INDUKCJA MATEMATYCZNA

MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera malgorzata.stera@cs.put.poza.pl www.cs.put.poza.pl/mstera/ INDUKCJA MATEMATYCZNA

Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia zdefiiowaa jest astępująco: O! =! = () (-) (-)... (3) () (), dla defiicja reurecyja fucji silia: O! =! = (-)!, dla

Matematya Dysreta Małgorzata Stera WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY współczyi dwumiaowy symbol Newtoa po! ( )( )...( )!( )! ( )( )... występuje we wzorze a -tą potęgę dwumiau (x+y) : ( x y) ( x y) (x y)... (x y) x y 3 3 ( x y) x 3 y 3 3 y 3 x 3 y 3 x 3 y 3 x 3 3 3 y 3 x 3 3 y 3xy 3x y 3 x 3

WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY współczyi dwumiaowy ( po ) oreśla liczbę -elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego (): Małgorzata Stera Matematya Dysreta 4... ) (... ) (! )! (! Podstawowe tożsamości: reguła symetrii reguła dodawaia s s s m m tożsamość Cauchy ego reguła pochłaiaia

Matematya Dysreta Małgorzata Stera WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY Współczyi dwumiaowy występujący we wzorze a -tą potęgę dwumiau (x+y): dla x=y= (x y) x oreśla liczość zbioru potęgowego y ( ) 5

Matematya Dysreta Małgorzata Stera TRÓJKĄT PASCALA obliczaie wartości współczyia Newtoa w oparciu o regułę dodawaia (x+y) = x y (x+y) = x y + x y (x+y) = x y + x y + x y (x+y) 3 = x 3 y + 3x y + 3x y + x y 3 (x+y) 4 = x 4 y + 4x 3 y + 6x y + 4x y 3 + x y 4 (x+y) 5 = x 5 y + 5 x 4 y + x 3 y + x y 3 + 5 x y 4 + x y 5 współczyii -tego wiersza:... 6

WSPÓŁCZYNNIK WIELOMIANOWY współczyi dwumiaowy to przyład współczyia wielomiaowego Małgorzata Stera Matematya Dysreta 7 r,...,, r r 3......!...!!! r występującego w rozwiięciu wielomiau r ) x... x x (...,...,, r r r r r...x x x,...,, dla = +, =,

Matematya Dysreta Małgorzata Stera INDUKCJA MATEMATYCZNA Iducja matematycza, to techia dowodzeia twierdzeń oparta a specyficzych własościach liczb całowitych, w szczególości a zasadzie dobrego uporządowaia. 8

Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA DOBREGO UPORZĄDKOWANIA Każdy iepusty podzbiór zbioru liczb całowitych dodatich Z +, zawiera elemet ajmiejszy. czyli Zbiór Z + jest dobrze uporządoway. Własość ta ozacz, że Z + = {xz: x > } Z + = {xz: x } (aalogiczą własość posiada ażdy podzbiór zbioru liczb całowitych, p. zbiór liczb aturalych N = {xz: x }). Zbiory p. liczb wymierych lub rzeczywistych dodatich Q + ={xq: x > }, R + ={xr: x > } ie są dobrze uporządowae. 9

Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA SKOŃCZONEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ (PIERWSZA ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ) Niech S() ozacza pewe zdaie otwarte, w tórym występuje zmiea reprezetująca dodatią liczbę całowitą, Z +. S() Z S() S( ) Z S() Jeśli i to () S() jest prawdziwe () dla dowolego Z +, S(+) jest prawdziwe, jeśli S() jest prawdziwe, S() jest prawdziwe dla wszystich Z +.

Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA SKOŃCZONEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ S() Z S() S( ) Z S() W zasadzie sończoej iducji matematyczej S(), to warue początowy, założeie o prawdziwości S() dla dowolego Z +, to hipoteza iducyja,. S() S( ),to ro iducyjy. Zasada iducji matematyczej mówi, że prawdziwość waruu początowego i rou iducyjego dowodzi prawdziwości hipotezy iducyjej.

Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA SKOŃCZONEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ Jeśli i to warue początowy może być poday dla dowolego elemetu Z +, tóry uzamy za pierwszy w procesie iducyjym wówczas zasada przyjmuje postać: S( ) () S( ) jest prawdziwe dla pewego Z + () dla dowolego, Z +, S() S( ) S(+) jest prawdziwe, jeśli S() jest prawdziwe, S() jest prawdziwe dla wszystich, Z +. S()

