Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia

Transkrypt

1 1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej względem ruchu Browna. H. Kunita, S. Watanabe (1967) całka stochastyczna względem martyngałów całkowalnych z kwadratem. C. Doléans-Dade, P.-A. Meyer (197) całka stochastyczna względem ciągłych semimartyngałów. P.-A. Meyer (1976) rozszerzenie definicji na przypadek prognozowalnego (lokalnie) ograniczonego procesu całkowanego H i procesu całkującego X będącego semimartyngałem. J. Jacod (1979) konstrukcja całki stochastycznej względem semimartyngału dla nieograniczonego prognozowalnego procesu całkowanego, spełniającego pewne warunki całkowalności (przestrzeń procesów całkowalnych rozważana przez Jacoda jest w pewnym sensie najbardziej ogólna i całka stochastyczna nie może być skonstruowana dla większej klasy). Uogólnienie pojęcia całki stochastycznej dla wielowymiarowego semimartyngału X = (X 1,..., X d ). odzinę procesów całkowalnych definiujemy jako te procesy H = (H 1,..., H d ), dla których H i jest całkowalne względem X i dla każdego i = 1,..., d. Wtedy przyjmujemy, że całka stochastyczna to H i X i = H i dx i (całka stochastyczna po współrzędnych). L. Galtchouk (1975) przestrzeń całek stochastycznych po współrzędnych nie musi być domknięta w tzw. topologii Émery ego. B 1, B 2 niezależne ruchy Browna na pewnej przestrzeni probabilistycznej z filtracją. Niech J t = t. Definiujemy dwuwymiarowy proces X: X 1 = B 1, X 2 = (1 J) B 1 + J B 2.

2 2 Przestrzeń { 2 } L C (X) = H i X i ; H i L(X i ) nie jest domknięta w topologii Émery ego. J. Jacod (198) uogólnienie pojęcia całki stochastycznej po współrzędnych wektorowa całka stochastyczna względem wielowymiarowego semimartyngału. Konstrukcja ta daje domkniętą przestrzeń całek stochastycznych (J. Mémin, 198). A. N. Shiryaev, A. S. Cherny On predictable criteria for integrability and for integrability up to infinity opis klasy L(X) procesów całkowalnych względem semimartyngału X w terminach jego charakterystyk. Dla stabilnego procesu Lévy ego X jest to uzupełnienie rezultatów O. Kallenberga (1975), J. Kallsena i A. N. Shiryaeva (21) oraz J. osińskiego i W. Woyczyńskiego (1986). Obecnie próbuje się konstruować całki stochastyczne względem procesów, które nie są semimartyngałami, np. ułamkowego ruchu Browna (A. N. Shiryaev, 1988). Jeśli jednak X nie jest semimartyngałem, to przestrzeń procesów całkowalnych względem X nie zawiera wszystkich lokalnie ograniczonych prognozowalnych procesów stochastycznych twierdzenie Bichtelera - Dellacherie - Mokobodskiego (K. Bichteler, 1981). Konstrukcja całki stochastycznej Niech A V d przestrzeń d-wymiarowych (F t )-adaptowanych procesów o skończonej wariacji. Istnieje wówczas opcjonalny proces a i i rosnący càdlàg (F t )-adaptowany proces F takie, że (1) A i = ozważmy przestrzeń gdzie a i s df s. L var (A) = {H = (H 1,..., H d ); H jest prognozowalny i t H s a s df s < p. w. dla dowolnego t }, H s a s = Hsa i i s. Określenie L var (A) nie zależy od wyboru a i i F spełniających (1). Dla H L var (A) definiujemy H s da s = H s a s df s (całka Lebesgue a - Stieltjesa) i jest to proces o wariacji skończonej.

