5. Szeregi liczbowe Niech będzie day iesończoy ciąg liczbowy {a }. Ciąg A = azywamy ciągiem sum częściowych ciągu {a }. Jeżeli ciąg {A } jest zbieży, mówimy, że ciąg {a } jest sumowaly, a graicę a A = lim A azywamy jego sumą i ozaczamy przez A = a. Ta więc z defiicji a = lim a, o ile ciąg {a } jest sumowaly. 5.. Uwaga. Tradycyja termiologia jest trochę ia. Za pomocą symbolu a = a + a 2 + a 3 +... ozacza się ie tylo sumę ciągu {a }, gdy jest o sumowaly. Używa się go taże w przypadu ciągów iesumowalych dla zazaczeia samej itecji badaia sumowalości ciągu. I ta zamiast ciąg {a } jest sumowaly bądź iesumowaly mówi się szereg a jest zbieży bądź rozbieży, a zamiast suma iesończoego ciągu {a } mówi się suma szeregu a. Podobie sformułowaie day jest szereg a wyraża to samo, co day jest ciąg {a }, a my będziemy starali się rozstrzygąć, czy jest o sumowaly i ewetualie obliczyć jego sumę. Termiologia ta może wydawać się ieprecyzyja, ale jest ta wygoda i ta powszechie stosowaa, że warto przy iej pozostać. W chwilach pomieszaia, tóre często zdarzają się adeptom aalizy, moża zawsze sięgąć do ścisłych defiicji podaych wyżej. Badaie zbieżości szeregów jest w istocie badaiem zbieżości ciągów specjalego typu. Czyteli przypomia sobie, że tego typu ciągi występowały już wcześiej w aszych rozważaiach. Oto przyłady szeregów zbieżych:. =0 q = lim =0 q = q, o ile q <, 2. +) = lim 3. =0 x! = lim =0 x! = e x dla x R, +) = lim + ) =, 4. ) + ) = lim + = log 2, 5. log + ) = lim log + ) = γ. Wiemy rówież, że astępujące szeregi są rozbieże:. = lim,
2 2. =0 q = lim =0 q dla q, 3. =0 ) = lim =0 ), Te ostati szereg jest rozbieży, bo jego sumy częściowe A = + ) 2 ie mają graicy. Wiemy, że ciąg zbieży jest ograiczoy. Dla szeregu ozacza to: 5.2. Ciąg sum częściowych szeregu zbieżego jest ograiczoy. Zwróćmy uwagę, że szereg 3) z wyżej wymieioych szeregów rozbieżych ma ograiczoe sumy częściowe. 5.3. Szereg a o wyrazach ieujemych jest zbieży, wtedy i tylo wtedy gdy ciąg {A } jego sum częściowych jest ograiczoy. Dowód. Rzeczywiście a 0 pociąga A + A. Soro ciąg sum częściowych jest rosący, jego zbieżość jest rówoważa ograiczoości. Jeżeli szereg a ma wyrazy ieujeme, to w myśl powyższego fatu ciąg jego sum częściowych jest zbieży do wartości liczbowej lub rozbieży do iesończoości. Dlatego będziemy pisać a <, aby róto wyrazić zbieżość taiego szeregu, lub a =, aby zazaczyć jego rozbieżość. Notacji tej ie wolo stosować do szeregów o wyrazach ieoieczie ieujemych! 5.4. Jeśli szereg a jest zbieży, to lim a = 0. Dowód. Mamy a = A A, 2, gdzie A ozacza -tą sumę częściową, sąd atychmiast wyia teza. Nie ależy jeda sądzić, że warue a 0 jest wystarczający dla zbieżości szeregu. Świadczy o tym choćby szereg ) z umieszczoej wyżej listy szeregów rozbieżych. Ostati dowód asuwa pewe waże spostrzeżeie. Powiedzieliśmy wcześiej, że szeregi to ciągi specjalego typu. Nie jest to całiem ścisłe, bo sugeruje jaoby szeregi staowiły pewą właściwą podlasę lasy wszystich ciągów. Tymczasem ietrudo zauważyć, że ażdy ciąg moża przedstawić w postaci szeregu, ładąc a + = a + a ) = a, =0 gdzie a = a + a i a 0 = 0. Króto mówiąc, ażdy ciąg {a + } jest ciągiem sum częściowych ciągu pochodych {a }. Lepiej więc powiedzieć, że badaie szeregów to badaie ciągów jao ciągów sum częściowych. Różica polega a tym, że tu założeia formułuje się w termiach ciągu {a }, a ie samego ciągu {a }. =0
3 5.5. Przyład. Szereg si jest rozbieży, bo ciąg {si } ie dąży do zera. 5.6. Jeżeli szereg A = a jest zbieży, to zbieży jest też ażdy z szeregów R = a, N, a poadto Dowód. Rzeczywiście, jeśli = lim R = 0. A = a, to sumy częściowe szeregu R są rówe m R m) = a = A m A, = więc R m) A A, gdy m. Zatem co było do oazaia. lim R = lim A A = 0, 5.7. Szereg a jest zbieży, wtedy i tylo wtedy gdy dla ażdego ε > 0 istieje N N, taie że a < ε dla > m N. Dowód. Jao że =m+ =m+ a = A A m, gdzie A jest -tą sumą częściową szeregu, rozpozajemy warue Cauchy ego, tóry jest rówoważy zbieżości ciągu {A }, a więc zbieżości szeregu. 5.8. Wiose. Jeśli szereg a jest zbieży, to taże szereg a jest zbieży, a poadto a a. Dowód. Zbieżość szeregu a wyia z ierówości trójąta: a a =m+ =m+ oraz 5.7). Jeśli w ostatiej ierówości przyjmiemy m = 0, otrzymamy ierówość A a, a po przejściu z do iesończoości drugą część tezy.
