Momenty bezwładności bez całek

Transkrypt

1 FOTON 07, Zi 009 Moenty bezwłdności bez cłe Witod Zwdzi Pnuje pzeonnie, że do obiczni oentów bezwłdności był onieczn jest znjoość chunu cłowego Ozuje się jedn, że oenty bezwłdności wieu był ożn obiczyć nie używjąc cłe, czego dowode niech będą poniższe pzyłdy Pzydtn będzie ntoist znjoość nstępujących twiedzeń: oent bezwłdności były jest wieością ddytywną tzn oent bezwłdności były jest suą oentów bezwłdności części, n tóe dną byłę ożn ozłożyć; twiedzenie Steine, tóe ówi: jeśi oent bezwłdności były o sie wzgęde osi pzechodzącej pzez śode sy cił wynosi 0, to oent bezwłdności tej były wzgęde osi ównoegłej do dnej osi i odegłej od niej o d jest ówny 0 d ; oent bezwłdności więszości był ożn zpisć niz wyiow w postci:, gdzie: to s były, chteystyczny wyi były np długość, poień, to bezwyiowy współczynni zeżny tyo od sztłtu były i wybou chteystycznego wyiu np poień czy śednic, niezeżny od wieości były Zpezentown ide obiczni oentów bezwłdności poeg n obiczeniu włśnie współczynni Aniz wyiow Aniz wyiow jest nzędzie powszechnie stosowny w fizyce, cheii oz inżynieii Opie się n złożeniu, że wszystie wieości fizyczne ożn wyzić jo obincje wieości podstwowych, tj sy, długości, czsu t itd Kżde ównnie wiążące wieości fizyczne usi być wyiowo spójne, tzn wyi pwej stony usi być ti s j wyi ewej stony ównni W odniesieniu do oentu bezwłdności, tóego jednostą jest g, ozncz to, że jedyną ożiwą obincją sy oz wyiów były, djącą pwidłow jednostę oentu bezwłdności jest Zte do dzieł! N począte coś postego! Obiczyy oent bezwłdności cieniego pęt o znnej sie i długości, gdy oś obotu jest do niego postopdł i pzechodzi pzez jeden z jego ońców Zgodnie z tw, ożey zpisć:

2 FOTON 07, Zi 009 Pzetnijy yśowo nsz pęt w bdzo łej odegłości od jego ońc nie eżącego n osi obotu ys Rys Kozystjąc z tw oent bezwłdności cłego pęt ożey zpisć w postci suy oentu bezwłdności pęt o długości i sie oz cieniego pste tóy ożey pottowć jo punt teiny o sie znjdującego się w odegłości / od osi obotu : J widć, w piewszy słdniu występuje ten s, szuny współczynni, chteystyczny d cieniego pęt Msy i obiczy z popocji:, My zte Odcięty włe pęt jest bdzo óti <<, zte w powyższy wyżeniu ożey poinąć wyzy niejsze niż, czyi te z itd: Pzyównując otzyne wyżenie z złożony, otzyujey ównnie:, Pzyjęcie odegłości odciętego wł pęt od osi obotu ównej zist / nie zieni ońcowego wyniu, upości obiczeni

3 FOTON 07, Zi 009 tóe pzy dowonie ły, ecz niezeowy jest spełnione tyo wtedy, gdy 0, czyi / Zte oent bezwłdności cieniego pęt wzgęde osi obotu postopdłej do niego i pzechodzącej pzez jeden z jego ońców wyż się wzoe Coś oągłego Obiczyy oent bezwłdności wc o znnej sie i poieniu, wzgęde osi syetii Moent bezwłdności puntu teinego zeży od odegłości od osi obotu, zte oent bezwłdności wc zeży od jego poieni, nie zeży od jego długości wysoości Zgodnie z tw, ożey zte zpisć Podziey yśowo nsz wec n cienościenną uę oz wec o zniejszony poieniu ys Rys Kozystjąc z tw oent bezwłdności cłego wc ożey zpisć jo suę oentu bezwłdności niejszego wc o poieniu i sie oz uy o gubości, poieniu / i sie Msy obu części j popzednio obiczy z popocji: π π, π π My zte: Pzy złożeniu nieziennej sy wc