Matematya Dysreta Małgorzata Stera DOWÓD INDUKCYJNY S( ) S() S( ) Dowód oparty o zasadę iducji matematyczej wymaga: sformułowaia hipotezy iducyjej S(), dowiedzeia prawdziwości waruu początowego S( ), dowiedzeia prawdziwości rou iducyjego S() (wyazując prawdziwość rou iducyjego, ie dowodzi się prawdziwości zdaia S(+), ale prawdziwość impliacji S()S(+)). Dowód oparty o zasadę iducji matematyczej, to pośredie dowiedzeie iesończeie wielu twierdzeń (dla =): S(), S()S(), S()S(3), S(3)S(4),... 3

Matematya Dysreta Małgorzata Stera DOWÓD INDUKCYJNY - PRZYKŁAD Dowód i i Udowodij, że: Z i i... ( ) ( ) i 3... Z sformułowaie hipotezy iducyjej: i Z i i S() : i i ( ) ( )( ) ( ) wyazaie prawdziwości waruu początowego S(), =: ( ) ( ) dla,s() : i i ro iducyjy - wyazaie prawdziwości impliacji S()S(+): ( ) ( i ( i ) ) ( ) ( )( ) z założeia o prawdziwości S() ( ) c.b.d.u. 4

Matematya Dysreta Małgorzata Stera DOWÓD SKOŃCZONEJ ZASADY INDUKCJI MATEMATYCZNEJ Założeia: iech S() będzie pewym zdaiem spełiającym warui () i () czyli: S() S() S( ) Z iech F będzie zbiorem postaci: F={tZ + : S(t) jest fałszywe} iech F Dowód przez sprowadzeie do sprzeczości: z zasady dobrego uporządowaia wyia, że F zawiera elemet miimaly s, sf z założeia, S() spełia warue (), więc S() jest zdaiem prawdziwym, tym samym F i s, czyli s > poieważ s >, to s- > i s-z + poieważ s jest miimalym elemetem w F, to s-f, to S(s-) jest zdaiem prawdziwym z założeia, S() spełia warue (), czyli prawdziwość S(s-) pociąga za sobą prawdziwość S((s-)+), czyli S(s) jest zdaiem prawdziwym i sf c.b.d.u. otrzymaa sprzeczość wyia z założeia, że F, tym samym wyazao, że F= i S() jest spełioe dla wszystich Z + 5

Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASTOSOWANIE ZASADY INDUKCJI MATEMATYCZNEJ Zasada iducji matematyczej wyorzystywaa jest w rozumowaiu iducyjym, czyli w procesie formułowaia fatów ogólych w oparciu o zbiór obserwacji. Aaliza przypadów, wyiaia poszczególych przypadów jede z drugiego, pozwala odgadąć wzory ogóle i sugeruje sposób przeprowadzeia rou iducyjego w procesie ich dowodzeia. 6

Matematya Dysreta Małgorzata Stera PRZYKŁAD Day jest ciąg liczb x, x, x,... zdefiioway jao x =a x + =x +b dla a,b,n. Czy moża wyrazić x jao fucję parametru? =, x =a =, x =(a) + b =, x =(a+b) +b =3, x 3 =(4a+3b) +b =4, x 4 =(8a+7b) +b = a + b = a + b = 4 a + 3 b = 8 a + 7 b =6 a +5 b = a + (-)b = a + ( -)b = a + (-)b = a + ( -)b = 4 a + (4-)b = a + ( -)b = 8 a + (8-)b = 3 a + ( 3 -)b =6 a+ (6-)b = 4 a + ( 4 -)b......... x = a +( -)b 7

Matematya Dysreta Małgorzata Stera PRZYKŁAD Zaobserwowaą zależość moża udowodić orzystając z zasady iducji matematyczej. Założeia: x =a dla an Hipoteza iducyja: x + =x +b dla b,n S(): x = a+( -)b dla ażdego N Wyazaie prawdziwości waruu początowego dla =, S(): S(): x = a+( -)b = = a + b = = a Kro iducyjy - wyazaie prawdziwości S()S(+) dla dowolego, czyli: N x a ( )b x a ( )b S(+): x + = x + b = = ( a+( -)b) + b = = a+ ( -)b + b = = + a+( + -+)b = = + a+( + -)b 8

Matematya Dysreta ZASADA SILNEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ (DRUGA ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ) Niech S() ozacza pewe zdaie otwarte, w tórym występuje zmiea reprezetująca dodatią liczbę całowitą, Z +. Niech, Z +,. Jeśli () S( ), S( +),..., S( -), S( ) są prawdziwe i () dla dowolego Z +, S(+) jest prawdziwe, jeśli S( ), S( +),..., S(-), S() są prawdziwe, to S() jest prawdziwe dla wszystich Z +,. Małgorzata Stera S( ) S( S( ) S( )... S( ) )... S() S( ) S() 9

Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA SILNEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ () () S( ) S( S( ) S( )... S( ) )... S() S( ) S() Podobie ja w pierwszej zasadzie iducji matematyczej: () oreśla warue początowy () ro iducyjy założeie o prawdziwości S( )S( +)... S(-)S() dla Z + to hipoteza iducyja.

Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA SILNEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ S( ) S( S( ) S( )... S( Zasadę silej iducji matematyczej stosuje się: ) )... S() S( ) S() jeśli prawdziwość aalizowaego zdaia wyia z prawdziwości pewych zdań poprzedzających (a ie wyłączie z prawdziwości zdaia bezpośredio poprzedzającego), jeśli ro iducyjy ie jest prawdziwy dla pewych początowych wartości (prawdziwość zdań S() dla tych wartości musi być sprawdzoa iezależie w ramach dowodzeia waruu początowego), w aalizie defiicji reurecyjych, w tórych pewe wyrazy oreśloe są za pomocą wyrazów iych iż bezpośredio poprzedzający.

Matematya Dysreta Małgorzata Stera PRZYKŁAD Day jest ciąg liczb x, x, x,... zdefiioway astępująco: x =, x =, x =3, x =x - +x - +x -3 dla N, 3. Twierdzeie: S(): x 3, dla dowolego N Dowód Dowodzimy warue początowy wyazując, że zdaia S(), S(), S() są prawdziwe ( =, =): S(): x = 3 = S(): x = 3 =3 S(): x =3 3 =9 W rou iducyjym załadamy prawdziwość zdań S(), S(),..., S(-), S(-), S() dla N,, aby wyazać prawdziwość S(+): S(+): x + = x + x - + x - 3 + 3 - + 3-3 + 3 + 3 = 3(3 ) = 3 + Kro iducyjy wymagał założeia prawdziwości 3 zdań poprzedzających, tz. [S(-) S(-) S()]S(+)

Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ Pierwsza zasada (sończoej) iducji matematyczej S( ) S() S( ) i druga zasada (silej) iducji matematyczej S() S( ) S( )... S( ) S() S( ) S( )... S() S( ) są rówoważe, tz. jeśli zaaceptujemy jedą z ich, to druga też jest poprawa. Jeśli założymy prawdziwość wszystich przypadów poprzedzających S(+), tz. S( ), S( +),..., S(-), S(), to założyliśmy rówież prawdziwość przypadu bezpośredio poprzedzającego - S(). Dowód prawdziwości S ()=S( )S( +)... S() w pierwszej zasadzie iducji jest rówoważy dowodowi S() w drugiej zasadzie. 3

Matematya Dysreta Małgorzata Stera POPRAWNOŚĆ DOWODU INDUKCYJNEGO Poprawy dowód iducyjy twierdzeia słada się z: dowodu waruu początowego, dowodu rou iducyjego. Prawdziwość rou iducyjego S() S( Z ) ie wystarcza do udowodieia aalizowaego twierdzeia. Koiecze jest wyazaie prawdziwości waruu początowego S( ), od tórego proces iducyjy może się rozpocząć. 4

Matematya Dysreta Małgorzata Stera PRZYKŁAD Udowodij, że dla dowolego Z +, liczba +5+ jest liczbą parzystą, czyli udowodij, że dla Z + istieje rn taie, że +5+=r. Dowód rou iducyjego S()S(+): S(): dla Z + istieje pn taie, że +5+=p S(+): dla (+)Z + istieje p N taie, że (+) +5(+)+=p S(+): (+) + 5(+) + = + + +5 +5 + = ( +5+) + (+6) = = p + (+3) = (p++3) = p Kro iducyjy jest prawdziwy. Dowód waruu początowego: =: +5+ = +5+ = 7 S() jest fałszywe =: +5+ = 4++ = 5 S() jest fałszywe =3: +5+ = 9+5+ = 5 S(3) jest fałszywe... Nie istieje żada wartość Z +, dla tórego dowodzoa własość zachodzi pomimo, że ro iducyjy jest prawdziwy. Twierdzeie jest fałszywe! 5

Matematya Dysreta Małgorzata Stera WERYFIKACJA POPRAWNOŚCI PROGRAMÓW Weryfiacja poprawości programu, to sprawdzeie czy program rzeczywiście realizuje zadaie, tóre przed im postawioo. Weryfiacji poprawości ie moża przeprowadzać wyłączie poprzez testowaie programu dla różych daych wejściowych. Program powiie być poprawy iezależie od daych wejściowych. 6

Matematya Dysreta Małgorzata Stera PRZYKŁAD Twierdzeie: Następujący fragmet programu oblicza wartość x(y ) dla zadaych wartości parametrów, x,yr, N: start while do begi x:=xy; :=-; ed; Aswer:=x; ustaw początowe wartości x,yr i N ta x:=xy; :=-; ie Aswer:=x 7

