eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3. przyrosty niezależne - t t 1 t n X t, X t1 X t, X t2 X t1,..., X tn X tn 1 liniowo niezależne 4. przyrosty stacjonarne - t>s X t X s X t s X 5. proces Wienera (Ruch Browna) - proces stochastyczny W t. że: W = p.n., W ma przyrosty niezależne, s<t W t W s N(, t s), P(trajektorie W ciągłe) = 1 6. proces gaussowski - t1,...,t n (X t1, X t2,..., X tn ) ma rozkład normalny 7. zbiór cylindryczny - {x R : (x t1, x t2,..., x tn ) A}, dla ustalonych t 1,..., t n, A B(R ) 8. rozkład procesu - miara probabilistyczna na B(R ) dana wzorem µ X (C) = P((X t ) t C), C B(R ) 9. rozkład skończenie wymiarowy - miara na R n dana wzorem µ t1,...,t n (A) = P((X t1,..., X tn ) A), A B(R n ) 1. warunki zgodności dla rodziny rozkładów skończenie wymiarowych: t1,...,t n σ - permutacja A1,...,A n R µ t1,...,t n (A 1 A n ) = µ tσ(1),...,t σ(n) (A σ(1) A σ(n) ) t1,...,t n+1 A1,...,A n R µ t1,...,t n+1 (A 1 A n R) = µ t1,...,t n (A 1 A n ) 11. modyfikacja procesu - X jest modyfikacją Y t P(X t = Y t ) = 1 12. procesy nierozróżnialne X, Y nierozróżnialne P( t X t = Y t ) = 1 13. hoelderowska ciagłość - f : [a, b] R C< s,t [a,b] f (s) f (t) C t s γ 14. stochastyczna ciagłość - t n t X tn P Xt 1
15. ciagłość wg p-tego momentu - t n t E X tn X t p 16. filtracja - (F t ) t - rosnąca rodzina σ-ciał, t s F t F s 17. filtracja generowana - (F X t ) t F X t = σ(x s : s t) X = (X t ) t - proces stochastyczny 18. proces zgodny z filtracja - t X t - F t -mierzalny 19. moment zatrzymania - zmienna losowa τ o wartościach w { } t. że t {τ t} F t 2. filtracja prawostronnie ciagła - F t+ = F t, gdzie F t+ = s>t F s 21. zwykłe warunki filtracji - prawostronnie ciągła oraz (A F P(A) = ) A t F t 22. σ-ciało zdarzeń obserwowalnych do chwili τ - F τ = {A F : t A {r t} F t }, gdzie F = σ ( t F t ) 23. proces progresywnie mierzalny t A B(R) {(s, ω) Ω : s t, X s (ω) A} B( (, t]) F t 24. mierzalność zmiennej losowej względem σ-ciała - X mierzalna względem σ- ciała G zawierającego A {ω A : X(ω) B} G dla każdego zbioru borelowskiego B 25. martyngał - (X t, F t ) t - martyngał t X t jest F t -adaptowalny, E X t < oraz x<s E(X t F s ) = X s p.n. (podmartyngał, nad- ) 26. funkcja podharmoniczna - f : R n R, t. że x R n r f (x) 1 f (x + S n 1 S n 1 ry)dσ(y), gdzie σ(y) - miara powierzchniowa na sferze, S n 1 = dσ(y) S n 1 dla f C 2 równoważnie funkcja podharmoniczna, gdy f < 27. liczba przejść funkcji przez przedział 28. rodzina jednostajnie całkowalna - lim C E X i 1 { Xi >C} = 29. podział przedziału [a, b] - Π = (t 1,..., t n ), gdzie t 1 < < t n, podpodział - Π Π - wszystkie punkty Π punktami Π 3. średnica podziału - diam(π) = max i t i+1 t i 31. normalny ciag podziałów - Π n, t. że diam(π n ) n oraz Π n+1 Π n 32. całka Reimanna-Stjeltjesa - b g(t) d f (t) = lim kn a n j=1 g(s k j )[ f (tk j+1 ) f (tk j )] t k j s k j t k j+1, jeśli granica istnieje i jest skończona niezależnie od wyboru normalnego ciągu podziałów Π n = (t n,..., tn k n ) 33. wahanie funkcji - Wah [a,b] ( f ) = sup n N sup a=t <t 1 < <t n =b ni=1 f (t i ) f ( t i 1 ) 34. całka Lebesgue a-stjeltjesa 2
