Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.

ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlych Z ziór licz cłkowitych p Q : p Z q N ziór licz wymierych q R ziór licz rzeczywistych ZBIORY OGRANICZONE Def ziór ogriczoy z dołu Ziór A R jest ogriczoy z dołu jeżeli m R A m Liczę m zywmy ogriczeiem z dołu zioru A Orzowo ziór jest ogriczoy z dołu gdy wszystkie jego elemety leżą prwo od pewego puktu osi liczowej Def ziór ogriczoy z góry Ziór A R jest ogriczoy z góry jeżeli M R A M Liczę M zywmy ogriczeiem z góry zioru A Orzowo ziór jest ogriczoy z góry gdy wszystkie jego elemety leżą lewo od pewego puktu osi liczowej Def 3 ziór ogriczoy Ziór A R jest ogriczoy wtedy i tylko wtedy gdy jest ogriczoy z dołu i z góry tz m M m M R A Uwg W iicji moż tk dorć stłe m i M y < M - m Wtedy M Orzowo ziór jest ogriczoy gdy wszystkie jego elemety są położoe między dwom puktmi osi liczowej A 3 KRESY ZBIORÓW Def 3 elemet jmiejszy zioru Licz jest jmiejszym elemetem zioru A R co zpisujemy mi A wtedy i tylko wtedy gdy A orz Orzowo elemetem jmiejszym zioru zywmy elemet tego zioru leżący jrdziej w lewo osi liczowej A Def 3 elemet jwiększy zioru Licz jest jwiększym elemetem zioru A R co zpisujemy m A wtedy i tylko wtedy gdy A orz Orzowo elemetem jmiejszym zioru zywmy elemet tego zioru leżący jrdziej w prwo osi liczowej Def 33 kres doly zioru Niech ziór A R ędzie iepusty i ogriczoy z dołu Licz jest kresem dolym tego zioru co zpisujemy if A wtedy i tylko wtedy gdy orz < ε A A ε > A Orzowo kres doly zioru jest jwiększą liczą ogriczjącą te ziór z dołu Jeżeli ziór A jest ieogriczoy z dołu to przyjmujemy

if A Def 34 kres góry zioru Niech ziór B R ędzie iepusty i ogriczoy z góry Licz jest kresem górym tego zioru co zpisujemy sup B wtedy i tylko wtedy gdy orz > ε B ε > B Orzowo kres góry zioru jest jmiejszą liczą ogriczjącą te ziór z góry Jeżeli ziór B jest ieogriczoy z góry to przyjmujemy sup B Uwg Njmiejszy elemet zioru jest jedocześie kresem dolym tego zioru Alogiczie jwiększy elemet zioru jest jego kresem górym Fkt 35 ksjomt ciągłości Kżdy iepusty ziór ogriczoy z dołu m kres doly Kżdy iepusty ziór ogriczoy z góry m kres góry 4 FUNKCJE PODSTAWOWE OKREŚLENIA Def 4 fukcj Niech ziory X Y R ędą iepuste Fukcją określoą ziorze X o wrtościch w ziorze Y zywmy przyporządkowie kżdemu elemetowi X dokłdie jedego elemetu y Y Fukcję tką ozczmy przez f : X Y Wrtość fukcji f w pukcie ozczmy przez f Def 4 dziedzi przeciwdziedzi ziór wrtości fukcji Niech f : X Y Wtedy ziór X zywmy dziedzią fukcji f i ozczmy przez D f ziór Y zywmy jej przeciwdziedzią Podto ziór { f Y : D f } zywmy ziorem wrtości fukcji f i ozczmy przez W f Jeżeli dy jest tylko wzór określjący fukcję to ziór elemetów z R dl których wzór te m ses liczowy zywmy dziedzią turlą fukcji Def 43 wykres fukcji Wykresem fukcji f : X Y zywmy ziór y R : X y f { } Uwg Podziór płszczyzy Oy jest wykresem pewej fukcji zmieej gdy kżd prost pioow przeci go co jwyżej w jedym pukcie Def 44 fukcj Fukcj f odwzorowuje ziór X ziór Y co otujemy f : X Y wtedy i tylko wtedy gdy W f Y tz f y Fukcj y Y X f : X Y jest gdy rzut prostokąty jej wykresu oś Oy pokryw się ze ziorem Y 5 FUNKCJE OKRESOWE PARZYSTE I NIEPARZYSTE Def 5 fukcj okresow Fukcj f : X R jest okresow jeżeli T > X ± T X orz f T f Liczę T zywmy okresem fukcji f Jeżeli istieje jmiejszy okres fukcji f to zywmy go okresem podstwowym r Orzowo fukcj jest okresow gdy jej wykres po przesuięciu o wektor v T łoży się sieie Def 5 fukcj przyst Fukcj f : X R jest przyst jeżeli

X X orz f f Orzowo fukcj jest przyst gdy oś Oy jest osią symetrii jej wykresu Def 53 fukcj ieprzyst Fukcj f : X R jest ieprzyst jeżeli X X orz f f Orzowo fukcj jest ieprzyst gdy początek ukłdu współrzędych jest środkiem symetrii jej wykresu 6 FUNKCJE OGRANICZONE Def 6 fukcj ogriczo z dołu Fukcj f jest ogriczo z dołu ziorze A D f jeżeli ziór jej wrtości tym ziorze jest ogriczoy z dołu tz f m m R A Orzowo fukcj jest ogriczo z dołu gdy jej wykres leży d pewą prostą poziomą rys 6 Rys 6 Ilustrcj wykresu fukcji ogriczoej z dołu ziorze Def 6 fukcj ogriczo z góry Fukcj f jest ogriczo z góry ziorze A D f jeżeli ziór jej wrtości tym ziorze jest ogriczoy z góry tz f M m R A Orzowo fukcj jest ogriczo z dołu gdy jej wykres leży pod pewą prostą poziomą rys 6 Rys 6 Ilustrcj wykresu fukcji ogriczoej z góry ziorze Def 63 fukcj ogriczo Fukcj f jest ogriczo ziorze A D f jeżeli jest ogriczo z dołu i z góry tym ziorze tz m f M m M R A Uwg W iicji moż tk dorć stłe m i M y <M-m Wtedy f M Orzowo fukcj jest ogriczo gdy jej wykres jest położoy między dwiem prostymi poziomymi A 7 FUNKCJE MONOTONICZNE Def 7 fukcj rosąc Fukcj f jest rosąc ziorze A D f jeżeli < f < f [ ] A l Orzowo fukcj jest rosąc gdy poruszjąc się w prwo po jej wykresie wzosimy się do góry Def 7 fukcj mlejąc Fukcj f jest mlejąc ziorze A D f jeżeli [ < f > f ] A l Orzowo fukcj jest mlejąc gdy poruszjąc się w prwo po jej wykresie opdmy dół

Def 73 fukcj iemlejąc Fukcj f jest iemlejąc ziorze A D f jeżeli < f f [ ] A l Orzowo fukcj jest iemlejąc gdy poruszjąc się w prwo po jej wykresie wzosimy się lu pozostjemy tym smym poziomie Def 74 fukcj ierosąc Fukcj f jest mlejąc ziorze A D f jeżeli [ < f f ] A l Orzowo fukcj jest ierosąc gdy poruszjąc się w prwo po jej wykresie opdmy lu pozostjemy tym smym poziomie Def 75 fukcj mootoicz Fukcj f jest mootoicz ziorze A D f jeżeli jest rosąc lu mlejąc lu ierosąc lu też iemlejąc tym ziorze 8 ZŁOŻENIA FUNKCJI Def 8 fukcj złożo Niech ziory X Y Z W R ędą iepuste przy czym Y Z orz iech zywmy fukcję g o f : X W określoą wzorem: f g o f g dl X f : X Y g : Z W Złożeiem fukcji g i f Uwg Alogiczie określ się złożeie większej liczy fukcji Skłdie fukcji ie jest przemiee 9 FUNKCJE ODWROTNE Def 9 fukcj różowrtościow Fukcj f jest różowrtościow ziorze A D f jeżeli: f f [ ] A l Orzowo fukcj f jest różowrtościow ziorze A gdy kżd prost poziom przeci frgmet wykresu leżący d lu pod ziorem A co jwyżej w jedym pukcie Uwg Przy sprwdziu różowrtościowości fukcji wygodie jest korzystć z iicji rówowżej f f [ ] A l Fkt 9 wruek wystrczjący różowrtościowości fukcji Jeżeli fukcj jest rosąc lo mlejąc ziorze to jest różowrtościow tym ziorze Uwg Implikcj odwrot ie jest prwdziw Def 93 fukcj odwrot Niech fukcj f : X Y ędzie różowrtościow dziedziie Fukcją odwrotą do fukcji f zywmy fukcję f : Y X określoą przez wruek: f y y f gdzie X y Y Wykres fukcji f - otrzymujemy z wykresu fukcji f odijjąc go symetryczie względem prostej y orz zmieijąc między soą jedocześie zwy osi y Fukcj odwrot do fukcji rosącej jest fukcją rosącą Fukcj odwrot do fukcji mlejącej jest fukcją mlejącą Fkt 94 o skłdiu fukcji prostej i odwrotej Niech fukcj f : X Y ędzie różowrtościow Wtedy f f X orz f f y y y Y

FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE Def rkus sius π π Fukcją rcsi zywmy fukcję odwrotą do fukcji si określoej przedzile Dziedzią fukcji rcsi jest przedził [-] Def rkus cosius Fukcją rccos zywmy fukcję odwrotą do fukcji cos określoej przedzile [π] Dziedzią fukcji rccos jest przedził [-] Def 3 rkus tges π π Fukcją rctg zywmy fukcję odwrotą do fukcji tg określoej przedzile Dziedzią fukcji rctg jest R Def 4 rkus kotges Fukcją rcctg zywmy fukcję odwrotą do fukcji ctg określoej przedzile π Dziedzią fukcji rcctg jest R Rys f rcsi Rys f rccos Rys 3 f rctg Rys 4 f rcctg Fkt 5 tożsmości z fukcjmi cyklometryczymi rcsi rccos π dl kżdego [-] rctg rcctg π dl kżdego R FUNKCJE ELEMENTARNE Def fukcje elemetre Podstwowymi fukcjmi elemetrymi zywmy fukcje: stłe potęgowe wykłdicze logrytmicze trygoometrycze orz cyklometrycze Fukcje które moż otrzymć z podstwowych fukcji elemetrych z pomocą skończoej liczy dziłń rytmetyczych orz opercji złożei fukcji zywmy fukcjmi elemetrymi Def wrtość ezwzględ Wrtością ezwzględą modułem zywmy fukcję : R R określoą wzorem: & dl dl < Uwg Moduł jest fukcją elemetrą gdyż dl kżdego R Def 3 wielomi Wielomiem zywmy fukcję W : R R określoą wzorem W K gdzie N {} i R dl i orz Liczę zywmy stopiem wielomiu W i ozczmy przez st W Przyjmujemy dodtkowo że W jest wielomiem stopi - Def 4 fukcj wymier Fukcję którą moż zpisć w postci ilorzu dwóch wielomiów zywmy fukcją wymierą

Def 5 fukcje hiperolicze Fukcję sius hiperoliczy sh określmy wzorem: e e sh R Fukcję kosius hiperoliczy ch określmy wzorem: e e ch R Fukcję tges hiperoliczy th określmy wzorem: sh th R ch Fukcję kotges hiperoliczy cth określmy wzorem: ch cth R \ {} sh Uwg W powyższej iicji e ozcz liczę rzeczywistą rówą w przyliżeiu 7888 Rys f sh Rys f ch Rys 3 f th Rys 4 f cthg Fkt 6 wżiejsze tożsmości z fukcjmi hiperoliczymi ch sh dl kżdego R sh sh ch dl kżdego R ch sh ch dl kżdego R NIEKTÓRE FUNKCJE NIEELEMENTARNE Def fukcj część cłkowit Fukcją część cłkowit zywmy fukcję [ ] : R R określoą wzorem: [ ] k dl k < k gdzie k Z Część cłkowit liczy jest jwiększą liczą cłkowitą ie większą iż Rys Wykres fukcji część cłkowit Def fukcj sigum Fukcją sigum zywmy fukcję sg : { } R określoą wzorem: dl < sg dl dl >

Rys Wykres fukcji sigum Def 3 fukcj Dirichlet Fukcją Dirichlet zywmy fukcję : R { } D określoą wzorem: dl Q D dl Q Rys 3 Wykres fukcji Dirichlet CIĄGI LICZBOWE PODSTAWOWE OKREŚLENIA Def ciąg liczowy Ciągiem liczowym zywmy fukcję określoą ziorze licz turlych i przyjmującą wrtości ze zioru licz rzeczywistych Wrtość tej fukcji dl liczy turlej zywmy -tym wyrzem ciągu i ozczmy przez itp Ciągi o tkich wyrzch ozczmy odpowiedio przez itp Ziór wyrzów ciągu tj ziór { : N} ozczmy króko przez { } Orzowo ciąg moż trktowć jko ziór poumerowych licz rzeczywistych które są ustwioe według rosących umerów Ciągi ędziemy przedstwili płszczyźie jko ziór puktów o współrzędych N Def ciąg ogriczoy z dołu Ciąg jest ogriczoy z dołu jeżeli ziór { } jest ogriczoy z dołu tz m m R N Orzowo ciąg jest ogriczoy z dołu gdy wszystkie jego wyrzy leżą d pewą prostą poziomą Def 3 ciąg ogriczoy z góry Ciąg jest ogriczoy z góry jeżeli ziór { } jest ogriczoy z góry tz M M R N Orzowo ciąg jest ogriczoy z góry gdy wszystkie jego wyrzy leżą pod pewą prostą poziomą Def 4 ciąg ogriczoy Ciąg jest ogriczoy jeżeli ziór { } jest ogriczoy tz m M m M R N Uwg W iicji moż dorć stłe m i M y < M - m Wtedy M N Orzowo ciąg jest ogriczoy gdy wszystkie jego wyrzy leżą między dwiem prostymi poziomymi Def 5 ciąg rosący Ciąg jest rosący jeżeli < < 3 < K < < K tz > N Orzowo ciąg jest rosący gdy jego wyrzy powiększją się ze wzrostem ideksów Def 6 ciąg iemlejący Ciąg jest iemlejący jeżeli 3 K K tz N Orzowo ciąg jest iemlejący gdy ze wzrostem ideksów wyrzy ciągu powiększją się lu pozostją ez zmi

Uwg Alogiczie moż ziiowć ciąg mlejący i ierosący Ciągi rosące mlejące ierosące i iemlejące zywmy ciągmi mootoiczymi Defiicje ciągów mootoiczych są szczególymi przypdkmi iicji fukcji mootoiczych Wprowdz się tkże pojęcie ciągów mootoiczych od pewego miejsc N GRANICE CIĄGÓW Def gric włściw ciągu Ciąg jest zieży do gricy włściwej co zpisujemy lim wtedy i tylko wtedy gdy [ > < ε ] ε > N N Orzowo ciąg jest zieży do gricy gdy dostteczie dlekie wyrzy tego ciągu leżą dowolie lisko puktu Zmist rówości lim moż pisć moż rówież pisć krótko lim lu Tw o jedozczości gricy ciągu Kżdy ciąg zieży m dokłdie jedą gricę Def 3 grice iewłściwe ciągu Ciąg jest zieży do gricy iewłściwej co zpisujemy lim wtedy i tylko wtedy gdy [ > > E ] E> N N Orzowo ciąg jest zieży do gdy dostteczie dlekie wyrzy tego ciągu są większe od dowolie dużej liczy Zmist rówości lim moż pisć moż rówież pisć krótko lim lu Ciąg jest zieży do gricy iewłściwej - co zpisujemy lim wtedy i tylko wtedy gdy [ > < E ] E< N N Orzowo ciąg jest zieży do - gdy jego dostteczie dlekie wyrzy są miejsze od dowolie młej liczy Zmist rówości lim moż pisć moż rówież pisć krótko lim lu Uwg Ciągi które ie mją gricy włściwej i iewłściwej zywmy ciągmi rozieżymi Przykłdmi tkich ciągów są: si π W iektórych podręczikch ciągi zieże do lu - zyw się ciągmi rozieżymi lu - Fkt 4 o iezleżości gricy od początkowych wyrzów ciągu Gric ciągu zieżego do gricy włściwej lu iewłściwej ie zleży od wrtości skończeie wielu wyrzów tego ciągu Fkt 5 grice ciągu geometryczego lim q ie istieje dl q < dl q dl q > dl q Def 6 podciąg Niech ędzie dowolym ciągiem orz iech k ędzie rosącym ciągiem licz turlych Podciągiem ciągu zywmy ciąg określoy wzorem k N Orzowo mówiąc podciągiem zywmy ciąg powstły przez skreśleie pewej yć może ieskończoej liczy wyrzów wyjściowego ciągu

