Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () = a ln a 3'. f() = e f () = e 4. f() = sin f () = cos 5. f() = cos f () = sin 6. f() = tg f () = cos 7. f() = Ctg f () = 8. f() = arcsin f () = 9. f() = arccos f () = sin 0. f() = arctg f () = +. f() = arcctg f () = +
Lista Nr 5. Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Reguªy ró»niczkowania pochodna sumy (ró»nicy) dwóch funkcji (f() ± g()) = f () ± g () pochodna iloczynu dwóch funkcji (f() g()) = f () g() + f() g () pochodna ilorazu dwóch funkcji Wniosek ( ) f() = f () g() f() g () (g() 0) g() g () Poniewa» f() C = const: f () = (C) = 0, wi c: (C g()) = C g () Pochodna funkcji zªo»onej (f(φ())) = f (φ()) φ () Obliczy pochodn funkcji:. y = 3 5 + ;. y = 3 + 3 ; 3. y = + ; 4. y = + + ; 3 5. y = ; 6. y = ( ( ) + ) ; π 7. y = ( + ) ; 8. y = ; 9. y = 3 + ; 0. y = sin + cos ;. y = sin ;. y = cos + tg ; 3. y = cos ; 4. y = sin ; 5. y = Ctg 3 + ; 6. y = cos + ; 7. y = sin (cos 3); 8. y = sin + ; 9. y = arcsin ; 0. y = arctg ;. y = sin arctg ;. y = arccos ; 3. y = arcsin ; 4. y = arccos ; 3 5. y = arctg ; 6. y = arcsin + ; 7. y = 4 arcsin + ; 8. y = arctg ( + ) ; 9. y = ln ; 30. y = ln + ; 3. y = ln ( 4); 3. y = ln sin ; 33. y = ln arctg + ; 34. y = 3 ; 35. y = e cos ; 36. y = e sin ; 37. y = cos e ; 38. y = e ; 49. y = + e ; 40. y = e + ; 4. y = 3 sin ; 4. y = e (cos + sin ); 43. y = 3 ; 44. y = sh 3 ; 45. y = ch (sh );
3 46. y = sh ch ; 47. y = th(ln ); 48. y = e ch ; 49. y = (sin ) cos ; 50. y = 3 e sin ; 5. y = ln ; 5. y = ; 53. y = e ln ; 54. y = sin sin ; + 3 55. y = ln + ; 56. y = ; + sin 57. y = arcsin 4 4 ; 58. y = ln ; 59. y = e cos ; 60. y = ln arctg 6. y = e sin cos 3 ; 6. y = cos ( cos ) ; 63. y = e e + e ; + ; 64. y = ln tg Ctg ln ( + sin ) ; 65. y = 3 arctg 3 ; 66. y = tg ; 67. y = 0 tg ; 68. y = arctg e ; ln sin 69. y = ln cos. Zakªadaj c,»e funkcje f i g maj pochodne wªa±ciwe na wspólnym przedziale, obliczy pochodne podanych funkcji:. y = f() cos g();. y = arctg f()g(); 3. y = e f() g() ; 4. y = ln ( f() g() + ) ; 5. y = sin f()g(); 6. y = (f()) g() ; 7. y = tg f() g() ; 8. y = f() arctg g(); 9. y = log f() g(); 5.0. Pochodna funkcji parametrycznej Obliczy y funkcji parametrycznej w zadanych punktach: = t ln t, y = ln t t ; w punkcie t 0 = ; = e t cos t, y = e t sin t; w punkcie t 0 = π/6; = t(t cos t sin t), y = t(t sin t + cos t); = 3t + t, y = 3t + t ; w punkcie t 0 =. w punkcie t 0 = π/4; 5.0.3 Interpretacja pochodnej funkcji 5.0.3-. Zale»no± drogi od czasu w ruchu prostoliniowym jednostajnie zmiennym wyra»a si wzorem s(t) = s 0 + v 0 t + at, przy czym s 0, v 0 i a s to staªe. Obliczy pr dko± chwilow w tym ruchu. 