Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego."

Transkrypt

1 . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze...

2 . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. (1)

3 . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Równania te można zapisać krócej: n a ij x j = b i j=1 (i = 1,..., m). Współczynniki układu są elementami ciała K (najczęściej R lub C).

4 . Metoda eliminacji. Macierz układu Macierz A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn zbudowaną ze współczynników przy niewiadomych układu (1) nazywamy macierzą układu,

5 . Metoda eliminacji. Macierz układu Macierz A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn zbudowaną ze współczynników przy niewiadomych układu (1) nazywamy macierzą układu, a macierz B = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m poszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych układu nazywamy macierzą uzupełnioną.

6 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań.

7 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań,

8 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K

9 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K 3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania

10 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K 3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania przekształcają układ w układ mu równoważny.

11 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki sam zbiór rozwiązań. Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie: 1 przestawienie dowolnych dwóch równań, 2 pomnożenie równania przez stałą c 0, c K 3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania przekształcają układ w układ mu równoważny. Te przekształcenia nazywamy elementarnymi operacjami na równaniach.

12 . Metoda eliminacji. Operacje elementarne Powyższym operacjom na równaniach odpowiadają elementarne operacje na wierszach macierzy układu: 1 przestawienie dowolnych dwóch wierszy, 2 pomnożenie wiersza przez stałą c 0, c K, 3 dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego wiersza.

13 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi.

14 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi. Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a ij, a i+1k spełniają warunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową.

15 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi. Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a ij, a i+1k spełniają warunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową. Przykład Macierz A = jest macierzą schodkową

16 . Metoda eliminacji. Macierz schodkowa Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element wiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tego wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także wiodącymi. Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a ij, a i+1k spełniają warunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową. Przykład Macierz A = jest macierzą schodkową. Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny: pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta niewiodące.

17 . Metoda eliminacji. Wprowadzenie do metody eliminacji Metoda eliminacji Gaussa jest uogólnieniem szkolnej metody przeciwnych współczynników. Rozwiązywanie układu polega na rugowaniu kolejnych niewiadomych, aby uzyskać (jeśli to możliwe) równanie z jedną niewiadomą.

18 . Metoda eliminacji. Wprowadzenie do metody eliminacji Metoda eliminacji Gaussa jest uogólnieniem szkolnej metody przeciwnych współczynników. Rozwiązywanie układu polega na rugowaniu kolejnych niewiadomych, aby uzyskać (jeśli to możliwe) równanie z jedną niewiadomą. Kluczową sprawą jest jednak zapis. Ponieważ macierz uzupełniona zawiera pełną informację o układzie, więc w metodzie eliminacji Gaussa prowadzi się przekształcenia nie na równaniach układu, lecz na wierszach macierzy uzupełnionej.

19 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską.

20 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską. 2) Jeśli a 11 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a 11 (wtedy wyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w pierwszej kolumnie od wiersza drugiego odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez a 21 itd.

21 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską. 2) Jeśli a 11 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a 11 (wtedy wyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w pierwszej kolumnie od wiersza drugiego odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez a 21 itd. Gdyby a 11 = 0, a np. a k1 0, to przestawiamy najpierw wiersz pierwszy z k-tym i dalej jak poprzednio.

22 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22.

23 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22. Jeśli a 22 = 0, a np. a k2 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym i dalej jak wyżej.

24 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22. Jeśli a 22 = 0, a np. a k2 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym i dalej jak wyżej. Jeśli wszystkie a k2 = 0 dla k = 2, 3,..., m, to przechodzimy do następnej kolumny.

25 . Metoda eliminacji. Metoda eliminacji Gaussa 3) Jeśli a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a 22. Jeśli a 22 = 0, a np. a k2 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym i dalej jak wyżej. Jeśli wszystkie a k2 = 0 dla k = 2, 3,..., m, to przechodzimy do następnej kolumny. 4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.

26 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej 1) Jeżeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz ( ), to układ jest sprzeczny (taki wiersz odpowiada równaniu 0 = 1).

