Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami
|
|
- Janusz Milewski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric lub Kspread w systemie Linux. Jeśli bepośrednio funkcje inżynierskie nie występuje w MS Office to należy je dograć wykonując następujące polecenia Po uruchomieniu Excela klikamy na narędia następnie w dodatki i wybieramy Analysis ToolPak. Tera sprawdamy klikając w wstaw, funkcje i sukamy funkcji inżynierskich. W funkcjach inżynierskich mamy m. in. funkcje espolone acynające się od naków IM, funkcje Bessela, formuły dokonujące prekstałceń różnych systemów licb i inne. W tym artykule ajmiemy się funkcjami espolonymi, formułami dokonującymi amiany systemu licenia licb ora funkcjami Bessela co stanowią około 9% funkcji inżynierskich w arkusu (jest ich 39 omówiłem ok. 34). Formuły espolone omówione w rodiale I będiemy stosować i omawiać w oparciu o adania elektroniki, prydatne dla naucycieli matematyki, który ucą predmiotu matematyki w skłach policealnych informatycnych. Zamiany systemu licb (rodiał II) będiemy stosować do adań matematycnych, które są w podręcniku metodycnym dla klasy V skoły podstawowej (Matematyka Krok po kroku Beata Kossakowska, Beata Murawska) ora będiemy stosować prelicnik licb w rejestrach systemu operacyjnego. Ten rodiał będie prydatny dla naucycieli naucających systemy operacyjne i oprogramowanie biurowe. Natomiast funkcje inżynierskie Bessela wykorystamy do równania pola elektromagnetycnego w światłowodach cylindrycnych, które obecnie preżywają ogromny rowój w technologii sieci komputerowej. Ten ostatni rodiał będie prydatny dla naucycieli ucących sieci komputerowe i urądenia techniki komputerowej. 1
2 I. Zastosowanie licb espolonych w arkusu kalkulacyjnym Gnumeric i KSpread w systemie Linux i MS Excel systemu Windows Zastosowanie licb espolonych w różnych diedinach nauk ma ogromne nacenie na prykład wprowadenie licb espolonych w elektrotechnice daje nam pełniejsą informacje o prebiegu jawiska. Załóżmy, że w obwodie RLC otrymaliśmy następujące równanie: 1 U i R + ω L (1) ωc Widimy, że powyżsy wór nie daje nam informacji o stosunkach faowych. Tutaj i w wielu innych prypadkach powinniśmy wykorystać algebrę licb espolonych. Wykorystując licby espolone nase powyżse równanie pryjmuje postać: U 1 jϕ i R + ωl e () ωc Te równanie wyrażone licbami espolonymi kryje w sobie dwa równania awierające wielkości mieralne: - jedno wynika równości cęści recywistych (wór 1) - drugie wynika równości cęści urojonych W tej pierwsej cęści równania można wynacyć moduł, dający informacje o wartości awady dla prądów miennych, drugi powoli wynacyć argument, dający informacje o stosunkach faowych. Zakładamy, że ω to cęstość kołowa wtedy postać wykładnica licby espolonej apisemy worem: ϕ e j cos ϕ + j sin ϕ Jesce innym prykładem, w którym stosujemy licby espolone jest fala elektromagnetycna. Jeżeli prykładowo ropatrymy falę elektromagnetycną rochodącą się w kierunku to wyraża się następującym worem: B y E e x π i 6
3 we wore mamy dwie cęści i możemy powiedieć, że pole magnetycne B jest ray więkse, co do wartości bewględnej od pola elektrycnego E i opóźnione w stosunku do niego o 3 stopni kąta faowego. Do sybsego rowiąania funkcji espolonych mogą posłużyć nam arkuse kalkulacyjne. W systemie Linux występują dwa arkuse kalkulacyjne. Jeden o nawie Gnumeric należy do środowiska graficnego GNOME, a drugi KSpread do środowiska KDE. Aby uruchomić jeden nich wystarcy wybrać dowolne środowisko graficne. W arkusach kalkulacyjnych występują funkcje inżynieryjne a w nich funkcje espolone, których jest około 15. Podstawowe funkcje espolone omówię na prykładie adań. Podaję rowiąanie matematycne i rowiąanie informatycne w arkusu