4 Mówimy, że szereg a jest bezwzględie albo absolutie) zbieży, jeśli zbieży jest szereg a. Wyżej poazaliśmy więc, że szereg bezwzględie zbieży jest zbieży. Zwróćmy uwagę, że szereg 4) z wyżej umieszczoej listy szeregów zbieżych ie jest bezwzględie zbieży. Tai szereg azywamy waruowo zbieżym. 5.9. Przyład. Rozpatrzmy astępujący przyład. Niech będzie day szereg o wyrazie ogólym Ja widać więc szereg jest zbieży. a = 3 + ) 2. a 4 2, Wiemy, że zmiaa sończoej ilości wyrazów w ciągu ie ma wpływu ai a jego zbieżość, ai a wartość graicy, o ile ta istieje. Trochę iaczej wygląda sprawa z szeregami. Zmiaa sończoej ilości wyrazów w szeregu ozacza dodaie pewej stałej do wszystich wyrazów ciągu sum częściowych począwszy od pewego miejsca. Nie wpływa zatem a zbieżość szeregu, ale może wpłyąć a wartość jego sumy, gdy jest o zbieży. W szczególości zbieżość szeregu =N dla jaiegoolwie N N pociąga zbieżość całego szeregu a. Zajmijmy się teraz szeregami o wyrazach ieujemych. Oto ta zwae ryterium porówawcze zbieżości szeregów. 5.0. Niech będą dae dwa szeregi a i b o wyrazach ieujemych, taich że a b dla dostateczie dużych. Wtedy zbieżość szeregu b pociąga zbieżość szeregu a, a rozbieżość szeregu a pociąga rozbieżość szeregu b. Dowód. Rzeczywiście, istieje wtedy N N, taie że dla > N mamy a b, =N więc ograiczoość szeregu o wyrazach b pociąga ograiczoość szeregu o wyrazach a i odwrotie ieograiczoość szeregu po lewej pociąga ieograiczoość tego po prawej. To a mocy 5.3) dowodzi aszej tezy. 5.. Przyład. Zauważmy, że ierówość wraz ze zbieżością szeregu =2 że Poadto a =N 2 < ), >, ) lim = dowodzi a mocy ryterium porówawczego, 2 <. 2 = 0.
5 5.2. Przyład. Moża jeda poazać więcej. Miaowicie 2, = a doładiej lim 2 =. = W tym celu wystarczy zauważyć, że dla ażdego 2 + ) < 2 < ). Sumując względem 2 m, dostajemy m m + < 2 < m, = sąd po przejściu graiczym względem m < = 2 <, a stąd już asza teza a mocy twierdzeia o trzech ciągach. Porówując wyrazy daego szeregou z wyrazami szeregu geometryczego, otrzymujemy ryteria d Alemberta i Cauchy ego. 5.3. Twierdzeie. Niech będzie day szereg a o wyrazach dodatich. Jeżeli a + lim <, a to szereg jest zbieży. Jeżeli atomiast to szereg jest rozbieży. lim a + a >, Dowód. Niech będzie spełioy pierwszy warue. Niech 0 < ε < q. Wtedy dla dostateczie dużych N a = a a... a N+ a N Cq + ε), a a 2 a N gdzie C = a N i q + ε <. Zatem a mocy ryterium porówawczego szereg q+ε) N a jest zbieży. Niech teraz będzie spełioy drugi warue. Wtedy ciąg {a } jest od pewego miejsca rosący, wiec ie może być zbieży do zera. Zatem szereg jest rozbieży. Niestety ryterium d Alemberta ie rozstrzyga ic w sytuacji, gdy a + lim =. a Ta się dzieje w przypadu szeregów 5.4), 2.