Tw 7 o gricy podciągu ciągu zieżego Kżdy podciąg ciągu zieżego do gricy włściwej lu iewłściwej jest zieży do tej smej gricy 3 WŁASNOŚCI CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Tw 3 o ogriczoości ciągu zieżego Jeżeli ciąg jest zieży do gricy włściwej to jest ogriczoy który jest ogri- Uwg Implikcj odwrot w powyższym twierdzeiu ie jest prwdziw Ilustruje to ciąg czoy le ie jest zieży Fkt 3 o rówowżości gric lim lim Tw 33 o gricy sumy ciągów lim lim lim lim Tw 34 o gricy iloczyu ciągów lim lim lim lim lim lim Tw 35 o gricy ilorzu ciągów lim dl kżdego N 3 lim lim lim lim Uwg Wszystkie grice występujące w trzech poprzedich twierdzeich są włściwe Fkt 36 rytmetyk gric ciągów lim lim lim lim c c lim gdzie c R p p lim 3 lim gdzie p Z 4 lim k k lim gdzie k N Wzory te są uproszczoymi formmi zpisu odpowiedich twierdzeń Zkłdmy przy tym że wszystkie wyrżei występujące we wzorch mją ses Tw 37 o trzech ciągch c dl kżdego lim lim c 3 lim Tw 38 o ciągu mootoiczym i ogriczoym Jeżeli ciąg jest iemlejący dl ciąg jest ogriczoy z góry sup to jest zieży do gricy włściwej { } Uwg Prwdziwe jest tkże logicze twierdzeie dl ciągu ierosącego i ogriczoego z dołu

Tw 39 określeie liczy e Ciąg e jest rosący i ogriczoy z góry ztem jest zieży Gricę tego ciągu ozczmy przez e: Licz e jest w przyliżeiu rów 788885 e lim Uwg Logrytm przy podstwie e z liczy zywmy logrytmem turlym i ozczmy przez l ; l log e Ntomist fukcję wykłdiczą przy podstwie e zywmy ekspoes i ozczmy przez ep; Pode iżej dw fkty często wykorzystujemy do zjdowi gric ciągów potęgowych e ep Fkt 3 o ciągch z gricą e > dl kżdego N lim lim e > dl kżdego N lim lim e Uwg Pierwszy fkt jest prwdziwy tkże wtedy gdy ciąg jest zieży do gricy iewłściwej - drugi gdy ciąg m wyrzy ujeme 4 TWIERDZENIA O GRANICACH NIEWŁAŚCIWYCH Tw 4 o dwóch ciągch dl kżdego lim lim Tw 4 telk dziłń z symolem dl < dl < dl < < dl < dl < dl < dl < dl < Podoie wygląd telk dziłń z symolem - Opuszczoe w teli wyrżei: Nzywmy wyrżeimi ieozczoymi Ich wrtość zleży od postci ciągów tworzących de wyrżeie 5 GRANICE DOLNA I GÓRNA CIĄGÓW Tw 5 Weierstrss dl ciągów Jeżeli ciąg jest ogriczoy to istieje podciąg tego ciągu zieży do gricy włściwej Def 5 pukt skupiei ciągu Licz jest puktem skupiei ciągu jeżeli istieje podciąg tego ciągu zieży do gricy Def 53 grice dol i gór ciągu Niech ciąg ędzie ogriczoy orz iech S ozcz ziór puktów skupiei tego ciągu Gricę dolą ciągu określmy wzorem

Podoie określmy gricę górą ciągu lim if if S lim sup sup S Uwg Jeżeli ciąg jest ogriczoy z dołu orz ziór jego puktów skupiei jest pusty to przyjmujemy lim if W przypdku ciągu ieogriczoego z dołu przyjmujemy lim if Podoie jeżeli ciąg jest ogriczoy z góry orz ziór jego puktów skupiei jest pusty to przyjmujemy lim sup W przypdku ciągu ieogriczoego z góry przyjmujemy lim sup Do ozczei gricy dolej i górej ciągu stosowe są tkże symole lim i lim lu krótko lim i lim GRANICE FUNKCJI PODSTAWOWE OKREŚLENIA Def Heiego gricy włściwej fukcji w pukcie Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < z wyjątkiem yć może puktu Licz g jest gricą włściwą fukcji f w pukcie co zpisujemy wtedy i tylko wtedy gdy { } dl lim lim f g kżdego N lim f g Rys Ilustrcj iicji Heiego gricy włściwej fukcji w pukcie Orzowo fukcj f m w pukcie gricę włściwą g gdy jej wrtości odpowidjące rgumetom dążącym do puktu i różym od tego puktu dążą do liczy g rys Uwg Wrtość fukcji f w pukcie o ile istieje ie m wpływu jej gricę w tym pukcie Defiicję gricy fukcji moż podć tkże ez większych zmi dl fukcji określoych sumie przedziłów otwrtych w puktch wewętrzych przedziłów domkiętych itp Zmist rówości lim f g moż stosowć tkże zpis f g lo też f g gdy Fkt o ieistieiu gricy fukcji w pukcie Jeżeli lim ' orz lim f ' g' lim " orz lim f " g"

3 g' g" to gric lim f ie istieje włściw i iewłściw Uwg Powyższy fkt jest prwdziwy tkże wtedy gdy g ± lu g ± Def 3 Cuchy ego gricy włściwej fukcji w pukcie Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < z wyjątkiem yć może puktu Licz g jest gricą włściwą fukcji f w pukcie co zpisujemy wtedy i tylko wtedy gdy ε > δ > lim f g < δ f g < ε Rys Ilustrcj iicji Cuchy ego gricy włściwej fukcji w pukcie Orzowo fukcj f m w pukcie gricę włściwą g gdy jej wrtości różią się dowolie mło od gricy o ile jej tylko rgumety leżą dostteczie lisko puktu rys Def 4 Heiego gricy lewostroej włściwej fukcji w pukcie Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < z wyjątkiem yć może puktu ] Licz g jest gricą włściwą lewostroą fukcji f w pukcie co zpisujemy wtedy i tylko wtedy gdy { } < dl lim lim f g kżdego N lim f g Rys 3 Ilustrcj iicji Heiego gricy lewostroej włściwej fukcji w pukcie Orzowo licz g jest gricą lewostroą fukcji f w pukcie gdy jej wrtości odpowidjące rgumetom dążącym do puktu przez wrtości miejsze od dążą do liczy g rys 3 Zmist rówości stosowy jest tkże lim f g zpis f g lu f g Uwg Podoie jk w poprzedich iicjch wrtość fukcji w pukcie o ile istieje ie m wpływu gricę lewostroą fukcji w pukcie Gricę prwostroą fukcji f w pukcie iiuje się logiczie Ozczmy ją symolem lim f g f g lu f g

Def 5 Cuchy ego gricy lewostroej włściwej fukcji w pukcie Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < z wyjątkiem yć może puktu ] Licz g jest gricą lewostroą włściwą fukcji f w pukcie co zpisujemy wtedy i tylko wtedy gdy ε > δ > lim f g [ < < δ f g < ε ] Rys 4 Ilustrcj iicji Cucgy ego gricy lewostroej włściwej fukcji w pukcie Orzowo licz g jest gricą lewostroą fukcji f gdy dąży do puktu jeżeli jej wrtości różią się od gricy dowolie mło o ile rgumety leżą dostteczie lisko po lewej stroie puktu rys 4 Defiicj Cuchy ego gricy prwostroej fukcji w pukcie jest logicz Def 6 Heiego gricy iewłściwej fukcji w pukcie Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < z wyjątkiem yć może puktu Fukcj f m gricą iewłściwą w pukcie co zpisujemy wtedy i tylko wtedy gdy { } dl lim lim f kżdego N lim f Rys 5 Ilustrcj iicji Heiego gricy iewłściwej fukcji w pukcie Orzowo fukcj f m gricę iewłściwą gdy dąży jeżeli jej wrtości odpowidjące rgumetom dążącym do puktu i różym od dążą do rys5 Zmist rówości moż stosowć tkże zpis f lu też f gdy lim f Uwg Podoie jk poprzedio wrtość fukcji w pukcie o ile istieje ie m wpływu gricę iewłściwą fukcji w tym pukcie Defiicj Heiego gricy iewłściwej fukcji w pukcie jest logicz do iicji podej wyżej Def 7 Cuchy ego gricy iewłściwej fukcji w pukcie Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < z wyjątkiem yć może puktu Fukcj f m gricą iewłściwą w pukcie co zpisujemy wtedy i tylko wtedy gdy lim f