kalkulacyjnym. Funkcje espolone, które w odróżnieniu od licb recywistych mają w nawie formuły dwie pierwse litery IM od słowa angielskiego imaginary urojony. Zad. 1 Oblicyć moduł licby espolonej 4. Rowiąanie: Stosujemy wór matematycny: x + y gdie x, y R wtedy postać algebraicna licby espolonej jest następująca x + yi to otrymamy wynik: licba recywista Re 4, urojona Im wtedy Sprawdamy w arkusu np. Gnumeric wpisując do dowolnej komórki formułę espoloną: - cęść recywista: IMREAL( 4 ) - cęść urojona: IMAGINARY(4+i) * Cudysłów w nawiasach nie jest obowiąkowy natomiast obowiąkowy w MS Excel-u. Zad.. Linia o impedancji charakterystycnej Zo jest akońcona impedancją Z k (7 + 3i) Ω; należy naleźć wartość modułu i argumentu dla normaliowanej impedancji k. Rowiąanie: 3
4 Zakładamy, że standardem w Polsce i USA impedancja charakterystycna wynosi Zo 5 Ω. Stosujemy wór: Z Z 7 + 3i 1,4 +, 5 k k 6 o W arkusy pisemy: IMDIV(7+3i;5) otrymamy wynik jw. Moduł oblicymy e woru: 1,4 +,6 1,53 W arkusu pisemy: IMABS(1,4+,6i) otrymamy wynik jw. Sukamy argument; akładamy, że argumentem licby espolonej naywamy licbę ϕ spełniający układ równań: x cosϕ i y sin ϕ ora i tg ϕ cos a 1,4 ϕ,919 1,53 ora sin b,6 ϕ, 394 1,53 tan ϕ sinϕ cosϕ,394,919,48 Rowiąanie w arkusu: argument licby espolonej w arkusu otrymamy formuły: IMARGUMENT( 1,4+,6i ) i mamy,448 natomiast tan(,448),48. y x Zad. 3 Znaleźć wartość admitancji normaliowanej y k jeżeli impedancja normaliowana jest k 1,4+,6i. Rowiąanie: Wiemy e woru matematycnego, że admitancja normaliowana wyraża się następującym worem: y k -1 to po podstawieniu otrymamy: y k,6-,6i Rowiąanie w arkusu: pisemy formułę na potęgowanie IMPOWER(1,4+,6i;-1) otrymamy,6-,6i Zad. 4 Udowodnij, że w biore licb espolonych 4 { ;} 4
5 Rowiąanie matematycne: sukamy, dla jakiego kąta mamy takie same ϕ ϕ, bo sin o ora cos o 1 powołując się na wór de Moivre a dla pierwiastków k n ϕ + kπ ϕ + kπ r (cos + j sin ) gdie r n n otrymujemy + π + π 4 (cos + j sin ) 4 (cos + j sin ) 4 (1 + ) π + 1 π 4 (cos + j sin ) 1 4 (cosπ + j sinπ) 4 ( 1+ ) 4 ostało udowodnione, że biore licb espolonych mamy i. Rowiąanie astosowaniem arkusa kalkulacyjnego IMSQRT(4) Otrymujemy i należy godnie modułem i nasymi obliceniami matematycnymi podać licbę preciwną do wyniku, której arkus nie podaje i obowiąuje dla pierwiastka drugiego stopnia ora parystego stopnia np.: IMSQRT(5+1i) otrymamy: 3-i i godnie asadą -(3-i) cyli -3+i Zad. 5 Zapisać w postaci trygonometrycnej otrymane wyniki równania kwadratowego , 1 - +i ora - i. Rowiąanie: Wykorystując wór r (cos ϕ + i sin ϕ) sukamy modułu a + jb >r r ( ) a 1 cos ϕ,8944 sin ϕ b, 447 r 5 r 5 5
6 ponieważ jest to II ćwiartka dla cosinusa i sinusa to wtedy od π odejmujemy kąt ϕ i otrymujemy π i możemy apisać w postaci trygonometrycnej następująco: 5(cos153 + j sin153 ) lub możemy apis w postaci wykładnicej r e jϕ W arkusu: IMEXP(153i) otrymujemy: -,591+,864i, bo COS(153) wynosi,59 a IMSIN(153) wynosi: 1,399E+6i, po dodaniu funkcji cos(153) i 1,399 otrymujemy cęść urojoną:,864 Diałania na licbach espolonych wykonujemy tak, jak na wielomianach miennej i, pod warunkiem, że i -1 Zad. 6 Wykonaj podstawowe diałania arytmetycne: a) (-+3i)+(7-8i); b) (4i-3)-(1+1i); c) ( i) ( 3 3i ); 3i + d) ; 5 + 4i Rowiąanie matematycne: ad a) (-+3i)+(7-8i)(-+7)+(3-8)i5-5i. Rowiąanie w arkusu: IMSUM(-+3i;7-8i) otrymamy 5-5i. Rowiąanie matematycne: ad b) ((4i-3)-(1+1i)(-3-1)+(4-1)i-4-6i Rowiąanie w arkusu: IMSUB(-3+4i;1+1i) otrymamy -4-6i Rowiąanie matematycne: ad c) ( + i) ( 3 3i ) 3 3i 3i ( 3 + 3) + ( 3 6) i 6 +, 6i Rowiąanie w arkusu: IMPRODUCT(1,41+i;3-1,73i) otrymamy 5,96+,56i Rowiąanie matematycne: ad d) 3i 5 + 4i ( 3i)( 5 4i) ( 5 + 4i)( 5 4i) 3i 3 i,48 +,56i; Rowiąanie w arkusu: IMDIV(-3i;5+4i) otrymamy -4,87+,56i. Zad. 6 Oblic dla jakiego kąta fala o równaniu: π i 6 B E e równanie pryjmie postać w y x biore licb recywistych. Rowiąanie: e πi 1. W arkusu wpisujemy formułę: IMEXP(6,8i) otrymujemy 1. 6