6 W obu przypadach mamy a + lim =, a a tymczasem pierwszy z tych szeregów jest rozbieży, a drugi zbieży. 5.5. Przyład. Rozważmy szeregi ) 2 a = 5, Mamy oraz =0 a + a = b + b = =0 2+2 + 2 2+2 + 2 ) 5 ) = 5 5 ) 3 ) = 3 3 ) 2 b = 3. =0 =0 2 + )2 + 2) 4 + ) 2 5 2 + )2 + 2) + ) 2 4 3, więc pierwszy szereg jest zbieży, a drugi rozbieży. Przyład te dobrze ilustruje te wygody fat, że w pratyczych zastosowaiach wyrażeie a + a często ma graicę. Przechodzimy do ryterium Cauchy ego. 5.6. Twierdzeie. Niech będzie day szereg a o wyrazach ieujemych. Jeżeli a <, to szereg jest zbieży. Jeżeli atomiast to szereg jest rozbieży. lim lim a >, Dowód. Niech 0 < ε < q. Pierwszy warue ozacza, że dla dostateczie dużych a q + ε), więc a mocy ryterium porówawczego szereg jest zbieży. Drugi warue zaś impliuje a dla iesończeie wielu, więc ciąg {a } ie dąży do zera, a to a mocy 5.4) ozacza, że szereg jest rozbieży. Podobie ja ryterium d Alemberta, ryterium Cauchy ego ie rozstrzyga ic w sytuacji, gdy lim a =. Moża a poparcie tej tezy przytoczyć te same przyłady 5.4). 5.7. Przyład. Szereg jest zbieży, bo lim!! = e <. I jeszcze jedo ryterium badaia zbieżości szeregów o wyrazach dodatich ieujemych), zwae ryterium Cauchy ego przez zagęszczeie. 5.8. Niech {a } będzie ciągiem malejącym liczb ieujemych. Wówczas szereg a jest zbieży, wtedy i tylo wtedy gdy szereg 2 a 2 jest zbieży.
7 Dowód. Rzeczywiście, oraz 2 N a = 2 N N =0 a = N =0 2 + 2 + =2 a =2 a N =0 N =0 2 a 2 2 a 2 + = 2 N 2 a 2, bo wyrazów a dla 2 < 2 + jest 2 i a mocy aszych założeń ajmiejszym jest a 2 + a 2 +, a ajwięszym a 2. Z udowodioych ierówości wyia teza. Wiemy już, że a co za tym idzie oraz i co za tym idzie 2 <, <, α 2, α =, =, α. α Metodą przez zagęszczeie sprawdzimy pozostałe przypadi < α < 2, a przy oazji za jedym zamachem potwierdzimy wyżej wymieoe. 5.9. Wiose. Szereg α jest zbieży, wtedy tylo wtedy gdy α >. Dowód. Rzeczywiście, jeśli a =, to α 2 a 2 = 2 2 α = a ostati szereg, tóry jest szeregiem geometryczym o ilorazie q = 2 α, jest zbieży doładie wtedy, gdy α >. Niech ζα) = α. Ile wyosi suma taiego szeregu? Odpowiedź ie jest łatwa. Rozstrzygiemy tu dwa przypadi α = 2 i α = 4. 5.20. Mamy Dowód podamy w dalszej części sryptu. 2 = π2 6. q,
8 5.2. Lemat. Zachodzi rówość Dowód. Dowodzimy tożsamości Mamy 4 = 2 5 ζ4) = 2 5 ζ2)2. ζ2) 2 = lim Zbadajmy więc sumy N N N j 2 2 = N gdzie Zauważmy, że Zatem N j= N j= j j= N 2 j 2 = 2 Zwróćmy teraz uwagę, że N więc ostateczie Ja widać, j N j= j= N j 2 j N j= ) 2 π 4 = 2 90. N N j 2 2 + ) j 4 = B N = N j= j 4. j 2 2 = j 2 2 2 j 2. N j j 2 2. N N 2 j 2 = j 3 j= N j= j N j j ) = 3 N+j + j 2j, =N j+ N N j= j 2 2 = 5 2 B N N j= j 3 N+j =N j+ j 2 2 + B N, j ). + j. j 2 2 N ζ2) 2, B N N ζ4), więc wystarczy sprawdzić, że drugi sładi po prawej stroie dąży do zera. Rzeczywiście N N+j Jao że j= j 3 =N j+ = 2 N j= N < j 2 j= j 3 2j N j + N j + < 4 [N/2] N j= j= j 2 <, j 2 + 2 N j=[n/2]+ j 2.
9 prawa stroa dąży do zera wraz z N. Poiższe ryterium Raabego pozwala oo rozstrzygąć ietóre przypadi, tórych ie rozstrzyga ryterium d Alemberta. 5.22 Raabe). Niech będzie day szereg o wyrazach a > 0. Jeśli lim a ) + >, a to a <. Jeśli atomiast to a =. lim a ) + <, a Dowód. Przypuśćmy, że spełioy jest pierwszy warue. Niech ε > 0 będzie odpowiedio małe. Wtedy dla dostateczie dużych + ) a ) + > + ε a Możąc obie stroy ierówości przez a i przeosząc odpowiedio wyrazy otrzymujemy 5.23) εa a + )a +. Ozaczmy b = a,. Nierówość 5.23) poazuje, że ciąg {b } jest malejący, a więc zbieży, co pociąga b b + <. Wracając do ierówości 5.23), widzimy, że a ) b b +, N, ε a więc asz szereg jest zbieży a mocy ryterium porówawczego. Drugi warue dla dużych impliuje czyli a + a 2... N N a N, a + a N N. Stosując raz jeszcze ryterium porówawcze, widzimy, że szereg jest rozbieży. 5.24. Przyład. Zdefiiujmy symbol Newtoa dla dowolych a R oraz Z +. Niech ) a aa )... a + ) =,,! oraz ) a =. 0 Nie aładamy tu żadych dodatowych ograiczeń a a i. Zauważmy jeda, że dla a N i > a, mamy a ) = 0.
