Macierze i wyznaczniki

Zdefiniujemy teraz wyznaczniki i omówimy uk lady równań liniowych z wieloma niewiadomymi Zaczniemy od definicji Definicja 8 (macierzy a, a, a,n a, a, a,n Tablice prostoka tna A nazywać be dziemy macierza o a m, a m, a m,n m wierszach i n kolumnach Czasem stosować be dziemy oznaczenie A (a i,j i m j n lub A (a i,j, gdy nie be dzie wa tpliwości, o macierz jakiego wymiaru chodzi Macierze można mnożyć przez liczby mnoża c każdy wyraz macierzy przez te liczbe : a, a, a,n ca, ca, ca,n a, a, a,n ca ca, ca, ca,n a m, a m, a m,n ca m, ca m, ca m,n Macierze tego samego wymiaru można dodawać dodaja c odpowiednie wyrazy: a, a,n b, b,n a, + b, a,n + b,n a, a,n + b, b,n a, + b, a,n + b n,n a m, a m,n b m, b m,n a m, + b m, a m,n + b m,n Mnożenie macierzy przez liczby i ich dodawanie z punktu widzenia w lasności formalnych nie różni sie od dodawania liczb rzeczywistych Inaczej jest z mnożeniem macierzy, które zaraz zdefiniujemy Zdefiniujemy iloczyn macierzy A (a r,s, która ma m kolumn przez macierz B (b s,t, która ma m wierszy W wyniku otrzymamy macierz C (c r,t, która ma tyle wierszy co macierz A i tyle kolumn co macierz B a, a, a,m b, b, b,n c, c, c,n a, a, a,m b, b, b,n c, c, c,n, a k, a k, a k,m b m, b m, b m,n c k, c k, c k,n gdzie c r,t m s a r,sb s,t dla dowolnego r {,,, k}, t {,,, n} Oznacza to, że wyraz c r,t macierzy C możemy potraktować jako iloczyn skalarny r tego wiersza macierzy A i t tej kolumny macierzy B W laśnie po to, by móc mówić

o tym iloczynie skalarnym musimy za lożyć, że pierwsza macierz ma tyle samo kolumn co druga wierszy Pomnożymy teraz dwie macierze: ( 3 4 5 6 3 4 5 6 ( + 3 + 3 5 + 4 + 3 6 4 + 5 3 + 6 5 4 + 5 4 + 6 6 A teraz pomnożymy je w przeciwnej kolejności: ( 8 49 64 3 4 ( 3 + 4 + 5 3 + 6 9 5 3 + 4 4 3 + 4 5 3 3 + 4 6 9 6 33 4 5 6 5 6 5 + 6 4 5 + 6 5 5 3 + 6 6 9 40 5 Widać, że otrzymaliśmy różne wyniki, nawet wymiary sie nie zgadzaja Oznacza to, że to mnożenie macierzy nie jest przemienne wynik zależy od kolejności czynników! Oznacza to, że na ogó l A B B A Mnożenie to jest la czne, tzn (A B C A (B C Wykażemy to twierdzenie Niech A (a r,s r k, B (b s,t s l, C (c t,u t m Znajdziemy s l t m u n najpierw wyraz macierzy A B znajduja cy sie w r tym wierszu i t tej kolumnie: l s a r,sb s,t Wobec tego w r tym wierszu i u tej kolumnie iloczynu (ABC znajduje sie m t ( l s a r,sb s,t ct,u Jest to suma iloczynów postaci a r,s b s,t c t,u, w których wskaźniki s, t przyjmuja dowolne dopuszczalne wartości, tzn s l, t m Powtarzaja c te obliczenia w przypadku iloczynu A(BC otrzymujemy l s a r,s( m t b s,tc t,u, co jak latwo stwierdzić jest suma iloczynów postaci a r,s b s,t c t,u, w których wskaźniki s, t przyjmuja dowolne dopuszczalne wartości, tzn s l, t m, co oznacza, że otrzymaliśmy ten sam wynik, co w poprzednim iloczynie Bez trudu można stwierdzić, że prawdziwe sa naste puja ce stwierdzenia: A + B B + A dla dowolnych macierzy A, B tego samego wymiaru; (A + B + C A + (B + C dla dowolnych macierzy A, B, C tego samego wymiaru; 3 A + O O + A dla dowolnej macierzy A, tu i dalej O oznacza macierz tego samego wymiaru co A, w której wszystkie wyrazy sa równe 0; 4 dla dowolnej macierzy A istnieje macierz B tego samego wymiaru taka, że A + B B + A O (oczywiście b i,j a i,j ; 5 (A B C A (B C dla dowolnych macierzy A, B, C, dla których mnożenie jest zdefiniowane;

6 A I A dla dowolnej macierzy A, I oznacza tu i dalej macierz kwadratowa, która ma tyle wierszy ile A kolumn i której wszystkie wyrazy na g lównej przeka tnej* sa równe, a poza nia sa równe 0, tzn i i,i oraz i i,j 0 dla i j ; również I A A, ale teraz macierz I ma tyle kolumn ile wierszy ma macierz A ; 7 A (B + C A B + A C i (B + C A B A + C A dla dowolnych macierzy, dla których dzia lania sa zdefiniowane Macierz kwadratowa 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0, 0 0 0 0 która wysta pi la w punkcie 6 nazywana jest macierza jednostkowa, w lasność 6 mówi, że pe lni ona w zbiorze macierzy role podobna do tej, która pe lni liczba w mnożeniu liczb rzeczywistych Różnica polega na tym, że jest wiele macierzy jednostkowych: w każdym wymiarze jedna Uk lad l równań liniowych z k niewiadomymi a, x + a, x + a,3 x 3 + + a,k x k b a, x + a, x + a,3 x 3 + + a,k x k b a l, x + a l, x + a l,3 x 3 + + a l,k x k b l można zapisać w postaci A x b, gdzie A (a i,j i l, x jest pionowo zapisanym wektorem o k wspó lrze j k dnych, czyli macierza o jednej kolumnie i k wierszach, analogicznie b Niewiadomymi sa x, x,, x k Nie zak ladamy, że liczba niewiadomych równa jest liczbie równań: może być k < l, k l, k > l Przeanalizujemy teraz rozwia zywanie uk ladu równań liniowych Oczywiście nie można spodziewać sie, że w każdej sytuacji otrzymamy jedno rozwia zanie Nawet wtedy, gdy liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, * G lówna przeka tna macierzy kwadratowej C(c i,j sk lada sie z wyrazów c i,i, la czy wie c lewy górny róg macierzy z prawym dolnym 3

uk lad może mieć nieskończenie wiele rozwia zań lub może ich nie mieć wcale Be dziemy mnożyć równania przez liczby różne od 0, dodawać je stronami, zmieniać kolejność równań Nie be dziemy przepisywać niewiadomych Oznacza to, że be dziemy zajmować sie tzw rozszerzona macierza uk ladu równań liniowych, czyli macierza a, a, a,k b a, a, a,k b, a l, a l, a l,k b k bo zawiera ona wszystkie informacje o uk ladzie równań, wie c nie ma potrzeby przepisywać niewiadomych Cze sto używany jest termin macierz uk ladu różni sie ona od macierzy rozszerzonej brakiem ostatniej kolumny równań: Pokażemy na przyk ladach metode zwana eliminacja Gaussa* Rozważymy uk lad x + x 3 + 3x 4 0; x + x x 3 + x 4 4; x x + x 3 + x 4 7; 3x + x x 3 x 4 Zgodnie z zapowiedzia nie be dziemy pisać niewiadomych, wystarczy macierz rozszerzona 0 3 0 4 W macierzy zamienimy pierwszy i drugi wiersz po to, by 7 3 w lewym górnym rogu znalaz la sie jedynka: 4 0 3 0 7 3 Czytelnik zechce sprawdzić, że 0 0 0 0 3 0 4 0 0 0 4 0 3 0 0 0 0 7 7 0 0 0 3 3 oznacza to, że zamiast mówić o przestawianiu wierszy możemy mówić o mnożeniu macierzy z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz Czytelnik zastanowi sie, * Chodzi o eliminowanie niewiadomych z kolejnych równań 4

