WPROWADZENIE Podsawowe kierunki badań Zachowania klasyczne i dziwne Diagnosyka dziwnych zachowań Źródła zachowań chaoycznych Sysem pojęciowy Przykłady

Transkrypt

1 KLASYFIKACJA ZACHOWAŃ WYBRANYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Wojciech MITKOWSKI Kaedra Auomayki Wydział Elekroechniki, Auomayki, Inormayki i Elekroniki Akademia Górniczo-Hunicza w Krakowie Zielona Góra, lisopada

2 WPROWADZENIE Podsawowe kierunki badań Zachowania klasyczne i dziwne Diagnosyka dziwnych zachowań Źródła zachowań chaoycznych Sysem pojęciowy Przykłady Uwagi końcowe

3 DWA PODSTAWOWE KIERUNKI BADAŃ Poszukiwanie zachowań regularnych np. sabilnych w różny sposób. Poszukiwanie i zrozumienie zachowań nieregularnych chaos. 3

4 ZACHOWANIA REGULARNE Globalna asympoyczna sabilność Asympoyczna sabilność-zbiory przyciągania Sabilność prakyczna Trajekorie okresowe Paramery określające zachowania Układy liniowe 4

5 STABILNOŚĆ PRAKTYCZNA RÓWNANIE VAN DER POLA: &&+ µ a & + β δ sin, ẋ,a. β, µ δ δ. 9 5

6 DZIWNE ZACHOWANIA I STABILNOŚĆ PRAKTYCZNA &&+ a& + bsign δ sin ω 6

7 "ONION" ATRAKTOR 7

8 NORMA W CZASIE 8

9 AUTOKORELACJA 9

10 ANALIZA WIDMOWA

11 DIAGNOSTYKA DZIWNYCH ZACHOWAŃ Obserwacja normy w czasie Arakor Auokorelacja Analiza widmowa Inne

12 WYBRANE HIPOTEZY BADAWCZE Ocena " wrazeniowa" Isnienie arakora chaos Tuc ker 999 Sygnaly okresowe auokorelacja okresowa Szybkie zanikanie auokorelacji chaoycznosc sygnalu Wykladnicze zanikanie auokorelacj mieszanie Widmo szerokopasmowe z jednym osrzem chaos

13 DETERMINIZM A PRZYPADKOWOŚĆ Chaos deerminisyczny Szum losowy przypadkowy Meody badania chaosu worzą pomos pomiędzy zachowaniami deerminisycznymi i przypadkowymi 3

14 KIEDY MOŻEMY MÓWIĆ O CHAOSIE? -INTUICJA. Pook rajekorii ma deerminisyczny i prosy opis.. Zachowania rajekorii są skomplikowane i przypadkowe. Przypadkowość oznacza, że pook jes nieprzewidywalny i rajekorie są wrażliwe na małe perurbacje warunków począkowych pook wygląda jak szum losowy. 4

15 ŹRÓDŁA DYNAMIKI CHAOTYCZNEJ Różnego rodzaju nieliniowości. Czas ciągły - n>. Czas dyskreny - n>. Chaos w układach liniowych ale nieskończenie wymiarowych. Wiele seki różnych deinicji chaosu. 5

16 TRZY RÓŻNE PODEJŚCIA BADANIA CHAOSU. Makroskopowe: badanie całego pooku, w konsekwencji szukanie arakorów o skomplikowanej srukurze.. Mikroskopowe: badanie własności poszczególnych rajekorii, rajekorii niesabilnych, urbulennych lub gęsych w przesrzeni sanu. 3. Sochasyczne: wykorzysuje eorię ergodyczną bada się isnienie ergodycznej miary niezmienniczej. 6

17 WYBRANE POJĘCIA W CELU WPROWADZENIE PORZĄDKU 7

18 8 UKŁAD DYNAMICZNY X, ciagla jes X X s I X X X dynamiczny na semidynamiczny uklad s s + :[,,,,, : } { o n A A R X e e A,, & Przykłady: A A k k k A k k +,,,, K

