Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2; c) α =, 2, /2 oraz /2 3 Zapisz w postaci pojedynczej potęgi dwójki: a) /64; b 2; c) ( 2)/2; d) ( 2) 3 ( 3 2) 2 ; e) (2 3 ) 4 ; f) 2 34 ; g) ( 2 ) 2 4 Oblicz: a) log 2 24; b) log 2 4 ; c) log 2 2; d) log4 8; e) log 8 4; f) log 3 3 5 Wyraź poniższe wyrażenia za pomocą pojedynczego logarytmu dziesiętnego: a) 2 log 2; b) log 2 2 log 5; c) log 3 ; d) log 2 3; e) log 2 ln 2 6 Wyraź y jako funkcję zmiennej, jeżeli log y = (3/2) log 7 Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = 2 ; b) y = log( + ); c) y = log ; d) y = 2 ; e) y = 2 8 Znajdź funkcję odwrotną do funkcji: a) y = 2 ; b) y = 2 ; c) y = 2, ; d)* y = 2 + 2, 9 Podaj wartości funkcji trygonometrycznych: a) tg π 3 ; b) sin 2π 3 ; c) cos 5 3 π; d) sin 5 4 π; e) cos 4 3 π; f) ctg 2π 3 Naszkicuj wykres funkcji: a) y = sin 2; b) y = cos( + π/4); c) y = sin + sin ; d) y = sin + 3 cos Korzystając z okresowości, parzystości (nieparzystości) i wzorów redukcyjnych oblicz: a) sin 5 3 π b) cos 4 π; c) tg 3 π; d) sin ( 7 4 π) ; e) cos 7 6 π; f) sin 2π 5 + sin 8π 5 2 Wykaż tożsamości: a) + tg 2 = cos 2 ; b) cos2 = + cos 2 ; c) sin 2 cos = 2 sin 3 + sin 2 3 Oblicz wartości czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta sin 5 4 Wyraź sin 3α za pomocą sin α Udowodnij, że sin 2 jest liczbą niewymierną 5 Oblicz: a) arctg ; b) arcsin( /2); c) arctg( 3); d) arcsin( 2/2) 6 Sinusoidą nazywamy krzywą, którą można otrzymać przesuwając wykres funkcji y = a sin(b + c) Wykaż, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą: a) y = cos ; b) y = sin 2 ; c) y = sin cos ; d) y = sin + cos ; e) y = sin 4 + cos 4 7 Pokaż, że jeśli t = tg(/2), to cos = t2 2t, sin = + t2 + t 2 8 Za pomocą odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczbę cyfr liczby n Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba 2? 9 * Jednym z pierwiastków równania 4 3 3 = 2 jest cos 2 Znajdź dwa pozostałe
Oblicz granice ciągów: Lista 2 - Granica a) a n = (n + 3)(2n + ); b) b n = n2 + n 3 + n + ; c) c n = 3n + 4 n 5 n ; d) d n = + 2 + + n ; n e) e n = n 2 + n; f) f n = n 2 + n n; g) g n = sin n n ; h) h n = n 2 n + 3 n 2 Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją a) a n = (n 2 + )/(n + ); b) b n = n 2 n 3 ; c) c n = 3 n 2 n ; d) d n = 3 n ( 2) n 3 Jeżeli dla dodatnich funkcji f, g lim n f(n)/g(n) = a, gdzie < a <, to mówimy, że f, g są tego samego rzędu; jeżeli a = że są asymptotycznie równe a) Pokaż, że + 2 + + n jest rzędu n 2 b) Dla jakiego a ( n k) jest asymptotycznie równe an k? 4 Oblicz granice ciągów: a n = ( ( ) + n) 2n; b) bn = n n; n+ c) cn = ( ) 2n+ n; 2n d) dn = ( ) n 2 n 5 Wyjaśnij, wskazując odpowiednie przykłady, dlaczego następujące wyrażenia są nieoznaczone: a) ; b) / ; c) 6 Naszkicuj wykres funkcji f() = lim n ( + + 2 + n) Uważaj na dziedzinę! 