przez jaka macierz należy pomnożyć wyjściowa macierz, by czwarty wiersz zamieni l sie miejscem z pierwszym lub trzecim i ogólnie, by zamieni ly sie miejscami wiersze i ty oraz j ty Naste pna operacje nie zmieni pierwszego ani drugiego wiersza, za to od trzeciego odejmiemy pierwszy pomnożony przez i jednocześnie od czwartego wiersza odejmiemy pierwszy pomnożony przez 3 W rezultacie otrzymujemy: 4 0 3 0 0 3 3 0 4 4 Czytelnik zechce zwrócić uwage na to, że 0 0 0 4 4 0 0 0 0 3 0 0 3 0, 0 0 7 0 3 3 3 0 0 3 0 4 4 wie c również to przekszta lcenie macierzy można potraktować jako mnożenie jej z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz Zauważmy przy okazji, że 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 co oznacza, że operacje można by lo przeprowadzić w dwóch etapach i wtedy również można by lo to potraktować jak mnożenie przekszta lcanej macierzy z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz W wyniku otrzymaliśmy macierz, w pierwszej kolumnie której wyste puje w jednym miejscu jedynka a poza nia same zera Z punktu widzenia uk ladu równań oznacza to, że niewiadoma x wyste puje teraz w jednym tylko równaniu, w pierwszym! Oznacza to, że pozosta le niewiadome możemy znaleźć używaja c pozosta lych trzech równań, a naste pnie z pierwszego równania wyliczyć x Teraz wyeliminujemy x z trzeciego i z czwartego równania Dla uproszczenia rachunków najpierw podzielimy czwarty wiersz przez Otrzymamy 4 0 3 0 0 3 3 0 7 Również ta operacja może być przedstawiona jako mnożenie macierzy z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz: Niewiadoma x zosta la wyeliminowana z trzech równań, kolej na x 5

0 0 0 4 4 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 3 3 0 3 3 0 0 0 0 4 4 0 7 Teraz do trzeciego wiersza dodamy drugi pomnożony przez 3, a do czwartego dodamy drugi: 4 0 3 0 0 0 9 8 59 0 0 3 3 Podobnie jak poprzednio można uzyskać ten sam rezultat przez mnożenie z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz: 0 0 0 4 4 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 3 0 0 9 8 59 0 0 0 7 0 0 3 3 Teraz zamienimy (tylko dla uproszczenia obliczeń miejscami trzeci i czwarty wiersz: 4 0 3 0 0 0 3 3 0 0 9 8 59 I znów widzimy, że 0 0 0 4 4 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 9 8 59 0 0 3 3 0 0 0 0 0 3 3 0 0 9 8 59 Teraz od czwartego wiersza odejmujemy trzeci pomnożony przez 3 : 4 0 3 0 0 0 3 3 0 0 0 5 0 Można ten ostatni krok przedstawić w postaci mnożenia z lewej strony przez macierz: 0 0 0 4 4 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 3 3 0 0 3 0 0 9 8 59 0 0 0 5 0 W zasadzie zrobiliśmy nieomal wszystko: w czwartym równaniu jest już tylko jedna niewiadoma, w trzecim dwie, w drugim trzy, tylko w pierwszym sa wszystkie Oznacza to, że możemy znaleźć kolejno wartości niewiadomych Zrobimy to nie używaja c w dalszym cia gu niewiadomych jawnie Podzielimy najpierw ostatni wiersz przez 5 : 6

4 0 3 0 0 0 3 3 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 by lo to mnożenie z lewej strony przez macierz 0 0 0 0 0 0 5 Teraz wyeliminujemy x 4 z pierwszych trzech równań: odejmujemy czwarty wiersz od trzeciego i pierwszego, a od drugiego odejmujemy czwarty pomnożony przez 3 : 0 0 0 0 8 0 0 3 0 9 0 0 0 4 Wykonaliśmy teraz takie mnożenie: 0 0 4 0 0 0 0 3 0 3 0 0 0 8 0 0 0 0 3 3 0 0 3 0 9 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 Teraz dzielimy trzeci wiersz przez 3 : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 8 0 0 3 0 0 0 3 0 9 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 Usuniemy teraz x 3 z pierwszych dwóch równań: 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 Ostatnia operacja to usunie cie x z pierwszego równania: 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 No to wszystko sie uda lo i po tych przekszta lceniach uk lad równań przybra l taka postać: x ; x ; x 3 3; x 4 4; co oznacza, że uda lo nam sie go rozwia zać! Ma on dok ladnie jedno rozwia zanie Pokazaliśmy, że rozwia zywanie uk ladu można potraktować jako mnożenie przez kolejne 7

macierze (uwaga na kolejność! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 6 7 5 30 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 4 5 5 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 5 3 5 Widzimy wie c, że rozwia zywanie uk ladu równań można interpretować jako mnożenie macierzy: 0 0 5 3 6 7 5 3 3 5 0 5 30 4 5 5 3 5 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 7 0 0 0 3 3 0 0 0 4 Dodać należy, że mnoża c wiersze przez liczby, dodaja c je, zmieniaja c ich kolejność wykonywaliśmy operacje odwracalne, zawsze mogliśmy przekszta lcić macierz z powrotem Dzie ki temu wszystkie kolejne uk lady równań by ly równoważne, zatem ostatni uk lad równań by l równoważny pierwszemu Omówimy jeszcze jeden przyk lad, ale już nie be dziemy t lumaczyć, jak operacje na wierszach macierzy można zasta pić mnożeniem z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz x x + x 3 0; 4x 5x + x 3 0; 5x + x 3x 3 0 Zaczniemy od wypisania macierzy rozszerzonej tego uk ladu: 0 4 5 0 5 3 0 Teraz odejmiemy od drugiego wiersza pierwszy pomnożony przez 4, a od wiersza trzeciego pierwszy pomnożony przez 5: 0 0 3 0 0 8 0 Teraz od trzeciego wiersza odejmujemy drugi pomnożony przez 4 : 8

0 0 3 0 0 0 0 0 Dzielimy drugi wiersz przez 3 : 0 0 3 0 0 0 0 0 Dodajemy do pierwszego wiersza drugi pomnożony przez 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 Tym razem rezultat jest ale nieco inny niż poprzednio Uk lad ma nieskończenie wiele rozwia zań Wartość x 3 jest dowolna i wtedy x 3 x 3, x 3 x 3 Jak widać może sie tak zdarzyć również wtedy, gdy liczba równań jest równa liczbie niewiadomych Obejrzymy ten sam uk lad po drobnej zmianie: x x + x 3 0; 4x 5x + x 3 3; 5x + x 3x 3 6 Wykonujemy kolejno te same operacje, które wykonaliśmy przed chwila Różnica pojawi sie tylko w czwartej kolumnie (czyli po prawej stronie równań Otrzymujemy w końcu: 0 3 0 3 0 0 0 6 Uk lad jest wie c sprzeczny równanie 0 6 rozwia zań nie ma Natomiast bez trudu stwierdzamy, że punkt ( 3 x 3 +, 3 x 3 +, x 3 (,, 0 + x 3 ( 3, 3, jest rozwia zaniem zarówno pierwszego jak i drugiego równania dla każdej liczby x 3, wie c jest rozwia zaniem uk ladu x x + x 3 0 4x 5x + x 3 3 Do przekszta lcania dwóch pierwszych równań nie użyliśmy ani razu równania trzeciego, zatem ten ostatni uk lad dwóch równań jest równoważny uk ladowi x 3 x 3 x 3 x 3 Przekszta lcaja c w podobny sposób uk lad 4x 5x + x 3 3 5x + x 3x 3 6 9

stwierdzamy, że jest on spe lniony przez punkt ( 6,, i że dla każdej liczby t trójka ( 6 6 + t, + t, + 3t (,, + t(,, 3 również jest rozwia zaniem tego uk ladu dwóch równań Zosta la jeszcze jedna możliwość: x x + x 3 0; 5x + x 3x 3 6 Bez trudu stwierdzamy, że punkt (,, 0 spe lnia ten uk lad równań oraz że dla każdej liczby t uk lad ten spe lniony jest przez (,, 0 + t(,, 3 ( + t, + t, 3t Widzimy wie c, że chociaż uk lad trzech równań jest sprzeczny, to uk lady dowolnych dwóch maja rozwia zania, które jesteśmy w stanie opisać Geometria zwia zana z tymi równaniami nie jest skomplikowana Każde z równań opisuje jaka ś p laszczyzne W przypadku uk ladu x x + x 3 0; 4x 5x + x 3 0; 5x + x 3x 3 0 te trzy p laszczyzny maja wspólna prosta przechodza ca przez punkt 0 (0, 0, 0, równoleg la do wektora (,, 3 W przypadku uk ladu x x + x 3 0; 4x 5x + x 3 3; 5x + x 3x 3 6 jest nieco inaczej Przesunie te zosta ly dwie p laszczyzny W wyniku tego nie ma punktu wspólnego dla trzech p laszczyzn, ale każde dwie maja wspólna prosta Każda z trzech prostych jest równoleg la do wektora (,, 3 Bez trudu można zauważyć, że za pomoca opisanych przekszta lceń macierzy rozszerzonej można ja doprowadzić do postaci schodkowej: każdy naste pny wiersz zawierać be dzie wie cej zer na pocza tku, czyli w odpowiadaja cym temu wierszowi równaniu wysta pi mniej niewiadomych niż w poprzednim Jeśli ostatni niezerowy wiersz zawiera tylko jeden wyraz różny od 0 i to na samym końcu, to uk lad jest sprzeczny Jeśli nie, to ma rozwia zania Może zdarzyć sie, że rozwia zań jest nieskończenie wiele, a może też zdarzyć sie, że tylko jedno W szczegó ly nie be dziemy wchodzić Warto jednak nadmienić, że jeśli znajdziemy dwa rozwia zania uk ladu linio- Interesuje nas tylko pocza tkowy blok samych zer, zera wyste puja ce na dalszych miejscach nic nas chwilowo nie obchodza 0

