4 Śode ciężości i śode as Rozpatz uład putów ateialch o asach (,,, ), a tóe działają sił ciężości (s 4) Niech położeie tch putów względe putu odiesieia O oeślają weto wodzące, ja a suu Wiadoo, że sił ciężości poszczególch putów są ówe iloczowi as pzez pzśpieszeie ziesie, g, i są sieowae do śoda uli ziesiej Poieważ wia uładów ateialch ozpatwach w zastosowaiach techiczch są poijalie ałe w poówaiu z poieie uli ziesiej, sił ciężości oże uważać za sił ówoległe Put położeia wpadowej sił ciężości azwa śodie ciężości uładu lub ciała ateialego Put te ie zależ od obotu uładu lub ciała ateialego Soo sił ciężości są siłai ówoległi, to do oeśleia położeia śoda ciężości oże wozstać wzo wpowadzoe w p 39 a śode uładu sił ówoległch Weto wodząc śoda ciężości uładu putów ateialch zgodie ze wzoe (354) będzie ważał związe: (4) Współzęde śoda ciężości w postoąt uładzie współzędch otza ze wzoów (355): z,, z We wzoach (4) i (4) jest ciężae całowit uładu ateialego: (4) W pzpadu ciała ateialego o ciągł ozieszczeiu as, jai jest bła, dzieli je ślowo a ałch eleetów o asach i ciężaach (s 4) Po podstawieiu do wzoów (4) i (4) zaiast otza wzo a pzbliżoe położeie śoda ciężości bł:, (43)
z,, z (44) z z O Rs 4 Sił ciężości jao sił ówoległe O Rs 4 Wzaczaie śoda ciężości dowolej bł Doład wzó a poień wodząc śoda ciężości otza, bioąc gaicę su wstępującej we wzoze (43) pz liczbie eleetów dążącej do iesończoości i ich wiaach dążącch do zea Wted w iejsce su otza całę ozciągiętą a całą błę Zate weto wodząc śoda ciężości li d (45) Z olei współzęde postoąte śoda ciężości bł są oeśloe wzoai: d d,, z zd (46) Załóż obecie, że pole sił ciężości jest pole jedood, czli pzśpieszeie ziesie ie ulega ziaie, tz g cost w cał ozpatwa uładzie ateial Może wted zapisać: g i d gd, gdzie jest asą całego uładu lub ciała ateialego Po podstawieiu tch zależości do wzoów (45) i (46) i po sóceiu pzez g otza wzo:
d d d,, z, (47) zd (48) Oeślają oe położeie śoda as bł W pzpadu uładu putów ateialch śode as będzie oeślo pzez aalogicze wzo, z t że iejsce całe zają su:, (49) z,, z (40) Ze wzoów (47 40) wia, że pz pzjętch założeiach w jedood polu sił ciężości śode as powa się ze śodie ciężości Z tego względu ówiąc o śodu ciężości, oże ieć a śli śode as i odwotie Tzeba jeda paiętać, pz jaich założeiach te dwa put się powają
4 Śode ciężości bł jedoodej Błą jedoodą azwa ciało ateiale, w tó asa jest ozieszczoa ówoieie w całej jego objętości Dla taich ciał zaówo gęstość, ja i cięża właściw są wielościai stałi Jeżeli cięża właściw ozacz pzez γ, a objętość bł pzez, to całowit cięża oaz cięża eleetu objętości bł oże wazić wzoai: γ, d γ d Po podstawieiu tch zależości do wzoów (45) oaz (46) i sóceiu pzez stał czi γ otza: d d d,, z, (4) zd (4) Obszae całowaia jest tutaj cała objętość bł Z otzach wzoów wia, że położeie śoda ciężości (śoda as) bł jedoodch zależ tlo od ich ształtu geoetczego W wzaczaiu śodów ciężości pooce jest astępujące twiedzeie, tóego dowód pozostawia zteliowi Jeżeli bła jedooda a płaszczzę, oś lub śode setii, to śode ciężości tej bł będzie leżał a płaszczźie, osi lub w śodu setii Pzład 4 Wzaczć położeie śoda ciężości jedoodego ostosłupa foeego o podstawie wadatu o bou b i wsoości h (s 43) Rozwiązaie Poieważ oś z jest osią setii, śode ciężości będzie leżał a tej osi, czli 0 Wstacz zate wzaczć jedą współzędą z z tzeciego wzou (4)
z h dz b z z O b b Rs 43 Wzaczaie śoda ciężości ostosłupa z zd (a) W iaowiu tego wzou wstępuje objętość ostosłupa: bh 3 (b) W celu wzaczeia całi wstępującej w licziu wzou (a) ostosłup podzieli a eleet d w postaci cieich płte wadatowch, ówoległch do podstaw, o bou b z i gubości dz Objętość ta pzjętego eleetu d b zdz Bo awędzi eleetu zajdzie z popocji wiającej z suu: b b h z h b z h h z, stąd b ( z )