4 FOTON 07, Zi Podobnie, j w popzedni zdniu poijy wyzy wyższej potęgi i otzyujey: Pzyównując otzyne wyżenie z złożony, otzyujey ównnie, tóe pzy dowonie ły, ecz niezeowy jest spełnione tyo wtedy, gdy 0, czyi / Zte oent bezwłdności wc oz płsiego ąż wzgęde osi syetii wyż się wzoe Po n stoże Obiczyy oent bezwłdności stoż o znnej sie, wysoości h i poieniu podstwy, wzgęde osi syetii J popzednio, oent bezwłdności stoż zeży od jego poieni, nie zeży bezpośednio od jego wysoości Zgodnie z tw, ożey zte zpisć Odetnijy yśowo od nszego stoż cieni pstee, ównoegły do podstwy ys Rys

5 FOTON 07, Zi 009 Kozystjąc z tw oent bezwłdności cłego stoż ożey zpisć jo suę oentu bezwłdności niejszego stoż o poieniu i sie oz ąż o gubości h, poieniu / i sie : Ob stożi są byłi podobnyi / h/h, stosune ich objętości ównież s, jest ówny tzeciej potędze si podobieństw ównej /: Stosune sy ąż do sy stoż jest ówny iozowi objętości tych był, zte: h h h h π π My zte: 5 Podobnie, j w popzedni zdniu poijy wyzy wyższe potęgi i otzyujey: Pzyównując otzyne wyżenie z złożony, otzyujey ównnie 5, tóe pzy dowonie ły, ecz niezeowy jest spełnione tyo wtedy, gdy / 5 0, czyi /0 Zte oent bezwłdności stoż wzgęde osi syetii wyż się wzoe 0

6 FOTON 07, Zi Cieni pęt po z dugi Obiczyy oent bezwłdności cieniego pęt o znnej sie i długości, gdy oś obotu jest do niego postopdł i pzechodzi pzez śode pęt Zgodnie z tw, ożey zpisć Pzetnijy yśowo nsz pęt w połowie długości ys Rys Kozystjąc z tw oent bezwłdności cłego pęt wzgęde jego osi syetii jest dw zy więszy od oentu bezwłdności jednej połówi wzgęde osi syetii cłego pęt Oś syetii żdej z połówe jest oddon od osi obotu o d / Kozystjąc z twiedzeni Steine ożey npisć: J widć, w piewszy słdniu występuje ten s, szuny współczynni, chteystyczny d pęt Pzyównując otzyne wyżenie z złożony, otzyujey ównnie, tóego ozwiąznie jest / Zte oent bezwłdności cieniego pęt wzgęde osi obotu postopdłej do niego i pzechodzącej pzez jego śode wyż się wzoe 5 Figuy płsie tójąt Obiczyy oent bezwłdności figuy płsiej tójąt ównobocznego o znnej sie i bou o długości, gdy oś obotu jest do niego postopdł i pzechodzi pzez śode sy tójąt Zgodnie z tw ptz s, ożey zpisć:

7 FOTON 07, Zi 009 Pzetnijy yśowo nsz tójąt n niejsze tójąty ys 5 Śode jednego z nich znjduje się n osi obotu, śodi tzech pozostłych tójątów w odegłości d Rys 5 Kozystjąc z tw zpisujey oent bezwłdności cłego tójąt jo suę oentów bezwłdności łych tójątów d tzech z nich stosujey dodtowo twiedzenie Steine d Znowu w piewszy słdniu występuje szuny współczynni Pzyównując otzyne wyżenie z złożony, otzyujey ów- nnie, tóego ozwiąznie jest / Zte oent bezwłdności tójąt ównobocznego wzgęde osi obotu postopdłej do niego i pzechodzącej pzez śode jego sy wyż się wzoe Kąże Wiey już, że oent bezwłdności wc oz płsiego ąż wzgęde postopdłej do niego osi pzechodzącej pzez śode wyż się wzoe:

