Prkład Pretrenn tan naprężenia i odktałcenia Stan naprężenia Stan naprężenia w punkcie jet określon a pomocą diewięciu kładowch, które onacam literą odpowiednimi indekami Pierw indek onaca normalną ewnętrną do prekroju, w którm diała naprężenie, aś drugi kierunek naprężenia W wtrmałości materiałów, dla odróżnienia naprężeń tcnch touje ię literę, natomiat powtarając ię indek w onaceniu naprężeń normalnch pomija ię Zgodnie twierdeniem o wajemności naprężeń tcnch achodą równości:,, Mam atem nieależnch kładowch tanu naprężenia, które apiujem jako: lub Prjmuje ię natępujące aad nakowania kładowch tanu naprężenia: Naprężenie normalne jet dodatnie, gd jet kierowane na ewnątr prekroju ( od prekroju ), tn jet rociągające Umowę naków dla naprężenia tcnego wjaśnim na prkładie naprężenia Diała ono w prekroju protopadłm do oi, wdłuż oi W prekroju o normalnej ewnętrnej godnej e wrotem oi naprężenie jet dodatnie, gd ma wrot godn oią Natomiat w preciwległm prekroju (o ujemnej normalnej ewnętrnej) naprężenie jet dodatnie, gd ma wrot preciwn do oi Ab ilutrować na runku tan naprężenia w danm punkcie, należ preprowadić pre ten punkt tr prekroje protopadłe do prjętego układu oi Narowanie wtkich kładowch tanu naprężenia dołownie w punkcie błob niectelne, dlatego prowadim prekroje w jego niekońcenie małm otoceniu (rujem protopadłościan kotkę ) Na poniżm runku anacono dodatnie wrot odpowiednich naprężeń Prkładowo, dla poniżego tanu naprężenia ilutracja graficna jet natępująca:
Uwaga: Zadania,, i dotcą wnacania wartości głównch i kierunków głównch pretrennego tanu naprężenia Dla tanu odktałcenia agadnienie to rowiąuje ię analogicnie Wtarc atąpić kładowe tanu naprężenia odpowiednimi kładowmi tanu odktałcenia ZADANIE Oblicć wartości naprężeń głównch ora określić kierunki główne tanu naprężenia: Rowiąanie Oblicam wartości niemienników tanu naprężenia I MPa ( ) MPa I ( ) ( ) ( ) ( ) 7 Naprężenia główne wnacam równania, I które po wtawieniu obliconch wartości licbowch niemienników ma potać I MPa 7 () Ab otrmać wartości naprężeń głównch należ rowiąać powże równanie treciego topnia Rowiąanie równania treciego topnia w potaci ogólnej Niech będie dane równanie treciego topnia w potaci a b c d Dielim je obutronnie pre a i podtawiam b / a ; otrmujem: p q,
gdie ac b p ; a b bc d q 7a a a Oblicam wróżnik q p Jeżeli < ora p < to nae równanie treciego topnia ma tr różne pierwiatki recwite Pierwiatki,, oblicam e worów: gdie r co r co( r co( ϕ, ϕ), ϕ), q coϕ, r η p, η gn( q) ( η ± ależnie od naku q ) r Zatem pierwiatki roważanego równania treciego topnia wnoą b b b,, a a a Rowiążem tera równanie (), kortając powżego poobu Oblicam: a, b, c, d 7, b q 7a bc a ac b ( ) p, <, a d ( ) ( ) 7,7, 7, a 7 q p,, 447, <, q η gn( q), r η p,, coϕ,7 ϕ,7 r, r co r co( r co( ϕ, co,7 ϕ), co, ), co ϕ,7,7, 4,4,9