Ma więc: b d ( h z) dz (c) h Po podstawieiu wzoów (c) i (b) do (a) i woaiu całowaia otza szuaą współzędą śoda ciężości: z b h h ( ) 0 h z zdz h b h 4 3
4 Śode ciężości powiezchi jedoodej Taie bł, ja cieie płt, blach, powłoi itp, tóch gubość jest zioo ała w poówaiu z pozostałi wiaai, będzie azwali powiezchiai ateiali Jeżeli z cięża jedosti powiezchi jest stał, d to powiezchię taą azwa powiezchią jedoodą d cięża d jedosti powiezchi ozacz pzez γ, powiezchię całowitą O pzez, a powiezchię eleetaą pzez d (s 44), to oże apisać: Rs 44 Wzaczaie położeia śoda ciężości powiezchi γ, d γ d Po podstawieiu tch zależości do wzoów (46) i po sóceiu liczia i iaowia pzez γ cost otza wzo a współzęde śoda ciężości powiezchi jedoodej: d d,, z (43) Wstępujące w tch wzoach całi są całai powiezchiowi ozciągięti a całą powiezchię Jeżeli powiezchia jedooda jest figuą płasą i leż a płaszczźie p, to współzęda z 0 oaz d d zd, (44) Put o współzędch oeśloch wzoai (44) azwa śodie ciężości figu płasiej
43 Śode ciężości liii jedoodej W zastosowaiach techiczch często spota bł, taie ja dut, pęt, li itp, tóch dwa wia są zioo ałe w poówaiu z długością Bł te azwa liiai ateiali, tz pzjuje, że cała asa jest z ozłożoa wzdłuż liii śodów d B pzeojów popzeczch Jeżeli cięża jedosti długości jest stał, to d taą liię azwa liią A jedoodą Po ozaczeiu ciężau jedosti O długości pzez, a długości liii γ AB (s 45) pzez cięża całowit liii i cięża eleetu długości będą ważał wzo: γ, d γ d Rs 45 Wzaczaie położeia śoda ciężości liii jedoodej Postępując aalogiczie ja w pzpadu powiezchi jedoodej ze wzoów (46), otza wzo a współzęde śoda ciężości liii jedoodej: gdzie jest długością liii d d,, z zd, (45)
43 Twiedzeia Pappusa-uldia Do wzaczaia śodów ciężości jedoodch liii płasich i jedoodch figu płasich stosuje się dwa twiedzeia Pappusa-uldia Poda je bez dowodów, a ich zastosowaie zilustuje posti pzładai Zazajoieie się z dowodai podach iżej twiedzeń pozostawia zteliowi Piewsze twiedzeie Pappusa-uldia Pole powiezchi, powstałej pzez obót jedoodej i płasiej liii o długości doooła osi leżącej w płaszczźie tej liii i ie pzeciającej jej, jest ówe długości liii poożoej pzez długość oęgu opisaego pz obocie pzez jej śode ciężości: π h, (46) gdzie h jest odległością śoda ciężości liii od osi obotu Dugie twiedzeie Pappusa-uldia Objętość bł, powstałej pz obocie figu płasiej o polu doooła osi leżącej w płaszczźie tej figu i ie pzeciającej jej, jest ówe polu powiezchi figu poożoeu pzez długość oęgu opisaego pz obocie pzez jej śode ciężości: π h, (47) pz cz h jest tutaj odległością śoda ciężości figu od osi obotu
Pzład 4 Wzaczć położeie śoda ciężości jedoodego łuu ćwiati oła pzedstawioego a s 46 O Rs 46 Zastosowaie piewszego twiedzeia Pappusa-uldia do wzaczeia śoda ciężości łuu ołowego Rozwiązaie Z uwagi a to, że pzedstawio łu a oś setii, jego śode ciężości będzie leżał a tej osi Poieważ oś setii jest dwusieczą ąta postego zawatego iędz osią i, współzęde i śoda ciężości będą ówe: Wstacz zate wzaczć jedą z ich Wzacz współzędą, ozstając z piewszego twiedzeia Pappusa-uldia Pz obocie łuu woół osi otza powiezchię w postaci połow uli o powiezchi Długość łuu π π Po podstawieiu tch watości do wzou (46) otza ówaie: stąd π π π, π
Pzład 43 Wzaczć położeie śoda ciężości figu płasiej pzedstawioej a s 47 / O Rs 47 Zastosowaie dugiego twiedzeia Pappusa-uldia do wzaczeia śoda ciężości figu płasiej Rozwiązaie Do wzaczeia współzędch i śoda ciężości pzedstawioej a suu figu płasiej zastosuje dugie twiedzeie Pappusa--uldia Współzędą wzacz pzez obóceie figu woół osi, a współzędą pzez obót woół osi Pz obocie figu woół osi otza błę o objętości ówej óżic półuli o poieiu i uli o poieiu 0,5 Pole figu 3 3 3 4 π π π 3 3 π π π 4 8 Po podstawieiu obliczoch watości i do wzou (47) otza: stąd π 3 π π, 8 π Pz obocie figu woół osi otza błę o objętości
