzewa. Odwzorowanie ryzyka forward jes zdefiniowane dla danej warunkowej wypukłej miary ryzyka, spełniającej warunek kalibracji. Odwzorowanie o nie jes niezmiennicze względem dopła, lecz jes podaddyywne. W różnych modelach rynków skończonych, wskazane zosały pewne warunkowe miary ryzyka, generujące odwzorowania ryzyka forward. Słowa kluczowe: warunkowa miara ryzyka, warunek kalibracji. Wprowadzenie Zasosowania saycznej miary ryzyka do modelu wielookresowego zainspirowały dwa nury badań. W odniesieniu do modeli rynku kapiałowego argumen miary ryzyka jes inerpreowany jako zdyskonowana wypłaa końcowa. Wiadomo, że po nałożeniu na miarę ryzyka warunku kalibracji, można orzymać z niej odpowiednią miarę ryzyka forward, kórej argumenem jes wypłaa końcowa. Drugi nur doyczy akualizacji z upływem czasu pierwonej miary ryzyka. Dla danej uniwersalnej miary ryzyka, można wówczas zdefiniować odpowiednie warunkowe miary ryzyka w przedziałach czasu o późniejszych począkach. Sayczna i warunkowa miara ryzyka mają en sam argumen. Powsaje nauralne pyanie o połączenie obu nurów, czyli o możliwość oraz konsekwencje eliminacji czynnika dyskonującego z argumenu jakiegoś odpowiednika warunkowej miary ryzyka. Należy zauważyć, iż czynnik dyskonujący, wysępujący w argumencie zarówno saycznej, jak warunkowej miary ryzyka doyczy całego, a nie skróconego przedziału czasu. Z ego powodu ewen-

2 Miara i odwzorowanie ryzyka forward na rynku skończonym 101 ualny pomysł worzenia miary ryzyka forward na podsawie warunkowej miary ryzyka i wcześniej wspomnianego warunku kalibracji, doyczącego skróconego przedziału czasu, nie prowadziłby do uwzględnienia czynnika zawarego w zmiennej. Sąd pomysł odwołania się do uogólnionego warunku kalibracji. W niniejszej pracy, na skończonym rynku zupełnym, pozbawionym możliwości arbirażu, dla warunkowej miary ryzyka, spełniającej uogólniony warunek kalibracji zdefiniowane jes odwzorowanie ryzyka forward, kórego argumenem jes wypłaa końcowa. Odwzorowanie o nie jes warunkowo niezmiennicze względem ranslacji, naomias charakeryzuje się podaddyywnością względem dopła. W modelu rynku o losowych sopach procenowych wskazany zosał przykład miary ryzyka, generującej odwzorowanie ryzyka forward, opare na wycenie bezarbirażowej. W modelu rynku o deerminisycznych sopach procenowych wykazane jes, iż każda warunkowa koherenna miara ryzyka generuje odpowiednie odwzorowanie ryzyka forward. 1. Model rynku i warunkowa miara ryzyka Rozważamy model rynku kapiałowego, na kórym ransakcje odbywają się w chwilach {0,,T}, przy czym w chwili T, rynek przyjmuje jeden z N sanów końcowych. Na zbiorze sanów końcowych dana jes funkcja prawdopodobieńswa rzeczywisego P. Srukura informacyjna modelu jes określona za pomocą schemau drzewa (niezrekombinowanego). Zmienne losowe rakujemy jako wekory z przesrzeni R N. Przez K() oznaczamy liczbę rozgałęzień w chwili. Przez I oznaczamy podział zbioru sanów końcowych na podzbiory ych sanów, kóre można osiągnąć na koniec, jeśli wychodzi się z rozgałęzień schemau drzewa w chwili. Sąd CardI = K(). Wedy w rozparywanym modelu T-okresowym, w chwili wysępuje ciąg K() podmodeli T--okresowych, rozpoczynających się w kolejnych rozgałęzieniach drzewa w