Własności sił działających na ciało sztywne

Transkrypt

1 3... łasości sił działającch a ciało sztwe Stata zajmuje się badaiem sił działającch a ciała zajdujące się w spoczu. ted sił działające a ciało, tóre pozostaje w spoczu, muszą się rówoważć, czli bć w rówowadze. I właśie ustalaie waruów rówowagi będzie główm zadaiem stati. Sute mechaicz wwoła przez działaie sił a ciało będzie w ogólm przpadu zależał od putu przłożeia sił. Sute wwoła przez siłę będzie polegał a zmiaie ruchu ciała bądź jego odształceiu. przpadu ciała sztwego sutiem działaia sił a taie ciało może bć jedie zmiaa jego ruchu. Niżej podam ajważiejsze własości sił, a tórch opiera się stata. łasości te azwam często asjomatami lub zasadami stati. a) rzłożeie dwóch sił i do ciała sztwego, rówch co do modułu, działającch wzdłuż jedej prostej i o przeciwch zwrotach (rs. 3.), ie zmieia stau ruchu ciała (ciało w spoczu pozostaje w spoczu). Rs. 3.. Uład rówoważącch się sił wiu przłożeia taich dwóch sił ciało sztwe zachowuje się ta, ja gdb ie działał a ie żade sił. Tai uład sił przłożo do ciała sztwego azwam rówoważm zeru. b) Każdą siłę zewętrzą przłożoą do ciała sztwego moża przesuąć wzdłuż jej liii działaia, ie zmieiając prz tm stau ruchu ciała. a) b) B Rs. 3.. rzesuięcie sił działającej a ciało sztwe wzdłuż liii jej działaia

2 Załóżm, ze siła jest przłożoa do ciała sztwego w pucie, ja a rs. 3.a. Do dowolego putu B leżącego a liii działaia tej sił przłóżm dwie rówoważące się sił i, czli uład zerow (rs. 3.b). idzim, że sił i przłożoe odpowiedio w putach i B tworzą uład zerow, zatem moża je pomiąć. efecie zostaje am jedie siła przłożoa w pucie B. Z przeprowadzoego wwodu wia, że siła zewętrza działająca a ciało sztwe jest wetorem przesuwm. c) Do ażdego uładu sił działającch a ciało sztwe moża dodać bez zmia stau jego ruchu ila sił o wspólm pucie przłożeia, tórch suma wetorowa (geometrcza) jest rówa zeru. d) Sta ruchu ciała ie ulegie zmiaie, jeżeli ila sił zaczepioch w jedm pucie zastąpim ich sumą geometrczą, i odwrotie, gd jedą siłę zastąpim przez ila sił, tórch suma geometrcza jest rówa tej sile. Każd uład sił zewętrzch działającch a ciało sztwe moża zastąpić uładem rówoważm, czli powodującm te sam sute mechaicz. oszuiwaie uładów rówoważch daemu uładowi sił będzie ważm zadaiem stati. Stosowaie wmieioch w putach a, b, c i d własości sił działającch a ciało sztwe do przeształceń dowolego uładu sił zewętrzch azwam przeształceiami elemetarmi. elem przeształceń elemetarch będzie poszuiwaie prostszch uładów sił rówoważch daemu uładowi. szczególm przpadu uład sił moża sprowadzić do jedej sił, tórą będziem azwać wpadową. Jeżeli za pomocą przeształceń elemetarch moża da uład sił sprowadzić (zreduować) do uładu rówoważego sładającego się tlo z jedej sił, to siłę tę azwam wpadową rozważaego uładu sił. rzeoam się, że ie ażd uład sił moża zreduować do uładu rówoważego sładającego się tlo z jedej sił, czli ie ażd uład sił będzie miał wpadową.

3 3... arue oiecz rówowagi dowolego uładu materialego Rozważm uład sładając się z dowolej liczb putów materialch. szczególm przpadu może to bć ciało sztwe (brła sztwa), albowiem ażde ciało materiale możem mślowo podzielić a elemet, z tórch ażd moża tratować w przbliżeiu jao put material. Jeżeli liczbę elemetów będziem zwięszać ieograiczeie, a wmiar elemetów będą dążć do zera, to ciało materiale możem rozpatrwać jao graicz przpade uładu putów materialch. Na poszczególe put rozpatrwaego uładu materialego mogą działać sił, tóre dzieli się a dwie zasadicze grup: sił zewętrze i sił wewętrze. Siłami zewętrzmi będziem azwać sił, z jaimi a put rozważaego uładu działają ie put i ciała materiale ie ależące do aszego uładu. Z olei do sił wewętrzch będziem zaliczać sił wzajemego oddziałwaia putów materialch ależącch do rozpatrwaego uładu. Z powższego podziału wia, że jest o względ i zależ od tego, jai uład sił rozpatrujem. Na rsuu 3.3 przedstawioo uład putów materialch (,,..., ) i zazaczoo działające a poszczególe put sił zewętrze, tóre mogą bć wpadowmi wszstich sił zewętrzch działającch a da put, oraz sił wewętrze wzajemego oddziałwaia międz putami. Gd siłę, z jaą put l działa a put ozaczm przez F l, a siłę, z jaą put oddziałuje a put l przez F l, to zgodie z trzecim prawem Newtoa F. (3.) l F l F F F l F F F F F l F l F l F l F l l l Rs Sił działające a put uładu materialego ( sił zewętrze, F l sił wewętrze)

4 rzechodząc do wprowadzeia ogólego waruu rówowagi rozpatrwaego uładu materialego, możem powiedzieć, że uład te będzie w rówowadze wted, gd ażd z jego putów będzie w rówowadze. b poszczególe put aszego uładu bł w rówowadze, muszą się oe poruszać w iercjalm uładzie współrzędch ruchem jedostajm prostoliiowm lub pozostawać w spoczu. statce iteresuje as oczwiście sta spoczu. b put bł w rówowadze zgodie z pierwszm prawem Newtoa, suma wszstich sił działającch a te put musi bć rówa zeru. arue tai musi bć spełio dla ażdego putu,, 3,...,. lub w srócie + F + F + F3 +,... + F 0 + F 0 (,, 3,..., ). (3.) l l l o dodaiu stroami wszstich rówań otrzmam: + l l l F 0. (a) odwója suma wstępująca w tm rówaiu jest sumą wszstich sił wewętrzch wstępującch w aszm uładzie. oieważ zgodie ze wzorem (3.) sił te wstępują parami wzdłuż jedej prostej, ich suma musi bć rówa zeru. l l Zatem rówaie (a) upraszcza się do postaci: F 0. (3.3) l 0. (3.4) owższe rówaie jest oieczm, ale ie dostateczm, waruiem rówowagi dowolego uładu materialego, tóre moża wpowiedzieć w formie poiższego twierdzeia. b dowol uład material mógł bć w rówowadze, suma wszstich sił zewętrzch działającch a iego musi bć rówa zeru. Należ pamiętać, że twierdzeie odwrote ie musi bć prawdziwe.