7 Zad. 7 Obwód RLC asilany jest prądem premiennym. Oblic jego awadę espoloną Z i podac cęstotliwość, pry której nastąpi reonans tn. pry która awada będie recywista. Opór R 5 Ω, L 1 Henr, C 1 µf, a cęstotliwość f 1 H. Rowiąanie: wiemy, że ωπf6,8*1h68 R 1 L R L i + ω 1 ω C ωc C, ,4i Z,83, 99i ωci 1 R + ωli R + ωl ωc Z i. Rowiąanie w arkusu: IMDIV(, i;39447) otrymujemy: Z(-i) Ω L Dla cęstości reonansowej ωω o nika cęść urojona: R + ω o L stąd wy- C nacamy w prosty sposób ω o i oblicmy. Na akońcenie możemy powiedieć, że wykorystując arkus kalkulacyjny do licb espolonych można w sybsy sposób otrymać wyniki do nasych adań. Licby espolone stosuje się w inżynierii od bardo dawna i wcale nie są one gorse od licb ujemnych. II. Formuły inżynierskie powodujące amiany systemu licb Bardo ważnym agadnieniem w technice cyfrowej jak również w systemach operacyjnych jest amiana systemu licb na inne systemy licb. Powołując się na autora eksperta w diedinie technik komputerowych Jerry Honeycutt, Jr., napisał on w swojej książce Rejestr Windows cytuję Osobom nie roumiejącym notacji sesnastkowej (hex) będie trudno manipulować maskami w Rejestre. Myślę, że są to wystarcające powody do ponania tego systemu. Rowiążmy następujące adania klasy V. 7
8 Zad. 1 Jaka to licba 1111 BIN w systemie diesiątkowym i sesnastkowym? Rowiąanie: Stosując odpowiedni wór matematycny mamy: 6 * * + 4 * + 3 * 1 + * * + * 1 77 W arkusu kalkulacyjnym do dowolnej komórki wpisujemy lub wklejamy funkcji inżynierskich następującą funkcje: BINDEC(1111) i otrymujemy 77 sprawdamy wpisując: DECBIN(77) w systemie sesnastkowym mamy formułę 1). Zad. Predstaw w apisie dwójkowym i diesiętnym licbę sesnastkową 95 występującą w Rejestre w klucu Explorer o nawie wartości NoDriveTypesAutoRun. Rowiąanie: Do amiany licby 95 na system dwójkowy może presłużyć się nam tabela: Cyfra Nibble (cwórki bi- Cyfra Nibble (cwórki bitów) tów) A B C D E F
9 Patrąc na tabelę Hex 95 to w Bin 1111 (bajty to grupy po 8 bitów i apisujemy dwoma cyframi) i stosując odpowiedni wór dla nasego prypadku 7 *1+ 6 * + 5 * + 4 * * + * * + * W arkusu kalkulacyjnym wpisujemy lub wklejamy funkcji inżynierskich następującą funkcje: HEXBIN(95) otrymujemy 1111 sprawdamy funkcją BINHEX(1111) natomiast systemu dwójkowego na diesiętny było pokaane w poprednim adaniu. Możemy oblicyć bepośrednio sesnastkowego na diesiętny następującą formułą HEXDEC(95) i otrymamy 149 i sprawdić formułą DECHEX(149). Na akońcenie spróbujmy rowiąać adanie e wspomnianego podręcnika klasy V. Zad 3 Naucyłem się cytać w wieku 4 lat. Dokładnie po upływie lat, kiedy ukońcyłem 11 lat, acąłem chodić do skoły podstawowej. Ucyłem się w niej 4 lata i ukońcyłem ją, mając lat. Tera jestem 1 letnim gimnajalistą. W jakim systemie licenia napisałem swój życiorys? W funkcjach inżynierskich mamy również system ósemkowy (OCT), który wykorystujemy również w systemach operacyjnych na prykład w Linuksie. Prykład 1 Nadanie wsystkim użytkownikom pełnych praw dostępu do pliku pisemy poleceniem: [...]$ chmod 777 nawa_pliku pierwsa cyfra dotycy właściciela, druga cyfra dotycy grupy, a trecia cyfra dotycy poostałych użytkowników. Cyfra 7 jest maksymalną cyfrą w systemie ósemkowym możemy to wpisując w arkusu OCTDEC(8) nie otrymamy wyniku. Zastanów się a może to w tym systemie ostał napisany powyżsy życiorys Prykład Aby nie był widocny w systemie operacyjnym napęd CD ROM można w rejestre w klucu Explorer ałożyć wartość binarną o nawie NoDrives i wpisac popre edytuj 9