chwili, kończących się na odpowiednich elemenach I. Podmodele e wyposażone są w funkcje prawdopodobieńswa rzeczywisego, będące warunkowymi rozkładami orzymanymi z P. W przedziale czasu 0,T na rynku wysępuje 1+A pierwonych papierów warościowych: okresowo bezpieczne kono bankowe oraz A walorów ryzykownych, np. akcji. Ceny ych papierów warościowych są dane na schemacie drzewa. Czynnik dyskonujący za okres 0, oznaczamy przez D. Jes on równy D = 1/((1+r 0 ) (1+r 1 )), gdzie r 0,,r 1 są losowymi sopami procenowymi dla kolejnych okresów jednoskowych, D 0 = 1. Zakładamy, ze rozważany rynek kapiałowy jes zupełny oraz pozbawiony możliwości arbirażu. Twierdzenia doyczące modeli skończonych orzekają, iż model rynku określony na schemacie

3 102 drzewa jes pozbawiony możliwości arbirażu wedy i ylko wedy, gdy w żadnym podmodelu nie ma możliwości arbirażu [Dana, Jeanblanc-Picque, 1998, s. 50] oraz że model rynku jes zupełny wedy i ylko wedy, gdy każdy jego podmodel jes zupełny [Pliska 2005, s. 158]. Możemy poczynić nasępującą uwagę. W modelu wysępuje 1+A walorów pierwonych, a ponieważ każdy 1-okresowy podmodel jes zupełny i pozbawiony możliwości arbirażu, o liczba zdarzeń na koniec podmodelu wynosi 1+A. W konsekwencji, w chwili drzewo ma K() = (1+A) rozgałęzień, zaś każdy elemen podziału I ma moc równą (1+A) T. Na rynku zupełnym i pozbawionym możliwości arbirażu isnieje dokładnie jedna funkcja prawdopodobieńswa maryngalowego Q równoważna P, dla kórej ciąg zdyskonowanych warości sraegii replikującej wypłaę końcową jes Q-maryngałem. Wówczas, w każdej chwili {0,,T} jes jednoznacznie określona cena obligacji zerokuponowej B (T), wypłacającej 1 w erminie T. Cena a spełnia równanie: D B (T) = E Q (D T I ) (1) Zakres zaineresowania auorów wiąże się z akualizacją saycznej miary ryzyka ρ w wielookresowym przedziale czasu 0,T. W rozszerzonym ujęciu eorii pomiaru ryzyka, obejmującym analizę warunkowych miar ryzyka, własności określające rodzaj miary ryzyka grupuje się w nasępujący sposób. Miarą ryzyka nazywa się funkcję ρ : R N R, spełniającą warunki monooniczności, niezmienniczości względem przesunięć oraz normalizacji [Ukin, 2010, s. 71]. Jeśli ponado, funkcja ρ jes wypukła [Ukin, 2010, s. 158], o ρ jes wypukłą miarą ryzyka. Co więcej, jeśli funkcja ρ jes dodanio jednorodna [Ukin, 2010, s. 71], o ρ jes koherenną miarą ryzyka. Aby miara ryzyka ρ kwalifikowała się do akualizacji w chwilach pośrednich, wysarczy założyć, że formuła określająca jej warości nie zależy od wymiaru dziedziny. Możemy wówczas mówić, że ρ jes uniwersalną miarą ryzyka. Jeśli T 2, o na podsawie danej uniwersalnej miary ryzyka ρ : R N R, przyporządkowującej wekorom losowych kwo X R N skalary ρ(x), o w chwili {0,,T 1} możemy zdefiniować odwzorowanie ρ : R N R K(), kórego współrzędne mają w kolejnych T--okresowych podmodelach warości określone za pomocą akiej samej formuły jak funkcja ρ. Sosując znany z lieraury zapis [Follmer, Schied, 2011, s. 264], warości ego odwzorowania wyrazimy wzorem: ρ (X) = ρ(x I ), X R N (2) Własności współrzędnych odwzorowania ρ z wzoru (2) i funkcji ρ nie są na ogół idenyczne, gdyż na rynku skończonym własności miar ryzyka mogą zależeć od liczby sanów końcowych [Ukin, 2010].