wego, np x i y, to dla każdej liczby rzeczywistej α wektor α x + ( α y również okaże sie rozwia zaniem Mamy bowiem: A x b i A y b, zatem A ( α x + ( α y αa x + ( αa y α b + ( α b b Zbiór punktów postaci αx + ( αy y + α(x y, α R, to prosta przechodza ca przez punkt y w kierunku wektora x y, wie c przechodza ca również przez punkt x Wykazaliśmy, że wraz z każdymi dwoma punktami zbiór rozwia zań uk ladu liniowego zawiera prosta, która przechodzi przez te punkty Takie zbiory matematycy nazywaja podprzestrzeniami afinicznymi Podprzestrzenie afiniczne przechodza ce przez 0 nazywane sa liniowymi Podprzestrzenie liniowe maja te szczególna w lasność, że suma wektorów z takiej podprzestrzeni jest jej elementem To samo dotyczy iloczynu wektora przez liczbe Mamy z nimi do czynienia w przypadku rozwiźań równania Ax 0 Później okaże sie, że sa one szczególnie ważne również z powodów algebraicznych Z macierzami kwadratowymi wia ża sie wyznaczniki Przypomnijmy ich definicje Definicja 8 (wyznacznika macierzy kwadratowej Wyznacznikiem det(a A macierzy (a, nazywamy liczbe a, Za lóżmy, że zdefiniowaliśmy już wyznaczniki macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego niż n Niech A (a i,j be dzie macierza o n wierszach i n kolumnach Wyznacznikiem det(a A macierzy A nazywamy liczbe a, a,3 a,n a, a,3 a,n a 3, a 3,3 a 3,n a 3, a 3,3 a 3,n a, a, + + a n, a n,3 a n,n a n, a n,3 a n,n a, a, a,n a 3, a 3, a 3,n +( +n a,n a n, a n, a n,n Na wszelki wypadek opiszemy s lowami ten wzór Wyznacznik macierzy, to po prostu jedyny jej wyraz (w tym przypadku lepiej pisać np det( niż używać pionowych kresek i ryzykować skojarzenie z wartościa bezwzgle dna Wyznacznik macierzy n n znajdujemy rozwijaja c go wzgle dem pierwszego wiersza: liczbe ( +j a,j mnożymy przez wyznacznik macierzy wymiaru n n powsta lej z danej macierzy przez wykreślenie pierwszego wiersza i j tej kolumny Pokażemy na przyk ladach jak to dzia la 5 7 7 5 3 i ogólnie a c b d ad bc ;

4 5 5 3 5 3 ( 4 5 3 + 4 5 5 [( 5 ( 3 ] ( [4 ( 3 5 ] + [4 ( 5 5 ] + ( +33 0 ; 0 3 0 3 + 3 + 3 + 3 3 ( ( + 3 + 3 + 3 + 3 ( 3 3 3 (0 5 5 + (0 + 5 + 5 3(0 + 5 5 0 + 0 0 30 Mamy nadzieje, że definicja zosta la wyjaśniona Pokażemy teraz jeszcze najprostsze zastosowania poje cia wyznacznika Udowodniliśmy, że pole równoleg loboku rozpie tego przez wektory (u, u, (v, v równe jest u v u v Możemy wie c napisać, że to pole równe jest u u v v * Kwadrat pola równoleg loboku rozpie tego przez wektory u, v R 3 jest równy u v ( u v u u u v v u v v ten wyznacznik nazywany jest wyznacznikiem Grama wektorów u, v Można też rozważać wyznacznik Grama trzech lub wie kszej liczby wektorów, ale o tym opowiemy później Niech i (, 0, 0, j (0,, 0, k (0, 0, Wtedy i j k u v u u u 3 v v v 3 i u u 3 v v 3 j u u 3 v v 3 + k u u v v ( u u 3 v v 3, u u 3 v v 3, u u v v (u v 3 u 3 v, u v 3 +u 3 v, u v u v Widać wie c, że jeśli spamie tamy, co to jest wyznacznik, to nie be dziemy mieć k lopotu z iloczynem wektorowym Po zapoznaniu sie z w lasnościami wyznaczników przekonamy sie, że moga nam jeszcze w co najmniej kilku przypadkach u latwić życie Do sformu lowania twierdzenia opisuja cego podstawowe w lasności wyznaczników przyda nam sie naste puja ce oznaczenie: D i;j oznacza wyznacznik macierzy powsta lej * Niskie pionowe kreski oznaczaja wartość bezwzgle dna, wysokie wyznacznik

z macierzy A przez wykreślenie i tego wiersza i j tej kolumny, D i,j;k,l oznacza wyznacznik macierzy powsta lej z A przez wykreślenie i tego i j tego wiersza oraz kolumn o numerach k, l Niech Zachodzi wtedy a, a, a,n a, a, a,n A a n, a n, a n,n Twierdzenie 83 (o podstawowych w lasnościach wyznacznika Dla dowolnej liczby i {,,, n} zachodzi równość det(a ( i+ a i, D i, + ( i+ a i, D i, + + ( i+n a i,n D i,n rozwinie cie Laplace a wzgle dem i tego wiersza; Dla dowolnej liczby j {,,, n} zachodzi równość det(a ( +j a,j D,j + ( +j a,j D,j + + ( i+n a n,j D n,j rozwinie cie Laplace a wzgle dem i tej kolumny; jest to jest to 3 Zachodzi równość det(a ( +++ a, a, a, a, D,;, + ( +++3 a, a,3 a, a,3 D,;,3 + + + ( +++n a, a,n a, a,n D,;,n + ( +++3 a, a,3 a, a,3 D,;,3 + +( +++4 a, a,4 a, a,4 D,;,4 + + ( +++n a, a,n a, a,n D,;,n + + + ( ++n +n a,n a,n a,n a,n D,;n,n jest rozwinie cie Laplace a wzgle dem dwóch pierwszych wierszy Wyste puje w tej sumie ( n n(n sk ladników ( kolumny spośród n kolumn wybrać można na ( n sposoby Wyk ladnik pote gi to suma numerów wierszy (czyli + i numerów kolumn, z których wybrane zosta ly wyrazy wyznacznika ; 4 Jeśli jakiś wiersz (lub kolumne pomnożymy przez liczbe c, to wyznacznik też zostanie pomnożony przez c 5 Jeśli zamienimy miejscami dwa wiersze (dwie kolumny, to wyznacznik zmieni znak, w szczególności jeśli dwa wiersze (dwie kolumny pokrywaja sie, to wyznacznik jest równy 0 ; 6 Jeśli do jednego wiersza dodamy drugi pomnożony przez jaka kolwiek liczbe, to wyznacznik nie ulegnie zmianie 3