10 wartości binarne licbę 8 i po ponownym uruchomieniu komputera napęd nie będie widocny. Jeśli wpisemy wartośc binarną 1 to będie nie widocny napęd FDD (wartości te są apisane w tw. DWORD w rejestrach lub w kalkulatore Windows możes amienić na sesnastkowy, ósemkowy lub binarny). III. Zastosowanie funkcji Bessela arkusa kalkulacyjnego na prykładie fali elektromagnetycnej rochodącej się w światłowodach walcowych. Światłowody walcowe mają obecnie ogromne astosowanie w mediach sieci komputerowych. Typowym światłowodem cylindrycnym jest światłowód sklany włóknisty. Wyróżniamy w nim dwa obsary: - rdeń położony centralnie - płasc otacający rdeń Zasadnico w rdeniu rochodi się światło cyli fala elektromagnetycna. Równanie falowe dla wektora pola elektrycnego E ma postać: E + k E (podobne dla pola magnetycnego H), gdie k licba falowa. Ze wględu na geometrię problemu wprowadamy układ współrędnych cylindrycnych ( r, φ, ) i pryjmujemy, że oś pokrywa się osią światłowodu i w nim ropatrujemy rochodenie się pola elektrycnego i magnetycnego. Równanie nase natężenia pola elektrycnego wdłuż osi ma następującą postać: E r 1 E 1 E E k E r r r φ Rowiąanie tego równania będiemy posukiwali w postaci ilocynu trech funkcji: E R( r) Φ( φ ) Z( ) Rowiąanie ogólne równania różnickowego wycajnego jest dobre nane analiy matematycnej i wyraża się worem dla : Z( ) C1 exp( γ ) + C (exp( γ) 1
11 gdie C 1 C to dowolne stałe wynacone pre warunki bregowe, a γ α + jβ γ - stała propagacji wielkość espolona, α - stała tłumienia, β - stała faowa Φ ( φ) C3 cos mφ + C4 Natomiast funkcja R(r) wyraża się worem: sin mφ R( r) C J m ( h1r ) + C6Ym ( h1 5 r gdie J m Y m funkcje Bessela pierwsego rodaju i drugiego rodaju rędu m natomiast C 5 C 6 są to dowolne stałe i jest to równanie dla rdenia r<a Ostatecnie nase wyrażenie na natężenie prądu jest dla rdenia dla płasca E E J ) γ m ( h1 r)( A1 cos mφ + B1 sin mφ e dla r<a K ) γ m( h r)( A cos mφ + B sin mφ e dla r>a gdie A 1 B 1 są to współcynniki stałe, a m N natomiast h h 1 dla r<a natomiast h j h dla r>a h γ +k.aby oblicyć natężenie pola elektrycnego E. należy do powyżsego woru oblicyć wartości funkcji Bessela. W tym prypadku najlepiej jest skorystać funkcji Bessela, które są w arkusu kalkulacyjnym w funkcjach inżynierskich. Jeżeli chcemy oblicyć funkcję dla rędu m1 to wpisujemy następującą formułę: BesselJ(;1) i otrymamy,576. Wykres funkcji Bessela pierwsego rodaju predstawia rysunek: ) 11
12 gdie a x w arkusu kalkulacyjnym wpisujemy, natomiast m1, natomiast na styku rdenia i płasca r a pry pewnych ałożeniach warunki bregowe mogą być spełnione jedynie w prypadku, gdy m. Wykres funkcji Bessela drugiego rodaju predstawia rysunek poniżej. Tutaj dla Y m pisemy funkcje w arkusu następującą: BesselY(;1) tn. x, a m1 i otrymamy,11, sprawdź na wykresie funkcję Y 1 (). Jeśli pryjąć, że rowiąania Bessela dla płasca predstawia się worem: R( r) C I m ( hr) + C8K m ( h 7 r to w tym prypadku stosujemy odpowiednio I m i K m modyfikowane funkcje Bessela pierwsego i drugiego rodaju rądu m i dla C 7 C 8 dowolnych stałych. Do obliceń tych funkcji modyfikowanych posłużą formuły arkusa BesselaI( ; ) ora BesselaK( ; ). Funkcje Bessela stosujemy do światłowodów cylindrycnych natomiast do światłowodów na prykład planarnych korystamy układu kartejańskiego co pry oblicaniu natężeń pół elektromagnetycnych nacnie uprasca rachunki matematycne. Do rowiąań powyżsych równań różnickowych, których tu nie rowiąałem, bo nie było to tematem mojego artykułu aprasam do literatury m. in. Fundamentals of Optice Fibre Communication New York J. Van der Praas lub innej. ) 1
Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych
Bardziej szczegółowoTransformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.