4 Miara i odwzorowanie ryzyka forward na rynku skończonym 103 Poniżej przyoczono definicję i klasyfikację warunkowych miar ryzyka [Follmer, Schied, 2011, s. 457], sformułowaną dla rozważanego przypadku. Jeżeli dla odwzorowania ρ : R N R K() zachodzą: warunkowa niezmienniczość względem przesunięć: ρ (X + c ) = ρ (X) c, gdzie c jes sałą na zdarzeniach z elemenów I monooniczność: X Y ρ (X) ρ (Y) normalizacja: ρ (0) = 0 o ρ nazywamy warunkową miarą ryzyka. Jeżeli ponado zachodzi warunkowa wypukłość: ρ c X + 1 c Y c ρ X 1 c ρ Y, gdzie c jes sałą na zdarzeniach ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) z elemenów I i c 0,1, o ρ nazywa się warunkową wypukłą miarą ryzyka. Co więcej, jeżeli jes spełniona warunkowa jednorodność: ρ (c X) = c ρ (X), gdzie c jes sałą na zdarzeniach z elemenów I i c > 0, o ρ nazywa się warunkową koherenną miarą ryzyka. Ciąg kolejnych warunkowych miar ryzyka (ρ ) =0,,T 1 jes nazywany dynamiczną miarą ryzyka. 2. Miara ryzyka spo i forward Argumen miary ryzyka ρ inerpreuje się jako zdyskonowaną wypłaę końcową. N. El Karoui i C. Ravanelli zdefiniowały, na podsawie miary ryzyka ρ spełniającej warunek kalibracji, miarę ryzyka forward, kórej argumenem jes sama wypłaa końcowa. W ym konekście ρ nazywa się miarą ryzyka spo [El Karoui, Ravanelli, 2009, s. 566]. Mianowicie, jeśli miara ryzyka spo ρ spełnia warunek kalibracji: ρ(cd T ) = cb 0 (T), c R (3) o funkcja ϕ T : R N R o warościach: ϕ T (W T ) = ρ(d T W T )/B 0 (T), W T R N (4) jes wypukłą miarą ryzyka. Funkcja ϕ T zosała nazwana miarą ryzyka forward. Posać warunku kalibracji sugeruje nasępujący przykład. Przykład Niech: ρ(x) = E Q ( X), X R N Funkcja ρ jes koherenną miarą ryzyka, spełniającą warunek kalibracji. Jeśli X = D T W T, o: ρ(x) = W 0 gdzie W 0 oznacza cenę bezarbirażową w chwili 0 wypłay W T. (5) (6)

5 104 Miara ryzyka forward, generowana zgodnie z (4) przez miarę ryzyka spo (5), ma warości: ϕ T (W T ) = W 0,T (7) gdzie: W 0,T = W 0 /B 0 (T) (8) jes ceną erminową forward w chwili 0 wypłay losowej W T, przy czym erminem dosawy wypłay jes T. 3. Odwzorowanie ryzyka forward Uogólnieniu warunku kalibracji (3) poświęcony jes rozdział 5 arykułu publikacji auorswa B. Acciaio, H. Follmera i I. Penner [Acciaio, Follmer, Penner, 2012, s. 691]. Praca doyczy dynamicznych wypukłych miar ryzyka dla procesów. Zmienną losową, reprezenującą pozycję finansową w danej chwili końcowej można rakować jako skończony proces o zerowych wcześniejszych przepływach. Twierdzenia o warunkowych wypukłych miarach ryzyka dowodzone są na podsawie reprezenacji scenariuszowej [Follmer, Schied, 2011, s. 458]. Informacje o reprezenacji scenariuszowej wypukłych miar ryzyka na rynku skończonym można znaleźć w rozdziale 7 pracy auorki niniejszego arykułu [Ukin, 2010, s. 160]. Na rynku zupełnym i pozbawionym możliwości arbirażu uogólniony warunek kalibracji, odnoszący się do warunkowej wypukłej miary ryzyka oraz doyczący dyskonowania na momen 0, ma posać [Acciaio, Follmer, Penner, 2012, s. 695]: ρ (c D T ) = c D B (T), {0,,T 1} (9) gdzie c jes sałą na zdarzeniach z elemenów I. Z wierdzenia o uogólnionym warunku kalibracji wynika, że (9) implikuje nasępującą regułę rozdzielności, względem zdyskonowanej dopłay: ρ (X + c D T ) = ρ (X) c D B (T), X R N (10) gdzie c jes sałą na zdarzeniach z elemenów I. W przypadku sałej sopy procenowej i warunkowej koherennej miary ryzyka reguła (10) pojawiła się uprzednio w arykule F. Riedla [Riedel, 2004, s. 188]. Trakując ρ jako odpowiednik na chwilę miary ryzyka spo, wprowadzimy odpowiednik miary ryzyka forward.