35. całka Paleya-Wienera - rozszerzenie do izometrii na L 2 definicji dla funkcji schodkowych h = k i=1 α i 1 (ti 1,t i ], I(h) = t h(s)dw s = k i=1 α i (W(t i ) W(t i 1 ) 36. proces elementarny - X t = ξ 1 {} + n k=1 ξ k 11 (tk 1,t k ](t), gdzie = t < t 1 < < t n <, ξ k - ograniczone zmienne losowe 37. proces I(X) - I(X) t = ( t X sdw s ) t = m k=1 ξ k 1(W tk t W tk 1 t) 38. izometryczna całka stochastyczna Ito - rozszerzenie I(X) do liniowej izometrii z ε w M 2,c 39. σ-ciało zbiorów prognozowalnych P - σ-ciało podzbiorów [, ) Ω generowane przez zbiory A, (s, t] A, s < t <, A F s 4. proces prognozowalny - traktowany jako funkcja X : [, ) Ω R jest mierzalny wzgl. P 41. proces zatrzymany - X τ t = X t τ, gdzie τ - moment zatrzymania 42. całka stochastyczna XdW - 43. martyngał lokalny - M = (M t ) t<, t. że adaptowany oraz dla τ n M τ n jest martyngałem. jeśli M τ n M 2,c, to martyngał lokalny ciągły całkowalny z kwadratem (M2,c 44. całka izometryczna XdM,loc ) 45. nawias skośny - < M >= (< M > t ) t - dla M M 2,c, t. że < M > = oraz (M 2 t < M > t ) t jest martyngałem równoważnie: < M >= lim diam(π) sum n k=1 (M t k M tk 1 ) 2 46. całka stochastyczna XdM - 47. < M, N > = 1 4 (< M +N > < M N >) = lim diam(π) sum n k=1 (M t k M tk 1 )(N tk N tk 1 ) =jedyny taki proces, że < M, N > =, trajektorie o wahaniu skończonym oraz MN < M, N > M 2,c 48. proces lokalnie ograniczony - τn t. że X τ n X są ograniczone 49. semimartyngał - proces Z = (Z t ) t< dający się przedstawić w postaci Z = Z + M + A, gdzie Z F -mierzalna, M M 2 loc, A Vc, A = M = 5. całka względem semimartyngału XdZ = XdM + XdA, gdzie Z j. w., pierwsza całka - stochastyczna, druga - Stieltjesa 51. rozwiazanie jednorodnego równania stochastycznego proces X rozwiązuje jednorodne równanie stochastyczne dx t = b(x t )dt + σ(x t )dw t, X s = ξ, gdzie b, σ - ciągłe, R R, ξ - zm. losowa F s -mierzalna, gdy: X t = ξ + t b(x s r)dr + t σ(x s r)dwr, t [s, ) 3
52. dyfuzja startujaca z ξ - proces rozwiązujący powyższe równanie, σ - współczynnik dyfuzji, b - współczynnik dryfu 53. rozwiazanie niejednorodnego równania stochastycznego - proces X rozwiązuje niejednorodne równanie stochastyczne dx t = b(t, X t )dt + σ(t, X t )dw t, X s = ξ, gdzie b, σ - ciągłe, R 2 R, ξ - zm. losowa F s -mierzalna, gdy: X t = ξ + t b(r, X s r)dr + t σ(r, X s r)dwr, t [s, ) 54. przestrzenie Λ 2 = {(X t) < prognozowalny: t X2 s ds < p.n. dla < t < } L 2 = L 2([, ) Ω, P, λ P) = {X = (X t ) t< prognozowalny:e X2 s ds < } V c - procesy ciągłe, ograniczone, których trajektorie mają wahanie skończone w każdym przedziale [, t] dla t < M 2,c - przestrzeń martyngałów M = (M t) t względem (F t ) t [,], trajektorie ciągłe, EM 2 < Λ 2 (M) = {(X t) < prognozowalny: t X2 s d < M > s < p.n. dla < t < } 55. generator procesu dyfuzji 56. całka Stratonowicza t Y s dz s = t Y s dz s + 1 2 < M, N >, gdzie Z = Z +A+M, Y = Y + B + N trzeba dodać definicje dla wielowymiarowych 2 wierdzenia i fakty 1. Kiedy X procesem Wienera proces gaussowski, ciągłe trajektorie p.n., EX t =, Cov(X t, X s ) = min{t, x} X = p.n., X ma przyrosty niezależne, P(trajektorie X ciągłe) = 1, X ma przyrosty stacjonarne, EX 1 =, Var(X 1 ) = 1 2. Równość na zbiorze przeliczalnym A B(R ) -przeliczalny ((x, y R t x(t) = y(t)) (x A y A)) 3. Nieróżniczkowalność trajektorii ω P( t t W t (ω) jest różniczkowalne w t ) = 4. wierdzenie Kołmogorowa jeśli rodzina rozkładów skończenie wymiarowych (µ t1,...,t n ) spełnia warunki zgodności, to istnieje proces (X t ) t mający skończenie wymiarowe rozkłady równe (µ t1,...,t n ) 4