Bardziej szczegółowoA = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMES W ANALIZIE SPRĘŻYSTEJ UKŁADÓW PRĘTOWYCH
MES W ANALIZIE SPRĘŻYS UKŁADÓW PRĘOWYCH Prykłady obliceń Belki Lidia FEDOROWICZ Jan FEDOROWICZ Magdalena MROZEK Dawid MROZEK Gliwice 7r. 6-4 Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek
Bardziej szczegółowoZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowo3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
Bardziej szczegółowoFunkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych
Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
Bardziej szczegółowoMetody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa
Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31
Bardziej szczegółowoORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE
P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym
Bardziej szczegółowoAnaliza transformatora
ĆWICZENIE 4 Analia transformatora. CEL ĆWICZENIA Celem ćwicenia jest ponanie bodowy, schematu astępcego ora ocena pracy transformatora.. PODSTAWY TEORETYCZNE. Budowa Podstawowym adaniem transformatora
Bardziej szczegółowoPrzedmowa 5. Rozdział 1 Przekształcenie Laplace a 7
Spis treści Predmowa 5 Rodiał 1 Prekstałcenie Laplace a 7 Rodiał 2 Wyprowadenie prekstałcenia Z 9 1. Prykładowe adania......................... 10 2. Zadania do samodielnego rowiąania............... 16
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n
Bardziej szczegółowo3. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOREKCYJNY)
Cęść 1. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOEKCYJNY) 1.. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOEKCYJNY).1. Wstęp Współcynnik κ naywany współcynnikiem ścinania jest wielkością ewymiarową, ależną od kstałtu prekroju. Występuje
Bardziej szczegółowoFunkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.
Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoInformacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści
S032a-PL-EU Informacje uupełniające: Wybocenie płascyny układu w ramach portalowych Ten dokument wyjaśnia ogólną metodę (predstawioną w 6.3.4 E1993-1-1 sprawdania nośności na wybocenie płascyny układu
Bardziej szczegółowoOptymalizacja (w matematyce) termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia ekstremum (minimum lub maksimum) zadanej funkcji celu.
TEMATYKA: Optymaliacja nakładania wyników pomiarów Ćwicenia nr 6 DEFINICJE: Optymaliacja: metoda wynacania najlepsego (sukamy wartości ekstremalnej) rowiąania punktu widenia określonego kryterium (musimy
Bardziej szczegółowoWybrane stany nieustalone transformatora:
Wybrane stany nieustalone transformatora: Założenia: - amplituda napięcia na aciskach pierwotnych ma wartość stałą nieależnie od jawisk achodących w transformatore - warcie występuje równoceśnie na wsystkich
Bardziej szczegółowoMATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J. Cha
MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J Cha dyński Wste p do analiy espolonej wyd VII Wyd U L Lódź 993 [Kr]J Kryż Zbiór adań funkcji analitycnych PWN Warsawa 975 [Ku] K Kuratowski
Bardziej szczegółowoPRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.
CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoVIII Skalmierzycki Konkurs Interdyscyplinarny Z matematyka w XXI wieku
Zadanie 3 Zad. 1 Skreśli licby, które są jednoceśnie podielne pre 2 i 3. Odcytaj litery, które najdją się pod skreślonymi licbami, tworą one bardo ważne słowa, o których wsyscy powinni pamiętać na co dień.