E> δ > δ < f > E Rys 6 Ilustrcj iicji Cuchy ego gricy iewłściwej fukcji w pukcie Orzowo fukcj f m gricę iewłściwą gdy dąży do jeżeli jej wrtości są dowolie duże o ile tylko rgumety leżą dostteczie lisko puktu i są od iego róże rys6 Uwg Defiicj Cuchy ego gricy iewłściwej fukcji w pukcie jest logicz do iicji podej wyżej Uwg Wprowdz się pojęci gric jedostroych iewłściwych fukcji w pukcie Defiicje Heiego i Cuchy ego tkich gric są logicze do odpowiedich iicji gric jedostroych włściwych Do ozczei tych gric stosuje się zpis: f f f f Tw 8 wruek koieczy i wystrczjący istiei gricy Fukcj f m w pukcie gricę włściwą lu iewłściwą wtedy i tylko wtedy gdy lim f lim f Wspól wrtość gric jedostroych jest gricą fukcji Def 9 Heiego gricy włściwej fukcji w ieskończoości Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < Licz g jest gricą włściwą fukcji f w co zpisujemy wtedy i tylko wtedy gdy { } lim f g [ lim lim f g ] Rys 7 Ilustrcj iicji Heiego gricy włściwej fukcji w ieskończoości Orzowo fukcj f m w gricę włściwą g jeżeli jej wrtości odpowidjące rgumetom dążącym do dążą do gricy g rys 7 Zmist rówości lim f g stosowy jest tkże zpis f g ; f g gdy lo też f g Uwg Defiicj Heiego gricy włściwej fukcji w jest podo do poprzediej iicji Fkt o ieistieiu gricy fukcji w ieskończoości Jeżeli lim ' orz lim f ' g' lim " orz lim f " g"

3 g' g" to gric lim f ie istieje włściw i iewłściw Uwg Powyższy fkt jest prwdziwy tkże wtedy gdy g ± lu g ± Def Cuchy ego gricy włściwej w ieskończoości Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < Licz g jest gricą włściwą fukcji f w co zpisujemy wtedy i tylko wtedy gdy ε > Δ R lim f g [ > Δ f g < ε ] Rys 8 Ilustrcj iicji Cuchy ego gricy włściwej fukcji w ieskończoości Orzowo fukcj f m gricę włściwą w jeżeli jej wrtości różią się od gricy dowolie mło o ile tylko rgumety są dostteczie duże rys 8 Uwg Defiicj Cuchy ego gricy włściwej w jest podo do podej wyżej iicji Def Heiego gricy iewłściwej fukcji w ieskończoości Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < Fukcj f m w gricę iewłściwą co zpisujemy wtedy i tylko wtedy gdy { } lim f [ lim lim f ] Rys 9 Ilustrcj iicji Heiego gricy iewłściwej fukcji w ieskończoości Orzowo fukcj f m gricę iewłściwą gdy dąży do jeżeli jej wrtości odpowidjące rgumetom dążącym do dążą rys 9 Zmist rówości lim f stosowy jest tkże zpis f ; f gdy lo też f Def 3 Cuchy ego gricy iewłściwej fukcji w ieskończoości Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < Fukcj f m w gricę iewłściwą co zpisujemy wtedy i tylko wtedy gdy E> Δ R lim f [ > Δ f > E ]

Rys Ilustrcj iicji Cuchy ego gricy iewłściwej fukcji w ieskończoości Orzowo fukcj w m gricę iewłściwą jeżeli jej wrtości są dowolie duże o ile tylko rgumety są dostteczie duże rys Tw 4 o rówowżości iicji gric fukcji Odpowidjące soie iicje Heiego i Cuchy ego gric fukcji są rówowże ASYMPTOTY FUNKCJI Def symptot pioow lewostro fukcji Prost jest symptotą pioową lewostroą fukcji f jeżeli lim f lo lim f Uwg Alogiczie iiuje się symptotę pioową prwostroą rys Prostą któr jest jedocześie symptotą lewostroą i prwostroą fukcji zywmy symptotą pioową oustroą lu krótko symptotą pioową tej fukcji rys3 Fukcj elemetr może mieć symptoty pioowe jedyie w skończoych krńcch swej dziedziy Rys Asymptot pioow lewostro Rys Asymptot pioow prwostro Rys 3 Przykłdy symptot pioowych oustroych Def symptot ukoś fukcji Prost y A B jest symptotą ukośą fukcji f w wtedy i tylko wtedy gdy lim f A B [ ]

Rys 4 Asymptot ukoś Rys 5 Asymptot poziom Orzowo prost jest symptotą ukośą fukcji w gdy jej wykres dl rgumetów leżących lisko prktyczie pokryw się z tą prostą rys 4 Uwg Alogiczie iiuje się symptotę ukośą fukcji w Współczyiki symptoty ozczmy wtedy symolmi A i B Jeżeli współczyik A ± w rówiu symptoty jest rówy to symptotę ukośą zywmy poziomą rys 5 Wrto podkreślić że symptot ukoś może przecić wykres fukcji wet ieskończeie wiele rzy Tw 3 wruek istiei symptoty ukośej Prost y A B jest symptotą ukośą fukcji f w wtedy i tylko wtedy gdy f A lim orz B lim f A Uwg Prwdziwe jest tkże logicze twierdzeie o symptotch ukośych fukcji w Fkt 4 wruek istiei symptot poziomych Prost y B jest symptotą poziomą fukcji f w wtedy i tylko wtedy gdy lim f B Uwg Podoie wygląd wruek istiei symptoty poziomej w 3 TWIERDZENIA O GRANICACH FUNKCJI Tw 3 o gricy sumy i różicy fukcji lim f p lim f ± g lim g q Tw 3 o gricy iloczyu fukcji lim f p lim f g lim g q lim f ± lim g p ± q lim f lim g p q Tw 33 o gricy ilorzu fukcji lim f p f lim lim g q g lim f lim g p q Tw 34 o gricy potęg fukcji f > dl lim f p g lim f 3 lim g q 4 p q > Przyjmujemy przy tym że q dl q < lim g q lim f p

Uwg Powyższe twierdzei o rytmetyce gric są prwdziwe tkże dl gric jedostroych fukcji w pukcie orz w lu Twierdzei te są podto prwdziwe dl gric iewłściwych w pukcie lu w ieskończoości W tkich przypdkch stosujemy reguły dziłń z symolmi i pode w tw 4 Tw 35 o gricy fukcji złożoej lim f y f y dl lim 3 lim g y q y y g f q 4 METODY ZNAJDOWANIA GRANIC FUNKCJI Tw 4 o trzech fukcjch f g h lim f p 3 lim h p dl kżdego lim g p Uwg Powyższe twierdzeie jest tkże prwdziwe dl gric jedostroych orz gric w ieskończoości Fkt 4 zmi gric lim f lim f u u lim f lim f ± ± u u 5 GRANICE PODSTAWOWYCH WYRAŻEŃ NIEOZNACZONYCH Tw 5 o dwóch fukcjch f g dl kżdego lim f lim g Uwg Twierdzeie o dwóch fukcjch jest prwdziwe tkże dl gric jedostroych orz dl gric w ieskończoości Podto prwdziwe są logicze twierdzei dl gricy iewłściwej fukcji rówej Fkt 5 grice podstwowych wyrżeń ieozczoych si tg lim lim e lim l > lim log l lim log e < lim lim e R lim e ± ± lim e lim R rc si r ctg lim lim