7 Jeśli a i,j b i,j dla wszystkich j i wszystkich i i 0, to det(a i,j + det(b i,j det(c i,j, gdzie c i,j a i,j b i,j dla i i 0 oraz c i0,j a i0,j + b i0,j, czyli wyznaczniki, w których wszystkie wiersze sa identyczne z jednym wyja tkiem dodajemy sumuja c wyja tkowe wiersze w obu, a pozosta le przepisujemy Obliczanie wyznaczników na podstawie tej definicji lub definicji klasycznej, której nawet nie przytoczymy, prowadzi do wielu rachunków, które w wypadku wyznaczników dużego wymiaru sa k lopotliwe nawet przy użyciu komputerów Twierdzenie o podstawowych w lasnościach wyznacznika pozwoli upraszczać te rachunki Zanim udowodnimy w lasności 7 pokażemy na przyk ladzie, jak można z nich korzystać Obliczymy jeszcze raz wyznacznik 0 3 3 Be dziemy stosować sformu lowane w laśnie w lasności w lasności doprowadzaja c wyznacznik do jak najprostszej postaci Mamy wie c kolejno 0 3 5 0 3 6 0 3 0 3 3 wg I kol 3 3 0 4 3 3 3 6 3 0 9 8 4 0 6 wg I kol 9 8 4 6 3 3 8 4 3 3 8 6 (3 8 30 Jak widać rachunki nie by ly przesadnie skomplikowane Jasne jest, że celem tych przekszta lceń by lo doprowadzanie do pojawiania sie wielu zer w jednej kolumnie, a naste pnie rozwinie cie wzgle dem tej kolumny, co pozwala lo na kolejne zmniejszanie wymiaru wyznacznika Nie be dziemy mnożyć przyk ladów tego rodzaju, bo każdy sam powinien obliczyć kilka wyznaczników, by dojść do pewnej wprawy w ich przekszta lcaniu Udowodnimy teraz twierdzenie o podstawowych w lasnościach wyznaczników Zacznijmy od stwierdzenia, że w przypadku wyznaczników macierzy wymiaru wszystkie cze ści twierdzenia można latwo sprawdzić bezpośrednio z definicji Za lożymy, że twierdzenie zachodzi dla wszystkich wyznaczników wymiarów mniejszych niż 5 i wykażemy jego prawdziwość dla wyznaczników wymiaru 5 Dowód ogólny różni sie od tego, który podamy za chwile, tym jedynie, że zamiast liczby 5 pojawić 4

sie musi literka n Obliczany wyznacznik oznaczamy przez D Zaczniemy od wykazania w lasności 3 Mamy a, a, a,3 a,4 a,5 a a, a, a,3 a,4 a,5, a,3 a,4 a,5 a D a 3, a 3, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a, 3, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a a 4, a 4, a 4,3 a 4,4 a 4, a 4,3 a 4,4 a 4,5 4,5 a a 5, a 5, a 5,3 a 5,4 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5,5 5,5 a, a,3 a,4 a,5 a, a, a,4 a,5 a a, 3, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a + a 3, a 3, a 3,4 a 3,5 a 4, a 4,3 a 4,4 a,3 4,5 a 4, a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5,5 a 5, a 5, a 5,4 a 5,5 a, a, a,3 a,5 a, a, a,3 a,4 a a,4 3, a 3, a 3,3 a 3,5 a + a a 4, a 4, a 4,3 a,5 3, a 3, a 3,3 a 3,4 4,5 a 4, a 4, a 4,3 a 4,4 a 5, a 5, a 5,3 a 5,5 a 5, a 5, a 5,3 a 5,4 a, D ; a, D ; + a,3 D ;3 a,4 D ;4 + a,5 D ;5 ( a, a, D,;, a,3 D,;,3 + a,4 D,;,4 a,5 D,;,5 ( a, a, D,;, a,3 D,;,3 +a,4 D,;,4 a,5 D,;,5 + ( + a,3 a, D,;,3 a, D,;,3 + a,4 D,;3,4 a,5 D,;3,5 ( a,4 a, D,;,4 a, D,;,4 + a,3 D,;3,4 a,5 D,;4,5 + ( + a,5 a, D,;,5 a, D,;,5 + a,3 D,;3,5 a,4 D,;4,5 ( a, a, a, a, D,;, ( a, a,3 a,3 a, D,;,3 + + ( a, a,4 a,4 a, D,;,4 ( a, a,5 a,5 a, D,;,5 + + ( a, a,3 a,3 a, D,;,3 ( a, a,4 a,4 a, D,;,4 + + ( a, a,5 a,5 a, D,;,5 + ( a,3 a,4 a,4 a,3 D,;3,4 ( a,3 a,5 a,5 a,3 D,;3,5 + ( a,4 a,5 a,5 a,4 D,;4,5 a, a, a, a, D,;, a, a,3 a, a,3 D,;,3 + a, a,4 a, a,4 D,;,4 a, a,5 a, a,5 D,;,5 + a, a,3 a, a,3 D,;,3 a, a,4 a, a,4 D,;,4 + + a, a,5 a, a,5 D,;,5 + a,3 a,4 a,3 a,4 D,;3,4 a,3 a,5 a,3 a,5 D,;3,5 + a,4 a,5 a,4 a,5 D,;4,5 Zakończyliśmy dowód w lasności 3 Po zakończeniu dowodu ca lego twierdzenia to samo rozumowanie zosta lo zapisane bez dodatkowych oznaczeń Można wie c sobie obejrzeć jak to wygla da Może wypada dodać, że ten dowód można przeprowadzić nie używaja c aż tylu wzorów Jest jasne, że jeśli rozwijamy wyznacznik najpierw wed lug pierwszego wier- 5

sza, a potem wg drugiego, to w rozwinie ciu pojawia sie wszystkie wyznaczniki postaci D,;i,j, i < j, bo wycinamy z macierzy dwa pierwsze wiersze i jakieś dwie kolumny Należy zobaczyć z jakim wspó lczynnikiem ten wyznacznik sie pojawi Możemy z pierwszego wiersza wybrać i ty wyraz a z drugiego j ty lub odwrotnie W pierwszym przypadku wspó lczynnik jest równy ( +i a,i ( +j a,j ( +i+j a,i a,j, bo wyraz a,j to j y wyraz w wyznaczniku powsta lym po usunie ciu pierwszego wiersza i i tej kolumny W drugim przypadku wspó lczynnik równy jest ( +j a,j ( +i ( +i+j a,j a,i Sta d wynika, że wyznacznik D,;i,j pojawia sie ze wspó lczynnikiem ( +i+j a,i a,j a,i a,j a,i a,j ( ++i+j a,i a,j W wyk ladniku wyste puje wie c suma numerów wszystkich tych wierszy i kolumn, które wycie liśmy W tym rozumowaniu wymiar macierzy nie odgrywa l najmniejszej roli, nawet z punktu widzenia zapisu W ten sposób wykazana zosta la w lasność trzecia dla wyznaczników macierzy wymiaru 5 5 Z niej natychmiast wynika, że jeśli zamienimy miejscami wiersz pierwszy i drugi, to ca ly wyznacznik zmieni znak (bo tak jest w przypadku wyznaczników macierzy Jeśli zamienimy miejscami którekolwiek dwa wiersze o numerach wie kszych niż, to zmienia znaki wszystkie wyznaczniki macierzy 4 4, zatem ca ly wyznacznik zmieni znak Zamiane miejsc wiersza pierwszego i np czwartego zrealizować można jako trzy kolejne zamiany: pierwszy z drugim, drugi z czwartym i wreszcie pierwszy z drugim To oznacza, że w wyniku zamiany miejscami dwóch wierszy wyznacznik zmienia znak Teraz wykażemy, że to samo jest prawda w wyniku zamiany miejscami dwu sa siednich (na razie kolumn Jeśli np zamieniamy miejscami kolumne trzecia i czwarta, to wyrazy a,3 i a,4 wysta pia w rozwinie ciu wyznacznika ze zmienionymi znakami, natomiast wyznaczniki przez które mnożymy te wyrazy nie ulegna zmianie Znaki, z którymi wyste puja a,, a, i a,5 nie zmienia sie, ale zmieni sie kolejność kolumn w wyznacznikach, przez które mnożymy te wyrazy, wie c te wyznaczniki (macierzy 4 4 zmienia znak Zamiane miejscami dwu kolumn niesa siednich realizujemy jako wiele zamian kolumn sa siednich, np zamiana drugiej kolumny z pia ta to cia g zamian: druga z trzecia, trzecia z czwarta, czwarta z pia ta, czwarta z trzecia, trzecia z druga W opisanym przypadku zamienialiśmy kolejne kolumny 5 razy, czyli wyznacznik zmienia l znak 5, wie c go zmieni l Bez trudu stwierdzamy, że liczba zamian kolejnych kolumn jest zawsze nieparzysta Wykazana zosta la w lasność pia ta 6