8 FOTON 07, Zi Obiczyy tez oent bezwłdności tego ąż, e niech osią obotu będzie post zwiejąc śednicę Pzyjijy ułd współzędnych j n ys Rys Odegłość łego eeentu sy od osi X jest ówn y, od osi Y x, zte oent bezwłdności tego eeentu wzgęde osi Y wynosi y, wzgęde osi Y x N ocy twiedzeni Pitgos su x y jest wdte odegłości tego eeentu od puntu 0,0 czyi od osi OZ, zte su x y x y jest oente bezwłdności tego eeentu wzgęde osi Z, czyi ozwżnej wcześniej osi obotu Suując te eeentne oenty bezwłdności po cłej powiezchni figuy, otzyujey cłowite oenty bezwłdności figuy: X wzgęde osi X, Y wzgęde osi Y oz Z wzgęde osi Z Aniz t powdzi do stwiedzeni ogónego d figu płsich i tzech wzjenie postopdłych osi obotu, że X Y Po ty wstępie teoetyczny wóćy do obiczeni oentu bezwłdności ąż Z udowodnionego pzed chwią twiedzeni wyni, że w nszy pzypdu X Y Soo X Y, to oent bezwłdności ąż wzgęde jego śednicy wynosi X Y Z

9 0 FOTON 07, Zi Sfe powło uist Obiczy oent bezwłdności cieniej powłoi uistej o poieniu R wzgęde postej pzechodzącej pzez jej śode Pzyjijy ułd współzędnych j n ys 7 Rys 7 Kwdt odegłości łego eeentu sy od osi X oeś ównnie X y z, od osi Y: Y x z, od osi Z: Z x y, zte oent bezwłdności tego eeentu wzgęde osi Y wynosi X y z, wzgęde osi Y Y x z, osi Z wynosi Z x y Su x y z jest wdte odegłości eeentu od początu ułdu współzędnych, czyi od śod sfey, y więc: y z x z x y x y z R W ceu obiczeni oentu bezwłdności wysuujy pzyczyni w powyższy ównniu po cłej objętości nszej powłoi uistej Z ewej stony ównni otzyujey suę oentów bezwłdności wzgęde tzech ieunów, e z cji syetii zgdnieni stnowi to po postu sfey Z suowni pwej stony ównni otzyujey ntoist R A zte y: R, zte: sfey sfey R Sześcin A tez pwdziw peeł wśód zdń: obiczyć oent bezwłdności sześcinu o wędzi długości i sie, wzgęde osi obotu zwiejącej pzeątną sześcinu

10 FOTON 07, Zi 009 Pzy ozwiązniu tego zdni sozysty z tzech twiedzeń pzedstwionych n początu tyułu Zpisujey więc oent bezwłdności sześcinu wzoe, w tóy jest znowu szuny współczynniie Rozłdy sześcin n niejszych sześcinów, żdy o wędzi / i sie / t, j to pzedstwiono n ys Moent bezwłdności żdego z tych sześcinów wzgęde jego pzeątnej jest ówny Rys Pzeątne dwóch zznczonych n ys spośód ośiu sześcinów zwte są w pzeątnej dużego sześcinu Pzeątne pozostłych sześcinów ównoegłe do pzeątnej dużego sześcinu eżą od tej pzeątnej w odegłości / / wysoości tójąt ównobocznego o bou ówny / N podstwie twiedzeni Steine oz twiedzeni o suowniu oentów bezwłdności y: Poównując otzyne wyżenie z złożoną postcią wzou n oent bezwłdności cłego sześcinu otzyujey ównnie Rozwiązujey je, otzyujey oejno:

11 FOTON 07, Zi 009 Zte oent bezwłdności wsponinego sześcinu wyż się wzoe Pzedstwione pzyłdy dowodzą, że do obiczni oentów bezwłdności wieu był ub figu płsich nie jest onieczn znjoość chunu cłowego, pzy czy w powyższych ozwiąznich występują oczywiście pewne jego eeenty np niesończenie ły eeent sy, suownie po cłej bye Wystczy dob wyobźni pzestzenn oz znjoość nizy wyiowej i podstwowych twiedzeń o oencie bezwłdności Otzyne wynii ożn spwdzić stosując zwyłe cłownie Powyższe zdni ożn pottowć jo wstęp do chunu óżniczowego i cłowego Pęt Pęt Wec Kąże Powło uist Stoże 0 Tójąt Sześcin