5 3... reśleie i podział więzów iałem swobodm azwam ciało, tóre ma ieograiczoą swobodę ruchu. Jeda zwle ciało materiale ie może zajmować dowolego miejsca w przestrzei lub poruszać się dowolie ze względu a obecość ich ciał. Mam wted do czieia z ciałem ieswobodm, a ograiczeie jego swobod azwam więzami. Imi słow, więzami azwam warui, tóre aładają ograiczeia a ruch ciała lub jego położeie w przestrzei. Jeżeli ograiczeia te dotczą ruchu ciała (prędości, przśpieszeia), to mam do czieia z więzami iematczmi; atomiast gd ograiczeia dotczą położeia ciała w przestrzei, to taie więz azwam więzami geometrczmi. statce będziem mieli do czieia z więzami geometrczmi. Jeżeli przładowo put material może się poruszać dowolie po pewej płaszczźie, to płaszczza ta staowi więz geometrcze dla tego putu. Ze względu a ograiczeie swobod ciała materialego (putu, brł) działaie więzów może bć dwojaiego rodzaju. Gd put material musi stale pozostawać a wspomiaej wżej płaszczźie, to więz ałożoe a te put azwam więzami obustromi. Jeżeli te sam put będzie mógł zajdować się a płaszczźie lub ad ią, to płaszczza ta będzie staowiła dla tego putu więz jedostroe. Gd put będzie się zajdował a płaszczźie, to mówim, że więz są cze (więz działają), a gd ad płaszczzą, to więz są iecze (ie działają). ięz, tóre wiają z bezpośrediego otatu rozpatrwaego ciała z powierzchiami ich ciał, azwam potoczie podporami. Sił, z tórmi więz (podpor) oddziałują a dae ciało w miejscu stu, azwam reacjami więzów (podpór). Reacje więzów będziem azwać siłami biermi, a sił obciążające ciało siłami czmi. statce będziem się zajmować główie ciałami całowicie uieruchomiomi za pomocą podpór. Każda z podpór może tlo częściowo ograiczać swobodę ruchu ciała i dlatego do jego całowitego uieruchomieia ależ zastosować ila podpór. ted iezależie od tego, jaie sił przłożm, w podporach powstaą taie reacje, tóre utrzmają ciało w rówowadze. Zastępowaie działaia więzów a rozpatrwae ciało odpowiedimi siłami reacji azwam uwaliaiem od więzów. Stosujem tutaj prztoczoą iżej zasadę uwaliaia od więzów: Każde ciało sztwe moża mślowo uwolić od więzów, jeżeli zastąpi się działaie więzów odpowiedimi reacjami, a astępie rozpatrwać je jao ciało swobode zajdujące się pod działaiem sił czch i reacji więzów (sił bierch).

6 Zgodie z trzecim prawem Newtoa (prawem acji i reacji) siła, z jaą podpora działa a ciało, jest rówa co do modułu i ieruu sile, z jaą ciało działa a podporę, ale ma przeciw zwrot. Załóżm, że ciało opiera się o powierzchię iego ciała B, ja a rs pucie stu ciała z powierzchią ciała B działa reacja R, tórej ierue jest ieza i a ogół iemożliw do przewidzeia z gór. Reację R rozładam zwle a dwie sładowe sładową ormalą N do powierzchi stczej w miejscu stu i sładową stczą T. ierwszą z ich będziem azwać reacją ormalą, a drugą siłą tarcia. Reacja ormala N przedstawia acis wwiera przez jedo ze stającch się ciał a drugie, a sładowa stcza T wia z oddziałwaia stczego stającch się ciał spowodowaego tarciem. Na rsuu 3.4 sił R, N i T ozaczają oddziałwaie ciała a ciało B. stosuu do reacji R, N i T są oe odpowiedio zgode z prawem acji i reacji. Jeżeli stające się powierzchie są idealie gładie, to siła tarcia T jest rówa zeru i wted działaie więzów sprowadza się tlo do reacji ormalej N. Taie więz azwam więzami bez tarcia lub więzami idealmi. rzeczwistości ie ma powierzchi idealie gładich, jeda gd powierzchie stającch się ciał są dostateczie gładie, to sił tarcia moża pomiąć jao małe w stosuu do ich sił. To często pozwala a ustaleie ieruu reacji podpór bez zajomości sił czch. T R N N Rs Ilustracja prawa acji i reacji B R T

7 3... Rodzaje więzów (podpór) idealch i ich reacje becie omówim często spotae podpor ciał sztwch stosowae w zagadieiach techiczch. Będą to: przegub ulist, przegub walcow, podpora przegubowa stała, podpora przegubowa przesuwa, utwierdzeie, zawieszeie a wiotich cięgach, podparcie a prętach przegubowch, oparcie o gładą powierzchię. a) z b) R z R R R R R R Rs rzegub: a) ulist, b) walcow rzegub ulist słada się z pręta o zaończeiu w ształcie uli, tóra jest osadzoa w ulistm łożsu (rs. 3.5a). odpora taa uieruchamia oiec pręta, ale umożliwia jego obrót woół dowolej osi. Kierue reacji R powstającej w przegubie ulistm jest ieza, jeda prz brau tarcia będzie oa przechodzić przez środe uli. Zatem do jej oreśleia w przestrzei ależ zać trz współrzęde: R, R i R z. idzim, że podpora w postaci przegubu ulistego wosi do zagadieia trz iewiadome. rzegub walcow jest woa w postaci połączeia sworziowego. Koiec pręta jest osadzo a walcowm sworziu przechodzącm przez ołow otwór woa w tm pręcie (rs. 3.5b). przpadu brau tarcia reacja sworzia R a pręt będzie miała ierue prostopadł do powierzchi stu, czli jej ierue przejdzie przez oś sworzia. Reacja ta będzie leżeć w płaszczźie prostopadłej do osi sworzia. Do jej wzaczeia są potrzebe dwie iewiadome: R i R. odpora przegubowa stała i przesuwa. Duże zaczeie pratcze mają podpor poazae a rs Bela B jest podparta a ońcu za pomocą przegubu walcowego, tór umożliwia obrót woół osi przegubu, ale zamocowaie przegubu do podłoża uiemożliwia przemieszczaie się ońca beli w dwóch ieruach. Taą podporę azwam podporą przegubową stałą (ieprzesuwą). Gd w przegubie ie ma tarcia, to liia działaia reacji R przechodzi przez put i do jej wzaczeia ależ zać współrzęde R i R

8 lub wartość reacji i ąt a chleia. R R R B R R R Rs odpor przegubowe: stała, B przesuwa B M R Rs Utwierdzeie Koiec B beli jest podpart za pomocą przegubu walcowego zaopatrzoego w roli, tóre mogą się toczć po poziomej płaszczźie. Taą podporę azwam przegubową przesuwą. Gd przjmiem, że opór prz przesuwaiu taiej podpor jest bardzo mał, to liia działaia reacji R B będzie prostopadła do płaszczz przesuwu. odpora taa wosi do aaliz sił jedą iewiadomą wartość reacji R B. Utwierdzeie polega a całowitm uieruchomieiu p. beli przez wmurowaie jej ońca w ściaę, przspawaie lub przręceie do ścia. odpora taa uiemożliwia przemieszczaie się utwierdzoego ońca w dwóch ieruach i obrót woół tego ońca. miejscu utwierdzeia wstąpi reacja utwierdzeia R i momet utwierdzeia M (rs. 3.7). Taa podpora wprowadza do zadaia trz iewiadome: R a, R a i M. Zawieszeie a wiotich cięgach. Jeżeli ciało materiale jest zawieszoe a ieważich, idealie wiotich cięgach, czli taich, tóre ie mogą przeosić żadch sił poprzeczch, to reacje S, S cięgie a ciało są sierowae wzdłuż tch cięgie, zgodie z rs. 3.8a.

9 a) b) G S S R R R B B G Rs iało: a) zawieszoe a wiotich cięgach, b) podparte a ieważich prętach przegubowch odparcie a prętach przegubowch polega a uieruchomieiu ciała materialego za pomocą prętów mającch a obu ońcach przegub. Jeżeli przjmiem, że ciężar prętów są pomijalie małe i a pręt ie działają, poza reacjami w przegubach, żade ie sił, to reacje R, R B, R będą działać wzdłuż osi prętów, ja a rs. 3.8b. ia to z tego, że ażd z prętów jest w rówowadze pod działaiem dwóch sił, a dwie sił będą się rówoważć tlo wted, gd będą działać wzdłuż jedej prostej, mieć rówe moduł i przeciwe zwrot. oieważ zam ierui reacji prętów, ażd pręt jest rówoważ jedej iewiadomej, tórą jest wartość B jego reacji. odróżieiu od cięga R pręt przegubow może bć zarówo D rozciąga, ja i ścisa. parcie o gładą powierzchię. Na rsuu 3.9 przedstawioo belę B opartą ońcem o pioową gładą ściaę, a w pucie D o rawędź. oieważ z założeia międz belą a podporami ie ma tarcia, reacje w putach i D będą prostopadłe do odpowiedich powierzchi stu. R D G Rs parcie pręta o gładą powierzchię i gładą rawędź pucie reacja R będzie prostopadła do ścia, a reacja R D prostopadła do beli.