19 UKŁAD MINIMALNY Zbiór niezmienniczy : D X : D D Gdy D jes domkniey, czyli para D, o mówimy : D jes podukladem X, D jes ukladem dynamicznym, Układ, kóry nie posiada żadnych niepusych właściwych podukładów nazywamy układem minimalnym. Jeżeli domknięy zbiór niezmienniczy wyznacza układ minimalny, o nazywamy go zbiorem minimalnym. Układ jes minimalny wedy i ylko wedy, gdy każda orbia jes gęsym podzbiorem przesrzeni azowej domknięcie dowolnej orbiy jes zawsze podukładem. 9

20 UKŁAD DYSKRETNY, },,, { k O wzgledem X punku orbia Trajekoria k k k K } : {. : : Fi punków saych Zbiór Per punków okresowych Zbior podsawowym m okresie o okresowego punku orbia cykl m m dlugosci o Cykl m liczba najmniejsza podsawowy Okres n dla okresowy Punk m n

21 ZASADA ODWZOROWAŃ ZWĘŻAJĄCYCH Sean Banach, Kraków Lwów K K,,,3,,,,,,,3,, :!,,,,,,, : + m F X n F F X F F X X F m m o o n n n o o o ρ α α ρ α αρ αρ αρ αρ ρ

22 PRZESTRZEŃ FRAKTALI METRYKA HAUSDORFFA d,b B B A },,, ma{,, ma,, ma, A B d B A d B A h A y d A B d B d B A d B y A

23 3 ODWZOROWANIA ITEROWANE,,,3,K,, + + i b i A i 3,,, 3 3 b b b A A A n n n3 n TRÓJKĄT SIERPIŃSKIEGO m n dla A A h n m n < <,

24 ODWZOROWANIE ODCINKA [, ] W SIEBIE i+ F i, λ, F, λ λ, i,,3,4,5, generaor λ, n, generaor3.884,5, generaor3.884,5,.55 4

25 ORBITA dla lambda4 5

26 Hisogram dla orbiy 6

27 ROZWIĄZANIE NUMERYCZNE i+ h i a & a + b + c i + b i + c, a, b 3/ 4, c,.5 i ih, i,,, h.5 h

28 8 ORBITY OKRESOWE PORZĄDEK SZARKOWSKIEGO KK K K K K K K K n n n [,] [,] : Jeżeli posiada orbię okresową o okresie podsawowym m a k jes liczbą nauralną mniejszą od m w porządku Szarkowskiego, o posiada akże orbię okresową o okresie podsawowym k.

29 ZBIÓR CZASÓW PRZEJŚCIA Zbiór N U, V czasów przejscia z U do V : zbiory oware U, V X, N U, V { n Ν : n U V Θ}, Θ zbiór pusy, Ν liczby naura ln e 9

30 TRANZYTYWNOŚĆ : X X jes ranzyywne uklad jes przechodni na X wedy i ylko wedy, gdy U, V X niepusych i owarych n Ν : n U V Θ. Zbiórω, jako granice jakiegoś zbiór graniczny punku podciagu ciagu O X : zbiór wszyskich mozliwych punków kóre mozna uzyskać {,,, K}. jes ranzyywne X :ω, Każdy układ minimalny jes ranzyywny X Układ X, jes ranzyywny wedy i ylko wedy, gdy dla dowolnych niepusych i owarych zbiorów U i V zbiór NU,V jes nieskończony. 3

31 WRAŻLIWOŚĆ NA WARUNKI POCZĄTKOWE : X X jes wrazliwe na warunki poczakowe, jezeli δ > : X i jego ooczenia U y U n > : ρ n, n y δ. ρ meryka w X Jeżeli układ ranzyywny przechodni i posiada gęsy zbiór punków okresowych, o jes również wrażliwy na zmiany warunków począkowych Banks i inni 99. Wrażliwość na warunki począkowe implikuje niesabilność w sensie Lapunowa. 3

32 MIESZANIE I SPLĄTANIE jes mieszajace, gdy U, V X niepusych owarych N : n U V Θ n > N. Zbior S X nazywamy spla an ym przez, gdy, y S, y zachodzi warunek dla n lim sup n n y > oraz lim in n n y. 3