Czwarta też bardzo latwo wynika z prawdziwości twierdzenia dla wyznaczników niższego wymiaru: mnożenie pierwszego wiersza przez liczbe c z definicji wyznacznika powoduje pomnożenie go przez c Pomnożenie innego wiersza powoduje pomnożenie każdego z wyznaczników stopnia 4 wyste puja cych w definicji wyznacznika stopnia 5 przez c, wie c również w tym przypadku wyznacznik zostaje pomnożony przez c Podobnie jest z kolumnami: w każdym iloczynie a,j D ;j mnożony przez c jest dok ladnie jeden czynnik, wie c iloczyn mnożony jest przez c To kończy dowód w lasności czwartej Rozwijanie wg dowolnego wiersza jest możliwe, bo zamieniamy wiersz pierwszy z tym, wg którego mamy ochote rozwina ć wyznacznik, naste pnie rozwijamy wg pierwszego wiersza, naste pnie w wyznacznikach stopnia cztery zamieniamy pierwszy wiersz z tym, w którym znalaz ly sie wyrazy a,, a,, Wykażemy, że wyznaczniki można rozwijać wzgle dem kolumn Ponieważ już wiemy, że można przestawiaja c kolumny zmieniamy jedynie znak wyznacznika, wie c wystarczy wykazać, że można wyznacznik rozwina ć wzgle dem pierwszej kolumny Należy udowodnić, że wyznacznik D jest równy a, D ; a, D ; + a 3, D 3; a 4, D 4; + a 5, D 5; Rozwijamy każdy z wyznaczników D i;, i, 3, 4, 5, wzgle dem pierwszego wiersza W wyniku tego pojawiaja sie wyznaczniki D,i;;j Wspó lczynnik przy wyznaczniku D,i;;j to: ( i+ a i, ( +j a,j ( i+j+ a i, a,j wyraz a,j znajduje sie w j kolumnie wyznacznika D i, Teraz rozwijamy wyznacznik D wzgle dem pierwszego wiersza: D a, D ; a, D ; + a,3 D ;3 a,4 D ;4 + a,5 D ;5 Teraz rozwijamy każdy z wyznaczników D ;j, j, 3, 4, 5, wzgle dem jego pierwszej kolumny W rozwinie ciu pojawi sie wyznacznik D,i;,j ze wspó lczynnikiem ( +j a,j ( i + a i, ( i+j+ a,j a i,, czyli z takim samym jak poprzednio Wynika z tego, że a, D ; a, D ; + a 3, D 3; a 4, D 4; + a 5, D 5; a, D ; a, D ; + a,3 D ;3 a,4 D ;4 + a,5 D ;5 D, a to kończy dowód tej cze ści twierdzenia To, że dwa wyznaczniki, w których wszystkie wiersze z wyja tkiem i tego sa identyczne można dodawać dodaja c i te wiersze (w lasność 7 wynika od razu z tego, że można rozwina ć wyznacznik wzgle dem dowolnego, np i tego wiersza Sta d i z tego, że wyznacznik, w którym dwa wiersze sie pokrywaja jest równy 0 oraz z tego, 7

że mnożenie wiersza przez liczbe c jest równoważne mnożeniu wyznacznika przez c, wynika, że dodanie do i tego wiersza wiersza j tego pomnożonego przez c nie zmienia wyznacznika: do danego wyznacznika dodajemy wyznacznik różnia cy sie od danego tylko tym, że w miejscu i tego wiersza pojawia sie j ty pomnożony przez c, czyli dodajemy 0 W ten sposób zakończyliśmy dowód twierdzenia Na deser pokazujemy jak wygla da uzasadnienie w lasności trzeciej bez wprowadzania dodatkowych oznaczeń, ale to tylko ciekawostka, a nie zache ta (wre cz próba znieche cenia do dowodzenia w ten sposób a, a, a,3 a,4 a,5 a a, a, a,3 a,4 a, a,3 a,4 a,5,5 a D a 3, a 3, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a, 3, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a a 4, a 4, a 4,3 a 4,4 a 4,5 4, a 4,3 a 4,4 a 4,5 a a 5, a 5, a 5,3 a 5,4 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5,5 5,5 a, a,3 a,4 a,5 a, a, a,4 a,5 a a, 3, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a + a a 4, a 4,3 a 4,4 a 4,5,3 3, a 3, a 3,4 a 3,5 a 4, a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5,5 a 5, a 5, a 5,4 a 5,5 a, a, a,3 a,5 a, a, a,3 a,4 a a,4 3, a 3, a 3,3 a 3,5 a + a a 4, a 4, a 4,3 a,5 3, a 3, a 3,3 a 3,4 4,5 a 4, a 4, a 4,3 a 4,4 a 5, a 5, a 5,3 a 5,5 a 5, a 5, a 5,3 a 5,4 a 3,3 a 3,4 a 3,5 a, (a, a 4,3 a 4,4 a 4,5 a 5,3 a 5,4 a 5,5 a a 3, a 3,4 a 3,5,3 a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,4 a 5,5 + a a 3, a 3,3 a 3,5,4 a 4, a 4,3 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 a 3, a 3,3 a 3,4 ( a 3,3 a 3,4 a 3,5 a,5 a 4, a 4,3 a 4,4 a, a, a 4,3 a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5,3 a 5,4 a 5,5 a a 3, a 3,4 a 3,5,3 a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,4 a 5,5 + a 3, a 3,3 a 3,5 +a,4 a 4, a 4,3 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 a a 3, a 3,3 a 3,4 ( a 3, a 3,4 a 3,5,5 a 4, a 4,3 a 4,4 + a,3 a, a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5, a 5,4 a 5,5 a 3, a 3,4 a 3,5 a, a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,4 a 5,5 + a a 3, a 3, a 3,5,4 a 4, a 4, a 4,5 a 5, a 5, a 5,5 a a 3, a 3, a 3,4,5 a 4, a 4, a 4,4 a 5, a 5, a 5,4 a 3, a 3,3 a 3,5 a,4 (a, a 4, a 4,3 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 a a 3, a 3,3 a 3,5, a 4, a 4,3 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 + a a 3, a 3, a 3,5,3 a 4, a 4, a 4,5 a 5, a 5, a 5,5 a 3, a 3, a 3,3 ( a 3, a 3,3 a 3,4 a,5 a 4, a 4, a 4,3 + a,5 a, a 4, a 4,3 a 4,4 a 5, a 5, a 5,3 a 5, a 5,3 a 5,4 a a 3, a 3,3 a 3,4, a 4, a 4,3 a 4,4 a 5, a 5,3 a 5,4 + 8

a 3, a 3, a 3,4 +a,3 a 4, a 4, a 4,4 a 5, a 5, a 5,4 a a 3, a 3, a 3,3,4 a 4, a 4, a 4,3 a 5, a 5, a 5,3 a 3,3 a 3,4 a 3,5 (a, a, a, a, a 4,3 a 4,4 a 4,5 (a a 5,3 a 5,4 a 5,5 a 3, a 3,4 a 3,5, a,3 a,3 a, a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,4 a 5,5 + a 3, a 3,3 a 3,5 + (a, a,4 a,4 a, a 4, a 4,3 a 4,5 (a a 5, a 5,3 a 5,5 a 3, a 3,3 a 3,4, a,5 a,5 a, a 4, a 4,3 a 4,4 a 5, a 5,3 a 5,4 + a 3, a 3,4 a 3,5 + (a, a,3 a,3 a, a 4, a 4,4 a 4,5 (a a 5, a 5,4 a 5,5 a 3, a 3,3 a 3,5, a,4 a,4 a, a 4, a 4,3 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 + a 3, a 3,3 a 3,4 + (a, a,5 a,5 a, a 4, a 4,3 a 4,4 (a a 5, a 5,3 a 5,4 + a 3, a 3, a 3,5,3 a,4 a,4 a,3 a 4, a 4, a 4,5 a 5, a 5, a 5,5 a 3, a 3, a 3,4 (a,3 a,5 a,5 a,3 a 4, a 4, a 4,4 (a a 5, a 5, a 5,4 + a 3, a 3, a 3,3,4 a,5 a,5 a,4 a 4, a 4, a 4,3 a 5, a 5, a 5,3 a, a, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a, a, a 4,3 a 4,4 a 4,5 a 5,3 a 5,4 a 5,5 a, a,3 a 3, a 3,4 a 3,5 a, a,3 a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,4 a 5,5 + + a, a,4 a 3, a 3,3 a 3,5 a, a,4 a 4, a 4,3 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 a, a,5 a 3, a 3,3 a 3,4 a, a,5 a 4, a 4,3 a 4,4 a 5, a 5,3 a 5,4 + + a, a,3 a 3, a 3,4 a 3,5 a, a,3 a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,4 a 5,5 a, a,4 a 3, a 3,3 a 3,5 a, a,4 a 4, a 4,3 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,5 + + a, a,5 a 3, a 3,3 a 3,4 a, a,5 a 4, a 4,3 a 4,4 a 5, a 5,3 a 5,4 + a,3 a,4 a 3, a 3, a 3,5 a,3 a,4 a 4, a 4, a 4,5 a 5, a 5, a 5,5 a,3 a,5 a 3, a 3, a 3,4 a,3 a,5 a 4, a 4, a 4,4 a 5, a 5, a 5,4 + a,4 a,5 a 3, a 3, a 3,3 a,4 a,5 a 4, a 4, a 4,3 a 5, a 5, a 5,3 Z udowodnionego twierdzenia wynika od razu, że jeśli w macierzy zasta pimy wiersze jej kolumnani (z zachowaniem kolejności, to wyznacznik nie ulegnie zmianie: a, a, a,3 a,n a, a, a 3, a n, a, a, a,3 a,n a, a, a 3, a n, a 3, a 3, a 3,3 a 3,n a,3 a,3 a 3,3 a n,3 a n, a n, a n,3 a n,n a,n a,n a 3,n a n,n wynika to z tego, że wyznacznik można rozwijać wzgle dem wierszy lub kolumn 9