10 3.3.. Tarcie poślizgowe rz omawiaiu więzów w p. 3.. reację wiającą z oddziałwaia ciała a ciało B (rs. 3.4) rozłożliśm a sładową ormalą N i sładową stczą T, tórą azwaliśm siłą tarcia. Następie powiedzieliśm, że jeżeli stające się powierzchie są idealie gładie, siła tarcia jest rówa zeru. becie założm, że stające się powierzchie ciał są chropowate i zajmiem się omówieiem reacji stczej, czli sił tarcia poślizgowego. tm celu rozpatrzm ciało spoczwające a poziomej płaszczźie B, ja a rs. 3.0a. Sił cze działające a ciało zastąpim siłą Q działającą w ieruu ormalej i siłą działającą w płaszczźie stczej. Reację R płaszczz B a ciało rówież rozłożm a sładową ormalą N i sładową stczą T, czli siłę tarcia poślizgowego. Jeżeli ciało zajduje się w spoczu (w rówowadze), sił Q i N oraz i T muszą się rówoważć: T i N Q. (a) Gd siłę będziem zwięszać, to siła T będzie się zwięszać do pewej masmalej wartości. o przeroczeiu przez siłę tej graiczej wartości sił tarcia ciało zaczie się ślizgać po płaszczźie B i rówowaga ie będzie już możliwa. Masmalą wartość sił tarcia, prz tórej rówowaga jest jeszcze możliwa, azwam graiczą siłą tarcia T g lub rozwiiętą siłą tarcia. a) b) R ρ N R ρ N T B B Q Rs Reacje z uwzględieiem tarcia (a) oraz ilustracja stoża tarcia (b) Graicza wartość sił tarcia zależ od wielu cziów, ie wszstie z ich są rozpozae w zadowalającm stopiu. Do celów pratczch worzstujem, sformułowae przez oulomba a podstawie doświadczeń, prawa tarcia.

11 Są oe astępujące:. Siła tarcia jest iezależa od wielości stającch się ze sobą powierzchi i zależ od ich rodzaju.. artość sił tarcia ciała zajdującego się w spoczu może się zmieiać od zera do wartości graiczej, wprost proporcjoalej do acisu ormalego. 3. Gd ciało ślizga się po pewej powierzchi, siła tarcia jest sierowaa przeciwie do ieruu ruchu i jest miejsza od wartości graiczej. Z drugiego prawa wia, że siła tarcia ciała pozostającego w spoczu, w zależości od uładu sił działającch a ciało, może przjmować dowolą wartość w zaresie międz zerem a wartością graiczą. Zatem siła tarcia spełia ierówość: gdzie T g jest graiczą siłą tarcia, taą że 0 T Tg, (b) T g µn. (3.5) stępując w tm wzorze współczi proporcjoalości µ jest współcziiem tarcia statczego. Siła tarcia ciała poruszającego się po chropowatej powierzchi jest sierowaa przeciwie do ieruu ruchu, a jej wartość oreśla wzór: T µ N, (3.6) gdzie µ jest współcziiem tarcia ietczego. Z rsuu 3.0a wia, że całowita reacja R tworz z ieruiem ormalej do powierzchi stu pewie ąt. Kąt te wraz ze wzrostem sił tarcia będzie się zwięszał i osiągie masmalą wartość prz graiczej wartości sił tarcia T g oreśloej wzorem (3.5). Te masmal ąt, o jai może się odchlić reacja całowita R od ormalej N, azwam ątem tarcia ρ. Z rsuu wia, że T g Ntg ρ. (3.7) Jeżeli przedstawioa a rs. 3.0a siła stcza będzie przjmować wszstie możliwe ierui, to reacja R zareśli stoże, tórego osią jest prosta porwająca się z reacją ormalą N. Stoże te azwam stożiem tarcia (rs. 3.0b). Dla ciał, dla tórch współczi tarcia ma jedaową wartość we wszstich ieruach (ciała izotropowe), stoże tarcia będzie stożiem ołowm.

12 b ciało zajdowało się w spoczu, reacja całowita R musi leżeć wewątrz stoża tarcia, a w przpadu tarcia całowicie rozwiiętego a powierzchi tego stoża.

13 3.3.. pór toczeia Z doświadczeia wiem, że podczas przetaczaia ciężiego walca po poziomej płaszczźie wstępuje opór, tór azwam oporem toczeia lub przez aalogię do tarcia poślizgowego tarciem toczm. Niżej zajmiem się wjaśieiem przcz powstawaia oporu toczeia jedego ciała po drugim. a) b) G G T N h T N h f Rs. 3.. Ilustracja tarcia toczeia Załóżm, że sztw walec o ciężarze G spoczwa a sztwej poziomej płaszczźie. Do walca przłożm poziomą siłę odległą od płaszczz o h (rs. 3.a). rz założeiu sztwości walca i płaszczz będzie się o stał wzdłuż tworzącej przechodzącej przez put. tm pucie wstąpi reacja podłoża, tórą rozłożoo a ormalą N i stczą T, czli siłę tarcia. Jeżeli walec zajduje się w spoczu, to sił działające a iego, zgodie z waruiem (3.4), muszą bć w rówowadze, tz. ich suma geometrcza musi bć rówa zeru. rowadzi to do rówości salarch: T i G N. (a) Założm poadto, że siła jest miejsza od graiczej wartości sił tarcia (3.5): µn. (b) zacza to, że walec ie może się ślizgać po płaszczźie. Jeda z aaliz uładu sił przedstawioch a tm rsuu wia, że ie może o bć w rówowadze.

14 Łatwo zauważć, że dla ażdej wartości sił 0i h 0 siła ta, zgodie ze wzorem (.36), daje momet względem putu, tórego wartość jest róża od zera: M ( ) h 0. (c) tej stuacji ajmiejsza siła spowodowałab obrót walca (toczeie), co jest sprzecze z zachowaiem się ciał rzeczwistch w podobej stuacji. Z przedstawioch rozważań wia, że oporu toczeia ie moża wjaśić a grucie widealizowaego modelu ciała dosoale sztwego. rzeczwistości jeżeli walec i podłoże są woae z rzeczwistch materiałów, to prz małej wartości sił toczeie walca ie wstąpi. Zaczie się o toczć dopiero po przeroczeiu przez momet sił względem putu pewej wartości charaterstczej dla materiałów walca i podłoża. Graiczą wartość mometu h, prz tórej walec jest jeszcze w rówowadze, azwam mometem oporu toczeia. Jest o miarą tarcia toczego. Zjawiso oporu toczeia jest spowodowae odształcaiem się zarówo walca, ja i płaszczz, a tórej o spoczwa. ted st walca i płaszczz ie odbwa się wzdłuż tworzącej przechodzącej przez put, lecz a ograiczoej powierzchi wiającej ze wzajemch odształceń w miejscu stu walca i powierzchi. Reacja ormala N jest wted wpadową acisów ormalch wstępującch a płaszczźie stu i działającch a walec i jest przesuięta o pewą odległość w stosuu do putu w ieruu możliwego toczeia się (rs. 3.b). b rówowaga walca bła zachowaa, momet sił względem putu musi bć zrówoważo mometem reacji N względem tego putu: h M ( ). (d) Momet M ( N ) ie może wzrastać ieograiczeie, lecz tlo do pewej masmalej wartości. przpadu graiczm jest o proporcjoal do reacji ormalej: M N ( ) M f N. N (3.8) ma stępując w tm wzorze współczi proporcjoalości f azwam współcziiem tarcia toczego albo ramieiem tarcia toczego. spółczi te ma wmiar długości i jest podawa w cetmetrach.

15 b walec ie zaczął się toczć, musi bć spełio warue: h f M ma f N lub N. (3.9) h alec będzie w spoczu, gd wartość poziomej sił ie przerocz ajmiejszej z wartości oreśloej waruami (b) i (3.9). Gd f/h < µ, walec zaczie się toczć, zaim astąpi poślizg. Zwle f/h jest zaczie miejsze od współczia tarcia µ.