27 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej 1) Jeżeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz ( ), to układ jest sprzeczny (taki wiersz odpowiada równaniu 0 = 1). 2) Nie ma wierszy postaci ( ) i liczba niezerowych wierszy jest równa liczbie niewiadomych, tzn. macierz jest postaci: gdzie * oznacza jakiś element. 1 b b b n ,

28 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej Odpowiada to układowi: x 1 + x x n = b 1 x x n = b x n 1 + x n = b n 1 x n = b n

29 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej Odpowiada to układowi: x 1 + x x n = b 1 x x n = b x n 1 + x n = b n 1 x n = b n Stąd x n = b n. Po podstawieniu do równania (n 1)-szego obliczamy x n 1 itd. Rozwiązanie jest tylko jedno.

30 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej Odpowiada to układowi: x 1 + x x n = b 1 x x n = b x n 1 + x n = b n 1 x n = b n Stąd x n = b n. Po podstawieniu do równania (n 1)-szego obliczamy x n 1 itd. Rozwiązanie jest tylko jedno. 3) W macierzy nie ma wierszy postaci ( ), ale występują kolumny niewiodące. Stosujemy, jak wyżej, podstawienie wsteczne, ale niewiadomym, które odpowiadają kolumnom niewiodącym nadajemy dowolne wartości (będą one parametrami rozwiązania).

31 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2)

32 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca.

33 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2,

34 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R),

35 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R), x 2 = 1 2x 3 2x 4 = 3 2s,

36 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R), x 2 = 1 2x 3 2x 4 = 3 2s, x 1 = 5 2x 2 3x 3 = 11 + s.

37 . Metoda eliminacji. Interpretacja postaci schodkowej: przykład Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz: A = (2) Niewiadoma x 3 jest niewiodąca. Zatem x 4 = 2, x 3 = s (s R), x 2 = 1 2x 3 2x 4 = 3 2s, x 1 = 5 2x 2 3x 3 = 11 + s. Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci: x 1 = 11 + s, x 2 = 3 2s, x 3 = s, x 4 = 2, (s R).

38 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:

39 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:

40 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:

41 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:

42 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w 2 2w 3 i w 1 2w 2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi: Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x 3 = s): x 1 = 11 + s, x 2 = 3 2s, x 3 = s, x 4 = 2, (s R).

43 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z = 0

44 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =

45 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =

46 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =

47 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =

48 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z =

49 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład 4x + 5y + 3z = 0 x + 8y + 3z = 0 3x + 15y + 6z = Stąd x = 1 3 k, y = 1 3k, z = k

50 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Przykład Metodą eliminacji rozwiązać układ z parametrem a: 2x y + z + t = 1 x + 2y z + 4t = 2 x + 7y 4z + 11t = a Dla jakich wartości a układ nie ma rozwiązania?

51 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a

52 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a 2

53 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a a 5

54 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a a a 5

55 . Metoda eliminacji. Eliminacja Gaussa-Jordana Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: a a a 5 Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi: a 5 x = k 6 5 l, y = k 7 l, z = k, t = l, 5 gdzie k, l R.

56 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b).,

57 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b). Obliczamy wyznacznik główny: 1 p p = p 2 2p + 15.,

58 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b). Obliczamy wyznacznik główny: 1 p p = p 2 2p Rozwiązując równanie p 2 2p + 15 = 0 znajdziemy p 1 = 5, p 2 = 3.,

59 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Przykład Dla jakich wartości p układ x + py z = 1 x + 10y 6z = p 2x y + pz = 0 jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć rozwiązanie dla przypadku b). Obliczamy wyznacznik główny: 1 p p = p 2 2p Rozwiązując równanie p 2 2p + 15 = 0 znajdziemy p 1 = 5, p 2 = 3. Zatem gdy p 5 i p 3 układ jest oznaczony.,

60 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0,

61 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0 który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się sprzeczność.,

62 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0 który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się sprzeczność. Dla p = 3 mamy układ x + 3y z = 1 x + 10y 6z = 3 2x y + 3z = 0 który również rozwiązujemy metodą eliminacji.,,

63 . Metoda eliminacji. Układ z parametrem Pozostałe przypadki badamy osobno: Dla p = 5 otrzymujemy układ: x 5y z = 1 x + 10y 6z = 5 2x y 5z = 0 który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się sprzeczność. Dla p = 3 mamy układ x + 3y z = 1 x + 10y 6z = 3 2x y + 3z = 0 który również rozwiązujemy metodą eliminacji. Otrzymujemy x = 8 7 k + 1 7, y = 5 7 k + 2 7, z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.,,

64 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Definicja Macierz B nazywamy wierszowo równoważną macierzy A, jeżeli B można otrzymać z A przez zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach.