Macierz otrzymana z danej macierzy A przez opisana zamiane wierszy i kolumn nazywamy macierza transponowana i oznaczamy przez A T, operacja ta stosowana jest nie tylko do macierzy kwadratowych, np ( T 3 4 5 4 5 6 3 6 Ostatnio wymieniona w lasność wyznaczników można wie c zapisać tak: dla każdej macierzy kwadratowej A Twierdzenie 84 (Cramera det(a det(a T Uk lad n równań liniowych z n niewiadomymi ma dok ladnie jedno rozwia zanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego uk ladu jest różny od 0 Dowód Rozważamy uk lad równań a, x + a, x + a,3 x 3 + + a,n x n c ; a, x + a, x + a,3 x 3 + + a,n x n c ; a 3, x + a 3, x + a 3,3 x 3 + + a 3,n x n c 3 ; a n, x + a n, x + a n,3 x 3 + + a n,n x n c n Przekszta lcamy go stosuja c opisane wcześniej operacje na wierszach: zamieniamy miejscami wiersze, mnożymy wiersz przez liczbe c 0, dodajemy jeden wiersz do drugiego Po pierwszej z tych operacji wyznacznik a, a, a,3 a,n a, a, a,3 a,n a 3, a 3, a 3,3 a 3,n a n, a n, a n,3 a n,n zmienia znak, po drugiej jest pomnożony przez c, po trzeciej nie ulega zmianie Po pewnym czasie macierz zostanie sprowadzona do postaci schodkowej Wyznacznik tej ostatniej macierzy jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik wyjściowej macierzy jest równy 0 Warto zauważyć, że α, α, α,3 α,n 0 α, α,3 α,n 0 0 α 3,3 α 3,n α, α, α 3,3 α n,n 0 0 0 α n,n 0

wynik otrzymujemy rozwijaja c wyznacznik wzgle dem pierwszej kolumny α, α, α,3 α,n α 0 α, α,3 α, α,3 α,n,n 0 α 0 0 α 3,3 α 3,3 α 3,n 3,n α,, 0 0 α 0 0 0 α n,n n,n naste pnie powtarzamy te operacje na wyznaczniku niższego stopnia Jeśli na przeka t- nej otrzymanej macierzy schodkowej nie ma zer, to wyznacznik uk ladu też jest różny od 0 Uk lad ma wtedy dok ladnie jedno rozwia zanie, bo ostatnie równanie wyznacza x n, przedostanie x n itd Jeśli natomiast pojawi sie co najmniej jedno 0, to wyznacznik uk ladu jest równy 0 Jeśli ostatni niezerowy wiersz ma postać 0, 0,, 0, d l przy czym d l 0, to uk lad jest sprzeczny Jeśli natomiast wygla da on tak 0, 0,, 0, ã l,j,, d l czym ã l,j 0, to można potraktować niewiadome x j+, x j+,, x n przy jako parametry, tzn podstawić w ich miejsce dowolne liczby i naste pnie obliczyć wartość x j wzoru x j a l,j ( dl a l,j+ x j+ a l,j+ x j+ a l,n x n Potem można zaja ć sie znalezieniem x j Jeśli A l,j 0, to można wartość niewiadomej x j wyznaczyć z l ego równania Jeśli a l,j 0, to traktujemy x j z jako naste pny parametr W tej sytuacji znajdujemy x j chyba, że a l,j 0 W tym przypadku zaczynamy zajmować sie x j+ nieskończenie wiele rozwia zań Definicja 85 (rze du macierzy itd Widać wie c, że w tej sytuacji uk lad równań ma Rze dem macierzy prostoka tnej nazywamy najwie kszy ze stopni wyznaczników różnych od 0 Z tej definicji wynika, że rza d nie może przekroczyć ani liczby wierszy macierzy, ani też liczby jej kolumn Poprawiaja c nieco dowód twierdzenia Cramera można udowodnić naste puja ce Twierdzenie 86 (Kroneckera Capelli Rze dy macierzy uk ladu równań i macierzy rozszerzonej tego uk ladu sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy uk lad ma co najmniej jedno rozwia zanie: jedno, jeśli rze dy sa równe liczbie niewiadomych, nieskończenie wiele rozwia zań, jeśli rze dy sa mniejsze od liczby niewiadomych Dowodu tego twierdzenia nie podajemy, zreszta formu lujemy je tylko po to, by poinformować studentów, że można je sformu lować Student chemii nie mosi go pamie tać

Twierdzenie 87 ( wzory Cramera Jeśli a, a, a,3 a,n a, a, a,3 a,n a 3, a 3, a 3,3 a 3,n 0, a n, a n, a n,3 a n,n to jedynym rozwia zaniem uk ladu a, x + a, x + a,3 x 3 + + a,n x n c ; a, x + a, x + a,3 x 3 + + a,n x n c ; a 3, x + a 3, x + a 3,3 x 3 + + a 3,n x n c 3 ; a n, x + a n, x + a n,3 x 3 + + a n,n x n c n jest punkt (x, x, x 3,, x n zdefiniowany za pomoca równości: c a, a,3 a,n a, c a,3 a,n c a, a,3 a,n a, c a,3 a,n c 3 a 3, a 3,3 a 3,n a 3, c 3 a 3,3 a 3,n c x n a n, a n,3 a n,n a, x a, a, a,3 a n, c n a n,3 a n,n,,n a, a, a,3 a,n a, a, a,3 a,n a, a, a,3 a,n a 3, a 3, a 3,3 a 3,n a 3, a 3, a 3,3 a 3,n a n, a n, a n,3 a n,n a n, a n, a n,3 a n,n x 3 a, a, c a,n a, a, c a,n a 3, a 3, c 3 a 3,n a n, a n, c n a n,n,, x a, a, a,3 a n,n a, a, a,3 a,n a 3, a 3, a 3,3 a 3,n a n, a n, a n,3 a n,n a, a, a,3 c a, a, a,3 c a 3, a 3, a 3,3 c 3 a n, a n, a n,3 c n a, a, a,3 a,n a, a, a,3 a,n a 3, a 3, a 3,3 a 3,n a n, a n, a n,3 a n,n Dowód Z twierdzenia Cramera udowodnionego powyżej wynika, że uk lad ma dok- ladnie jedno rozwia zanie Wystarczy sprawdzić, że można je wyrazić za pomoca wzorów Cramera Zrobimy to w przypadku n 3 Ogólny od tego nie różni sie

niczym istotnym Wykażemy, że a, x + a, x + a,3 x 3 c Obliczamy: c a, a,3 a, c a, a,3 c 3 a 3, a 3,3 + a a, c a,3, a, c a,3 a 3, c 3 a 3,3 + a a, a, c,3 a, a, c a 3, a 3, c 3 a a, c, a,3 a 3, a 3,3 a a, a,3,c a 3, a 3,3 + a a, a,3,c 3 a, a,3 a a, c, a,3 a 3, a 3,3 + a a, a,3,c a 3, a 3,3 a a, a,3,c 3 a, a,3 + a + a,3 c, a, a 3, a 3, a a, a,,3c a 3, a 3, + a a, a,,3c 3 a, a, a, a, a,3 c a, a, a,3 a 3, a 3, a 3,3 + c a, a, a,3 a, a, a,3 a 3, a 3, a 3,3 + c a, a, a,3 3 a, a, a,3 a, a, a,3 a, a, a,3 c a, a, a,3 a 3, a 3, a 3,3 W ten sposób zakończyliśmy dowód równości a, x + a, x + a,3 x 3 c, nie przepisywaliśmy mianownika, wie c pojawi l sie on na końcu wraz z c W taki sam sposób można wykazać, że zachodza równości a, x + a, x + a,3 x 3 c a 3, x + a 3, x + a 3,3 x 3 c 3 oraz Wzorów Cramera na ogó l sie nie stosuje, bo obliczanie wyznaczników jest k lopotliwe, a jeśli już mamy przeprowadzać operacje na wierszach, to lepiej od razu zaja ć sie macierza rozszerzona Komputery pomagaja oczywiście troche, ale gdy liczba równań jest duża, to i tak, nawet przy użycia komputera, nie oblicza sie wyznaczników, lecz raczej eliminuje sie niewiadome metoda Gaussa Tym nie mniej można też napisać jawny wzór na macierz A odwrotna do macierzy A ( a i,j, czyli taka, że A A I A A Zachodzi wzór Cramera: ( + D ; ( + D ; ( +3 D ;3 ( +n D ;n A ( + D ; ( + D ; ( +3 D ;3 ( +n D ;n ( 3+ D 3; ( 3+ D 3; ( 3+3 D 3;3 ( 3+n D 3;n det A ( n+ D n; ( n+ D n; ( n+3 D n;3 ( n+n D n;n Sprawdzenie poprawności tego wzoru to w zasadzie powtórzenie dowodu poprawności wzoru na rozwia zania uk ladu n równań liniowych z n niewiadomymi Wzór ten w przypadku macierzy niewielkiego rozmiaru może być z powodzeniem używany, jednak w przypadku macierzy dużego wymiaru nie warto go używać, bo liczba obliczeń wzrasta z wymiarem macierzy bardzo szybko Znów, podobnie jak poprzednio, 3 T