3 3 Niech M Mloc d przestrzeń d-wymiarowych (F t )-lokalnych martyngałów. Istnieje wówczas opcjonalny proces π ij i rosnący càdlàg (F t )-adaptowany proces F takie, że ozważmy przestrzeń [M i, M j ] = π ij s df s. gdzie L 1 loc(m) = {H = (H 1,..., H d ); H jest prognozowalny ( ) 1/2 i H s π s H s df s Aloc }, H s π s H s = i,j=1 H i sπ ij s H j s oraz A loc przestrzeń jednowymiarowych (F t )-adaptowanych procesów o lokalnie całkowalnej wariacji. Definicja przestrzeni nie zależy od wyboru π ij i F. Dla H L 1 loc(m) definiujemy całkę stochastyczną H s dm s poprzez procedurę aproksymacyjną. Otrzymamy proces, który jest lokalnym martyngałem. Definicja: Niech X S d przestrzeń d-wymiarowych (F t )-semimartyngałów. Proces H jest X-całkowalny, jeśli istnieje rozkład X = A + M, A V d, M Mloc d taki, że H L var (A) L 1 loc(m). Wówczas H s dx s = H s da s + H s dm s. Przestrzeń procesów całkowalnych względem X oznaczamy L(X). Uwagi: Należy pokazać, że dla X V d M d loc i H L var (X) L 1 loc(x) mamy H X }{{} całka Lebesgue a - Stieltjesa oraz, że definicja nie zależy od wyboru A i M. = H X }{{} lokalny martyngał L(X) zawiera wszystkie lokalnie ograniczone procesy prognozowalne. Jeśli H jest procesem d-wymiarowym takim, że H i L(X i ) dla każdego i, to H L(X) oraz H s dx s = Hs i dxs. i Może się zdarzyć, że H i / L(X i ), zaś H L(X). (Wystarczy przyjąć X = (Y, Y ), H = ( K, K), gdzie K / L(Y )).

4 4 Jeśli H L(X), to H może nie należeć do L var (A) L 1 loc(m) dla każdego rozkładu X = A + M, A V d, M M d loc. Przykład Émery ego: Niech τ zmienna losowa taka, że Niech η niezależna od τ, Niech P (τ > t) = e t. P (η = 1) = P (η = 1) = 1 2. H t = 1 t, M ; dla t < τ t = η; dla t τ. Wówczas M M loc i jest procesem o skończonej wariacji, H L var (M) L(M) oraz H M = X, gdzie ; dla t < τ X t = η/τ; dla t τ, F = σ(τ, η), F t = Ft X. X M σ, ale dla dowolnego (F t )-momentu zatrzymania T z P (T > ) > mamy E X T =, skąd X / M loc. Szczegóły: A. N. Shiryaev, A. S. Cherny, Vector stochastic integrals and the fundamental theorems of asset pricing, Proceedings of the Steklov Mathematical Institute, 237 (22), p Znane wcześniej kryteria: Prognozowalne kryteria całkowalności C. S. Chou, P. A. Meyer, C. Stricker (198): Twierdzenie: Niech X S d. d-wymiarowy proces prognozowalny H należy do L(X) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego t, dowolnych ciągów a n < b n, a n i dowolnego ciągu (K n ) jednowymiarowych procesów prognozowalnych takiego, że K n 1, mamy: t Ks n H s 1I {an< Hs b n} dx s P n. S. Kwapień, W. Woyczyński (1991), Semimartingale integrals via decoupling inequalities and tangent processes: Opis analityczny przestrzeni X-całkowalnych procesów prognozowalnych w terminach tzw. charakterystyk Grigelionisa B, µ i C semimartyngału X. Przestrzeń ta okazuje się być ulosowioną przestrzenią Musielaka - Orlicza L ϕ. W pracy podana jest formuła na ϕ jako funkcjonał B, µ i C.