16 3.4.. padowa zbieżego uładu sił rzestrze uład sił Siłami zbieżmi azwam sił, tórch liie działaia przeciają się w jedm pucie, azwam putem zbieżości (rs. 3.a). oieważ sił działające a ciało sztwe moża przesuwać wzdłuż liii ich działaia, moża je uważać za sił przłożoe do jedego putu (rs. 3.b). osewecji otrzmaliśm uład sił (,, 3,..., ) przłożoch w jedm pucie. a) b) z Rs. 3.. rzestrze zbież uład sił pucie 3.. powiedzieliśm, że sił przłożoe w jedm pucie moża zastąpić jedą siłą rówoważą, czli wpadową. Zatem wpadowa zbieżego uładu sił jest rówa sumie geometrczej wszstich sił, a liia jej działaia przechodzi przez put zbieżości:. (3.0) celu obliczeia współrzędch wpadowej w pucie zbieżości (rs. 3.b) wprowadzim prostoąt uład współrzędch,, z i wrazim wszstie sił oraz wpadową za pomocą współrzędch w tm uładzie: i+ i+ j+ z, j+ z. o podstawieiu tch wzorów do zależości (3.0) otrzmam: i+ j+ i + j +. z Z obustroego porówaia wrazów prz tch samch wersorach otrzmujem wzor a współrzęde wpadowej:,, z z. z (a) (3.)

17 owższe wzor moża bło apisać bezpośredio a podstawie twierdzeia, że rzut sum wetorów a dowolą oś jest rów sumie rzutów wszstich wetorów a tę oś (twierdzeie harles a). o wzaczeiu współrzędch wpadowej moża wzaczć jej wartość liczbową (moduł) oraz osius ieruowe ze wzorów: + + z, cosα, cosβ, z cosγ, (3.) gdzie α, β i γ są ątami, tóre wpadowa tworz odpowiedio z osiami, i z. łasi uład sił łasim uładem sił zbieżch będziem azwać uład sił (,,..., ), tórch liie działaia leżą w jedej płaszczźie i przeciają się w jedm pucie. odobie ja w przpadu przestrzeego uładu sił zbieżch, sił te moża przesuąć do putu zbieżości i tratować ja sił przłożoe do jedego putu (rs. 3.3a). padowa płasiego uładu sił zbieżch będzie leżeć w płaszczźie działaia sił i będzie przechodzić przez put zbieżości. Będzie oa rówa sumie geometrczej sił sładowch:. (3.3) padową płasiego uładu sił zbieżch moża wzaczć sposobem geometrczm i aalitczm. a) b) 3 3 Rs zaczaie wpadowej płasiego zbieżego uładu sił za pomocą wielobou sił

18 Sposób geometrcz polega a zbudowaiu wielobou sił, w tórm z dowolego putu (rs. 3.3b) odładam rówolegle siłę, a z jej ońca rówolegle siłę, a astępie oleje sił aż do. etor łącząc począte sił i oiec sił jest sumą geometrczą sił sładowch. trzma wetor przłożo w pucie (rs. 3.3a) jest wpadową uładu sił zbieżch. Dla aalitczego obliczeia wpadowej przjmiem w pucie zbieżości (rs. 3.3a) uład współrzędch o osiach i leżącch w płaszczźie sił. ted współrzęde z wszstich sił będą tożsamościowo rówe zeru: z 0. tej stuacji wzor a współrzęde wpadowej płasiego uładu sił zbieżch otrzmam ze wzorów (3.) po podstawieiu do ich z 0:,. (3.4) Z olei moduł wpadowej oraz ąt α, tór oa tworz z osią, obliczm ze wzorów: +, tgα. (3.5)

19 3.4.. arui rówowagi zbieżego uładu sił rzestrze uład sił Gd wpadowa przestrzeego uładu sił zbieżch jest rówa zeru, uład sił będzie w rówowadze. rowadzi to do wetorowego waruu rówowagi w postaci: 0. (3.6) b przestrze uład sił zbieżch bł w rówowadze, waruiem oieczm jest, b suma wetorowa tego uładu sił bła rówa zeru. padowa omawiaego uładu sił będzie rówa zeru, jeżeli jej współrzęde w przjętm uładzie współrzędch będą rówe zeru. Stąd a podstawie wzorów (3.) moża apisać trz salare rówaia rówowagi: 0, 0, 0. (3.7) owższe warui rówowagi moża wpowiedzieć słowie. b przestrze uład sił zbieżch bł w rówowadze, waruiem oieczm i wstarczającm jest, b suma rzutów tch sił a ażdą oś uładu współrzędch bła rówa zeru. Z rówań rówowagi (3.7) wia, że w przpadu zbieżego przestrzeego uładu sił możem wzaczć trz iewiadome, poieważ dspoujem trzema rówaiami. rzład 3.. spori słada się z trzech ieważich prętów B, i D połączoch przegubowo w węźle, ja a rs Końce B, i D tch prętów są połączoe rówież za pomocą przegubów do pioowej ścia. ręt B i leżą w płaszczźie prostopadłej do pioowej ścia i tworzą z ią ąt α60 o. ręt D tworz z tą ściaą ąt β30 o i rówież leż w płaszczźie prostopadłej do tej ścia. bliczć sił w prętach, jeżeli do węzła jest przłożoa siła Q, leżąca w płaszczźie pioowej prostopadłej do ścia i odchloa od poziomu o ąt γ45 o. Tarcie w przegubach pomiąć. z

20 z α B α S S S 3 γ Q β D Rs zaczeie sił w prętach zbiegającch się w węźle Rozwiązaie. ddziałwaie prętów B, i D a węzeł zastąpim odpowiedio siłami S, S i S 3. Zatem węzeł te jest w rówowadze pod działaiem czterech sił zbieżch: S, S, S 3 i Q. o wprowadzeiu w pucie prostoątego uładu współrzędch,, z i worzstaiu rówań rówowagi (3.7) otrzmam uład trzech rówań z trzema iewiadommi z S cosα S cosα 0, Qcosγ S siα S siα S siβ 0, Qsiγ S cosγ 0. o rozwiązaiu powższego uładu rówań otrzmam: 3 3

21 S S 3 S cosγ Q siα siγ Q Q cosβ 6 ( ) ( 3 + 3) tgβtgγ + Q,. 3 Za mius prz sile S 3 ozacza, że w rzeczwistości zwrot tej sił jest przeciw do przjętego a rsuu. ręt B i są rozciągae, a pręt D ścisa. łasi uład sił odobie ja w przpadu przestrzeego zbieżego uładu sił, płasi uład sił zbieżch będzie w rówowadze, gd jego wpadowa będzie rówa zeru. Zatem wetorow warue rówowagi będzie miał formalie postać idetczą z rówaiem (3.6): owższemu waruowi a podstawie wzorów (3.4) będą odpowiadał rówoważe dwa rówaia rówowagi: , 0. (3.8) b płasi uład sił zbieżch bł w rówowadze, waruiem oieczm i wstarczającm jest, b sum rzutów tch sił a dwie osie uładu współrzędch bł rówe zeru. Zatem prz rozwiązwaiu zagadień dotczącch sił zbieżch leżącch w jedej płaszczźie dspoujem dwoma rówaiami i tle iewiadomch możem wzaczć. Z rsuu 3.3b widzim, że gd wpadowa jest rówa zeru, to oiec sił zajduje się w początu sił, czli wielobo sił jest zamięt. Na rsuu 3.5a przedstawioo płasi uład sił przłożoch do putu pewego ciała. Sił te są w rówowadze, poieważ tworzą wielobo zamięt poaza a rs. 3.5b. owższe rozważaia pozwalają a sformułowaie wreślego (geometrczego) waruu rówowagi.