można stosować operacje na wierszach Pokażemy jak to wygla da w przypadku macierzy, której odwrotna już raz znaleźliśmy Rozważaliśmy wcześniej uk lad równań liniowych, którego macierz rozszerzona wygla da la tak: 0 3 0 4 7 3 Stosowaliśmy eliminacje Gaussa Prowadzi to do znalezienia macierzy odwrotnej macierzy 0 3, 3 co teraz jest naszym najbliższym celem Be dziemy przeprowadzać te same operacje co poprzednio, na macierzy 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 Przypomnijmy, że każda z trzech operacji przeprowadzanych na wierszach możemy traktować jako wynik mnożenia odpowiednio dobranej macierzy przez dana macierzy Macierz M, która zamierzamy przekszta lcać, to dwie macierze napisane obok siebie: macierz A, a tuż za nia macierz I, można ja oznaczyć przez (A I to nie iloczyn! Dodaja c np wiersz drugi do wiersza trzeciego mnożymy macierz M przez macierz 0 0 0 0 0 0 B, 0 0 0 0 0 ale to oznacza, że obliczmy dwa iloczyny: B A i B I Naste pne operacje można interpretować w taki sam sposób Oznacza, że jeśli po pewnej liczbie tych operacji dojdziemy do macierzy postaci (I C (to nie iloczyn!, to macierz C be dzie macierza odwrotna do A jako iloczyn macierzy, który pomnożony przez A daje I Przyste pujemy do przekszta lcania: 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 4

0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 3 0 0 0 4 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 9 8 3 0 0 0 6 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 9 8 3 0 0 0 0 0 3 0 5 3 3 przestawiliśmy wiersze, odje liśmy pierwszy wiersz pomnożony przez od trzeciego i pomnożony przez 3 od czwartego; dodaliśmy drugi wiersz pomnożony przez 3 do trzeciego i pomnożony przez od czwartego; odje liśmy trzeci wiersz pomnożony przez 3 od czwartego Do tej pory stosowaliśmy jedynie takie operacje na wierszach, które zachowywa ly wartości bezwzgle dna wyznacznika lewej macierzy kwadratowej, znak zmieni l sie raz, gdy przestawiliśmy wiersze Teraz be dzie inaczej 0 0 0 0 3 0 0 0 8 0 0 9 3 9 9 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 3 3 5 0 0 0 3 3 5 0 0 0 0 0 0 3 6 4 5 0 0 0 3 6 7 5 0 0 0 3 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 3 6 7 5 0 0 0 3 3 5 0 0 0 0 5 3 0 3 0 9 0 4 5 5 3 0 7 30 30 4 5 5 3 0 5 30 4 5 5 3 0 pomnożyliśmy trzeci wiersz przez 9, czwarty przez 3 0 ; odje liśmy czwarty wiersz od pierwsze go, pomnożony przez 3 od drugiego, pomnożony przez 8 9 od trzeciego; dodaliśmy trzeci wiersz do pierwszego, odje liśmy trzeci pomnożony przez od drugiego; dodaliśmy trzeci wiersz do pierwszego, odje liśmy trzeci pomnożony przez od drugiego Po tych przekszta lceniach możemy napisać: 5

0 3 0 0 5 5 3 6 7 5 30 3 3 4 5 5 3 0 5 3 0 0 0 6 6 0 5 4 30 0 0 8 0 5 6 9 Jak widać odwracanie macierzy wymaga troche pracy, ale żadnych trudności tu nie ma Jeśli macierz odwrotnej nie ma, to oczywiście w trakcie operacji na wierszach w pewnym momencie natkniemy sie na zbyt duży uskok, co oznacza, że na g lównej przeka tnej lewej macierzy pojawia sie zera i już na niej pozostana, co uniemożliwi kontynuacje konstrukcji macierzy odwrotnej W terminach wyznaczników: w tym momencie stwierdzimy, że wyznacznik lewej macierzy jest równy 0 Twierdzenie 88 (Cauchy ego o wyznaczniku iloczynu macierzy Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego wymiaru A i B jest równy iloczynowi ich wyznaczników: det(a B det(a det(b Dowód Przypomnijmy, że α, α, α,3 α,n 0 α, α,3 α,n 0 0 α 3,3 α 3,n α, α, α 3,3 α n,n 0 0 0 α n,n Bez trudu można sprawdzić, że w iloczynie α, α, α,3 α,n β, β, β,3 β,n 0 α, α,3 α,n 0 β, β,3 β,n 0 0 α 3,3 α 3,n 0 0 β 3,3 β 3,n 0 0 0 α n,n 0 0 0 β n,n pod g lówna przeka tna sa same zera a na g lównej przeka tnej pojawiaja sie kolejno liczby Sta d i z równości α, β,, α, β,,, α n,n β n,n 6

(α, β, (α, β, (α n,n β n,n (α, α, α n,n (β, β, β n,n, wynika, że twierdzenie jest prawdziwe, gdy obie macierze sa trójka tne, tzn sa postaci α, α, α,3 α,n 0 α, α,3 α,n 0 0 α 3,3 α 3,n 0 0 0 α n,n Z tego, co udowodniliśmy do tej pory wynika, że jeśli w macierzy kwadratowej B zasta pimy i ty wiersz przez sume tego wiersza i wiersza j tego pomnożonego przez liczbe c, to wyznacznik nie ulegnie zmianie Ta operacja może być opisana jako mnożenie C i,j (c B, gdzie C i,j (c oznacza macierz, na której g lównej przeka tnej sa jedynki, poza ta przeka tna zera z wyja tkiem przecie cia i -tego wiersza z j ta kolumna, gdzie znajduje sie liczba c Poniżej przyk lad dla n 4 Bez trudu można sprawdzić, że 0 0 0 0 0 5 C,4 (5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C,4 (5 0 0 5 C 0 0 0,4 ( 5 0 0 0 Latwo można zauważyć, że iloczyn A C i,j ( c jest macierza, której wszystkie kolumny z wyja tkiem j tej sa takie same jak kolumny macierzy A, j ta kolumna iloczynu A C i,j ( c jest suma j tej kolumny macierzy A oraz i tej pomnożonej przez c Wobec tego det ( A C i,j ( c det(a Ponieważ mnożenie macierzy jest la czne, wie c AB (A C i,j ( c (C i,j (c B i wobec tego det(a B det ( (A C i,j ( c (C i,j (c B Aby udowodnić, że det(ab det(a det(b, wystarczy wie c dowieść, że det ( (A C i,j ( c (C i,j (c B det ( A C i,j ( c det ( C i,j (c B, czyli udowodnić twierdzenie dla macierzy A C i,j ( c i C i,j (c B wcześniej wykazaliśmy, że det(c i,j (c B det(b i det(a C i,j ( c det(a Zamiana i tego wiersza z j tym to mnożenie przez macierz P i,j, której wszystkie wiersze z wyja tkiem i tego i j tego sa takie same, jak w macierzy jednostkowej, 7