33 DEFINICJE CHAOSU Układ jes chaoyczny w sensie Auslandera i Yorke a 98, jeżeli jes ranzyywny i wrażliwy na warunki począkowe. Układ jes chaoyczny w sensie Li i Yorke a 983, gdy isnieje nieprzeliczalny zbiór zbiór spląany S w X. Wcześniej w innym języku była o pierwsza deinicja chaosu 975. Układ jes chaoyczny w sensie Devaneya 986, jeżeli jes ranzyywny i zbiór punków okresowych jes gęsy w X oraz jes wrażliwe na warunki począkowe. Jeżeli układ ranzyywny przechodni i posiada gęsy zbiór punków okresowych, o jes również wrażliwy na zmiany warunków począkowych Banks i inni

34 CHAOS DYSTRYBUCYJNY W deinicji Li i York a wymaga się by ieracje dwóch punków nieskończenie wiele razy oddalały się od siebie i zbliżały dowolnie blisko. W chaosie dysrybucyjnym wymaga się dodakowo by zbliżanie i oddalanie odbywało się odpowiednio częso. 34

35 PRZYKŁADY Równanie Lorenza Obwód elekryczny Chuy Sieci komórkowe Układ LC 35

36 36 RÓWNANIE LORENZA, :,,,,,,,,, > > > + ε ε K K gdy rownanie Typowe K u K u c b a R u R K K Bu B c b a a A Bu A &

37 LORENZ

38 LORENZ 38

39 ATRAKTOR LORENZA 39

40 WYKRES NORMY W CZASIE 4

41 AUTOKORELACJA 4

42 KORELACJA WZAJEMNA, BLISKIE WARUNKI POCZĄTKOWE: ;; I.;; 4

43 ANALIZA WIDMOWA 43

44 OBWÓD ELEKTRYCZNY CHUY 3 L R R i g C C R. g v 3 av+ bv, a<, b > R

45 TRAJEKTORIA FAZOWA 45

46 WYKRES NORMY OD CZASU 46

47 AUTOKORELACJA 47

48 KORELACJA WZAJEMNA, BLISKIE WARUNKI POCZĄTKOWE:.;.5;.8 I.;.5;.8 48

49 ANALIZA WIDMOWA 49

50 SIEĆ KOMÓRKOWA p -s -s -s -s p y y -r -r z z p

51 5 MODEL SIECI KOMÓRKOWEJ,,,,, 3 3 z u y u u z y p r s r p s s s p B A Bu Aw w + & Galias 995, s. 6; model złożonej sieci komórkowej. p.5; p.; p3.; s3.; r4.4;

52 Trajekoria sieci komórkowej

53 TURBULENCJE W UKŁADZIE LC, z, z LC,, z [, ],,, z L L L L C C n ϕ i iπ ωi sin, ϕ i, i,, K, n n+ LC n+ 53

54 RZUT TRAJEKTORII dla n 54

55 NORMA W CZASIE 55

56 AUTOKORELACJA 56

57 ANALIZA WIDMOWA 57

58 Analiza widmowa c.d. w i, 7, 4,, 8,3 48,4 3,4 76,5 36,594,6 48 m a, 76, 4,,3 45,3 47,3 53,4 75,5 89,59 w i,6 98,7 45,7 87,8 5,8 58,8 87,9,9 9,9 4,9 5 m a,6 94,7 84,8 5,8 49,8 85,9,9 78, 5 58

59 UWAGI KOŃCOWE Ograniczone możliwości kompuera Serowanie kompuerowe 59

60 REDUKCJA WYMIARU Uraa inormacji Redukcja wymiaru: n n n + dim n <+ 6

61 OGRANICZONE MOŻLIWOŚCI KOMPUTERA F, F + / / i + i > i K

62 STEROWANIE KOMPUTEROWE k + A k + y k C k, u k R k,,,... A : e Bu k, R r Ah n, y k R, B : h m, [ kh, k + h kh, h>, k A e Bd, C : C,,,... C/A C/A SYSTEM CIĄGŁY u k yk A/C 6

63 Wykorzysane prace Lasoa, Rudnicki 4 Oprocha 8, Kwieniak 8 Banasiak 5, Galias, Kudrewicz 993 Mikowski P.9,, Obrączka Dawidowicz, Zgliczyński, Srzednicki Inne...np. Bronszejn i inni 4 63

64 DZIĘKUJĘ I PROSZĘ O UWAGI wojciech.mikowski@agh.edu.pl 64