22 b płasi uład sił zbieżch bł w rówowadze, zbudowa z ich wielobo sił musi bć wieloboiem zamiętm. a) b) 3 3 Rs Rówowaga płasiego zbieżego uładu sił

23 Twierdzeie o trzech siłach wielu przpadach ciało sztwe jest w rówowadze pod działaiem trzech ierówoległch sił leżącch w jedej płaszczźie. ted w rozwiązwaiu zagadień pratczch jest pomoce tzw. twierdzeie o trzech siłach. a) b) 3 Q 3 Rs Ilustracja twierdzeia o trzech siłach Jeżeli ciało sztwe jest w rówowadze pod działaiem trzech ierówoległch sił leżącch w jedej płaszczźie, to liie działaia tch sił muszą przeciać się w jedm pucie, a sił tworzć trójąt zamięt. celu udowodieia powższego twierdzeia założm, że do ciała sztwego zajdującego się w rówowadze są przłożoe trz ierówoległe sił, i 3, tórch liie działaia leżą w jedej płaszczźie (rs. 3.6a). Liie działaia sił i przeciają się w pucie. o przesuięciu tch sił do putu przecięcia możem je zastąpić wpadową: Q +. tej stuacji ciało jest w rówowadze pod działaiem dwóch sił: Q i 3. Zatem sił Q i 3 muszą się rówoważć, czli muszą bć rówe co do wartości liczbowch, mieć przeciwe zwrot i muszą działać wzdłuż jedej prostej. ia z tego, że liia działaia sił 3 musi przechodzić taże przez put przecięcia sił i. oadto wielobo sił zbudowa z sił, i 3 musi bć trójątem zamiętm (rs. 3.6b). rzład 3.. Jedorod pręt B o ciężarze G i długości l jest opart ońcem B o gładą pioową ściaę, a oiec tego pręta jest zamocowa w stałej podporze przegubowej (rs. 3.7a). zaczć reację ścia oraz reację podpor przegubowej, jeżeli odległość podpor od ścia wosi c.

24 B a) b) c) B R B R l/ α α G. R B G l/ G R c E D Rs Uład sił działającch a pręt Rozwiązaie. ręt B jest w rówowadze pod działaiem trzech sił: ciężości G przłożoej w środu ciężości oraz reacji ścia R B i podpor przegubowej R. oieważ ściaa jest głada (bra tarcia), reacja R B jest do iej prostopadła. Liie działaia sił ciężości G pręta i reacji ścia R B przeciają się w pucie (rs. 3.7b). Zgodie z twierdzeiem o trzech siłach przez te put musi przechodzić liia działaia reacji R. Zam zatem ierui wszstich sił działającch a pręt, co pozwala arsować zamięt trójąt sił (rs. 3.7c). Kąt α jest ątem, jai tworz reacja R z siłą G. oieważ trójąt sił jest trójątem prostoątm, otrzmujem: G R, R B Gtgα. (a) cosα Gdb trójąt sił ie bł trójątem prostoątm, do obliczeia wartości reacji R i R B ależałob zastosować twierdzeie siusów. Z trójąta D (rs. 3.7b) mam: D tgα D D cosα c, D D D. ( ) ( ) ( ) D + D 4 D + c (b) Z trójąta BE wia, że D EB l c. o uwzględieiu tej zależości we wzorach (b) otrzmujem:

25 c l c tgα, cosα. (c) l c 4l 3c o podstawieiu tch wartości do wzorów (a) otrzmujem ostateczie: R 4l 3c c G, R B G. (d) l c l c rzedstawioa metoda rozwiązaia jest azwaa metodą geometrczą. Zadaie to moża rozwiązać metodą aalitczą, polegającą a worzstaiu rówań rówowagi (3.8). o wprowadzeiu uładu współrzędch w pucie E (rs. 3.7b) i zrzutowaiu sił a osie tego uładu otrzmujem rówaia rówowagi: 3 3 R R B R siα 0, cosα G 0. owższe dwa rówaia po wzaczeiu ąta α z twierdzeia o trzech siłach pozwalają a wzaczeie wartości reacji R i R B.

26 3.5. Twierdzeie o momecie wpadowej Momet wpadowej uładu sił względem dowolego putu jest rów sumie mometów sił sładowch względem tego samego putu. Twierdzeie to jest zae pod azwą twierdzeia Varigoa. Udowodim je a przładzie sił (,, 3,..., ) przłożoch w pucie (rs. 3.8). pucie 3.4. powiedzieliśm, że wpadowa zbieżego uładu sił jest rówa sumie wetorowej wszstich sił: r Rs Ilustracja do twierdzia o momecie wpadowej i jest rówież przłożoa do putu. Momet względem dowolego putu wpadowej zgodie z defiicją mometu wetora względem putu (.35) możem zapisać jao ( ) r M. Z drugiej stro sumę mometów wszstich sił rozpatrwaego uładu sił względem tego samego putu wraża zależość: M ( ) r + r +,...,+ r r. stępując w tej sumie wetor r jest stał we wszstich sładiach sum. Zatem a podstawie prawa rozdzielości możeia wetorowego względem dodawaia (.4) moża go wciągąć przed za sum: ( ) r r. M odae a początu tego putu twierdzeie udowodiliśm a przładzie zbieżego uładu sił. Twierdzeie to ma jeda charater ogól i dotcz dowolego uladu sił, tór ma wpadową. ia to z podaego w p. 3.. oreśleia wpadowej. owiedziao tam rówież, że wpadowa jest siłą rówoważą daemu uładowi sił, czli powodującą te sam sute mechaicz. Zatem jej momet względem dowolego putu musi bć rów sumie mometów wszstich sił, rówoważch wpadowej, względem tego samego putu.

27 3.6. ara sił Liie działaia dwóch sił mogą zajmować względem siebie róże położeia w przestrzei. Mogą się porwać, przeciać, bć rówoległe lub wichrowate. Jeżeli liie działaia się porwają, czli dwie sił działają wzdłuż jedej prostej, to prz rówch modułach i przeciwch zwrotach są rówoważe zeru, w przeciwm razie dają się sprowadzić do wpadowej. Gd liie działaia dwóch sił przeciają się, to mam do czieia z omówiom w p uładem sił zbieżch, tóre moża sprowadzić do rówoważej im wpadowej. Dwie sił rówoległe, z wjątiem sił o rówch modułach i przeciwch zwrotach, rówież moża zastąpić wpadową [7, ]. Sił wichrowate moża zawsze sprowadzić do jedej sił i par sił [9]. spomieliśm wżej, że dwóch sił rówoległch o rówch modułach i przeciwch zwrotach ie moża sprowadzić do wpadowej. becie zajmiem się taim uładem sił. Na rsuu 3.9 przedstawioo dwie sił rówoległe i o rówch modułach i przeciwch zwrotach. Tai uład azwam parą sił. idzim zatem, że sił tworzące parę sił ie mają wpadowej, poieważ ich suma jest rówa zeru, ale ie rówoważą się, gdż działając a ciało materiale, będą powodować jego obrót. bliczm teraz momet par sił względem dowolego putu. Będzie o rów sumie mometów sił i względem tego putu: ( ) M ( ) r + r. M + o podstawieiu do tego wzoru zależości wiającej z rsuu: otrzmam: r oraz r + r

28 M M>0 r r h r M r Rs ara sił ( ) + M ( ) ( r + r ) + r ( ) + r r r. idzim, że momet par sił jest rów mometowi jedej sił względem dowolego putu leżącego a liii działaia drugiej sił: M r. (3.9) Zatem momet par sił ie zależ ai od putu, względem tórego go obliczam, ai od położeia putów i a liiach działaia sił i, poieważ sił moża przesuwać wzdłuż liii ich działaia. Momet par sił M jest więc wetorem swobodm, poieważ ie jest związa z żadm putem ai z żadą prostą. Dlatego we wzorze (3.9) prz wetorze M pomiięto ides. etor mometu par sił M jest prostopadł do płaszczz działaia obu sił, a jego zwrot oreśla reguła śrub prawosrętej. Moduł mometu par sił a podstawie wzoru (3.36) możem zapisać jao M h, (3.0) gdzie h azwam ramieiem par sił. artość mometu par sił będziem uważać za dodatią, jeżeli patrząc od stro strzałi mometu M, para sił wwołuje obrót w ieruu przeciwm do ieruu ruchu wsazówe zegara; w przeciwm razie przjmujem wartość ujemą.