0 Rozważmy teraz szereg ) a a = =0 =0 i zbadajmy jego zbieżość za pomocą ryterium Raabego. Mamy a + a = a + +, > a, sąd atychmiast wyia, że asz szereg jest zbieży dla a 0 i rozbieży dla a < 0. Tyle a razie a temat szeregów o wyrazach ieujemych. Przechodzimy do szeregów o wyrazach dowolych. Jeżeli tai szereg jest zbieży bezwzględie, to w zasadzie jego badaie sprowadza się do badaia szeregu wartości bezwzględych, tóry ma wyrazy ieujeme. Jeśli jeda jest zbieży tylo waruowo, sprawa jest zaczie deliatiejsza. 5.25. Twierdzeie Leibiz). Jeśli ciąg {a } maleje mootoiczie do zera, to szereg ) a jest zbieży. =0 Dowód. Widzimy, że parzyste sumy częściowe A 2 = a 0 a ) + a 2 a 3 ) + + a 2 2 a 2 ) + a 2 0 są ograiczoe z dołu i tworzą ciąg malejący, bo atomiast sumy ieparzyste A 2+2 A 2 = a 2+2 a 2+ 0, A 2+ = a 0 + a 2 a ) + a 4 a 3 ) +... a 2 a 2+ ) a 0 są ograiczoe z góry i tworzą ciąg rosący, bo A 2+3 A 2+ = a 2+2 a 2+3 0. Ta więc oba podciągi {A 2 } i {A 2+ } są zbieże i wobec A 2 A 2+ = a 2+ 0 mają wspólą graicę. Stąd ciąg sum częściowych jest zbieży. 5.26. Przyład. Oprócz zaego am już dobrze szeregu aharmoiczego ) + dobrymi przyładami a twierdzeie Leibiza są szeregi ) + log + ), ) + e Rzeczywiście ciągi a =, są mootoiczie zbieże do zera. + ) ). b = log + ), c = e + )
5.27. Przyład. Wiemy już, że szereg ) a jest bezwzględie zbieży dla a 0. Poażemy teraz, orzystając z ryterium Leibiza, że dla < a < 0 szereg te jest waruowo zbieży. Niech b = + a. Wtedy ) a = ) b ). Jeśli to a = a + b ), = b a +, a więc ciąg a ) jest mootoiczy i dąży do zera. Niech będzie day ciąg {a }. Przypomijmy ozaczeie a = a + a. 5.28. Lemat. Niech będą dae dwa ciągi iesończoe {a } i {B }. Dla dowolych m aturalych zachodzi astępująca tożsamość Abela: a B = a + B + a m B m ) a B +. =m =m Dowód. Wystarczy zauważyć, że a B ) = a + B + a m B m, a poadto co daje tezę. =m a B ) = a B + + a B, 5.29. Wiose ierówość Abela). Niech {a } będzie ciągiem malejącym o wyrazach ieujemych, a {B } ciągiem ograiczoym. Wtedy dla dowolych m aturalych a B 2a m sup B. m =m Następujące ryterium Dirichleta, tóre moża uważać za uogólieie podaego wyżej ryterium Leibiza, wyorzystuje ierówość Abela. 5.30. Twierdzeie. Jeżeli {a } jest ciągiem mootoiczym i zbieżym do zera, a ciąg sum częściowych ciągu {b } jest ograiczoy, to szereg a b jest zbieży. Dowód. Możemy przyjąć, że ciąg {a } jest malejący. Ozaczmy B = b,
2 i iech B B. Na mocy ierówości Abela a b = a B 2a m sup B 2a m B. m =0 Jao że a m 0, asz szereg spełia warue Cauchy ego, więc jest zbieży. Warto zatrzymać się a chwilę, aby lepiej zrozumieć ryterium Dirichleta. Przyład, tóry chcemy teraz zaprezetować, wymaga pewych przygotowań. Wiemy, że szereg si jest rozbieży. Oazuje się jeda, że jego sumy częściowe są ograiczoe. 5.3. Dla ażdego x ie będącego parzystą wielorotością π si x = si x 2 si + ) x 2 si x. 2 Dowód. Z prostej trygoometrii wyia, że si x 2 si x = cos 2 2 )x cos + ) 2 )x. Stąd si x 2 si x = cos x 2 2 cos + ) 2 )x = si x 2 si + )x 2. 