6 Miara i odwzorowanie ryzyka forward na rynku skończonym 105 Definicja Odwzorowaniem ryzyka forward generowanym przez warunkową wypukłą miarę ryzyka ρ, spełniającą uogólniony warunek kalibracji (9), nazywamy odwzorowanie ϕ T, : R N R K() o warościach: ϕ T, (W T ) = ρ(d T W T )/B (T), W T R N (11) Wedy ϕ T,0 = ϕ T Z reguły rozdzielności (10) wynika nasępujący wniosek. Wniosek 1 Odwzorowanie ryzyka forward ϕ T, jes monooniczne, znormalizowane, warunkowo wypukłe i spełnia regułę rozdzielności: ϕ T, (W T + c ) = ϕ T, (W T ) c D, W T R N (12) gdzie c jes sałą na zdarzeniach z elemenów I. Orzymana reguła (12) różni się od aksjomau warunkowej niezmienniczości względem ranslacji, ponieważ dopłaa po prawej sronie jes zdyskonowana. Z nierówności D 1, {0,,T 1} orzymujemy kolejną własność odwzorowania forward. Wniosek 2 Odwzorowanie ryzyka forward ϕ T, jes warunkowo podaddyywne względem dopła: dla c > 0 sałej na zdarzeniach z elemenów I zachodzi nierówność: ϕ T, (W T + c ) ϕ T, (W T ) c, W T R N (13) Gdy D 1 a D = 1, np. dla = 0, o w chwili isnieją zdarzenia, dla kórych (13) jes nierównością osrą. Odwzorowanie ϕ T, nie spełnia warunków charakeryzujących warunkową miarę ryzyka. W odniesieniu do saycznych miar ryzyka, warunkowa podaddyywność względem dopła pojawia się w rezulacie składania miary ryzyka i nierosnącej funkcji wypukłej, z czym na przykład mamy do czynienia w wycenie bezarbirażowej opcji pu z zerową ceną wykonania [El Karoui, Ravanelli, 2009, s. 569]. Przykład cd. Warunkowa miara ryzyka wyznaczona przez (5) ma warości: ρ (X) = E Q ( X I ), X R N Odwzorowanie (14) jes warunkową koherenną miarą ryzyka, spełniającą uogólniony warunek kalibracji. Jeśli X = D T W T, o ρ (X) = D W gdzie W oznacza cenę bezarbirażową w chwili wypłay W T. (14) (15)

7 106 Odwzorowanie ryzyka forward, generowane przez warunkową miarę ryzyka (14) ma warości: ϕ T, (W T ) = D W T,, W T R N (16) gdzie W T, = W /B (T) (17) (16) jes wekorem przeciwnym do wekora zdyskonowanej za okres 0, ceny erminowej forward z chwili wypłay W T, przy czym jes erminem zawarcia konraku forward, a T erminem dosawy wypłay. Odwzorowanie ryzyka forward (16) jes podaddyywne względem dopłay c 0 sałej na zdarzeniach z elemenów I, mianowicie: ϕ T, (W T + c ) = D W T, D c D W T, c (18) Sosując do odwzorowania (16) regułę rozdzielności (12), orzymaliśmy w (18) oba składniki określone w chwili i zdyskonowane na momen 0. Dążenie do uwzględnienia niezdyskonowanej dopłay doprowadziło do efeku podaddyywnosci w (18). Ograniczymy eraz rozważania do modelu rynku o deerminisycznych sopach procenowych. W T-okresowym modelu dane są dla kolejnych okresów sopy procenowe r 0,,r T 1, niezależne od sanów. Założymy ponado, że ρ jes warunkową koherenną miarą ryzyka. Ze sałości c na zdarzeniach z elemenów I wynika, że dla {0,,T 1} warunkowa miara ryzyka ρ spełnia (9): 1 T ρ ( c DT ) = c DT = c ( 1+ rs ) ( 1+ rs ) = c D B ( T ) (19) s= 0 s= Isnieje zaem odwzorowanie ryzyka forward, kóre zgodnie z (4) ma warości: ϕ T, (W T ) = D ρ (W T ), W T R N (20) Ponado z założenia koherencji wynika, że odwzorowanie (20) jes warunkowo dodanio jednorodne: ϕ T, (c W T ) = c ϕ T, (W T ) (21) gdzie c > 0 jes sałą na zdarzeniach z elemenów I. Wniosek 3 W modelu rynku o deerminisycznych sopach procenowych każda koherenna warunkowa miara ryzyka spełnia warunek kalibracji. Taka miara ryzyka wyznacza odwzorowanie ryzyka forward, kórego warości określone są wzorem (20). Odwzorowanie (20) jes monooniczne, znormalizowane, warunkowo wypukłe, dodanio jednorodne oraz warunkowo podaddyywne względem dopła.