5. wierdzenie o ciagłej modyfikacji X = (X t ) t [a,b], α, β, C t,s [a,b] E X t X s α C t s 1+β X=( X t ) t [a,b] - modyfikacja procesu X o wszystkich trajektoriach ciągłych, trajektorie modyfikacji są z prawdopodobieństwem 1 hoelderowsko ciągłe z wykładnikiem γ < β α W 6. prawo iterowanego logarytmu lim sup t t 2t ln ln t = 1 p.n. lim in f t 7. lim t W t t W t 2t ln ln t = 1 p.n. = p.n. 8. wierdzenie Dooba (optional sampling) - (X t ) t [a,b),b - martyngał o prawostronnie ciągłych trajektoriach, σ τ - ograniczone momenty zatrzymania, E(X σ F τ ) = X τ p.n. 9. nierówność Dooba - X Λ 2, τ - moment zatrzymania Esup t<τ( t X dw)2 4E τ X2 s ds 1. funkcja harmoniczna a martyngał - W t = (W (1) t,..., W (d) t ) - d-wymiarowy proces Wienera, f : R d R - funkcja harmoniczna, t E f (W t ) < ( f (W t ), Ft W ) - martyngał 11. zbieżność prawie na pewno (X t ) t [a,b),b - podmartyngał o prawostronnie ciągłych trajektoriach. sup t [a,b) EX t + < X = lim t b X t istnieje, skończony p.n. oraz E X < 12. zbieżność w L 1 - (X t ) t [a,b),b - prawostronnie ciągły martyngał, (X t ) t [a,b) - jednostajnie całkowalna Xb -całkowalna lim t b E X t X b = Xb -całkowalna, F b -mierzalna, t. że X t = E(X b F t ) X b = lim t b X t p.n. 13. zbieżność w L p (p > 1) - (X t ) t [a,b),b - prawostronnie ciągły martyngał, sup t [a,b) E X t p < ( X t p ) t [a,b) - jednostajnie całkowalna Xb L p lim t b E X t X b p = Xb L p, F b -mierzalna, t. że X t = E(X b F t ) X b = lim t b X t p.n. 14. nieskończone wahanie ciagłych martyngałów - (M t ) t [a,b) - ciągły martyngał, A = {ω : M t (ω) ma wahanie skończone na [a, b]} M t - ma z prawdopodobieństwem 1 trajektorie stałe na A 15. X L 2 t (( t X dw)2 t X2 ds) t - martyngał 16. M - adaptowalny, prawostronnie ciągły, M =, t E M t <. Wówczas: M - martyngał τ -moment zatrzymania EM τ = 17. X L 2 M s = s X tdw t M 2,c EM s = 18. wierdzenie Grisanowa <, Y-prognozowalny, Y2 s ds <, Z t = exp( t Y s dw s 1 t 2 Y2 s ds), EZ = 1 5
V t = W t t Y s ds, t [, ] - proces Wienera względem wyjściowej filtracji na zmodyfikowanej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, Q ), gdzie Q (A) = Z A t dp, A F 19. exp( t Y s dw s 1 t 2 Y2 s ds) - jest martyngałem lokalnym, gdy Y Λ 2 2. Kryterium Novikowa Y - proces prognozowalny, Eexp( 1 2 Y s 2 ds) < spełnione założenia twierdzenia Grisanowa 21. Ilość rozwiazań równania różniczkowegob, σ - spełniają warunek Lipschitza równanie stochastyczna ma co najwyżej jedno rozwiązanie 22. b, σ - spełniają warunek Lipschitza Eξ 2 < równanie stochastyczna ma dokładnie jedno rozwiązanie 23. wierdzenie Levy ego M - martyngał lokalny, M =, M 2 t t - martyngał lokalny M jest procesem Wienera 3 Wzory 1. Cov( t f (s) dw s, t f (s) dw s) = t f (s)g(s) ds 2. E( X s dw s ) 2 = E X2 s ds 3. E X s dw s = X2 s ds 4. < X dw > t = t X2 dt 5. τ t X dm = t X dmτ = t 1 (,τ]x dm 6. M = X s dw s Y s dm s = Y s X s dw s 7. t X s d(am + bn) = a t X s dm + b t X s dn 8. < X dm, Y dn >= XY dmn 9. Wzór Ito f (Z t ) = f (Z ) + t f (Z s ) dz s + 1 t 2 f (Z s ) d < M > s, gdzie Z = Z + M + A - ciągły semimartyngał 1. wielowymiarowy wzór Ito f (Z t ) = f (Z )+ d i=1 11. t f x i (Z s ) dz ( si)+ 1 2 d i, j=1 Z (i) = Z (i) + M(i) + A (i) -ciągłe semimartyngały t 2 f (Z xi 2 s ) d < M (i), M ( j) > s, gdzie 6