5.32. Przyład. A oto asz przyład. Niech {a } będzie ciągiem malejącym do zera i iech b = si. Z 5.3) wyia, że dla ażdego b si + 2 si 2 si 2 si 2, więc sumy częściowe ciągu {b } są ograiczoe. Na mocy twierdzeia Dirichleta szereg a si jest więc zbieży. W szczególości, szereg jest zbieży. si Dość podobym do ryterium Dirichleta jest ryterium Abela. Dobrze jest spojrzeć a to ryteriu w astępującym oteście. Jeśli szereg b jest zbieży bezwzględie, a ciąg {a } jest ograiczoy, to a b <, co ietrudo wywiosować z ryterium porówawczego. Iymi słowy, wyrazy szeregu bezwzględie zbieżego moża pomożyć przez wyrazy ciągu ograiczoego, a otrzymay szereg będzie adal zbieży bezwzględie.wyrazy zbieżego bezwzględie szeregu moża pomożyć przez wyrazy ciągu ograiczoego, a zbiezość zostaie zachowaa. Ta oczywiście ie jest dla szeregów waruowo zbieżych. Aby się o tym przeoać,
3 wystarczy wyrazy szeregu aharmoiczego pomożyć przez ograiczoy ciąg ) +. Tym bardziej gode uwagi jest astępujące twierdzeie Abela, tóre mówi, że moża to zrobić, jeśli ciąg {a } jest mootoiczy. 5.33. Twierdzeie. Niech b będzie szeregiem zbieżym, a {a } ograiczoym ciągiem mootoiczym. Wtedy szereg a b jest zbieży. Dowód. Niech a = lim a i iech α = a a. Mamy a b = a a)b + ab = α b + ab. Ta więc ażdy wyraz aszego szeregu przedstawia się jao ombiacja liiowa wyrazów dwóch szeregów zbieżych. Szereg o wyrazach b jest zbieży z założeia atomiast szereg o wyrazach α b jest zbieży a mocy ryterium Dirichleta, bo α 0 mootoiczie, a sumy częściowe b są ograiczoe, gdyż, ja już powiedzieliśmy, szereg te jest zbieży. 5.34. Przyład. Jeśli ciąg {a } maleje do zera, a ciąg {b } jest rosący i ograiczoy, to szereg ) + a b jest zbieży. Istotie, szereg )+ a jest zbieży a mocy twierdzeia Leibiza, więc wolo go pomożyć przez wyrazy ciągu rosącego i ograiczoego bez utraty zbieżości. Do ońca rozdziału pozostaje jeszcze zagadieie permutacji wyrazów w szeregu zbieżym. Wiemy, że w szeregu moża bezarie przestawić sończoą liczbę wyrazów, ie tracąc zbieżości, ai ie zmieiając jego sumy. Czy wolo jeda dooać iesończoej permutacji wyrazów? Rozważaia a te temat poprzedzimy astępującym spostrzeżeiem. Niech będzie day szereg zbieży o wyrazach a, wśród tórych jest iesończeie wiele zarówo ieujemych, ja i ujemych. Ozaczmy prze x oleje wyrazy ieujeme tego szeregu, a przez y oleje wyrazy ujeme. Niech m będzie liczbą wyrazów ieujemych o idesach. Wtedy 5.35) A = a = X m Y m = m gdzie m i m. Poadto a = X m + Y m. x y, Stąd wyia, że zbieżość bezwaruowa szeregu jest rówoważa x < oraz y <. Natomiast jego zbieżość waruowa pociąga x = oraz Za te pomysł dzięuję pau Ł. Garcarowi. y =.
4 Oto przyład poazujący, że permutacja wyrazów szeregu waruowo zbieżego może zmieić jego sumę. Niech ) + S = będzie sumą częściową waruowo zbieżego szeregu aharmoiczego. Przez iducję sprawdzamy, że S 4 + 2 2 S 2 = 2 2. Niech u = + 3 2 + 5 + 7 8 +... będzie szeregiem, tóry jest permutacją szeregu aharmoiczego. Permutacja polega a tym, że po dwóch olejych wyrazach ieparzystych astępuje jede olejy parzysty. Niech U będzie sumą częściową tego szeregu. Widać, że więc Zauważamy taże, że U 3 = S 4 + 2 S 2, lim U 3 = 3 log 2. 2 U 3+ U 3 0, U 3+2 U 3 0, więc szereg te jest zbieży, a jego suma wyosi 3 2 log 2. Permutacja wyrazów szeregu waruowo zbieżego może taże ziweczyć jego zbieżość. Niech { } będzie ciągiem liczb aturalych dobraym ta, aby 0 = oraz + 2j + >. j= Rozważmy astępującą permutację wyrazów szeregu aharmoiczego: Najpierw astępuje olejych wyrazów ieparzystych, po ich pierwszy wyraz parzysty; potem zów 2 wyrazów ieparzystych, drugi parzysty itd. Niech S będzie sumą częściową tej permutacji szeregu aharmoiczego. Ja widać S + > 2, więc owy szereg jest rozbieży. Oazuje się, że przez odpowiedią permutację wyrazów szeregu waruowo zbieżego moża uzysać wszysto rozbieżość lub zbieżość do z góry wybraej sumy. Mówi o tym astępujące twierdzeie, tórego dowód poprzedzimy astępującym lematem o dwóch szeregach rozbieżych. 5.36. Lemat. Niech będą dae dwa rozbieże szeregi o sumach częściowych X = x, Y = y