29 Na zaończeie tego putu podam bez dowodów podstawowe własości par sił [7, ].. Dwie par sił leżące w tej samej płaszczźie (rs. 3.0) są rówoważe, gd mają rówe momet: h h.. h h. arę sił moża przesuwać do dowolej płaszczz rówoległej do jej płaszczz działaia. 3. ar sił działające w jedej płaszczźie moża zastąpić parą wpadową o momecie M, tórego wartość jest rówa sumie algebraiczej wartości mometów poszczególch par: Rs Dwie rówoważe par sił leżące w jedej płaszczźie M M. (3.) 4. Uład par sił o różch płaszczzach działaia i o mometach M moża zastąpić parą rówoważą o momecie rówm sumie geometrczej mometów par sładowch: M M. (3.) statia własość pozwala sformułować warue rówowagi par sił działającch a ciało sztwe w różch płaszczzach. b par sił działające a ciało sztwe w różch płaszczzach zajdował się w rówowadze, suma geometrcza mometów tch par musi bć rówa zeru. aruowi temu odpowiada wetorow warue rówowagi: M 0. (3.3)

30 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będziem azwać uład sił o liiach działaia dowolie rozmieszczoch w przestrzei. tm pucie zajmiem się sprowadzeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostszej postaci, czli do ajprostszego uładu sił rówoważego daemu uładowi sił. Załóżm, że mam dowol uład sił o putach przłożeia (,,..., ), ja a rs. 3.. celu reducji tego uładu przjmijm dowol put azwa bieguem reducji. ołożeie sił w stosuu do biegua reducji iech oreślają wetor r. bieguie reducji przłóżm sił oraz sił o przeciwch zwrotach:. Taie postępowaie ie wpłie a zmiaę sutów mechaiczch, poieważ uład sił przłożoch w pucie jest rówoważ zeru. osewecji otrzmaliśm sił zbieżch w bieguie reducji oraz par sił i przłożoch odpowiedio w putach i o mometach rówch mometowi sił względem biegua, czli ( ) M r. z r M r Rs. 3.. Reducja dowolego przestrzeego uładu sił iadomo, że uład sił zbieżch w bieguie reducji moża zastąpić jedą siłą, rówą ich sumie geometrczej (wzór 3.0), rówież przechodzącą przez put zbieżości. odobie uład par sił możem zastąpić jedą parą rówoważą o momecie rówm sumie geometrczej mometów par sładowch (wzór 3.). Możem zatem zapisać:

31 M, M ( ) r, (3.4) Siłę azwam wetorem główm, a momet M mometem główm. Defiicje wetora główego i mometu główego możem ująć słowie: etorem główm uładu sił azwam sumę geometrczą wszstich sił przłożoą w dowolie obram bieguie reducji :. (3.5) Mometem główm uładu sił względem biegua reducji azwam sumę geometrczą mometów wszstich sił względem tego biegua: M r. (3.6) Na podstawie powższch rozważań możem stwierdzić, co astępuje: Dowol uład sił działającch a ciało sztwe moża zastąpić uładem rówoważm sładającm się z jedej sił przłożoej w dowolie obram bieguie reducji oraz par sił o momecie M. celu obliczeia współrzędch wetora główego i mometu główego M przjmiem w bieguie reducji prostoąt uład współrzędch,, z (rs. 3.). oadto założm, że w tm uładzie są zae współrzęde, i sił oraz współrzęde i z wetorów,,..., z, r ( ) oreślającch put przłożeia tch sił. o ozaczeiu współrzędch wetora główego przez, i z a podstawie twierdzeia o rzucie sum współrzęde te będą rówe sumie rzutów wszstich sił a poszczególe osie uładu współ rzędch:,, z z. (3.7) o ozaczeiu współrzędch mometu główego przez M, M im z i uwzględieiu wzorów (.4) współrzęde te będą rówe sumie mometów wszstich sił względem odpowiedich osi uładu współrzędch:

32 M M M z M M M z ( z ), ( z z z ( ). ), (3.8) trzmae salare wzor (3.7) i (3.8) są rówoważe wetorowm wzorom (3.5) i (3.6). b dwa dowole uład sił bł wzajemie rówoważe, waruiem oieczm i wstarczającm jest, ab ich wetor główe i momet główe względem tego samego biegua reducji bł rówe.

33 3.7.. Twierdzeie o momecie główm Ze wzoru (3.5) wia, że wetor głów ie zależ od wboru biegua reducji, czli wetor głów jest iezmieiiem uładu sił w operacji zmia biegua reducji. Momet głów wraz ze zmiaą biegua reducji ulegie zmiaie zgodie z astępującm twierdzeiem, zam jao twierdzeie o momecie główm: Momet głów dowolego uładu sił względem dowolego biegua jest rów mometowi główemu względem iego dowolego biegua powięszoemu o momet wetora główego przłożoego w bieguie względem biegua. celu udowodieia tego twierdzeia przjmijm, że da jest dowol uład sił przłożoch w putach (,,..., ), tórego momet głów względem biegua reducji jest da wzorem (3.6). Zastaówm się, ja zmiei się momet głów, jeżeli biegu reducji przeiesiem do putu (rs. 3.). r Rs. 3.. Ilustracja do twierdzeia o momecie główm Zgodie z defiicją momet głów względem owego biegua reducji wraża wzór: M o podstawieiu do tego wzoru zależości wiającej z rs. 3.:. otrzmam: + r ( + r ) + r M.

34 o uwzględieiu, że pierwsza suma po prawej stroie tego rówaia jest wetorem główm (wzór 3.35), a druga mometem główm M względem biegua (wzór 3.36), otrzmujem dowód twierdzeia o momecie główm: M M +. (3.9)

35 arui rówowagi dowolego uładu sił pucie 3.7. udowodioo, że dowol przestrze uład sił działającch a ciało sztwe moża sprowadzić do uładu prostszego, sładającego się z wetora główego przłożoego w bieguie reducji i par sił o momecie M, zwam mometem główm, względem tego biegua. ielości te, zgodie ze wzorami (3.4), moża ująć w astępując sposób:, M r. (3.30) Z powższch zależości wia, że uład sił będzie rówoważ zeru, gd zarówo wetor głów, ja i momet głów będą rówe zeru: 0 oraz M 0. Z porówaia wzorów (3.30) i (3.3) wiają dwa astępujące wetorowe warui rówowagi: arui te moża wrazić słowie: (3.3) 0, r 0. (3.3) b dowol uład sił bł w rówowadze, waruiem oieczm i wstarczającm jest, b suma sił i suma ich mometów względem dowolego putu bł rówe zeru. iadomo, że dowole wetor będą rówe zeru, jeżeli ich współrzęde w przjętm uładzie współrzędch będą rówe zeru. Zatem, ab wetor (3.30) bł rówe zeru, ich współrzęde wrażoe wzorami (3.7) i (3.8) muszą bć rówe zeru. Stąd otrzmujem sześć rówań rówowagi: 0, 0, z 0, (3.33) M 0, M 0, M z 0. b dowol uład sił bł w rówowadze, sum rzutów wszstich sił a trz osie uładu współrzędch oraz sum mometów wszstich sił względem tch osi muszą bć rówe zeru. Z otrzmach rówań rówowagi (3.33) wia, że w zagadieiach dotczącch rówowagi ciała sztwego poddaego działaiu dowolego uładu sił możem wzaczć sześć iewiadomch. przpadu więszej liczb iewiadomch mam do czieia z zagadieiem statczie iewzaczalm, tórego ie moża rozwiązać a grucie stati ciała sztwego. Rówaia rówowagi (3.33) dotczą dowolego przestrzeego uładu sił i jao taie zawierają w sobie warui rówowagi prostszch uładów sił. rzładowo dla przestrzeego zbieżego uładu sił omówioego w p. 3.4 momet głów względem putu zbieżości będzie rów zeru, czli rówaia mometów będą tożsamościowo spełioe, a zatem otrzmam tlo trz rówaia rówowagi w postaci (3.6) i (3.7).