3 FUNKCJE CIĄGŁE 3 CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Def 3 fukcj ciągł w pukcie Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f jest ciągł w pukcie wtedy i tylko wtedy gdy lim f f Orzowo fukcj jest ciągł w pukcie gdy jej wykres ie przeryw się w tym pukcie Def 3 Heiego fukcji ciągłej w pukcie Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f jest ciągł w pukcie wtedy i tylko wtedy gdy lim lim f f { } [ ] Rys 3 Ilustrcj iicji Heiego fukcji ciągłej w pukcie Def 33 Cuchy ego fukcji ciągłej w pukcie Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f jest ciągł w pukcie wtedy i tylko wtedy gdy < δ f f < ε ε > δ > [ ] Rys 3 Ilustrcj iicji Heiego fukcji ciągłej w pukcie Fukcj f jest ciągł w pukcie gdy młe zmiy rgumetu względem puktu powodują młe zmiy wrtości fukcji f względem wrtości f Tw 34 o rówowżości iicji ciągłości fukcji Defiicje Heiego i Cuchy ego ciągłości fukcji w pukcie są rówowże Def 35 fukcj lewostroie ciągł w pukcie Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f jest lewostroie ciągł w pukcie wtedy i tylko wtedy gdy lim f f Uwg Podoie wygląd iicj ciągłości lewostroej fukcji f : ] R gdzie - < w pukcie ] Alogiczie iiuje się fukcję prwostroie ciągłą w pukcie Tw 36 wruek koieczy i wystrczjący ciągłości Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f jest ciągł w pukcie wtedy i tylko wtedy gdy jest lewostroie i prwostroie ciągł w tym pukcie

Def 37 fukcj ciągł przedzile Fukcj f jest ciągł przedzile jeżeli jest ciągł w kżdym pukcie tego przedziłu Uwg Ciągłość fukcji przedzile [] ozcz jej ciągłość w kżdym pukcie przedziłu otwrtego orz prwostroą ciągłość w pukcie i lewostroą ciągłość w pukcie Alogiczie moż ziiowć ciągłość fukcji sumie przedziłów lu rdziej skomplikowych podziorch prostej 3 NIECIĄGŁOŚCI Def 3 ieciągłości pierwszego rodzju Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f m w pukcie ieciągłość pierwszego rodzju jeżeli istieją grice skończoe lim f lim f orz lim f f lu lim f f Uwg Mówimy że fukcj f m w pukcie ieciągłość pierwszego rodzju typu skok jeżeli spełi wruek lim f lim f Ntomist jeżeli fukcj f spełi wruek lim f lim f f to mówimy że m o w pukcie ieciągłość pierwszego rodzju typu luk Rys 3 Fukcj f m w pukcie ieciągłość pierwszego rodzju typu skok Rys 3 Fukcj f m w pukcie ieciągłość pierwszego rodzju typu luk Def 3 ieciągłość drugiego rodzju Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f m w pukcie ieciągłość drugiego rodzju jeżeli przyjmiej jed z gric lim f lim f ie istieje lu jest iewłściw Rys 33 Fukcj f m w pukcie oie grice jedostroe iewłściwe Rys 34 Gric lewostro fukcji f w pukcie ie istieje Uwg Nieciągłość fukcji moż dć jedyie w puktch leżących do jej dziedziy Rozwż się tkże ieciągłości jedostroe fukcji

33 DZIAŁANIA NA FUNKCJACH CIĄGŁYCH Tw 33 o ciągłości sumy różicy iloczyu i ilorzu fukcji Jeżeli fukcje f i g są ciągłe w pukcie to: fukcje f g f g są ciągłe w pukcie ; fukcj f g jest ciągł w pukcie ; c fukcj g f jest ciągł w pukcie o ile g Uwg Powyższe twierdzeie jest prwdziwe tkże dl fukcji ciągłych jedostroie Tw 33 o ciągłości fukcji złożoej Jeżeli fukcj f jest ciągł w pukcie fukcj g jest ciągł w pukcie y f to fukcj złożo g o f jest ciągł w pukcie Uwg Jeżeli fukcj f jest ciągł jedostroie fukcj g jest ciągł to fukcj złożo g o f jest ciągł jedostroie Tw 333 o ciągłości fukcji odwrotej Jeżeli fukcj f jest ciągł i rosąc przedzile [] to fukcj odwrot f - jest ciągł i rosąc przedzile [ff] Uwg Prwdziwe jest tkże logicze twierdzeie dl fukcji mlejącej Tw 334 o ciągłości fukcji elemetrych Fukcje elemetre są ciągłe w swoich dziedzich Tw 335 o mootoiczości fukcji ciągłej i różowrtościowej Niech fukcj f ędzie ciągł przedzile [] Wówczs fukcj f jest różowrtościow przedzile [] wtedy i tylko wtedy gdy jest mlejąc lo rosąc tym przedzile 34 TWIERDZENIA O FUNKCJACH CIĄGŁYCH Tw 34 Weierstrss o ogriczoości fukcji ciągłej Jeżeli fukcj jest ciągł przedzile [] to jest tym przedzile ogriczo Uwg Złożeie domkiętości przedziłu jest istote o p fukcj f ctg jest ciągł przedzile π le ie jest im ogriczo Tkże złożeie ogriczoości przedziłu jest istote gdyż p fukcj f jest ciągł przedzile [ le ie jest im ogriczo Podoie złożeie ciągłości fukcji jest istote o p fukcj dl Q f dl Q ie jest ogriczo przedzile domkiętym [-] Tw 34 Weierstrss o osiągiu kresów Jeżeli fukcj f jest ciągł przedzile [] to f c if f orz f d sup f c [ ] [ ] d [ ] [ ] Uwg Złożeie domkiętości przedziłu [] jest istote o p fukcj f ie osiąg swoich kresów przedzile Tw 343 Drou o przyjmowiu wrtości pośredich Jeżeli fukcj f jest ciągł przedzile [] f < f to w f f c f c w Orzowo kżd prost y w gdzie f < w < f lu f < w < f przeci wykres fukcji f co jmiej rz Uwg Jeżeli w powyższym twierdzeiu złożyć dodtkowo że fukcj f jest rosąc to pukt c określoy ędzie jedozczie Alogicze twierdzeie jest tkże prwdziwe dl przypdku f > f

Tw 344 Drou o miejscch zerowych fukcji Jeżeli fukcj f jest ciągł przedzile [] f f < to c f c Uwg Jeżeli fukcj f w powyższym twierdzeiu jest dodtkowo mlejąc lo rosąc to pukt c ędzie określoy jedozczie Twierdzeie to m zstosowie przy wyzcziu miejsc zerowych skomplikowych fukcji z dowolą dokłdością 4 POCHODNE FUNKCJI 4 PODSTAWOWE POJĘCIA Def4 ilorz różicowy Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Δ Ilorzem różicowym fukcji f w pukcie odpowidjącym przyrostowi Δ zmieej iezleżej zywmy liczę Δ f f Δ f Δ Δ Rys 4 Ilustrcj iicji ilorzu różicowego Fkt 4 iterpretcj geometrycz ilorzu różicowego Ilorz różicowy jest tgesem kąt chylei sieczej przechodzącej przez pukty f Δ f Δ wykresu fukcji f do dodtiej części osi O; Δf tg α Δ Def 43 pochod włściw fukcji Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Δ Pochodą włściwą fukcji f w pukcie zywmy gricę skończoą f f Δf f lim lim Δ Δ Uwg Jeżeli istieje pochod włściw fukcji f w pukcie to mówimy że fukcj f jest różiczkowl w tym pukcie df Do ozczei pochodej fukcji f w pukcie stosowe są tkże symole Df d Fkt 44 pochode wżiejszych fukcji elemetrych Fukcj Pochod Zkres zmieości c c R N R p p p p {- - -3 } α α α α R > si cos R cos si R

Fukcj Pochod Zkres zmieości tg π tg kπ cos gdzie k Z ctg kπ gdzie k Z ctg si l < R e e R sh ch R ch sh R th R cth rc si rccos rctg rcctg log l ch sh < < R R < R l > Uwg Do oliczi pochodych fukcji postci f g e g l f g f orz f g log stosujemy wzory: log g f l g l f Def 45 stycz do wykresu fukcji Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Prost jest stycz do wykresu fukcji f w pukcie f jeżeli jest griczym położeiem sieczych fukcji f przechodzących przez pukty f f gdy Geometryczie stycz jest prostą któr w poliżu puktu styczości jlepiej przyliż wykres fukcji Nie jest prwdą że kżd prost któr m dokłdie jede pukt wspóly z wykresem fukcji jest stycz do tego wykresu może p przecić wykres Fkt 46 iterpretcj geometrycz pochodej Niech α ozcz kąt między styczą do wykresu fukcji f w pukcie f i dodtią częścią osi O rys 4 Wtedy f tgα Rówie styczej do wykresu fukcji f w pukcie f m postć: y f f Rys 4 Iterpretcj geometrycz pochodej