5 i wyrazach ieujemych. Dla ażdego a > 0 istieją wówczas ściśle rosące ciągi idesów p j ) j=0 i q j) j=0, taie że dla ażdego j N 5.37) a < X pj Y qj a + x pj, oraz a y qj X pj Y qj < a. gdzie Y 0 = 0 i q 0 = 0. Dowód. Niech p 0 = q 0 = 0. Przypuśćmy, że już zdefiiowaliśmy p j i q j. Defiiujemy p j+ jao ajmiejszy ides, tai że X pj+ > Y qj + a, a astępie q j+ jao ajmiejszy ides, tai że Y qj+ > X pj+ a. Nietrudo się przeoać, że asze ierówości są spełioe. 5.38. Twierdzeie Riema). Niech a będzie szeregiem waruowo zbieżym. Dla ażdego a R istieje permutacja wyrazów szeregu σ, taa że sumy częściowe S = a σ) są zbieże do a. Moża też dobrać σ ta, by ciąg sum częściowych był rozbieży do ± lub też ie miał awet graicy iewłaściwej. Dowód. Aby ie ompliować iepotrzebie dowodu, przyjmiemy, że a > 0. Przypadi a 0 oraz a = ± są bardzo podobe i pozostawiamy je Czyteliowi. Niech x j ozaczają oleje wyrazy ieujeme szeregu a, a y j liczby przeciwe do jego olejych wyrazów ujemych. Szereg jest zbieży waruowo, więc x =, oraz y =. W taim razie asze szeregi sełiają założeia lematu. Niech więc p j ) i q j ) będą ciagami idesów, taimi że sumy X i Y spełiają 5.37). Poieważ asz szereg jest zbieży, x 0 i y 0, a więc taże a mocy lematu o trzech ciągach. Poażemy, że suma szeregu o wyrazach lim X p j Y qj ) = lim X p j Y qj ) = a j j x, x 2,..., x p, y, y 2,..., y q, x p+, x p+2,..., x p2, y q+, y q+2,..., y q2,... wyosi doładie a. Zauważmy ajpierw, że ażda suma częściowa tego owego szeregu, tórego wyrazy otrzymaliśmy przez pewą permutację wyrazów szeregu wyjściowego, spełia X pj Y qj S < X pj+ Y qj, jeśli p j + q j < p j+ + q j lub X pj Y qj < S X pj Y qj. jeśli p j + q j < p j + q j. W taim razie a mocy lematu o trzech ciągach. lim S = a Potratujmy twierdzeie Riemaa jao przestrogę, że z szeregami waruowo zbieżymi ależy się obchodzić bardzo ostrożie! Zupełie iaczej ma się sprawa z szeregami bezwzględie zbieżymi.
6 5.39. Twierdzeie. Niech a <. Wówczas dla ażdej permutacji szereg a σ) jest rówież zbieży i a σ) = Dowód. Niech i iech Niech Wtedy A = σ : N N a <. a, S = Dla ε > 0 iech N będzie taie, by a = A = lim A. M = max σ ). a σ) ) {, 2,..., } σ {, 2,... M }. A A N =N+ a < ε. Wtedy dla m M = M N S m A N a < ε, =N+ więc S m A S m A N + A N A 2 a < 2ε, co dowodzi aszej tezy. =N+ 5.40. Wiose. Przy założeiach i ozaczeiach Twierdzeia 5.39 mamy a σ) <. Dowód. Wystarczy zastosować Twierdzeie 5.39 do szeregu wartości bezwzględych, by otrzymać żądaą zbieżość. I jeszcze jedo waże spostrzeżeie. 5.4. Niech będzie day ciąg a ). Jeżeli dla ażdego ciągu ε {0, } szereg ε a jest zbieży, to a <. Dowód. Niech ε = dla a 0 i ε = 0 dla a < 0. Wtedy, używając otacji 5.35), mamy ε a = x = C <,
7 oraz a stąd ε )a = y = C 2 <, N m m a = x + y C + C 2 dla ażdego N, co ozacza, że szereg jest zbieży bezwzględie.