5.0.3-. Ruch drgaj cy punktu mo»na opisa wzorem = a sin ωt, gdzie a i ω s to staªe. Obliczy pr dko± chwilow π w tym ruchu dla t = 0, ω, π ω, 3π ω, π. Sporz dzi wykres funkcji = (t) i jej pochodnej. ω 5.0.3-3 Je»eli przez cewk pªynie pr d o nat»eniu i = i(t), to indukuje si w niej siªa elektromotoryczna e = e(t) wprost proporcjonalna do pr dko±ci zmiany pr du: e = L d i, gdzie L oznacza tzw. Wspóªczynnik samoindukcji. Niech d t i = I m sin ω t. Obliczy e(t), a nast pnie sporz dzi wykresy funkcji i = i(t) oraz e = e(t). 5.0.4 Równanie stycznej Napisa równanie stycznej do wykresu funkcji f() w punkcie 0, je±li:. f() = 5 +, 0 = ;. f() = 3 + 4 3, 0 = ;
4 Lista Nr 5. Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 3. f() =, 0 = 4; 4. f() = tg, 0 = 0; 5. f() = ln, 0 = ; 6. f() = e, 0 =. Napisa równania stycznej i normalnej do linii o równaniu parametrycznym w danym punkcie t 0 : = e t, = sin t,. gdzie y = e t t 0 = 0;. gdzie t 0 = π, y = cos t, 6 ; 3. 5. 5.0.5 Ró»niczka funkcji Obliczy ró»niczk funkcji: = ln Ctg t +, y = tg t + Ctg t, = t(t cos t sin t), y = t(t sin t + cos t), gdzie t 0 = π = 3at 4 ; 4. + t, y = 3at + t, gdzie t 0 = π 4 ; 6. = sin t, y = a t, gdzie t 0 = ; gdzie t 0 = 0.. y = ;. y = a arctg (a 0); a 3. y = a ln a + a ; 4. y = ln + + a ; 5. y = arcsin ln ; 6. y =. a Zakªadaj c,»e funkcje u, v, w s ró»niczkowalne we wspólnym przedziale, obliczy ró»niczki funkcji:. y = u v w;. y = u v ; 3. y = ln u + v ; 4. y = arctg u v. Zast puj c przyrost funkcji ró»niczk obliczy w przybli»eniu:. 3, 0;. sin 9 o ; 3. cos 5 o ; 4. arctg, 05; 5. lg ; 6. e, 7. sin 3 o ; 8. ln, 05; 9. 3,. 5.0.6 Pochodne rz dów wy»szych Obliczy pochodne rz du drugiego danych funkcji:. y = e ;. y = + ; 3. 3 y = ( + ) arctg ; 4. y = a ; 5. y = ln ( + + ); 6. y = a + ; 7. y = e ; 8. y = arcsin ; 9. y = arcsin a sin. Obliczy pochodne rz du n funkcji:. y = e a ;. y = e ; 3. y = sin a + cos b; 4. y = sin ; 5. y = e ; 6. y = ln ; 7. y = 3 + ; 8. y = ; 9. y = log a. Dowie±,»e funkcja y jest rozwi zaniem równania ró»niczkowego, je±li. y y + y = 0 gdzie y = e sin ;. y = (y )y gdzie y = 3 + 4 ; 3. y 3 y + = 0 gdzie y = ; 4. y 3y y = 0 gdzie y = e 4 + e ; 5. y + y 4 y = 0 gdzie y = e + e ; 6. y y + ye = 0 gdzie y = cos e + sin e.
5 Obliczy pochodne rz du drugiego d y funkcji okre±lonych parametrycznie: d = at, = a cos t, = a cos t,.. 3. y = bt 3, y = a sin t, y = b sin t, = a(φ sin φ), = a cos 3 t, = arcsin t, 4. 5. y = a( cos φ), y = a sin 3 6. t, y = ln ( t ). Obliczy d y, je±li:. y = 3 ;. y = m ; 3. y = ( + ) 3 ( ) ; 4. y = 4 ; 5. y = ln 4, 6. y = sin. Zadania dodatkowe z podr czników i zbiorów zada«krysicki W., Wªodarski L. Analiza matematyczna w zadaniach. Cz ± I. Warszawa. PWN 993. Zadania 6.45 6.00 (str 3-7); 6.6-6.56 (str. -3). Gewert M., Skoczylas Z. Analiza matematyczna. Przykªady i zadania. Wrocªaw. GiS 008. Zadanie 4.0 (str.43); 4. (str.44); 4.6 (str.45); 4.9 (str.46).