zaś w i tym wierszu jedynka jest na miejscu j tym, a w wierszu j tym na miejscu i tym Np dla n 4 mamy 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P,3, P 0 0 0 3,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Z latwościa przekonujemy sie, że P i,j P i, j (dwukrotna zamiana i -tego i j tego wiersza niczego nie zmienia Mamy det(p i,j B det(b, det(a P i,j det(a ostatnia równość wynika z tego, że macierz A P i,j różni sie od macierzy A tylko tym, że zamienione zosta ly kolumny o numerach i, j, co jak wiemy powoduje jedynie zmiane znaku wyznacznika Wobec tego zamiast dowodzić twierdzenie dla macierzy A, B można je udowodnić dla macierzy A P i,j, P i,j B Stosuja c opisane operacje wielokrotnie sprowadzamy dowód twierdzenia do przypadku à B, gdzie macierz B jest trójka tna (czyli ma pod przeka tna same zera Naste pnie mnożymy macierz à z lewej strony przez macierze typu C i,j(c oraz macierze typu P i,j Zachodzi równość det ( C i,j (c (à B det(ã B operacja na wierszach macierzy à B, wie c dzie ki la czności mnożenia macierzy: det(ã B det ( C i,j (c (à B det ( (C i,j (c à B Mamy też det(c i,j (c à det(ã, wie c możemy zasta pić pare macierzy Ã, B para C i,j (c Ã, B Podobnie jest z mnożeniem przez P i,j, które powoduje zmiane znaków obu wyznaczników: det(ã i det(ã B Możemy wie c po pewnym czasie doprowadzić również macierz à do postaci trójka tnej Dowód zosta l zakończony Wniosek 89 (o wyznaczniku macierzy odwrotnej Jeśli macierz A ma odwrotna (czyli, gdy det(a 0, to det(a det(a Twierdzenie 80 (Obje tość równoleg lościanu rozpie tego przez wektory u, v, w R 3 Niech u (u, u, u 3, v (v, v, v 3, w (w, w, w 3 Wtedy obje tość równoleg lościanu rozpie tego przez wektory u, v, w (zaczepione w punkcie 0 równa jest u u u 3 ( u v w v v v 3 w w w 3, 8

a jej kwadrat równy jest u u u v u w v u v v v w w u w v w w Dowód Obje tość równoleg lościanu równa jest iloczynowi pola podstawy przez jego wysokość Niech podstawa be dzie równoleg lobok rozpie ty przez wektory u i v Pole tego równoleg loboku to u v Trzeba wie c znaleźć wysokość Wektor u v jest prostopad ly do każdego z wektorów u, v, wie c wysokość jest odcinkien równoleg lym do wektora u v Innymi s lowy należy zrzutować prostopadle wektor w na prosta wyznaczona przez wektor u v Ten rzut to wektor w ( u v u v u v Jego d lugość, czyli wysokość równoleg lościanu, to w ( u v u v Wobec tego obje tość równa jest u v w ( u v u v w ( u v, u u u 3 co mieliśmy udowodnić Równość ( u v w v v v 3 wykazujemy bez w w w 3 trudu rozwijaja c wyznacznik wzgle dem trzeciego wiersza (po przypomnieniu sobie definicji iloczynu wektorowego Wreszcie u u u 3 u u u 3 v v v 3 v v v 3 w w w 3 w w w 3 u u u 3 v v v 3 w w w 3 u u u 3 v v v 3 w w w 3 u v w u v w u 3 v 3 w 3 u u u v u w v u v v v w w u w v w w Wniosek 8 Trzy wektory u, v, w R 3, zaczepione w punkcie 0 (0, 0, 0 leża w jednej p laszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy u u u 3 v v v 3 w w w 3 0 u u u v u w v u v v v w w u w v w w 0 Definicja 8 (trójki wektorów dodatnio zorientowanej Trzy wektory u, v w R 3 nieleża ce w jednej p laszczyźnie tworza uk lad dodatnio zorientowany w przestrzeni trójwymiarowej wtedy i tylko wtedy, gdy u u u 3 v v v 3 w w w 3 > 0 Z definicji wynika natychmiast, że jeśli trójka ( u, v, w jest uk ladem dodatnio zorientowanym, to trójka ( v, u, w uk ladem dodatnio zorientowanym nie jest 9

zmiana kolejności wierszy powoduje zmiane znaku wyznacznika Można i należy sobie wyobrażać, że uk lad trzech wzajemnie prostopad lych wektorów jest dodatnio zorientowany, gdy można ten uk lad obrócić (kilka razy wokó l prostych przechodza cych przez 0 tak, by po obrotach wektor u by l zgodnie równoleg ly (czyli równoleg ly i skierowany w te sama strone do wektora i (, 0, 0, wektor v do wektora j (0,, 0 i wektor w do wektora k (0, 0, Temu stwierdzeniu można nadać bardzo precyzyjne znaczenie i wtedy je udowodnić Można zreszta to stwierdzenie uogólnić na trójki wektorów niekoniecznie wzajemnie prostopad lych Warto w tym miejscu dodać, że iloczyn wektorowy wektorów u, v R 3 może być zdefiniowany geometrycznie jako wektor, który jest prostopad ly do obu wektorów u, v, ma d lugość równa polu równoleg loboku rozpie tego przez te wektory, i taki, że trójka u, v, u v jest dodatnio zorientowana W matematyce od wielu lat jednym z kluczowych poje ć jest poje cie funkcji Za lóżmy, że dana jest funkcja przekszta lcaja ca p laszczyzne R lub przestrzeń R 3 w siebie i to taka, że odleg lość x y obrazów x, y punktów x, y jest równa odlegości x y punktów x, y Za lóżmy dodatkowo, że punkt 0 jest przekszta lcany na siebie (nie rusza sie, czyli 0 0 Wykażemy, że w tej sytuacji istnieje taka macierz kwadratowa A, że dla każdego x R n, n, 3 zachodzi równość x A x (tu wektory sa traktowane jako macierze o jednej kolumnie i n wierszach Wykażemy, że wtedy A jest taka macierza, że A A T I i odwrotnie: jeśli A A T I, to Ax Ay x y dla dowolnych x, y R n * Przejdziemy do dowodu Mamy x x 0 x 0 x 0 x dla dowolnego x R n, w tym y y Mamy też x y (x y (x y x x x y + y y x x y + y i analogicznie x y x x y + y, a ponieważ x y x y, wie c dla dowolnych x, y zachodzi równość x y x y Mamy wie c (x + y (x + y (x + y (x + y (x + y + (x + y (x + y (x + y (x + y x (x + y y + x x + x y + y y (x + y (x + y x (x + y y + x x + x y + y y (x + y (x + y (x + y + (x + y (x + y ( (x + y (x + y ((x + y (x + y 0 Sta d wynika, że (x + y x + y dla dowolnych x, y Analogicznie dowodzimy, że n może być dowolne; mówimy o i 3, by w razie potrzeby latwiej można by lo sobie coś narysować * Tzn że przyporza dkowanie punktowi x punktu x Ax jest izometria 30

(tx tx dla dowolnej liczby t i dowolnego punktu x Niech e j oznacza wektor, którego wszystkie wspó lrze dne sa równe 0 z wyja tkiem j tej, która jest równa Niech a i,j oznacza i ta wspó lrze dna wektora e j W kolumnach macierzy (a i,j znajduja sie wektory e, e, Mamy x x e + x e + + x n e n Wobec tego x ( x e + x e + + x n e n x e + x e + + x n e n A x Mamy również e j e j e j e j oraz e i e j e i e j 0 dla i j Te równości oznaczaja, że A A T I Udowodniliśmy wie c obiecane twierdzenie Dla przyk ladu opiszemy macierz obrotu o ka t α wokó l punktu 0 (0, 0 Z definicji funkcji sinus i kosinus wynika, że w wyniku obrotu punkt (, 0 przechodzi na punkt (cos α, sin α, a punkt (0, przechodzi na punkt ( cos(α+ π, sin(α+ π ( sin α, cos α Wynika sta d, że w obrocie o ka t α wokó l punktu 0 (0, 0 punkt ( x y przechodzi na punkt ( x y ( cos α sin α sin α cos α ( x y ( x cos α y sin α x sin α + y cos α Teraz znajdziemy analityczny opis symetrii wzgle dem prostej y x Niech (u, v oznacza punkt symetryczny do punktu (, 0 wzgle dem prostej y x Środek odcinka o końcach (, 0 i (u, v, czyli punkt ( u+, v+0 leży na prostej y x, zatem v+0 u+, czyli v u + Wektor (u, v 0 jest prostopad ly do wektora ( 0, 0, zatem 0 (u, v (, u + v Musza wie c być spe lnione równania: { u v, u + v Sta d u 3 5 0,6 i v 4 5 0,8 Analogicznie, jeśli obrazem punktu (0, w tej symetrii jest punkt (r, s, to r+0 s+ oraz 0 (r 0, s (,, zatem { r s, r + s Wynika sta d, że r 4 5 0, 8 i s 3 5 0,6 Sta d wnioskujemy, że obrazem punktu w symetrii wzgle dem prostej y x jest punkt ( x y ( x y ( 0,6 0,8 0,8 0, 6 ( x y ( 0,6x + 0,8y 0,8x + 0,6y Widać, że stosunkowo tanim kosztem uzyskujemy wzory na obrazy punktu w przekszta lceniach izometrycznych 3