Bardziej szczegółowoZasady rekrutacji uczniów do I Liceum Ogólnokształcącego im. Tadeusza Kościuszki na rok szkolny 2015/2016
Zasady rekrutacji ucniów do I Liceum Ogólnokstałcącego im. Tadeusa Kościuski na rok skolny 201/2016 Podstawa prawna: Roporądenie Ministra Edukacji Narodowej i Sportu dnia 20 lutego 2004 roku w sprawie
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoUkłady równań - Przykłady
Układy równań - Prykłady Dany układ równań rowiąać trea sposobai: (a) korystając e worów Craera, (b) etodą aciery odwrotnej, (c) etodą eliinacji Gaussa, + y + = y = y = (a) Oblicy wynacnik deta aciery
Bardziej szczegółowoLICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1
LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać
Bardziej szczegółowoBadanie transformatora jednofazowego
BADANIE TRANSFORMATORA JEDNOFAZOWEGO Cel ćwicenia Ponanie budowy i asady diałania ora metod badania i podstawowych charakterystyk transformatora jednofaowego. I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE Budowa i asada diałania
Bardziej szczegółowoTRANSFORMATORY. Transformator jednofazowy. Zasada działania. Dla. mamy. Czyli. U 1 = E 1, a U 2 = E 2. Ponieważ S. , mamy: gdzie: z 1 E 1 E 2 I 1
TRANSFORMATORY Transformator jednofaowy Zasada diałania E E Z od Rys Transformator jednofaowy Dla mamy Cyli e ω ( t) m sinωt cosωt ω π sin ωt + m m π E ω m f m 4, 44 f m E 4, 44 f E m 4, 44 f m E, a E
Bardziej szczegółowoRozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A
Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam
Bardziej szczegółowoBadanie transformatora jednofazowego. (Instrukcja do ćwiczenia)
1 Badanie transformatora jednofaowego (Instrukcja do ćwicenia) Badanie transformatora jednofaowego. CEL ĆICZENI: Ponanie asady diałania, budowy i właściwości.transformatora jednofaowego. 1 IDOMOŚCI TEORETYCZNE
Bardziej szczegółowoRegulamin Promocji kredytu gotówkowego Oprocentowanie niższe niż najniższe - edycja świąteczna. Obowiązuje od 13.11.2014 r. do 30.04.2015 r.
Regulamin Promocji kredytu gotówkowego Oprocentowanie niżse niż najniżse - edycja świątecna Obowiąuje od 13.11.2014 r. do 30.04.2015 r. 1. Organiator Promocji 1. Promocja Oprocentowanie niżse niż najniżse
Bardziej szczegółowoZadania z funkcji zespolonych. III semestr
Zadania funkcji espolonych III semestr Spis treści 1. Licby espolone - dia lania i w lasności Zad. 1-11 2. Pochodna funkcji miennej espolonej holomorficność Zad. 12-2 3. Funkcje elementarne Zad. 21-34
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 10. Wyznaczanie współczynnika rozpraszania zwrotnego promieniowania beta.
Ćwicenie 1 Wynacanie współcynnika roprasania wrotnego promieniowania beta. Płytki roprasające Ustawienie licnika Geigera-Műllera w ołowianym domku Student winien wykaać się najomością następujących agadnień:
Bardziej szczegółowoWydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu
CMYK ISBN 98-8-888-- Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl analia89indd Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu 9--8 ::
Bardziej szczegółowoFizyka, II rok FS, FiTKE, IS Równania różniczkowe i całkowe, Zestaw 2a
N : iyka II rok S itk IS Równania różnickowe i całkowe estaw 2a. Prosę definiować pojęcie fory kwadratowej a następnie podać acier fory kwadratowej i określić rąd fory (a!#%$ (b 2. Prosę określić rąd równania
Bardziej szczegółowoPROWIZJA I AKORD1 1 2
PROWIZJA I AKORD 1 1 1. Pracodawca może ustalić wynagrodenie w formie prowiji lub akordu. 2. Prowija lub akord mogą stanowić wyłącną formę wynagradania lub występować jako jeden e składników wynagrodenia.
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS
ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS Cel ćwicenia: aponanie budową i asadą diałania podstawowych typów asilacy UPS ora pomiar wybranych ich parametrów i charakterystyk. 5.1. Podstawy teoretycne 5.1.1. Wstęp
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 2 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD ALGEBRA Lcbę espoloną możemy predstawć w postac gde a b ab ( ) rcos sn r moduł lcby espolonej, argument lcby espolonej. Defncja Predstawene Lcby espolone r cos sn naywamy postacą trygonometrycną
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KIERUNEK: Automatyka i Robotyka (AiR) SPECJALNOŚĆ: Robotyka (ARR) PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Wyposażenie robota dwukołowego w cujniki ewnętrne Equipping a two
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH
Matematyka plusem dla gimnajum PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoSZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ
SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ ZAKŁAD ELEKTROENERGETYKI Ćwicenie: URZĄDZENIA PRZECIWWYBUCHOWE BADANIE TRANSFORMATORA JEDNOFAZOWEGO Opracował: kpt.dr inż. R.Chybowski Warsawa
Bardziej szczegółowoAnimowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.
Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollb.pl Transformacje 3D Podobnie jak w prestreni -wymiarowej, dla prestreni 3-wymiarowej definijemy transformacje RST: presnięcie miana skali obrót
Bardziej szczegółowo2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie
05-0-5. Opis różnicę pomiędy błędem pierwsego rodaju a błędem drugiego rodaju Wyniki eksperymentu składamy w dwie hipotey statystycne: H0 versus H, tak, by H0 odrucić i pryjąć H. Jeśli decydujemy, że pryjmujemy
Bardziej szczegółowoWykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne
Wykład 4: Fraktale deterministycne i stochastycne Fiyka komputerowa 005 Kataryna Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Bardziej szczegółowoKatedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego. WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Mazurski
Katedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Maurski Mechanika Gruntów dr inż. Ireneus Dyka http://pracownicy.uwm.edu.pl/i.dyka e-mail: i.dyka@uwm.edu.pl
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoFraktale - wprowadzenie
Fraktale - wprowadenie Próba definici fraktala Jak określamy biory naywane fraktalami? Prykłady procedur konstrukci fraktali W aki sposób b diała aą algorytmy generaci nabardie nanych fraktali? Jakie własnow
Bardziej szczegółowoAlgorytm projektowania dolnoprzepustowych cyfrowych filtrów Buttlewortha i Czebyszewa
Zadanie: Algorytm projektowania dolnopreputowych cyfrowych filtrów Buttlewortha i Cebyewa Zaprojektować cyfrowe filtry Buttlewortha i Cebyewa o natępujących parametrach: A p = 1,0 db makymalne tłumienie
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 13. Zastosowanie rachunku residuów do rozwiązywania problemów analizy rzeczywistej. Paweł Mleczko
Funkcje analitycne Wykład 3. Zastosowanie achunku esiduów do owiąywania poblemów analiy ecywistej Paweł Mlecko Funkcje analitycne ok akademicki 8/9 Plan wykładu W casie wykładu omawiać będiemy astosowanie
Bardziej szczegółowoMIESZANY PROBLEM POCZĄTKOWO-BRZEGOWY W TEORII TERMOKONSOLIDACJI. ZAGADNIENIE POCZĄTKOWE
Górnictwo i Geoinżynieria ok 33 Zesyt 1 9 Jan Gasyński* MIESZANY POBLEM POCZĄKOWO-BZEGOWY W EOII EMOKONSOLIDACJI. ZAGADNIENIE POCZĄKOWE 1. Wstęp Analia stanów naprężenia i odkstałcenia w gruncie poostaje
Bardziej szczegółowoZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne
Bardziej szczegółowoSprawdzanie transformatora jednofazowego
Sprawdanie transformatora jednofaowego SPRAWDZANIE TRANSFORMATORA JEDNOFAZOWEGO Cel ćwicenia Ponanie budowy i asady diałania ora metod badania i podstawowych charakterystyk transformatora jednofaowego.
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru Równanie niezależne od czasu w trzech wymiarach współrzędne prostokątne
Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru Równanie nieależne od casu w trech wymiarach współrędne prostokątne ψ ψ ψ h V m + + x y + ( x, y, ) ψ = E ψ funkcja falowa ψ( x, y, ) Energia potencjalna
Bardziej szczegółowoObwody prądu zmiennego
Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie
Bardziej szczegółowoMODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ ETAP SZKOLNY KONKURSU GEOGRAFICZNEGO
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ ETAP SZKOLNY KONKURSU GEOGRAFICZNEGO Nr adania 1. 2. Prewidywana odpowiedź Punktacja Zasady oceniania Skala mapy Ali: C. 1:50 000 Skala mapy Iy: H. 1:200 000
Bardziej szczegółowoTEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1
ĆWICZENIE NR 1 TEMAT: Próba statycna rociągania metali. Obowiąująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 Podać nacenie następujących symboli: d o -.....................................................................