Zadaia. Stosując ryterium porówawcze, zbadaj zbieżość astępujących szeregów: si π 2, + + 2, + ) + 4), tg 4, =0 log, 3, + ), +, =2 log 4, 5 2 + 2, + 2 ) 2. + 3 2. Stosując ryterium d Alemberta, udowodij zbieżość szeregów: 2 + )!, 2, tg π 2, 2 3, 2 si π 2, =0 + )!, 2!, 3!, 00,. e 2! =2 3. Stosując ryterium Cauchy ego, udowodij zbieżość szeregów: log, ), arsh 2 +, 4. Niech będą dae dwa ciągi a > 0 i b > 0, taie że lim a b że szeregi a i sposobem, że szereg si 5. Zbadaj zbieżość szeregów: log+/) log+) 6. Poaż, że szereg =2 + )2 3. = c > 0. Poaż, b są rówocześie zbieże lub rozbieże. Poaż tym jest rozbieży. log +ɛ i log+/) log 2 +). jest zbieży dla ażdego ɛ > 0. 7. Dla jaich x > 0 szereg log x jest zbieży? 8. Zbadaj zbieżość szeregu =2 log!. 9. Niech γ = log. Czy szereg γ jest zbieży? A szereg γ? 0. Zbadaj zbieżość szeregów ), + ) 2, ) 2, + ).. Niech a R \ Z. Udowodij, że szereg a =0 ) jest zbieży bezwzględie dla a > 0, zbieży waruowo dla < a 0 i rozbieży dla a. 2. Daa są szeregi a i b o wyrazach dodatich, tórych wyrazy spełiają warue a + b +. a b Udowodij, ze zbieżość drugiego szeregu impliuje zbieżość pierwszego, a rozbieżość pierwszego rozbieżość drugiego.
9 3. Wyrazy ciągu {a } są dodatie i spełiają warue a + ) α, α >. a + Udowodij, że szereg a jest zbieży. 4. Niech a 0. Udowodij, że jeśli a <, a ciąg {d } jest ograiczoy, to szereg d a jest zbieży. 5. Udowodij, że dla q < jest q = q q). 2 6. Poaż, że dla ażdego N zachodzi =+! <!. 7. Udowodij, że ee /e ) < < e/e. 8. Udowodij, że 5 4 < < 7 5, =+ < + ). 9. Zbadaj zbieżość szeregów oraz log 2! 20. Niech a 0 = e i a + = si a. Udowodij, że a) szereg 2 log2 )!. ) a jest zbieży; b) szereg ) a a 2... a jest zbieży. 2. W szeregu harmoiczym stawiamy za mius przy wyrazach o umerach postaci = 2, a pozostałe wyrazy pozostawiamy bez zmia. Wyaż, że ta otrzymay szereg jest rozbieży. 22. Oblicz sumę szeregu =0 ) 2. 23. Szeregi a oraz b są zbieże bezwzględie. Poaż, że szereg c, gdzie c = a b jest zbieży. 24. Udowodij, że dla ażdego x R zachodzi rówość =0 ) x! = =0 x 2 2)! =0 x 2+ 2 + )!. 25. Wiadomo, że lim 2 a = c 0. Poaż, że szereg a jest zbieży. 26. Wiadomo, że szereg 2 a jest zbieży. Poaż, że szereg a jest zbieży bezwzględie. 27. Podaj przyład zbieżego szeregu a, taiego że szereg a2 jest rozbieży. 28. Niech {a } =0 będzie ciągiem zbieżym do a, szereg zaś =0 b iech będzie bezwzględie zbieży. Niech c = =0 a b. Poaż, że lim c = a =0 b. 29. Dae są dwa zbieże szeregi a i b o dodatich wyrazach. Niech α = = a, β = = b a. Poaż, że jeśli lim α b = p, to rówież lim β = p. 30. Poaż, że jeśli szereg a o ieujemych wyrazach jest rozbieży, to i szereg a +a jest rozbieży. 3. Ciąg {a } ma astępującą własość: Dla ażdego ciągu liczb s {, } szereg s a jest zbieży. Poaż, że szereg a jest bezwzględie zbieży. 32. Ciąg {a } ma astępującą własość: Dla ażdego ciągu liczb s {0, } szereg s a jest zbieży. Poaż, że szereg a jest bezwzględie zbieży.
20 33. Poaż, że 3 log <, 2 log =, 34. Udowodij ierówość =+ 2 < log log 3 <, dla N. 35. Zbadaj zbieżość szeregu γ γ 2... γ, gdzie γ = log log 2 =. log. 36. Pewie matematy powiedział: Nietatem jest dowodzić zbieżości szeregu geometryczego za pomocą ryterium d Alemberta. Co mógł mieć a myśli? 37. Iy matematy z olei uważał, że ietatem jest dowodzić rozbieżości szeregu harmoiczego za pomocą ryterium Raabego. Co o miał a myśli? 38. Poaż, że ciągi A = 2 + =2 +, B = są rosące. 39. Zajdź graicę ciągu a + = +a, gdy a 0. 40. Poaż, że ażdy ciąg o wahaiu ograiczoym jest ciągiem Cauchy ego oraz że ażdy ciąg Cauchy ego zawiera podciąg o wahaiu ograiczoym. 4. Wiadomo, że a a. Poaż, że wtedy a + a 2 +... a = a. lim 42. Udowodij, że /4 < γ < 2 log 2). 43. Wiadomo, że szereg o wyrazach dodatich szereg β β 2 jest zbieży. [Niech α = β / β jest zbieży. Poaż, że rówież i iech α =. Poaż, że wtedy α / >/2 β =.] 44. Niech N 0 ozacza zbiór tych liczb aturalych, w tórych zapisie dziesiętym ie występuje cyfra 0. Poaż, że N 0 < 29. 45. Niech będzie day ciąg o wyrazach a > 0. Udowodij, że jeśli to Jeśli atomiast to a + a a + a + α, α R, a C +α. + α, α R, a c +α. 46. Szereg a jest zbieży, a ciąg {b } ma wahaie ograiczoe. Poaż, że szereg a b jest zbieży. a 47. Wyaż, że jeśli a > 0 i lim + a <, to lim a = 0. Korzystając z tego, poaż, że podae ciągi są zbieże do zera:!, 2!, 2)!,!) 2,!) 2, 2)! 2!. Zrób jeszcze raz to samo, orzystając z bezpośredich oszacowań a!.