Def 47 kąt przecięci wykresów fukcji Niech wykresy fukcji f i g mją pukt wspóly y przy czym oie fukcje mją pochode włściwe w pukcie Kątem przecięci wykresów fukcji f i g zywmy kąt ostry ϕ między styczymi wystwioymi do wykresów tych fukcji w pukcie przecięci Rys 43 Kąt przecięci wykresów fukcji Fkt 48 o mierze kąt między wykresmi fukcji Mir kąt ostrego przecięci wykresów fukcji f i g w pukcie y wyrż się wzorem f g ϕ rc tg f g Jeżeli f g to przyjmujemy π ϕ Tw 49 wruek koieczy różiczkowlości fukcji Jeżeli fukcj jest różiczkowl w pukcie to jest ciągł w tym pukcie Uwg Implikcj odwrot ie jest prwdziw Np fukcj f jest ciągł w pukcie le pochod f ie istieje 4 POCHODNE JEDNOSTRONNE FUNKCJI Def 4 pochode jedostroe fukcji Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Pochodą lewostroą włściwą fukcji f w pukcie zywmy gricę włściwą f f Δf f lim lim Δ Δ Alogiczie iiuje się pochodą prwostroą włściwą fukcji f w pukcie Pochodą tą ozczmy f Uwg Jeżeli fukcj m w pukcie pochodą lewostroą prwostroą włściwą to jest w tym pukcie ciągł lewostroie prwostroie Fkt 4 iterpretcj geometrycz pochodych jedostroych Niech α i β ozczją odpowiedio kąty chylei prwej i lewej styczej wykresu fukcji do dodtiej części osi O Wtedy tgα f tg β f Tw 43 wruek koieczy i dostteczy istiei pochodej Pochod f istieje wtedy i tylko wtedy gdy f f Jeżeli pochode jedostroe fukcji są rówe to ich wspól wrtość jest pochodą fukcji Def 44 różiczkowlość fukcji przedzile Fukcj jest różiczkowl przedzile wtedy i tylko wtedy gdy jest różiczkowl w kżdym pukcie tego przedziłu Fukcję określoą przedzile której wrtości w puktch tego przedziłu są rówe f zywmy pochodą fukcji f przedzile i ozczmy przez f Uwg Różiczkowlość fukcji przedzile domkiętym [] ozcz jej różiczkowlość w kżdym pukcie przedziłu otwrtego orz istieie pochodej lewostroej włściwej w pukcie i prwostroej włściwej w pukcie

Def 45 pochod iewłściw fukcji Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech ędzie ciągł w pukcie Fukcj f m w pukcie pochodą iewłściwą wtedy i tylko wtedy gdy f f f lim f lo lim Uwg W podoy sposó iiuje się pochode iewłściwe jedostroe Pochode te ozcz się tym smym symolem co pochode jedostroe włściwe 43 TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI Tw 43 o pochodej sumy różicy iloczyu i ilorzu fukcji Jeżeli fukcje f i g są różiczkowle w pukcie to fukcj f ± g jest różiczkowl w pukcie orz f ± g f ± g fukcj f g jest różiczkowl w pukcie orz f g f g f g f c przy złożeiu że g fukcj jest różiczkowl w pukcie orz g f g f g g f g Uwg Powyższe wzory są prwdziwe tkże dl pochodych jedostroych orz dl pochodych iewłściwych stosujemy wtedy reguły dziłń z ieskończoością Podto logicze wzory do podych w puktch i są prwdziwe rówież dl dowolej liczy odpowiedio skłdików i czyików Tw 43 o pochodej fukcji złożoej Jeżeli fukcj f jest różiczkowl w pukcie fukcj g jest różiczkowl w pukcie f to fukcj złożo g o f jest różiczkowl w pukcie orz g o f g f f Uwg Prwdziwy jest tkże logiczy wzór dl dowolej liczy skłdych fukcji orz dl pochodych jedostroych fukcji złożoej Tw 433 o pochodej fukcji odwrotej Niech fukcj f ędzie ciągł przedzile fukcj f ędzie mlejąc lo rosąc przedzile 3 f Wtedy fukcj odwrot f jest różiczkowl w pukcie y f orz f y f Uwg Wzór te jest prwdziwy tkże dl pochodych jedostroych włściwych i iewłściwych Fkt 434 pochod fukcji elemetrej Pochode fukcji elemetrych są fukcjmi elemetrymi 44 RÓŻNICZKA FUNKCJI Def 44 różiczk fukcji Niech fukcj f m pochodą włściwą w pukcie Różiczką fukcji f w pukcie zywmy fukcję df zmieej Δ określoą wzorem df Δ f Δ

Fkt 44 zstosowie różiczki do oliczi przyrostu fukcji Niech fukcj f ędzie różiczkowl w pukcie Wtedy f Δ f f Δ Fkt 443 zstosowie różiczki do szcowi łędów pomirów Niech wielkości fizycze i y ędą związe zleżością y f Podto iech Δ ozcz łąd ezwzględy pomiru wielkości Wtedy łąd ezwzględy Δ y oliczej wielkości y wyrż się wzorem przyliżoym Δ y f Δ gdzie jest wyikiem pomiru wielkości Tw 444 o wielkości łędu w rchukch przyliżoych Jeżeli fukcj f jest różiczkowl w pukcie to Δf df lim Δ Δ Orzowo łąd jki popełimy zstępując przyrost fukcji Δf jej różiczką df dąży szyciej do zer iż Δ 45 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Def 45 pochod -tego rzędu fukcji Pochodą -tego rzędu fukcji f w pukcie iiujemy idukcyjie: f [ f ] dl gdzie f f Podto przyjmujemy f f Jeżeli istieje pochod włściw f to mówimy że fukcj f jest -krotie różiczkowl w pukcie Fukcję określoą przedzile której wrtości w puktch tego przedziłu są rówe f zywmy pochodą -tego rzędu iv 3 4 fukcji f tym przedzile i ozczmy przez f Piszemy tkże f f f zmist odpowiedio f f f W fizyce stosuje się ozczei f f zmist odpowiedio f f Uwg Dl istiei -tej pochodej fukcji w pukcie koiecze jest istieie pochodej f i co z tym idzie tkże wszystkich poprzedich pochodych pewym otoczeiu puktu Do ozczi pochodej -tego rzędu fukcji f w d f pukcie stosuje się tkże symole D f d f do ozczei tej przedzile symole D f d d Tw 45 wzór Leiiz Niech fukcje f i g mją pochode włściwe -tego rzędu w pukcie Wtedy k k f g f g k k Fkt 453 pochode wyższych rzędów wżiejszych fukcji Fukcj -t pochod Zkres zmieości e e R si π R si cos π R cos m m! m m R m!! l! >

Def 454 pochod fukcji wektorowej r Niech t t y t gdzie t αβ ędzie fukcją wektorową Pochodą fukcji r w pukcie t określmy wzorem: r t t y t r Podoie określmy pochodą fukcji wektorowej t t y t z t tkże pochode wyższych rzędów tkich fukcji Fkt 455 iterpretcj fizycz pochodej fukcji wektorowej Niech r t ozcz wektor wodzący puktu mterilego w chwili t [t t ] Wektor prędkości tego puktu wyrż się wzorem r r v t t gdzie t [t t ] Wektor przyspieszei tego puktu wyrż się wzorem r r r t v t t gdzie t [t t ] Uwg W kżdej chwili t [t t ] wektor prędkości v r t jest styczy do trjektorii puktu dl duchu ze stłą prędkością r v t cost wektor przyspieszei r t jest prostopdły do tej trjektorii Rys 45 Wektor prędkości i wektor przyspieszei puktu mterilego 5 TWIERDZENIA O FUNKCJACH RÓŻNICZKOWALNYCH 5 TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ Tw 5 Rolle fukcj f jest ciągł [] fukcj f m pochodą 3 f f c f c Fkt 5 iterpretcj geometrycz twierdzei Rolle N wykresie fukcji ciągłej przedzile domkiętym różiczkowlej wętrzu tego przedziłu i przyjmującej jedkowe wrtości jego końcch istieje pukt w którym stycz jest poziom rys 5 Rys 5 Ilustrcj twierdzei Rolle Tw 53 Lgrge fukcj f jest ciągł [] f f f c fukcj f m pochodą c