Matematya Dysreta SFORMUŁOWANIE TWIERDZENIA start ustaw początowe wartości x,yr i N Małgorzata Stera while do begi x:=xy; :=-; ed; Aswer:=x; ta x:=xy; :=-; ie Aswer:=x S(): jeśli dla dowolych x,yr, N, program rozpoczya wyoywaie pętli while z wartością, to po omiięciu pętli (dla =) lub -rotym wyoaiu istrucji (dla >) zmiea Aswer przyjmuje wartość x(y ). Dowód prawdziwości S() oparty będzie o pierwszą zasadę iducji matematyczej. 8

Matematya Dysreta Małgorzata Stera WARUNEK POCZĄTKOWY S() S(): jeśli dla dowolych x,yr, N, program rozpoczya wyoywaie pętli while z wartością, to po omiięciu pętli (dla =) lub -rotym wyoaiu istrucji (dla >) zmiea Aswer przyjmuje wartość x(y ). start Program rozpoczya pętle while z wartością =, podąża gałęzią ie i ończy się z wartością Aswer = x = x() =x(y ) =x(y ) dla = Warue początowy S() jest prawdziwy. ustaw początowe wartości x,yr i N ta x:=xy; :=-; ie Aswer:=x 9

Matematya Dysreta Małgorzata Stera DOWÓD KROKU INDUKCYJNEGO S()S(+) S(): jeśli dla dowolych x,yr, N, program rozpoczya wyoywaie pętli while z wartością, to po omiięciu pętli (dla =) lub -rotym wyoaiu istrucji (dla >) zmiea Aswer przyjmuje wartość x(y ). start dla =+ pętla while ie może być pomiięta, gdyż =+. Istrucje pętli zostaą więc wyoae co ajmiej raz, po ich uończeiu astąpi powrót a począte pętli z wartościami: x = xy = -=(+)- = Program rozpoczya więc pętlę z =, x i y, czyli zgodie z hipotezą iducyją S() ończy obliczeia z wartością: Aswer = x (y ) = (xy)(y ) = x(y + ) czyli ro iducyjy S()S(+) jest prawdziwy dla dowolego N i x,yr ustaw początowe wartości x,yr i N ta x:=xy; :=-; ie Aswer:=x 3

Matematya Dysreta Małgorzata Stera POPRAWNOŚĆ PROGRAMU S(): jeśli dla dowolych x,yr, N, program rozpoczya wyoywaie pętli while z wartością, to po omiięciu pętli (dla =) lub -rotym wyoaiu istrucji (dla >) zmiea Aswer przyjmuje wartość x(y ). prawdziwość waruu początowego S() i rou iducyjego S()S(+) dla dowolych N i x,yr dowodzi prawdziwości twierdzeia S() dla dowolych N i x,yr Następujący fragmet programu oblicza wartość x(y ) dla zadaych wartości parametrów, x,yr, N: while do begi x:=xy; :=-; ed; Aswer:=x; c.b.d.u. 3

Matematya Dysreta Małgorzata Stera NIEZMIENNIKI PĘTLI Zdaie p jest iezmieiiem pętli postaci dopói g, wyouj S gdy spełia astępujący warue: jeśli zdaia p i g są prawdziwe, zaim zostaą wyoae roi S, to zdaie p będzie prawdziwe po wyoaiu S. while do begi x:=xy; :=-; ed; Aswer:=x; warue dozoru pętli g treść pętli S wyoaie treści pętli, to przebieg pętli lub iteracja Zdaie S(): Jeśli dla dowolych x,yr, N, program rozpoczya wyoywaie pętli while z wartością, to po omiięciu pętli (dla =) lub -rotym wyoaiu istrucji (dla >) zmiea Aswer przyjmuje wartość x(y ). jest iezmieiiem aalizowaej pętli while. 3

Matematya Dysreta Małgorzata Stera TWIERDZENIE O NIEZMIENNIKACH PĘTLI Przypuśćmy, że p jest iezmieiiem pętli dopói g, wyouj S oraz, że zdaie p jest prawdziwe, iedyolwie wchodzimy w pętle. Wtedy zdaie p jest prawdziwe po ażdej iteracji pętli. Jeśli pętla się ończy, to zdaie p jest adal prawdziwe, a zdaie g jest fałszywe. Niezmieii pętli mogą być używae do: projetowaia algorytmów (oreślają cel do wyoaia), dowodzeia poprawości algorytmów. Kostrucja iezmieia pętli jest przeważie zadaiem trudym. Wybrae zdaie S() może: ie być iezmieiiem algorytmu, gdy metoda ie realizuje postawioego zadaia, spełiać warui arzucoe a iezmiei, ale metoda realizuje błędie postawioe zadaie. 33