Zatem naprężenia główne wnoą: b,,97 a b 4,4,74 a b,9, a Kontrolą prawidłowości obliceń może bć prawdenie niemienników: I,74,,97 MPa I,74,74,,74 (,97), (,97),, Wartości niemienników ą godne otrmanmi poprednio Wnacam tera kierunki główne,74, (,97) 7 MPa,97 Kierunek główn, cli kierunek diałania naprężenia, określon jet pre koinu kierunkowe l, m, n Są to koinu kątów jakie twor wektor naprężenia, oiami układu wpółrędnch O, O, O Licb l, m, n ą atem kładowmi jednotkowego wektora ewnętrnie normalnego do prekroju, w którm wtępuje naprężenie Prawdiw jet atem wiąek: l m n Koinu kierunkowe l, m, n oblicam układu równań: ( ) l m n (,74) l m n l ( ) m n l (,74) m n l m ( ) n l m (,74) n Wnacnik macier głównej tego układu jet równ eru Oblicam rąd tej macier W tm celu wbieram niej dowoln minor drugiego topnia (-) i prawdam c jet on różn od era,74,74,74,74,74 Na układ ma atem rowiąania ależne od jednego parametru Badan minor obejmował wpółcnniki pr niewiadomch l i m w równaniach () i (4) Rowiąujem tera układ dwóch równań () i (4) wględem niewiadomch l i m Otrmujem: m, n, l 7, 4 n 4 MPa () () (4)
Uwględniając warunek l m n,, n 7,4 n n, otrmujem koinu kierunkowe pierwego kierunku głównego: n ± ora l ±, m ± Dla drugiego kierunku głównego rowiąujem układ równań: ( l ) l ( m l m ) m ( n ) n n (,) l m n l (,) m n l m (,) n () () (7) Wbieram dowoln minor drugiego topnia macier głównej układu i prawdam c jet on różn od era: 4, 4,, 4,,,, Badan minor obejmował wpółcnniki pr niewiadomch l i m w równaniach () i () Zatem, rowiąujem tera układ dwóch równań () i () wględem niewiadomch l i m Otrmujem: dołącając warunek m, 9n, l, 9n l m n,,9 n (,9) n n, otrmujem koinu kierunkowe drugiego kierunku głównego: n ±9 ora l,7, m ± Podobnie, oblicam kładowe treciego kierunku głównego Wnoą one: n ±,7 ora l ±,7, m 9 Kierunki główne określone jednotkowmi wektorami µ [ l, m, n ], µ [ l, m, n], µ [ l, m, n] muą bć wględem iebie parami protopadłe Sprawdenie tego warunku jet dobrm poobem kontroli poprawności obliceń Dla każdej par apiujem warunek wnikając definicji ilocnu kalarnego: l l mm nn, (,7),,,,9, l l m m n n,7,7, (-,9),9,7-4, 4 l mm nn,7,,9,,7,, l Wartości ilocnów kalarnch pocególnch par wektorów nie ą dokładnie równe eru uwagi na błęd aokrągleń powtałe w obliceniach Są one jednak bardo małe w tounku do długości wektorów równej Wkaaliśm więc, że naleione kierunki główne ą wględem iebie parami protopadłe
ZADANIE Znaleźć naprężenia główne i kierunki główne tanu naprężenia Rowiąanie Oblicam wartości niemienników tanu naprężenia I MPa Naprężenia główne wnacam równania Skąd łatwo oblicam I I I MPa, Jet to atem prpadek rociągania naprężeniem Jego kierunek wnacm układu równań: ( l l ) l ( m ( m n ) m n ) n ( ) l m l ( ) m n l m n ( ) n Rowiąujem układ równań () i () wględem niewiadomch l i m Otrmujem Wkortując warunek geometrcn n m n, n l l m n n n otrmujem koinu kierunkowe pierwego kierunku głównego: ± n l m Dla drugiego, jak i treciego kierunku głównego, układ równań ()-() redukuje ię do jednego równania l m n Dołącając warunek l m n i wbierając prkładowo n jako parametr, otrmujem niekońcenie wiele rowiąań potaci l n ± n, m l n Zatem każda prota leżąca w płacźnie określonej wektorem normalnm µ [,, ] wnaca kierunek główn () () ()