Fkt 54 iterpretcj geometrycz twierdzei Lgrge N wykresie fukcji ciągłej przedzile domkiętym i różiczkowlej wętrzu tego przedziłu istieje pukt w którym stycz do wykresu jest rówoległ do sieczej łączącej końce wykresu rys 5 Rys 5 Ilustrcj twierdzei Lgrge Tw 55 wruki wystrczjące mootoiczości fukcji Niech I R ozcz dowoly przedził Wtedy f fukcj f jest stł I I I I I I f f f f > fukcj f jest rosąc I fukcj f jest iemlejąc I < fukcj f jest mlejąc I fukcj f jest ierosąc I Uwg Jeżeli f dl kżdego I przy czym rówość f zchodzi jedyie dl skończoej liczy puktów z przedziłu I to fukcj f jest rosąc I Podoie jest dl fukcji mlejącej Tw 56 o pochodej fukcji mootoiczej fukcj f jest rosąc I R fukcj f m pochodą przedzile I f dl kżdego I Uwg Prwdziwe są tkże logicze twierdzei dl pozostłych rodzjów fukcji mootoiczych Tw 57 o tożsmościch Niech fukcje f i g ędą określoe przedzile I R orz iech I Wtedy f g f g I f g dl kzdego I Tw 58 o ierówościch Niech fukcje f i g ędą określoe przedzile I R orz iech I Wtedy f g dl kzdego f g f g dl kzdego > > Uwg Jeżeli jed z ierówości w złożeich powyższego twierdzei jest ostr to ierówość w tezie tkże jest ostr Alogicze twierdzeie prwdziwe jest tkże dl < Tw 59 Cuchy ego fukcje f i g są ciągłe [] fukcje f i g mją pochode 3 g dl kżdego f c g c f f g g c Fkt 5 iterpretcj geometrycz twierdzei Cuchy ego r Niech g f gdzie [] ędzie przedstwieiem prmetryczym krzywej Γ płszczyźie Wtedy istieje pukt P Γ w którym stycz jest rówoległ do sieczej łączącej końce A B tej krzywej

5 TWIERDZENIA O GRANICACH NIEOZNACZONYCH Tw 5 reguł de L Hospitl dl ieozczoości Niech f f fukcje ędą określoe dl kżdego g g lim f lim g f 3 istieje gric lim włściw lu iewłściw g Wtedy f f lim lim g g Uwg Powyższe twierdzeie jest prwdziwe tkże dl gric jedostroych w pukcie orz w lu w Fkt 5 iterpretcj reguły de L Hospitl dl ieozczoości r Niech g f gdzie ędzie przedstwieiem prmetryczym krzywej płskiej Γ wychodzącej z początku ukłdu współrzędych Wtedy kieruek griczy sieczych przechodzących przez początek ukłdu i przez pukty r krzywej Γ gdy pokryw się z griczym kierukiem styczych do tej krzywej w puktch r gdy Tw 53 reguł de L Hospitl dl ieozczoości Niech f f 4 fukcje ędą określoe dl kżdego g g 5 lim f lim g f 6 istieje gric lim włściw lu iewłściw g Wtedy f f lim lim g g Uwg Powyższe twierdzeie jest prwdziwe tkże dl gric jedostroych w pukcie orz w lu w Fkt 54 tożsmości zmieijące rodzje ieozczoości Nieozczoość Stosow tożsmość Otrzym ieozczoość f f g lu g g f f g fg g f g l f e Uwg Ze względu skomplikowie oliczeń tożsmość podą dl ieozczoości gdy zwiodą ie sposoy jej usuwi stosujemy dopiero wtedy

53 ROZWINIĘCIA TAYLORA FUNKCJI Def 53 wielomi Tylor i Mcluri Niech fukcj f m w pukcie pochodą włściwą k-tego rzędu k N {} Wielomi k f f f P k k f K!! k! zywmy wielomiem Tylor rzędu k Fukcji f w pukcie Jeżeli to wielomi P k zywmy wielomiem Mcluri Uwg Wielomi P k jest jedyym wielomiem stopi k który spełi wruki: k k P k f P k f Pk f Tw 53 wzór Tylor z resztą Lgrge Jeżeli fukcj f m ciągłą pochodą rzędu przedzile [ ] istieje włściw pochod f przedzile to c f P c! f Uwg Twierdzeie powyższe jest prwdziwe tkże dl przedziłu [ ] wtedy c Rówość występującą w tezie twierdzei zywmy wzorem Tylor Wyrżeie f c R! zywmy -tą resztą Lgrge Resztę tę moż tkże zpisć w postci f ΘΔ R Δ! gdzie < Θ < orz Δ Dl wzór Tylor przyjmuje postć f f f f c f f K!!!! gdzie c dl > lu c dl < Rówość tę zywmy wzorem Mcluri Fkt 533 wzory Mcluri dl iektórych fukcji elemetrych Fukcj e si cos l 3 3!! 5 5! 4 4! Wzór Mcluri K!!! K 4 4 K K e! 3 3!! c cos c! cos c! c Uwg W powyższej teli pukt pośredi c leży do przedziłu gdy > lo do przedziłu gdy < Tw 534 uzsdieie ierówości z pomocą wzoru Tylor Niech fukcj f spełi złożei twierdzei Tylor orz iech R t dl kżdego t Wtedy f t P t dl kżdego t [ ]

6 BADANIE FUNKCJI 6 EKSTREMA FUNKCJI Def 6 miimum lokle fukcji Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f m w pukcie miimum lokle jeżeli < f f [ ] δ δ > Def 6 mksimum lokle fukcji Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f m w pukcie mksimum lokle jeżeli < f f [ ] δ δ > Def 63 miimum lokle włściwe fukcji Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f m w pukcie miimum lokle włściwe jeżeli < f > f [ ] δ δ > Def 64 mksimum lokle włściwe fukcji Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Fukcj f m w pukcie mksimum lokle włściwe jeżeli < f < f [ ] δ δ > Def 65 wrtość jmiejsz fukcji ziorze Licz m R jest wrtością jmiejszą fukcji f ziorze A D f jeżeli f m orz f m Def 66 wrtość jwiększ fukcji ziorze Licz M R jest wrtością jwiększą fukcji f ziorze A D f jeżeli f M orz f M A A Uwg Fukcj rosąc przedzile domkiętym [] przyjmuje wrtość jmiejszą w pukcie orz wrtość jwiększą w pukcie Odwrotie jest dl fukcji mlejącej przedzile Tw 67 Fermt wruek koieczy istiei ekstremum Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Wówczs fukcj f m ekstremum lokle w pukcie f istieje f Uwg Implikcj odwrot jest fłszyw Świdczy o tym przykłd fukcji f 3 któr spełi w pukcie wruek f le ie m w tym pukcie ekstremum loklego Podto złożeie różiczkowlości fukcji f jest istote Świdczy o tym przykłd fukcji f któr w pukcie m miimum lokle włściwe le f ie istieje Fkt 68 iterpretcj geometrycz twierdzei Fermt Jeżeli fukcj m ekstremum lokle w pukcie orz jeżeli w tym pukcie istieje stycz do wykresu fukcji to stycz jest poziom Fkt 69 o loklizcji ekstremów fukcji Fukcj może mieć ekstrem lokle tylko w puktch w których jej pochod rów się zero lo w puktch w których jej pochod ie istieje Tw 6 I wruek wystrczjący istiei ekstremum Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Wówczs jeżeli f f > dl kzdego δ δ > f < dl kzdego δ to fukcj f m w pukcie mksimum lokle włściwe A A

Uwg Zmist złożei tego twierdzei moż przyjąć że fukcj f jest ciągł w pukcie Ntomist zmist złożei moż przyjąć że fukcj f jest rosąc i mlejąc odpowiedio przedziłch δ δ Twierdzeie o miimum loklym włściwym jest logicze Tw 6 II wruek wystrczjący istiei ekstremum Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Wówczs jeżeli istieje f gdzie f f K f 3 f < 4 jest liczą przystą to fukcj f m w pukcie mksimum lokle włściwe Uwg Jeżeli złożeie 3 twierdzei m postć f > to fukcj f m w pukcie miimum lokle włściwe Ntomist jeżeli złożeie 4 m postć jest liczą ieprzystą złożeie 3 postć f to fukcj f w pukcie ie m ekstremum loklego Fkt 6 lgorytm szuki wrtości ekstremlych fukcji Niech fukcj f :[ ] R ędzie ciągł przedzile [] i różiczkowl poz skończoą liczą puktów tego przedziłu Wrtości jmiejszej i jwiększej tej fukcji tym przedzile szukmy postępując według lgorytmu:] zjdujemy pukty c c c zerowi się pochodej fukcji f przedzile orz pukty d d d m w których pochod tej fukcji ie istieje; oliczmy wrtości fukcji f: w puktch końcowych ; w puktch zerowi się pierwszej pochodej c c c orz w puktch ez pochodej d d d m ; 3 spośród licz f f; fc fc fc orz fd fd fd m wyiermy jmiejszą i jwiększą Będą to odpowiedio wrtości jmiejsz i jwiększ fukcji f przedzile [] 6 FUNKCJE WYPUKŁE I WKLĘSŁE Def 6 fukcj wypukł Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < Fukcj f jest wypukł przedzile jeżeli f λ λ λf λ f < < < < λ< Rys 6 Fukcj f jest wypukł R Rys 34 Fukcji f jest ściśle wypukł R Geometryczie wypukłość fukcji ozcz że kżdy odciek sieczej wykresu leży wyżej lu pokryw się z frgmetem wykresu położoym między puktmi przez które przechodzi siecz rys 6 Fukcję wypukłą zyw się tkże wypukłą w dół Def 6 fukcj ściśle wypukł Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < Fukcj f jest ściśle wypukł przedzile jeżeli f λ λ < λf λ f < < < < λ< Geometryczie fukcj jest ściśle wypukł gdy kżdy odciek wykresu leży wyżej iż frgmet wykresu położoy między puktmi przez które przechodzi siecz rys 6 Fukcję ściśle wypukłą zyw się tkże ściśle wypukłą w dół Def 63 fukcj wklęsł Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < Fukcj f jest wklęsł przedzile jeżeli f λ λ λf λ f < < < < λ<