36 Reducja dowolego uładu sił do srętia iadomo z p. 3.7., że dowol uład sił moża zastąpić uładem rówoważm sładającm się z wetora główego przłożoego w dowolm bieguie oraz par sił o momecie M. pucie 3.7. powiedziao, że wetor głów po zmiaie biegua reducji a i (p. ) ie ulegie zmiaie, atomiast momet głów zmiei się zgodie z twierdzeiem o momecie główm wg wzoru (3.9). M M +. (a) omóżm salarie obie stro powższego rówaia przez wetor głów : ( ) M M +. (b) Ilocz miesza wstępując po prawej stroie tego rówaia jest rów zeru, poieważ zgodie z zależością (.3) możem apisać: ( ) ( ) 0. Rówaie (b) przbierze zatem postać: M M pcost. (3.34) idzim, że ilocz salar wetora główego i mometu główego jest wielością stałą, iezależą od wboru biegua reducji. ielość p wstępującą w rówaiu (3.34) azwam parametrem uładu sił. Jeżeli ąt międz wetorami i M oraz międz i M ozaczm odpowiedio przez α i α, ja a rs. 3.3, to rówaie (3.34) możem zapisać w poiższej postaci: M cosα M cosα cost albo Ilocz M cosα M cosα cost. (3.35) M cosα i M cosα są rzutami mometów główch i M a M ierue wetora główego. Zatem z rówaia (3.35) wia, że rzut mometu główego a ierue wetora główego rówież ie zależ od wboru biegua M α M α Rs Rzut mometu główego a ierue wetora główego

37 reducji i jest wielością stałą, czli jest obo wetora główego drugim iezmieiiem uładu sił. ażem teraz, że moża zaleźć tai biegu reducji S, że momet M S będzie rówoległ do wetora główego (rs. 3.4). Tai uład sił będziem azwać srętiiem. Srętiiem azwam uład sładając się z sił i par sił o momecie M S rówoległm do sił. Dla wzaczeia mometu M S (mometu srętia) oraz położeia putu S, czli wetora S, przjmiem, że da jest wetor głów i momet głów M względem dowolego biegua (rs. 3.4). Na podstawie rówaia (3.34) i rs. 3.4 możem apisać: stąd moduł mometu M M, S MS M S M. (3.36) o pomożeiu tego wzoru przez wetor jedostow o ieruu wetora główego otrzmam wzór a momet M S : M S ( M ). (3.37) z l M S M S S Rs Reducja przestrzeego uładu sił do srętia Momet M S możem rówież wzaczć z twierdzeia o momecie główm przez podstawieie we wzorze (3.9) S zamiast :

38 M M + S. (3.38) S celu wzaczeia wetora S, czli położeia putu S, porówam stroami wzor (3.37) i (3.38): ( ) M S M +. o przeiesieiu mometu M a prawą stroę i sprowadzeiu do wspólego miaowia możem apisać: ( ) ( ) S M M. Liczi po prawej stroie jest rozwiięciem podwojoego iloczu wetorowego (.34). o odpowiedim przestawieiu wrazów po lewej stroie mam ostateczie: ( ) M S. (3.39) Łatwo sprawdzić, że ogóle rozwiązaie tego rówaia wetorowego ma postać: S ( M ) + λ, (3.40) gdzie λ jest dowolą wielością salarą ta dobraą, ab ilocz λ miał wmiar długości. trzmae rówaie (3.40) jest wetorowm rówaiem prostej l przechodzącej przez put S i rówoległej do wetora główego. rostą tę azwam osią cetralą uładu sił lub osią srętia. o wprowadzeiu w pucie (rs. 3.4) uładu współrzędch,, z i ozaczeiu współrzędch putu S w tm uładzie przez, S S iz S wetorowe rówaie osi cetralej (3.40) możem przedstawić w postaci trzech parametrczch rówań salarch:

39 z S S S M M z M z M M M z z + λ, + λ, + λ. z (3.4) becie rozpatrzm szczególe przpadi uładów sił sprowadzoch do srętia. a) Gd wetor głów 0 i momet M S 0, to ze wzoru (3.38) wia, że momet głów jest taże rów zeru, M 0, czli uład sił jest rówoważ zeru (wzor 3.3). b) Jeżeli wetor 0, a momet M S 0, to ze wzoru (3.38) otrzmujem MS M, czli ajprostszm uładem, do jaiego moża sprowadzić da uład, jest para sił. c) Jeżeli 0,aMS 0, to uład moża sprowadzić do jedej sił działającej wzdłuż osi cetralej, czli do wpadowej. tm przpadu ze wzoru (3.37) wia bezpośredio, że ilocz salar wetora główego i mometu główego M jest rów zeru. zacza to, że momet głów jest prostopadł do wetora główego. Zatem aalitcz warue istieia wpadowej ma postać: M 0. (3.4) d) Jeżeli 0i MS 0, to sręti jest ajprostszm uładem, do jaiego moża zreduować da uład sił.

40 3.8.. Reducja płasiego uładu sił rzez płasi dowol uład sił będziem rozumieć uład sił leżącch w jedej płaszczźie o ieruach ie przeciającch się w jedm pucie. dalszm ciągu przjmiem, że mam da dowol uład sił (,,..., ) przłożoch w putach leżącch w płaszczźie (rs. 3.5). ostępując podobie ja w przpadu dowolego przestrzeego uładu sił, płasi uład sił moża zreduować do uładu rówoważego sładającego się z jedej sił przłożoej w dowolie obram bieguie reducji i par sił o momecie M. trzmam wzor wetorowe:, M r. (3.43) zor te są zewętrzie idetcze ze wzorami (3.4) a wetor głów i momet głów dowolego uładu sił, ale liczba ich współrzędch będzie ia. oieważ sił leżą w płaszczźie r, wetor głów będzie miał dwie współrzęde, gdż trzecie współrzęde sił będą zawsze rówe zeru, z 0. Jeżeli M atomiast jao biegu reducji Rs Reducja dowolego płasiego uładu przjmiem począte uładu sił współrzędch, (rs. 3.5), to momet głów M będzie zawsze prostopadł do płaszczz, czli będzie miał jedą współrzędą. ia to z tego, że zgodie z defiicją iloczu wetorowego momet ażdej z sił względem putu musi bć prostopadł do płaszczz wzaczoej przez wetor r i. Do aalogiczch wiosów dojdziem po podstawieiu do wzorów (3.7) i (3.8) z 0 i z 0. trzmam wted współrzęde wetora główego i mometu główego M : M M z,, ( ) M. (3.44) Z trzeciego wzoru (3.44) oraz z przedstawioch wżej rozważań wia, że do oreśleia mometu główego wstarcz podaie jedej liczb (moduł opatrzo

41 zaiem), czli momet płasiego uładu sił moża tratować podobie ja salar. tej stuacji mówiąc o momecie główm w płasim uładzie sił, będziem mieć a mśli tlo jego wartość algebraiczą.