Bardziej szczegółowoEfekt naskórkowy (skin effect)
Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY KONSTRUKCJI MASZYN
POLITECHNIA LUBELSA J. Banasek, J. Jonak PODSTAW ONSTRUCJI MASN WPROWADENIE DO PROJETOWANIA PREŁADNI ĘBATCH I DOBORU SPRĘGIEŁ MECHANICNCH Wydawnictwa Ucelniane 008 Opiniodawca: dr hab. inŝ. Stanisław rawiec
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Predmiot: informatyka akres podstawowy Klasy: pierwse LO i TE Program naucania: Informatyka nie tylko dla ucniów. Podręcnik. Zakres podstawowy Realiowany w Zespole Skół Ekonomicnych
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowo>> ω z, (4.122) Przybliżona teoria żyroskopu
Prybliżona teoria żyroskopu Żyroskopem naywamy ciało materialne o postaci bryły obrotowej (wirnika), osadone na osi pokrywającej się osią geometrycną tego ciała wanej osią żyroskopową. ζ K θ ω η ω ζ y
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowoPrzewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010
Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010 Czym jest Excel 2010 Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Wielomiany komputerowe wykresy funkcji wielomianowych
Autorzy scenariusza: SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów.
Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: ENS1C 100 003 oraz ENZ1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Modelowanie matematyczne Metody modelowania
Modelowanie i oblicenia technicne Modelowanie matematycne Metody modelowania Modelowanie matematycne procesów w systemach technicnych Model może ostać tworony dla całego system lb dla poscególnych elementów
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 2
Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności trygonometryczne
Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółowoMODEL MUNDELLA-FLEMINGA
Danuta Miłasewic Uniwersytet Sceciński MODEL MUNDELLA-FLEMINGA 1. OPIS MODELU MUNDELLA-FLEMINGA Model ten, stworony na pocątku lat seśćdiesiątych XX wieku pre Roberta A. Mundella i Markusa Fleminga, opisuje
Bardziej szczegółowoOpenOffice 2.0 PL. Funkcje arkusza kalkulacyjnego. Leksykon kieszonkowy
OpenOffice 2.0 PL. Funkcje arkusza kalkulacyjnego. Leksykon kieszonkowy Autor: Bartosz Gajda ISBN: 83-246-0848-6 Format: B6, stron: 272 Wydawnictwo Helion ul. Koœciuszki 1c 44-100 Gliwice tel. 032 230
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie V Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne matematyki w klasie V Matematyka plusem Poiomy wymagań edukacyjnych K koniecny ocena dopuscająca P podstawowy ocena dostatecna R roserający ocena dobra D dopełniający ocena bardo dobra
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z INFORMATYKI GIMNAZJUM w ZS nr 4
Publicne Gimnajum Sportowe Nr 11 im. Janusa Kusocińskiego w Wałbrychu PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z INFORMATYKI GIMNAZJUM w ZS nr 4 I. Postanowienia ogólne Predmiotowy system oceniania (w skrócie PSO)
Bardziej szczegółowo1. ALGEBRA Liczby zespolone
ALGEBRA Licby espoloe Opracowaie: Vladimir Marcheko WYKŁAD Postać algebraica i trygoometryca licby espoloe; dodawaie, możeie, potęgowaie i dieleie licb espoloych A+B+C (Wstęp: pochodeie licb espoloych)
Bardziej szczegółowoBiologia. Biuletyn maturalny. Ewa Jastrzębska Ewa Pyłka-Gutowska. Centralna Komisja Egzaminacyjna
Biuletyn maturalny Ewa Jastrębska Ewa Pyłka-Gutowska Biologia Centralna Komisja Egaminacyjna publikacja współfinansowana pre Europejski Fundus Społecny Autory biuletynu: Ewa Jastrębska, Ewa Pyłka-Gutowska
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. Zarządzanie i marketing R.C17
KARTA PRZEDMIOTU 1. Informacje ogólne Nawa predmiotu i kod (wg planu studiów): Kierunek studiów: Poiom kstałcenia: Profil kstałcenia: Forma studiów: Obsar kstałcenia: Koordynator predmiotu: Prowadący predmiot:
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoAUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej
Bardziej szczegółowoUrządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):
1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu
Bardziej szczegółowoBudowa atomów. Atomy wieloelektronowe Zakaz Pauliego Układ okresowy pierwiastków
Novosibirsk Russia September 00 W-6 (Jarosewic) slajdy Na podstawie preentacji prof. J. Rutkowskiego Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Zaka Pauliego Układ okresowy pierwiastków Atomy wieloelektronowe
Bardziej szczegółowoWZÓR. W przypadku pól, które nie dotyczą danej oferty, należy wpisać nie dotyczy lub przekreślić pole.
WZÓR OFERTA REALIZACJI ZADANIA PUBLICZNEGO* / OFERTA WSPÓLNA REALIZACJI ZADANIA PUBLICZNEGO*, O KTÓRYCH MOWA W ART 14 UST 1 I USTAWY Z DNIA 4 KWIETNIA 003 R O DZIAŁALNOŚCI POŻYTKU PUBLICZNEGO I O WOLONTARIACIE
Bardziej szczegółowo