5 Niech X S d i niech (B, C, ν) będą charakterystykami X względem funkcji obcinającej x1i { x 1} (J. Jacod, A. N. Shiryaev, Limit Theorems for Stochastic Processes). Istnieją wówczas procesy prognozowalne b i, c ij, jądro przejścia K z (Ω +, P) (gdzie P oznacza σ-algebrę prognozowalną) w ( d, B( d )) i rosnący prognozowalny càdlàg proces F takie, że B i = b i s df s, C ij = c ij s df s, ν(ω, dt, dx) = K(ω, t, dx)df t (ω) (Jacod, Shiryaev, tw. II.2.9/77). Twierdzenie: Niech H będzie d-wymiarowym procesem prognozowalnym. Niech ϕ t (H) = H t b t + H t x(1i { x >1, Ht x 1} 1I { x 1, Ht x >1}) K t (dx) + + H t c t H t + 1 (H t x) 2 K t (dx), t. Wówczas H L(X) wtedy i tylko wtedy, gdy t ( ) t ϕ s (H) df s < p. w. Lemat: Niech µ będzie miarą skoku procesu X i W = W (ω, t, x) niech będzie nieujemną ograniczona funkcją P B()-mierzalną. Wówczas (W µ) < p. w. wtedy i tylko wtedy, gdy (W ν) < p. w. Uwaga: Z lematu wynika, że t (1) t H s x 1I { x >1, Hs x 1} K s (dx)df s < p. w. Stąd ϕ(t) może być zastąpione przez ψ t (H) = H t b t H t x1i { x 1, Ht x >1} K t (dx) + + H t c t H t + 1 (H t x) 2 K t (dx), t. Własności całki wykorzystywane w dowodzie: 1) Niech X Sp d przestrzeń d-wymiarowych specjalnych {F t }-semimartyngałów, X = X + A + M rozkład kanoniczny procesu X. Niech H L(X). Wówczas H s dx s S p H L var (A) L 1 loc(m). W tym przypadku H s dx s = H s da s + H s dm s jest rozkładem kanonicznym H s dx s. (J. Jacod, Intégrales stochastique par rapport à une semimartingale vectorielle et changement de filtration, Lecture Notes in Math., 784 (198), str ). 5

6 6 2) Niech X S d i niech K będzie takim procesem d-wymiarowym, że K i L(X i ) dla każdego i. Niech Y i = K i s dx i s. Niech H będzie d-wymiarowym procesem prognozowalnym. Wówczas H L(Y ) wtedy i tylko wtedy, gdy J L(X), gdzie J = (H 1 K 1,..., H d K d ). W tym przypadku H s dy s = J s dx s. (A. N. Shiryaev, A. S. Cherny, Vector stochastic integrals and the fundamental theorems of asset pricing, Proceedings of the Steklov Mathematical Institute, 237 (22), p ). Wniosek: Niech X będzie jednowymiarowym ciągłym semimartyngałem z rozkładem kanonicznym X = X + A + M. Wówczas proces prognozowalny H należy do L(X) wtedy i tylko wtedy, gdy t t H s d(v ara) s + t H 2 s d M s < p. w. Zastosowanie dla procesów Lévy ego Niech X będzie jednowymiarowym (F t )-procesem Lévy ego, tzn. X jest (F t )-adaptowanym procesem Lévy ego i dla dowolnych s t przyrosty X t X s nie zależą od F s. Oznaczamy X (B, C, ν) h, jeśli Ee iλxt = exp { t ( iλb λ2 2 c + ( e iλx 1 iλh(x) ) ν(dx) Twierdzenie: Niech X będzie α-stabilnym (F t )-procesem Lévy ego z miarą Lévy ego ν(dx) = ( m1 1I {x<} x α+1 Niech H będzie procesem prognozowalnym. + m ) 21I {x>} x α+1 (i) Niech α (, 1) i X (b,, ν). Wówczas H L(X) wtedy i tylko wtedy, gdy dx. )}. t t t b H s ds + (m 1 + m 2 ) H s α ds < p. w. (ii) Niech α = 1 i X (b,, ν) h, gdzie h(x) = x1i { x 1}. Wówczas H L(X) wtedy i tylko wtedy, gdy t t t ( b + m 1 + m 2 ) H s ds + m 1 m 2 H s ln H s ds < p. w.

7 7 (iii) Niech α (1, 2) i X (b,, ν) x. Wówczas H L(X) wtedy i tylko wtedy, gdy t t t b H s ds + (m 1 + m 2 ) H s α ds < p. w. (iv) Niech α = 2 i X (b, c, ). Wówczas H L(X) wtedy i tylko wtedy, gdy t t t b H s ds + c Hs 2 ds < p. w.