ZADANIE Oblicć wartości naprężeń głównch tanu naprężenia: Uwaga: Dane licbowe w tm adaniu dobrane ą tak, ab otrmane wartości naprężeń głównch bł licbami całkowitmi Predtawiona tu metoda rowiąania równania wiekowego, polegająca na poukiwaniu podielników wrau wolnego, nie jet metodą ogólną Rowiąanie Oblicam wartości niemienników tanu naprężenia I MPa 9 4 4 MPa I [ ( ) ( )] MPa Naprężenia główne wnacam równania, I I które po wtawieniu obliconch wartości licbowch niemienników ma potać Całkowitch pierwiatków tego równania poukujem wśród podielników wrau wolnego Podtawiając można prawdić, że licba, która jet podielnikiem licb, pełnia nae równanie 7
Wkonajm dielenie: ( 7 7 ) : ( ) 7 7 7 7 Pootałe pierwiatki dotaniem równania kwadratowego 7 7 Oblicam: 7 4 7 7 ' 9 7 ", Mam atem natępujące naprężenia główne:,, 9 Rowiąanie tego prkładu można bło naleźć w inn poób Zauważm, że naprężeniu odpowiadają naprężenia tcne, (era w -ciej kolumnie i -cim wieru) Zatem, definicji, naprężenie jet naprężeniem głównm, a kierunek oi - kierunkiem głównm Pootałe naprężenia główne będą pierwiatkami równania kwadratowego otrmanego po wkonaniu dielenia ( ) : ( ) Podan poób rowiąania aleca ię jako ćwicenie do amodielnego wkonania
ZADANIE 4 W pewnm punkcie dan jet tan naprężenia: Znaleźć wektor naprężenia p w tm punkcie, w prekroju o normalnej ewnętrnej 4 n [,, ] Rołożć natępnie wektor p na naprężenia normalne n ora tcne n Rowiąanie Zauważm, że wektor n jet wektorem jednotkowm, n n n n Składowe wektora naprężenia p [ p, p, p ] w prekroju o normalnej ewnętrnej określonej wektorem n [ n, n, n ], wnacm kortając pierwego prawa Cauch ego: p n n n pi ijn j : p n n n p n n n Podtawiając dane licbowe otrmujem: p 4 ( ) p 4 ( ) ( ), p 4 Naprężenie p w danm prekroju (długość wektora p ) wnoi p p p () ( ) () 7 MPa p Tera oblicam wartość licbową naprężenia normalnego w danm prekroju: 9 n p n pn pn pn A atem wektor naprężenia wnoi 4 4 4 MPa [ 4 4, 4, 4 ] [,, 94],4 n Natępnie oblicam naprężenie tcne: n p n n, n p n, co powala wnacć odpowiednie kładowe wektora n : n n n,,,,4,94,4 n [, 4, 4] 9
ZADANIE Dla tenora odktałcenia definiowanego w poób natępując: naleźć akjator i dewiator ε 4 Rowiąanie: Każd tenor metrcn drugiego rędu (co odnoi ię do tenorów naprężenia, odktałcenia i bewładności) można predtawić w potaci um dwóch tenorów metrcnch wanch akjatorem i dewiatorem Dla tenora odktałcenia, akjator (tenor kulit) opiuje mianę objętości, natomiat dewiator mianę potaci: Tenor tanu odktałcenia można predtawić jako umę akjatora i dewiatora: gdie A D ε ε ε ε śr ε ε śr ε ε A D ε ε śr ora ε ε ε ε śr ε, ε śr ε ε ε ε śr ( ε ε ) ε ε śr W nam adaniu ( ε ε ) ( 4) ε śr ε Zatem cęść kulita (akjator) i dewiacjna danego tenora naprężenia ą wnoą ora A ε D ε