7 Oblicz granice funkcji: a) lim 3 2 ; 2 b) lim ; 8 Oblicz granice funkcji: sin 2 sin 2 a) lim ; b) lim sin ; ln( ) sin e) lim ; f) lim π π ; c) lim + 2 sin ; d) lim cos e 2 c) lim 2 ; d) lim e ; g) lim cos ; h) lim sin π/2 cos π 2 9 Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie: a) y = Znajdź asymptoty funkcji: w punkcie ; b) y = sgn w punkcie ; c) y = a) y = 3 2 ; b) y = 3 + 8 ( 2 4) 2 ; c) y = 2 ( 2 + 6) ; d) y = w punkcie + 2 Niech P n oznacza pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu, L n jego obwód Znajdź granice obu ciągów i wywnioskuj z nich granicę ciągu a n = n sin(2π/n) 2 Przy stałym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana wielkość się podwaja a) Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowi p% b) Uzasadnij, że dla małych p okres ten wyraża się przybliżonym wzorem 7/p c) Czy średni przyrost naturalny w ciągu ostatnich lat był wyższy od promila czy niższy? 3 Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dla a > a 2 + r a + r 2a Korzystając z tego wzoru pokaż, że: a) 9/6; b) 5 3/8; c) 2 99/7
Lista 3 - Ciągłość i pochodna Wskaż punkty nieciągłości i określ ich rodzaj:, gdy, cos gdy >, a) y = b) y = w pp; < ; c) y = 2, gdy, 2 w pp 2 Korzystając z twierdzenie Bolzana o wartościach pośrednich dla funkcji ciągłych uzasadnij, że równanie: a) 5 ++ = ma dokładnie jeden pierwiastek; b) e = ++ 2 ma dodatni pierwiastek; 3 Gdzie i w jaki sposób w poniższych rachunkach korzystamy z ciągłości? ( lim n ln + ) ( = lim n n ln + n ( = ln lim + n n) n = ln e = n n) 4 Czy funkcję y = sin(/) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej prostej? A funkcję y = sin(/)? 5 Korzystając z definicji oblicz pochodne: a) y = + ; b) y = ; c) y = e 6 Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej oblicz pochodne funkcji: a) y = ( 2) 2 ; b) y = 2 ; c) y = ; d) y = ; e) y = ( + ) ( ) 7 Oblicz: a) f () dla funkcji y = ( + ) 3 ; b) f () dla funkcji y = + 2 8 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: a) y = e w punkcie (, f()); b) y = ln w punkcie (e, f(e)) 9 Znajdź kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji y = 2 2 poprowadzonej w punkcie (, ) a dodatnią półosią osi O Analogicznie dla stycznej w punkcie (, ) Oblicz pochodne niewłaściwe w punkcie funkcji: a) y = 2, = 2: b) y = 2, = ; c) y = arcsin, = Wskaż punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna (o ile takie istnieją) W punktach nieróżniczkowalności oblicz wartości obu pochodnych jednostronnych a) y = + 2 ; b) y = 2 + ; y = 3 + 2 ; d) y = 2 Pokaż, że funkcja f() = sin(/) dla, f() = nie jest różniczkowalna w punkcie zero Czy ma w tym punkcie pochodne jednostronne? A niewłaściwe? 3 Wyraż za pomocą pochodnej związek pomiędzy polem koła a obwodem okręgu oraz pomiędzy powierzchnią kuli a jej objętością Zakładając, ze podobny związek zachodzi także w wyższych wymiarach znajdź powierzchnię kuli czterowymiarowej, wiedząc, że jej objętość wynosi π 2 /2 4 Pokaż, że styczna poprowadzona do wykresu funkcji y = f() w punkcie P = (a, f(a)) przecina oś O w punkcie o współrzędnej -owej a) Zapisz ten wzór dla funkcji y = 2 2 a = a f(a) f (a) b) Oblicz kilka początkowych wyrazów ciągu =, n+ = n i odgadnij jego granicę c) Znajdź w podobny sposób przybliżoną wartość pierwiastka 3 + = 3