2 48. Zbadaj zbieżość szeregów ) /2 q, q > 0) 49. Udowodij, że ) 2 /2, =2 log +, 2 + + 2 + log 2 <. 50. Udowodij, że lim x 0 arc si x x ) 2 + 3. =, a astępie poaż, że arc si =. 5. Poaż, że dla ażdego a > 0 i ażdego N spełioa jest ierówość e a < + a )+a. W tym celu udowodij, że ciąg po prawej jest malejący. = c > 0. Poaż, b są rówocześie zbieże lub rozbieże. Poaż tym jest rozbieży. 52. Niech będą dae dwa ciągi a > 0 i b > 0, taie że lim a b że szeregi a i sposobem, że szereg si 53. Dla x R \ {2π : Z} udowodij wzór cos x = si x 2 si + ) x 2 si x 2 54. Udowodij, że podae szeregi mają ograiczoe sumy częściowe: cos, si2 ), ) + si, ) + si 2. 55. Udowodij, że podae szeregi są zbieże: cos x log, + si ), ) + si2,. ) + si 2 log+ ). 56. Dae są zbieże ciągi {a } i {b }, przy czym te drugi jest jeszcze mootoiczy. Korzystając z ryterium Abela, udowodij, że szeregi a + a )b, a + a )b 2 są zbieże. 57. Poaż, że ciąg g = log 3) dąży mootoiczie do zera. 58. Poaż, że < e /e. 59. Poaż, że ciąg a = jest ściśle malejący. 60. Udowodij, że podae szeregi są zbieże: si log ) + ) + si, log,, + γ 2 + 3 + + ). 6. Udowodij, że podae szeregi są zbieże: ) + a, a > 0), ) + arc tg.
22 62. Oblicz sumy iesończoe otrzymae w wyiu permutacji wyrazów szeregu aharmoiczego: A = 2 4 + 3 6 8 +..., B = 2 4 6 8 + 3 0 2 4 6 +... 63. Nich σ : N N będzie permutacją liczb aturalych. Poaż, że σ) =. 64. Oblicz sumę szeregu c, gdzie c = 65. Oblicz sumę szeregu 2 q, gdzie q <. 66. Dla jaich q R szereg ) 3 q log q =2 jest zbieży a) absolutie, b) waruowo? 67. Zbadaj, dla jaich q R szereg q + q 2 ) jest zbieży. 68. Oblicz sumy szeregów + 4) 2, 4 2, 69. Oblicz sumy szeregów 2, + ) =0 si 2 cos + )2 log + 2), +) +)!. 2, si!π 6, 2 + 2 + ) 2.,! 70. Przeprowadź dysusję zbieżości szeregu =2 ) p log q w zależości od p, q R. 7. Sprawdź, że + = 2e,! + )! =, 2 + )! = e. 72. Day jest malejący ciąg a > 0, tai że a <. Poaż, że a 0. 73. Oblicz sumę szeregu )+) =2. 4 74. Niech p ) będzie ściśle rosącym ciągiem wszystich liczb pierwszych. Poaż, że dla ażdego α > i ażdego N oraz p + α log p + p α p α 2... p α p α )pα 2 )... pα ) p p 2... p p )p 2 )... p ). α.
23 75. Niech p ) będzie ściśle rosącym ciągiem wszystich liczb pierwszych. Poaż, że dla ażdego N p log log p +. Wywiosuj stąd, że p =. 76. Oblicz graicę lim cos. 77. Udowodij wzór 2 + cos x = si + 2 x) 2 si x 2 dla x mπ. 78. Udowodij, że szereg cos si jest zbieży waruowo. 79. Zauważ, że a mocy przeształceia Abela ja w dowodzie ryterium Dirichleta) ) + = ) B +, + gdzie B + = )+, oraz że szereg po prawej jest zbieży bezwzględie, a po lewej tylo waruowo. 80. Niech b =, b > 0, i iech a a. Poaż, że lim b a b = a. 8. Poaż, że jeśli szereg x jest zbieży, to x 0. 82. Niech a ) będzie ciągiem oresowym o oresie N i taim, że N+ Poaż, że szereg a / jest zbieży. a = 0. 83. Day jest malejący ciąg a ) o wyrazach dodatich. Poaż, że jeśli a <, to a 0. 84. Podaj przyład ciągu x, taiego że szereg x jest zbieży, a szereg x3 rozbieży. 85. Podaj przyład ciągu x, taiego że szereg x jest zbieży, a szereg si x rozbieży.