Rys 63 Fukcj f jest wklęsł R Rys 64 Fukcj f jest ściśle wklęsł R Geometryczie wklęsłość fukcji ozcz że kżdy odciek sieczej wykresu leży iżej lu pokryw się z frgmetem wykresu położoym między puktmi przez które przechodzi siecz rys 63 Fukcję wklęsłą zyw się tkże wypukłą w górę Def 64 fukcj ściśle wklęsł Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < Fukcj f jest ściśle wklęsł przedzile jeżeli f λ λ > λf λ f < < < < λ< Geometryczie fukcj jest ściśle wklęsł gdy kżdy odciek wykresu leży iżej iż frgmet wykresu położoy między puktmi przez które przechodzi siecz rys 64 Fukcję ściśle wklęsłą zyw się tkże ściśle wypukłą w górę Tw 65 wruek wystrczjący wypukłości f > fukcj f jest ściśle wypukł Uwg Prwdziwe są tkże twierdzei dl pozostłych typów fukcji wypukłych Jeżeli f dl kżdego przy czym rówość f zchodzi jedyie dl skończoej liczy puktów z odcik to fukcj f jest ściśle wypukł Podoie jest dl fukcji ściśle wklęsłej 63 PUNKTY PRZEGIĘCIA WYKRESU FUNKCJI Def 63 pukt przegięci wykresu fukcji Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Podto iech fukcj f ędzie różiczkowl Dopuszczmy tu różiczkowlość fukcji f w sesie iewłściwym w pukcie Pukt f jest puktem przegięci wykresu fukcji f wtedy i tylko wtedy gdy istieje δ > tk że fukcj f jest ściśle wypukł przedzile δ orz ściśle wklęsł przedzile δ lo jest odwrotie Orzowo pukt wykresu fukcji jest puktem przegięci jeżeli fukcj zmiei w im rodzj wypukłości Wykres fukcji przechodzi wtedy z jedej stroy styczej drugą rys 63 Mówi się tkże że pukt jest puktem przegięci fukcji f Rys 63 Fukcj f m w pukcie f pukt przegięci Rys 63 Fukcj f ie m w pukcie f puktu przegięci Tw 63 wruek koieczy istiei puktu przegięci Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Wówczs jeżeli f jest puktem przegięci wykresu fukcji f pukt istieje f to f

Uwg Implikcj odwrot w tym twierdzeiu ie jest prwdziw Świdczy o tym przykłd fukcji f 4 któr spełi wruek f le pukt ie jest puktem przegięci wykresu tej fukcji Fkt 633 o loklizcji puktów przegięci wykresu fukcji Fukcj może mieć pukty przegięci jedyie w puktch zerowi się jej drugiej pochodej lo w puktch w których t pochod ie istieje Tw 634 I wruek wystrczjący istiei puktu przegięci Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech w pukcie m pochodą włściwą lu iewłściwą Wówczs jeżeli f < dl kzdego δ > δ f > dl kzdego δ f jest puktem przegięci wykresu tej fukcji to pukt Uwg Twierdzeie powyższe jest prwdziwe tkże gdy ierówości dl drugiej pochodej f są odwrote w sąsiedztwie puktu Tw 635 II wruek wystrczjący istiei puktu przegięci Niech fukcj f ędzie określo przedzile - < orz iech Wówczs jeżeli istieje f gdzie 3 f f K f 3 f 4 jest liczą ieprzystą f jest puktem przegięci wykresu tej fukcji to pukt Uwg Jeżeli złożeie 4 twierdzei m postć jest liczą przystą to pukt f wykresu fukcji ie jest puktem przegięci 64 BADANIE FUNKCJI Ustleie dziedziy fukcji Wskzie podstwowych włsości fukcji: przystość lu ieprzystość okresowość c miejsc zerowe d ciągłość 3 Oliczie gric lu wrtości fukcji krńcch dziedziy 4 Zlezieie symptot pioowych i ukośych 5 Zlezieie pierwszej pochodej fukcji: wyzczeie dziedziy pochodej i jej oliczeie wyzczeie puktów w których fukcj może mieć ekstrem c ustleie przedziłów mootoiczości fukcji d ustleie ekstremów fukcji e oliczeie gric lu wrtości pochodej krńcch dziedziy 6 Zdie drugiej pochodej fukcji: wyzczeie dziedziy drugiej pochodej i jej oliczeie ustleie przedziłów wklęsłości i wypukłości c wyzczeie puktów przegięci wykresu fukcji d oliczeie pierwszej pochodej w puktch przegięci 7 Sporządzeie telki ieoowiązkowe 8 Sporządzeie wykresu fukcji 7 CAŁKI NIEOZNACZONE 7 FUNKCJE PIERWOTNE Def 7 fukcj pierwot Fukcj F jest fukcją pierwotą fukcji f przedzile I jeżeli F f dl kżdego I

Uwg Nie kżd fukcj m fukcję pierwotą p fukcj f sg ie m fukcji pierwotej przedzile - Fukcj pierwot fukcji elemetrej ie musi yć fukcją elemetrą p fukcje pierwote fukcji: e si e si ie są fukcjmi elemetrymi Tw 7 podstwowe o fukcjch pierwotych Niech fukcj F jest fukcją pierwotą fukcji f przedzile I Wtedy fukcj G F C gdzie C R jest fukcją pierwotą fukcji f przedzile I kżdą fukcję pierwotą fukcji f przedzile I moż przedstwić w postci F D gdzie D R Powyższe twierdzeie mówi o postci fukcji pierwotych dl ustloej fukcji Fukcje pierwote mją postć F C i tylko tkie są fukcjmi pierwotymi Tw 73 wruek wystrczjący istiei fukcji pierwotej Jeżeli fukcj jest ciągł przedzile to m fukcję pierwotą tym przedzile 7 CAŁKI NIEOZNACZONE Def 7 cłk ieozczo Niech fukcj F ędzie fukcją pierwotą fukcji f przedzile I Cłką ieozczoą fukcji f przedzile I zywmy ziór fukcji { F C : C R} Cłkę ieozczoą fukcji f ozczmy przez f d lu krótko f Uwg W dlszej części ędziemy opuszczli wisy klmrowe w iicji cłki ieozczoej Dziłi cłkch ieozczoych ozczją dziłi fukcjch pierwotych reprezetujących te cłki Rówość cłek ieozczoych ozcz rówość odpowiedich fukcji pierwotych reprezetujących te cłki Fkt 7 pochod cłki ieozczoej Niech fukcj f m fukcję pierwotą przedzile I Wtedy [ f d] f dl kżdego I Uwg Powyższą rówość leży rozumieć w te sposó że po lewej różiczkujemy dowolą fukcję pierwotą reprezetującą cłkę ieozczoą Fkt 73 cłk ieozczo pochodej Niech fukcj f m fukcją pierwotą przedzile I Wtedy f d f C C R dl kżdego I Fkt 74 cłki ieozczoe wżiejszych fukcji elemetrych Fukcj Cłk ieozczo Zkres zmieości C R N {} R C p p p {- -3-4 } C p α α α R \ { } > C α l C < R C l e e C R si cos C R cos si C R