65 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Definicja Macierz B nazywamy wierszowo równoważną macierzy A, jeżeli B można otrzymać z A przez zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach. Definicja Przestrzenią wierszy macierzy A typu m n nazywamy podprzestrzeń przestrzeni K n, która jest generowana przez wiersze macierzy A (traktowane jako wektory przestrzeni K n ).

66 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Przykład Niech A =

67 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Przykład Niech A = Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektory w 1 = (3, 2, 1), w 2 = (0, 1, 0), w 3 = (3, 1, 1).

68 . Metoda eliminacji. Przestrzeń wierszy macierzy Przykład Niech A = Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektory w 1 = (3, 2, 1), w 2 = (0, 1, 0), w 3 = (3, 1, 1). Ponieważ w 1 = w 2 + w 3, więc jest to dwuwymiarowa podprzestrzeń w R 3.

69 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.

70 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy. D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym zbiorze.

71 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy. D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym zbiorze. Definicja Rzędem macierzy A nazywamy wymiar przestrzeni wierszy macierzy A.

72 . Metoda eliminacji. Określenie rzędu Twierdzenie Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy. D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym zbiorze. Definicja Rzędem macierzy A nazywamy wymiar przestrzeni wierszy macierzy A. Oznaczamy go R(A).

73 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej. Wiersze takiej macierzy są liniowo niezależne.

74 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej. Wiersze takiej macierzy są liniowo niezależne. Wniosek Dla dowolnej macierzy A jej rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy w postaci schodkowej tej macierzy.

75 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Przykład Obliczymy rząd macierzy: A =

76 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Przykład Obliczymy rząd macierzy: A = Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemy operacje: w 2 2w 1 i w 3 3w 1, a następnie w 3 + 2w 2 :

77 . Metoda eliminacji. Obliczanie rzędu Przykład Obliczymy rząd macierzy: A = Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemy operacje: w 2 2w 1 i w 3 3w 1, a następnie w 3 + 2w 2 : Są dwa wiersze liniowo niezależne, więc R(A) =

78 . Metoda eliminacji. Związek rzędu z minorami Twierdzenie Jeżeli macierz zawiera minor stopnia r różny od zera, dla którego wszystkie zawierające go minory stopnia r + 1 (minory obrzeżające) są równe zeru, to rząd tej macierzy jest równy r.

79 . Metoda eliminacji. Związek rzędu z minorami Twierdzenie Jeżeli macierz zawiera minor stopnia r różny od zera, dla którego wszystkie zawierające go minory stopnia r + 1 (minory obrzeżające) są równe zeru, to rząd tej macierzy jest równy r. A zatem rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni różnych od zera minorów tej macierzy.

80 . Metoda eliminacji. Związek rzędu z minorami Obliczanie rzędu macierzy metodą obrzeżania należy prowadzić od stopni najniższych do najwyższych. Przykładowo, weźmy ponownie macierz A = Minor a 11 = 1 jest niezerowy. Minor obrzeżający: = 3 jest także niezerowy. Dla niego mamy dwa minory obrzeżające: = 0, = 0, a więc R(A) = 2.

81 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek:

82 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek: Wniosek R(A) = R(A T ).

83 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek: Wniosek R(A) = R(A T ). Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejny wniosek: Wniosek jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn macierzy.

84 . Metoda eliminacji. Macierze A i A T mają te same minory, więc mamy poniższy wniosek: Wniosek R(A) = R(A T ). Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejny wniosek: Wniosek jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn macierzy. Inaczej: rząd wierszowy jest równy rzędowi kolumnowemu. Zatem przy obliczaniu rzędu metodą przekształcania macierzy do postaci schodkowej można wykonywać również operacje na kolumnach (co było niedopuszczalne w metodzie eliminacji).