π (a) Wielość jest óżicą objętości półuli o poieiu i połow tousa o objętości, powstałego z obotu półuli o poieiu 0,5 woół osi : Do obliczeia objętości połow tousa ówież zastosuje dugie twiedzeie Pappusa-uldia Do wzou (47) zaiast h wstawi 0,5 3 π π π 8 Zate 3 3 π π 3 8 ( 6 3 ) π π 3 4 Po podstawieiu tej watości oaz wliczoej upzedio powiezchi do wzou (a) otza ówaie: 3 ( 6 3π) π π π, 4 8 a stąd 6 3 6 π ( π)
44 Moet statcze as Załóż, że a uład putów ateialch o asach, tóch położeie względe dowolego putu O oeślają poieie wodzące (s 4) Rozład as tego uładu ateialego względe pzjętego putu O chaatezują oet piewszego zędu, azwae oetai statczi Moete statcz S uładu putów ateialch względe dowolego putu O azwa suę iloczów as pzez ich poieie wodzące S (48) Ta zdefiiowa oet statcz jest wetoe Po podstawieiu do tego wzou wetoa zapisaego za poocą współzędch postoątch: weto S wazi wzó: i+ j+ z S i+ j+ z (49) Współzęde tego wetoa azwa oetai statczi względe płaszczz z, z i, tóe ozacz odpowiedio pzez Sz, Sz is S, S, S z (40) z z Moete statcz uładu putów ateialch względe dowolej płaszczz azwa suę iloczów as putów pzez ich odległości od tej płaszczz
Ab otzać oet statcz bł względe putu, dzieli błę a eleetów o asach (s 4) Jeżeli założ, że liczba eleetów dąż do iesończoości, a ich asa do zea, zaiast wzou (48) otza całę ozciągiętą a całą asę Moet statcz bł względe początu uładu O waża wzó: S li d (4) Z olei oet statcze bł względe poszczególch płaszczz postoątego uładu współzędch będą dae wzoai: S d, S d, S zd (4) z z Z poówaia wzou (4) ze wzoe (47) a poień wodząc śoda as (ciężości) oaz wzoów (4) ze wzoai (48) a współzęde śoda as wia, że całi wstępujące w licziach wzoów (47) i (48) są oetai statczi W piewsz pzpadu jest to oet statcz względe początu uładu współzędch O, a w dugi są to oet statcze względe płaszczz z, z i Zate wzo (47) i (48) a poień wodząc śoda as i jego współzęde,, z oże wazić za poocą oetów statczch: S, (43) Sz S S z,, z (44) Zając położeie śoda as bł lub uładu ateialego, odpowiedie oet statcze oże wzaczć z powższch wzoów Otza wted: S S, (45), S, S z (46) z z
Wzo (45) i (46) został wpowadzoe dla bł, jeda do aalogiczch wzoów dojdzie, powadząc podobe ozważaia dla uładu putów ateialch Stąd wiające z tch wzoów wiosi będą dotczł ówież oetów statczch uładu putów ateialch Oto oe: a) Moet statcz bł lub uładu putów ateialch względe dowolego putu jest ów oetowi statczeu as całowitej supioej w śodu as (ciężości) względe tego putu b) Moet statcz bł lub uładu putów ateialch względe dowolej płaszczz jest ów oetowi statczeu as całowitej supioej w śodu as (ciężości) względe tej płaszczz c) Moet statcz bł lub uładu putów ateialch względe śoda as (ciężości) jest ów zeu d) Moet statcz bł lub uładu putów ateialch względe płaszczz pzechodzącej pzez śode as (ciężości) jest ów zeu Aalogiczie do oetów statczch as (asowch oetów statczch) wpowadza się pojęcie oetów statczch objętości bł, powiezchi i liii Moet statcze objętości, powiezchi i liii względe płaszczz postoątego uładu współzędch są całai wstępująci odpowiedio w licziach wzoów (4), (43) i (45) Na szczególą uwagę zasługują oet statcze powiezchi figu płasich względe osi, poieważ ają duże zastosowaie w wtzałości ateiałów ałi wstępujące w licziach wzoów są oetai statczi figu płasiej względe osi i (s 48): O S d, S d (47) Po taich ozaczeiach wzo (44) a współzęde śoda ciężości figu płasiej oża zapisać w astępując sposób: Rs 48 Wzaczaie położeia śoda S S, (48) Stąd gd za współzęde śoda ciężości, oże wzaczć oet statcze: S, S, (49) gdzie jest pole całowit powiezchi figu płasiej