42 3.8.. Szczególe przpadi płasiego uładu sił Uład rówoważ wpadowej pucie udowodiliśm, że jeżeli momet głów M jest prostopadł do wetora główego (3.4), to uład sił moża zreduować do jedej sił wpadowej działającej wzdłuż osi cetralej. poprzedim pucie wazaliśm, że warue te jest zawsze spełio. ia z tego, że jeżeli wetor głów płasiego uładu sił jest róż od zera, 0, to uład te moża zastąpić wpadową. celu wzaczeia liii działaia wpadowej załóżm, że płasi uład sił (,,..., ) został zreduowa do początu uładu współrzędch, (rs. 3.6) do wetora główego i mometu główego M o wartości M :, M M. (3.45) Momet M moża zastąpić parą sił i przłożoch odpowiedio w putach i. wiu taiego działaia otrzmaliśm dwie sił i przłożoe w pucie oraz jedą siłę przłożoą w pucie i działającą wzdłuż prostej l. Sił i przłożoe w pucie M α tworzą uład zerow, zatem l uład sił został sprowadzo do jedej sił przłożoej w pucie. Siłę tę, działającą wzdłuż prostej l, azwam Rs Reducja płasiego uładu sił do wpadową płasiego uładu wpadowej sił. o uwzględieiu, że momet wpadowej względem dowolego putu jest rów sumie mometów wszstich sił względem tego samego putu, oraz ozaczeiu współrzędch putu przłożeia wpadowej przez i, otrzmam a podstawie trzeciego wzoru (3.44) zależość a momet wpadowej względem początu uładu współrzędch: M. stępujące w tm wzorze wielości, i M są wielościami zami, oreślomi wzorami (3.44), przeto jest to rówaie prostej l, wzdłuż tórej działa wpadowa. Rówaie to przedstawim w postaci ieruowej:

43 Moduł wpadowej M. (3.46) +, (3.47) a ąt, jai wpadowa tworz z osią, oreśla wzór: tg α. (3.48) Gd wetor głów jest róż od zera, 0, a momet głów jest rów zeru, M 0, uład sił reduuje się do wpadowej przechodzącej przez biegu reducji. Na zaończeie omówieia wzaczaia wpadowej zauważm istotą różicę międz wetorem główm i wpadową. Zarówo wetor głów, ja i wpadowa są rówe sumie geometrczej wszstich sił, ale wetor głów jest wetorem swobodm, a wpadowa jest siłą o ściśle oreśloej liii działaia. Uład rówoważ parze sił Jeżeli wetor głów płasiego uładu sił jest rów zeru, 0, a momet głów jest róż od zera, M 0, to tai uład sił moża zastąpić jedą parą sił o momecie rówm sumie mometów wszstich sił względem dowolego putu : M M. (3.49) oieważ parę sił moża dowolie przesuwać w jej płaszczźie działaia (p. 3.6), wartość mometu główego M ie będzie zależa od położeia biegua reducji a płaszczźie działaia sił. Uład rówoważ zeru Jeżeli wetor głów i momet głów są rówocześie rówe zeru, czli 0i M 0, to uład sił jest w rówowadze. rzpade te będzie rozpatrzo w astępm pucie. rzład 3.3. Na płtę w ształcie wadratu o bou a m działają czter sił: 00 N, 50 N, 00 N, 50 N (rs. 3.7), prz czm 3 4 o 30, 45 o. bliczć wartość liczbową wpadowej oraz liię jej działaia.

44 Rozwiązaie. spółrzęde wetora główego obliczm z pierwszch dwóch wzorów (3.44): cosα 4cosβ 47 N, siα siβ 30 N. 3 4 (a) Zgodie z drugim wzorem (3.45) momet głów względem początu uładu współrzędch 4 M M a acosα + asiα a3 55N m. (b) oieważ współrzęde wetora główego są rówe współrzędm wpadowej, moduł wpadowej ( ) ( ) N. a a B l 4 3 Rs alitcze wzaczeie wpadowej płasiego uładu sił Rówaie liii działaia wpadowej otrzmam przez podstawieie obliczoch wartości (a) i (b) do rówaia (3.46).,05,05.

45 trzmaa prosta l jest areśloa a rs dcia oa a osi odciętch odcie B 0,5m, a a osi rzędch odcie,05 m.

46 arui rówowagi płasiego uładu sił Na ońcu poprzediego putu powiedziao, że jeżeli wetor głów i momet głów M dowolego płasiego uładu sił są rówocześie rówe zeru, to uład sił jest w rówowadze. Zatem wetorowe warui rówowagi możem zapisać astępująco: 0, M 0. (3.50) o przrówaiu do zera współrzędch wetora główego (3.44) otrzmam trz rówaia rówowagi: 0, 0, M. (3.5) Należ tutaj zazaczć, że put, względem tórego obliczam sumę mometów dach sił, ie musi bć początiem przjętego uładu współrzędch, lecz może bć putem obram całowicie dowolie. o uwzględieiu powższej uwagi rówaiom rówowagi (3.5) moża adać taą treść: b płasi dowol uład sił bł w rówowadze, sum rzutów wszstich sił a dwie osie uładu współrzędch i suma mometów tch sił względem dowolego putu płaszczz działaia sił muszą bć rówe zeru. Moża udowodić [7, ], że zamiast rówań rówowagi w postaci dwóch rówań rzutów i jedego rówaia mometów (3.5) moża zastosować albo dwa rówaia mometów względem dwóch putów i B oraz jedo rówaie rzutów, albo trz rówaia mometów względem trzech putów, B i. mieioe warui rówowagi podam bez dowodu. ierwsz sposób: M 0, M B 0, 0. (3.5) łasi uład sił jest w rówowadze, jeżeli sum mometów wszstich sił względem dwóch putów są rówe zeru i suma rzutów tch sił a dowolą oś ieprostopadłą do prostej łączącej te dwa put jest rówa zeru. Drugi sposób: M 0 B 0, M, M 0. (3.53)

47 łasi uład sił jest w rówowadze, jeżeli sum mometów wszstich sił względem trzech putów ie leżącch a jedej prostej są rówe zeru. Udowodieie waruów rówowagi w postaci (3.5) i (3.53) pozostawiam zteliowi. bierając rówaia rówowagi do rozwiązaia zagadień pratczch, ależ ierować się tm, ab w ażdm rówaiu wstępowała ja ajmiejsza liczba iewiadomch. Upraszcza to zaczie obliczeia rachuowe. rzład 3.4. Bela B o ciężarze G 0 N jest utwierdzoa a ońcu i obciążoa mometem M 0 N m i obciążeiem ciągłm q N/m (rs. 3.8a). Do ońca B jest przmocowaa wiota lia, tóra jest przerzucoa przez ideal rąże (bez tarcia) i obciążoa ciężarem 5 N. bliczć reacje w podporze, jeżeli b m i 30 o. a) b b q α M G B b) R R b b/ b/ α R M M G Q B Rs Rozład sił w belce wsporiowej Rozwiązaie. oieważ oiec jest utwierdzo, podpora zgodie z omówiomi w p. 3.. rodzajami więzów wosi do zadaia trz iewiadome: dwie współrzęde R i R oraz momet utwierdzeia. Ze względu a to, M że lia jest wiota i że pomijam tarcie w rążu, a oiec B będzie działać siła. Zatem po uwolieiu od więzów a belę będą działać sił przedstawioe a rs. 3.8b. bciążeie ciągłe zastąpioo siłą supioą Q qb N. Trz iewiadome

48 R,R i M wzaczm z trzech rówań rówowagi w postaci dwóch rówań rzutów sił a osie i oraz sum mometów względem putu. R + cosα 0, R G Q siα 0, 3 M M M Gb Q b+ ( siα) b 0. o rozwiązaiu tego uładu rówań mam: artość reacji R R M cos30 G + Q si30 o M + bg +,5 3 bq o 3N, 9, 5N, bsi30 ( ) o 36Nm. R R + R 5, , 044, N. rzład 3.5. Bela D słada się z dwóch części i D połączoch przegubem. Koiec jest podpart stałą podporą przegubową, a a ońcu D zajduje się przesuwa podpora przegubowa. zęść beli opiera się w pucie B a przesuwej podporze przegubowej (rs. 3.9a). Bela jest obciążoa siłami supiomi 6 N i 5 N oraz mometem M 30 Nm. zaczć reacje podpór, B i D oraz oddziałwaie w przegubie, jeżeli b m, α 45 o. omiąć ciężar włas beli oraz tarcie w przegubach. Rozwiązaie. podam przładzie mam do czieia z uładem dwóch brł związach i ab rozwiązać to zadaie, musim rozdzielić belę w przegubie a dwa poduład i rozpatrwać rówowagę ażdego poduładu. Będziem mieli wted do dspozcji po trz rówaia rówowagi dla ażdej części beli. Jeżeli liczba iewiadomch reacji wiającch z podparcia beli będzie rówa sześć, to uład będzie statczie wzaczal.