85 . Metoda eliminacji. Układ jako równanie wektorowe a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (3) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Niech A oznacza macierz układu, a B macierz uzupełnioną układu: a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n b 1 a A = 12 a 22 a 2n , B = a 12 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn b m

86 . Metoda eliminacji. Każdą kolumnę można traktować jako wektor przestrzeni K m. Oznaczmy: a 1j b 1 a v j = 2j..., w = b 2... a mj b m

87 . Metoda eliminacji. Każdą kolumnę można traktować jako wektor przestrzeni K m. Oznaczmy: a 1j b 1 a v j = 2j..., w = b 2... a mj b m Wtedy układ (3) jest równoważny równaniu wektorowemu: x 1 v 1 + x 2 v x n v n = w. (4)

88 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B).

89 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B). D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x j K spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4).

90 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B). D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x j K spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4). Z równania (4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,..., v n. Tym samym w należy do przestrzeni rozpiętej na wektorach v 1, v 2,..., v n.

91 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B). D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x j K spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4). Z równania (4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,..., v n. Tym samym w należy do przestrzeni rozpiętej na wektorach v 1, v 2,..., v n. Zatem wymiary przestrzeni generowanych przez {v 1, v 2,..., v n } i {v 1, v 2,..., v n, w} są takie same, a to oznacza, że R(A) = R(B).

92 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r, to wśród wektorów v 1, v 2,..., v n jest r liniowo niezależnych niech to będą v 1, v 2,..., v r.

93 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r, to wśród wektorów v 1, v 2,..., v n jest r liniowo niezależnych niech to będą v 1, v 2,..., v r. Ale R(B) = r, więc wśród wektorów v 1, v 2,..., v n, w jest też tylko r liniowo niezależnych. Muszą to być v 1, v 2,..., v r.

94 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r, to wśród wektorów v 1, v 2,..., v n jest r liniowo niezależnych niech to będą v 1, v 2,..., v r. Ale R(B) = r, więc wśród wektorów v 1, v 2,..., v n, w jest też tylko r liniowo niezależnych. Muszą to być v 1, v 2,..., v r. Pozostałe są od nich liniowo zależne. W szczególności w jest kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,..., v r, a więc i wektorów v 1, v 2,..., v n. Tym samym istnieją elementy x j K spełniające równanie (4), a więc i układ (3).

95 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u = 2

96 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u =

97 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A więc R(A) = 3 oraz x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u =

98 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u = więc R(A) = 3 oraz R(A) R(B)

99 . Metoda eliminacji. Twierdzenie Kroneckera Capellego Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera Capellego sprawdzić, czy układ ma rozwiązanie: Ponieważ A x + 2y + 3z + 3u = 6 x + y + z = 1 3x y + 2z + u = więc R(A) = 3 oraz R(A) R(B) 3. Zatem R(A) = R(B). Układ ma rozwiązanie

100 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Układ jednorodny: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (5)

101 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Układ jednorodny: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (5) ma zawsze rozwiązanie x 1 = x 2 =... = x n = 0.

102 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n.

103 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n r parametrów.

104 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n r parametrów. Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowania niewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi są x r+1, x r+2,..., x n.

105 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n r parametrów. Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowania niewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi są x r+1, x r+2,..., x n. Niewiadome główne są ich kombinacjami. Zatem rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci wektora: n n ai 1 x i,..., ai r x i, x r+1, x r+2,..., x n. i=r+1 i=r+1

106 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n.

107 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy (1, 0,..., 0), x r+1, x r+2,..., x n

108 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),

109 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1)

110 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1) Otrzymamy wtedy wektory: (a 1 r+1, a 2 r+1,..., a r r+1, 1, 0,..., 0), (a 1 r+2, a 2 r+2,..., a r r+2, 0, 1,..., 0), ( a 1 n, a 2 n,..., a r n, 0, 0,..., 1).

111 . Metoda eliminacji. Układ jednorodny Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R n. Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome kolejno układy x r+1, x r+2,..., x n (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1) Otrzymamy wtedy wektory: (a 1 r+1, a 2 r+1,..., a r r+1, 1, 0,..., 0), (a 1 r+2, a 2 r+2,..., a r r+2, 0, 1,..., 0), ( a 1 n, a 2 n,..., a r n, 0, 0,..., 1). Takie rozwiązania nazywamy bazowymi. Dowolne inne rozwiązanie jest kombinacją tych rozwiązań.