Lista 4 - Pochodna cd Oblicz pochodną korzystając z podstawowych wzorów: a) y = 4 + ; b) y = ; c) y = e ; d) y = 2 ln ; e) y = sin cos ; f) y = 3 + 2 + ; ln g) y = ; sin h) y = ; i) y = sin ; j) y = e 2 ; k) y = sin 4; l) y = ln( 2 + ); m) y = sin sin ; n) y = + 2 ; o) y = ln sin 2 Korzystając ze wzorów na pochodne eksponenty e i logarytmu naturalnego oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej wyprowadź wzory na pochodną: a) y = a ; b) y = log a, gdzie a dodatnie, różne od 3 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: a) y = e e w punkcie (, f()); + b) y = tg2 w punkcie (π/4, f(π/4)) 4 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = 2 w punkcie ( 2/2, 2/2) dwiema metodami: a) geometrycznie; b) algebraicznie 5 Naszkicuj wykres wielomianu: a) y = 3 3 + ; b) y = 4 4 2 4; c) ) ( + ) 3 6 Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności podanych funkcji: a) y = 2 2 ; b) y = e c) y = 2 ln ; d) y = 4 2 ; e) y = ln 7 Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: y = 3 2 na przedziale [, 4] 8 Znajdź zbiór wartości i liczbę rozwiązań równania f() = m dla funkcji: a) y = 2 + + 2 + ; b) y = + 2 + 3 9 Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: a) y = ln ; b) y = e Korzystając z wypukłości odpowiednich funkcji uzasadnij nierówność: a) e + ; b) ln( + ) : c) sin < dla dodatnich Zilustruj nierówność szkicując fragmenty wykresów obu porównywanych funkcji Korzystając z reguły de l Hospitala oblicz granice: ln arctg sin ln a) lim b) lim ; c) lim ( ln e) lim ln2 ; f) lim + sin ) ; g) lim / ; n ; d) lim e ; 2 Naszkicuj wykres funkcji: a) y = e ; b) y = ln ; c) y = ln h) lim ( + sin ) / 3 Nie korzystając z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest większa: e π czy π e? 4 Pokaż, że dla funkcji różniczkowalnej f zachodzi równość f () = [ln f()] f() Naszkicuj wykres funkcji y = 5 Odgadnij asymptoty funkcji y = ln( + e ) i sprawdź swoje przypuszczenia za pomocą obliczeń Czy wykres przecina którąkolwiek z asymptot?
Lista 5 - Aproksymacje Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość: a) 3, 9; b) ln, ; c) sin 3 2 Z twierdzenia Lagrange a wynika, że przy odpowiednich założeniach f() = f(a) + f (c)( a) Znajdź c o którym tu mowa w przypadku funkcji f() = 2, oraz a =, = 2 3 Zapisz cztery kolejne przybliżenia taylorowskie dla f() = 3 + 2 2 + 3 + 4: a) wokół a = ; b) wokół a = 4 Oblicz przybliżoną wartość e sumując pięć początkowych składników rozwinięcia Maclaurina dla e Oszacuj błąd przybliżenia 5 Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij przybliżenie sin 3 3! + 5 5! Oszacuj błąd przybliżenie przy założeniu, że < π/2 6 Znajdź: a) trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia Maclaurina dla y = + ; b rozwinięcie Maclaurina dla funkcji y = ln( + ) 7 Wykaż, że jeżeli funkcja f jest różniczkowalna oraz f(a + b) = f(a)f(b) i f() =, to f = f Wywnioskuj z twierdzenia Lagrange a, że f() = e
Lista 6 - Całka oznaczona Techniki całkowania I Oblicz podaną całę przybliżając ją za pomocą sumy prostokątów: 2 a) ; b) 2 : c)* Wsk: b) zachodzi równość 2 + 2 2 + + n 2 = (n(n + )(2n + )/6; c) dobierz punkty podziału tak, aby tworzyły ciąg geometryczny 2 Korzystając z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej oblicz całki: 4 4 2 a) ; b) ( + 2 ) ; c) 2 ; d) 2 2 3 Oblicz za pomocą całek pole obszaru ograniczonego krzywymi: a) y = 2 2, + y = ; b) y =, y =, y =, = 2; c) =, y = arcsin, y = π/2 4 Korzystając z całkowania przez podstawienie znajdź całki: a) (2 + ) 7 ; b) e + e ; c) 4 2 ; d) e e) ln ; f) e ; g) ; h) 2 + e2 5 Korzystając z całkowania przez części znajdź całki: a) sin ; b) e 2 ; c) 2 ln ; d) sin 2 ; + arctg ; e) 2 e ; f) e sin 6 Znajdź całkę nieoznaczoną 2 za pomocą podstawienia = sin t Korzystając z tej całki pokaż, że pole koła 2 + y 2 jest równe π 7 Znajdź średnią wartość funkcji: a) 2 na [, a]; b) sin na [, π]; ] c) cos na [, π] 8 Nie korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz π sin 2 9 Udowodnij, że k + 2 k + + n k jest asymptotycznie równe n k+ /(k + ) Oblicz a) lim n ( n n 2 + + n n 2 + 4 + + ) ( n n 2 + n 2 ; b) lim n n + + n + 2 + + ) 2n Aproksymując pole pod wykresem y = / za pomocą prostokątów wykaż, że suma różni się od ln n o mniej niż + 2 + 3 + + n 2 Funkcje hiperboliczne definiujemy wzorami cosh = (e +e )/2, sinh = (e e )/2 a) Podaj przykłady analogii (tożsamości, pochodne, całki) pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi b) Czy funkcje hiperboliczne są ograniczone? okresowe? 3 Oblicz π sin bezpośrednio z definicji, korzystając ze wzoru na sumę sin α + sin 2α + + sin nα = sin nα 2 sin α 2 (n+)α sin 2
Lista 7 - Techniki całkowania II Całka niewłaściwa i zastosowania Oblicz poniższe całki nieoznaczone: a) 2 + : b) 2 + 4 ; c) (2 + 3) 5 ; d) ( + 2 ) 3 2 Rozłóż na ułamki proste i znajdź całkę nieoznaczoną: a) ( ) ; b) ( 2 4 ; c) ( + ) ( + )( + 2) : d) 2 + + 2 + 3 ; (2 + 3) (2 + ) e) 2 + 4 ; f) 2 ; g) + 2 + + ; h) 4 2 + ; i) 2 + 2 + 2 ; j) 2 2 + 6 + ; k) 3 + 4 ; l) 4 3 Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych: a) tg ; b) cos 2 ; c) sin 3 ; d) sin 3 sin ; e) sin 4 Oblicz objętość i powierzchnię bryły utworzonej przez obrót łuku sinusoidy y = sin, π wokół osi O 5 Korzystając ze wzorów na objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót wokół osi Oy oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi Oy: a) odcinka y =, a; b) odcinka paraboli y = 2, a Jak rozwiązać b) korzystając ze wzoru na obrót wokół osi O? 6 Korzystając ze wzoru na długość łuku: a) oblicz długość łuku krzywej łańcuchowej y = (e + e )/2, ; b) sprawdź, że obwód okręgu 2 + y 2 = jest równy 2π 7 Oblicz całki niewłaściwe lub uzasadnij, że są rozbieżne: a) ; b) + 2 ; c) + ; d) ln ; e) ln 8 Trąbką Torricellego nazywamy powierzchnię powstałą przez obrót krzywej y = /, wokół osi O a) Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona b) Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzna powierzchnię za pomocą skończonej ilości farby Wyjaśnij ten paradoks 9 Oblicz całkę /( + 2 ) 2 kontynuując obliczenia: ( + 2 ) 2 = + 2 ( + 2 ) 2 2 2 ( + 2 ) 2 = Oblicz powierzchnię torusa utworzonego przez obrót okręgu 2 + (y R) 2 = r 2 (R > r) wokół osi O Sprawdź, że powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okręgu tego okręgu przez drogę, jaka przebywa jego środek Oblicz powierzchnię czaszy wyciętej ze sfery 2 + y 2 + z 2 = płaszczyzną z = a, gdzie < a < Sprawdź, że jest ona równa powierzchni jej rzutu prostokątnego na powierzchnie walca stycznego do tej sfery