8 Miara i odwzorowanie ryzyka forward na rynku skończonym 107 Można zauważyć, iż założenie deerminisycznych sóp procenowych może doyczyć jedynie losowego modelu rynku, na kórym insrumenami ryzykownymi są akcje. Rynek obligacji zosałby przy ym założeniu sprowadzony do odpowiedniego modelu rynku deerminisycznego. Podsumowanie W odniesieniu do wielookresowych skończonych modeli rynku kapiałowego rozparywanych, przy założeniu braku mozliwości arbirażu i zupełności, rozszerzono konsrukcję miary ryzyka forward na odwzorowanie ryzyka forward. Argumen saycznej miary ryzyka inerpreuje się jako zdyskonowaną wypłaę końcową. Dla miary ryzyka, spełniającej warunek kalibracji znana jes definicja miary ryzyka forward, kórej argumenem jes wypłaa końcowa. Z drugiej srony akualizacja danej saycznej miary ryzyka w modelu wielookresowym odbywa się przez generowanie odpowiedniej warunkowej miary ryzyka. W niniejszej pracy zosało zdefiniowane odwzorowanie ryzyka forward w odniesieniu do warunkowej wypukłej miary ryzyka spełniającej uogólniony warunek kalibracji. Odwzorowanie ryzyka forward jes monooniczne, znormalizowane i warunkowo wypukłe, naomias nie spełnia ono warunkowej niezmienniczości względem ranslacji, więc nie ma cech warunkowej miary ryzyka. Zamias warunku niezmienniczości wprowadzone odwzorowanie spełnia regułę rozdzielności. Z ej reguły uzyskano warunek podaddyywności względem dopła. Podaddyywność jes efekem dążenia do pomniejszenia warości odwzorowania o niezdyskonowaną dopłaę. Przykładem miary ryzyka, spełniającej warunek kalibracji generującej warunkowe miary ryzyka spełniające uogólniony warunek kalibracji jes warość oczekiwania, względem funkcji prawdopodobieńswa maryngałowego losowej sray. Warość odwzorowania ryzyka forward jes wedy zdyskonowaną ceną erminową sray. Na zakończenie wykazano, że na rynku o deerminisycznych sopach procenowych każda koherenna warunkowa miara ryzyka spełnia uogólniony warunek kalibracji. Lieraura Acciaio B., Follmer H., Penner I. (2012), Risk Assessmen for Uncerain Cash Floors: Model Ambiguiy, Discouning Ambiguiy and he Role of Bubbles, Finance and Sochasics, Vol. 16. Dana R.-A., Jeanblanc-Picque M. (1998), Marches financiers en emps coninu, Economica, Paris.

9 108 El Karoui N., Ravanelli C. (2009), Cash Subaddiive Risk Measures and Ineres Rae Ambiguiy, Mahemaical Finance, No. 4. Follmer H., Schied A. (2011), Sochasic Finance. An Inroducion in Discree Time, De Gruyer, Berlin. Pliska S. (2005), Wprowadzenie do maemayki finansowej, WNT, Warszawa. Riedel F. (2004), Dynamic Coheren Risk Measures, Sochasic Processes and Aplicaions, Vol Ukin J. (2010), Sayczne miary ryzyka i sray w skończonych modelach srukury erminowej, SGH, Warszawa. FORWARD RISK MEASURE AND APPLICATION IN THE FINITE MARKET MODEL Summary: The paper deals wih he consrucion of he forward risk applicaion in he finie marke model wih he ree srucure. The risk forward applicaion is defined for a given condiional convex risk measure saisfying he generalized calibraion condiion. Such an applicaion is no cash invarian, bu is an subaddiive one. In differen marke models we indicae some condiional risk measures generaing forward risk applicaions. Keywords: condiional risk measure, calibraion condiion.