112 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w.

113 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy x = 3, y = 2,

114 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy a dla u = 0, w = 1 jest x = 3, y = 2, x = 4, y = 1,

115 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy a dla u = 0, w = 1 jest Rozwiązaniami bazowymi są x = 3, y = 2, x = 4, y = 1, ( 3, 2, 1, 0), ( 4, 1, 0, 1)

116 . Metoda eliminacji. Przykład x + 3u + 4w = 0 y + 2u w = 0. Niewiadomymi swobodnymi są u i w. Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy a dla u = 0, w = 1 jest Rozwiązaniami bazowymi są a rozwiązanie ogólne jest postaci: x = 3, y = 2, x = 4, y = 1, ( 3, 2, 1, 0), ( 4, 1, 0, 1) k( 3, 2, 1, 0) + l( 4, 1, 0, 1), gdzie k, l R.

117 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M 1 = (x 1, y 1 ), M 2 = (x 2, y 2 ), M 3 = (x 3, y 3 ) leżące na jednej prostej?

118 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M 1 = (x 1, y 1 ), M 2 = (x 2, y 2 ), M 3 = (x 3, y 3 ) leżące na jednej prostej? Jeżeli istnieje prosta Ax + By + C = 0 na której leżą wszystkie te punkty, to układ Ax 1 + By 1 + C = 0 Ax 2 + By 2 + C = 0 Ax 3 + By 3 + C = 0 z niewiadomymi A, B, C ma rozwiązanie niezerowe.

119 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M 1 = (x 1, y 1 ), M 2 = (x 2, y 2 ), M 3 = (x 3, y 3 ) leżące na jednej prostej? Jeżeli istnieje prosta Ax + By + C = 0 na której leżą wszystkie te punkty, to układ Ax 1 + By 1 + C = 0 Ax 2 + By 2 + C = 0 Ax 3 + By 3 + C = 0 z niewiadomymi A, B, C ma rozwiązanie niezerowe. Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = 0. x 3 y 3 1

120 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej.

121 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej. Sprawdzamy wyznacznik:

122 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej. Sprawdzamy wyznacznik: = 0.

123 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy punkty ( 2, 1), (1, 1), (7, 5) leżą na jednej prostej. Sprawdzamy wyznacznik: Punkty leżą na jednej prostej = 0.

124 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 2. Podać warunek na to, by proste A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 przechodziły przez jeden punkt.

125 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 2. Podać warunek na to, by proste A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 przechodziły przez jeden punkt. Jeżeli istnieje punkt (x, y) wspólny dla tych prostych, to układ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 = 0

126 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii 2. Podać warunek na to, by proste A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 przechodziły przez jeden punkt. Jeżeli istnieje punkt (x, y) wspólny dla tych prostych, to układ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 = 0 czyli A 1 x + B 1 y = C 1 A 2 x + B 2 y = C 2 A 3 x + B 3 y = C 3 z niewiadomymi x, y ma rozwiązanie.

127 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A 1 B 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2, A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 A 3 B 3 C 3 są równe. A zatem musi być

128 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A 1 B 1 A 1 B 1 C 1 A 2 B 2, A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 A 3 B 3 C 3 są równe. A zatem musi być A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 = 0. A 3 B 3 C 3

129 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny.

130 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny. Sprawdzamy wyznacznik:

131 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny. Sprawdzamy wyznacznik: = 0.

132 . Metoda eliminacji. Zastosowania do geometrii Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y 4 = 0, x 2y + 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny. Sprawdzamy wyznacznik: Proste mają punkt wspólny = 0.

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +

Bardziej szczegółowo

Macierze. Układy równań.

Macierze. Układy równań. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

9 Układy równań liniowych

9 Układy równań liniowych 122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa 1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym

Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym 1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1

Bardziej szczegółowo

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1, Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

3 Przestrzenie liniowe

3 Przestrzenie liniowe MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru. Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

14. Przestrzenie liniowe

14. Przestrzenie liniowe 14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p. Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo