Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.

Transkrypt

1 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego (W t1, W t2,..., W tn ) dla < t 1 < t 2 <... < t n. 4. Udowodnij, że lim t W t t = p.n. 5. Udowodnij, że następujące procesy też są procesami Wienera a) X t = W t (odbicie) b) Y t = c 1/2 W ct, c > (przeskalowanie czasu) c) Z t = tw 1/t dla t > oraz Z = (inwersja czasu) d) U t = W T +t W T, T e) V t = W t dla t T, V t = 2W T W t dla t > T, gdzie T. 6. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera są nieograniczone. 7. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na R Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1 <... < t (n) k n = b będzie ciągiem podziałów odcinka [a, b] oraz π n := max k t (n) k t (n) k 1 oznacza średnicę π n. Udowodnij, że S n := k n k=1 W t (n) k W (n) t 2 b a w L 2 (Ω, F, P ) przy n, k 1 jeśli π n oraz S n b a p.n., jeśli n π n <. 9. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale. 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera są funkcjami nieróżniczkowalnymi w żadnym punkcie przedziału [, ). Wskazówki: a) Jeśli funkcja f jest rózniczkowalna w jakimś punkcie przedziału [, 1], to istnieje liczba M < taka, że dla odpowiednio dużych n istnieje j n 3 taka, że f((j+1)/n) f(j/n) M/n, f((j+2)/n) f((j+1)/n) M/n oraz f((j + 3)/n) f((j + 2)/n) M/n. b) Wykaż, że P( W (j+1)/n W j/n M/n, W (j+2)/n W (j+1)/n M/n, W (j+3)/n W (j+2)/n M/n) CMn 3/2 i wywioskuj stąd nieróżniczkowalność trajektorii na przedziale [, 1]. 1

2 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 2 1. Udowodnij, że jeśli zbiór A B(R T ), to istnieje zbiór przeliczalny T T taki, że jeśli x, y R T oraz x(t) = y(t) dla t T to x A y A. 2. Niech T = [a, b] a < t < b, wykaż, że następujące zbiory nie należą do B(R T ). i) A 1 = {x R T : sup t [a,b] x t 1}; ii) A 2 = {x R T : t x t ciągłe na [a,b] }; iii) A 3 = {x R T : lim t t x t = }: iv) A 4 = {x R T : t x t ciągłe w t }. Wykaż mierzalność tych zbiorów przy założeniu ciągłości (prawostronnej ciągłości) trajektorii tzn. wykaż, że wszystkie te zbiory po przecięciu z C(T ) (RC(T ) odp.) należą do B(R T ) C(T ) (B(R T ) RC(T ) odp.). 3. Niech T = [a, b]. Wykaż, że F = {A C(T ): A B(R T )} jest σ-ciałem zbiorów borelowskich (w metryce supremum) na C(T ). 4. Wykaż, że istnieje proces (X t ) t o przyrostach niezależnych, startujący z taki, że X t X s ma rozkład Cauchy ego z parametrem t s (proces taki nazywamy procesem Cauchy ego, bądź procesem 1-stabilnym). 5. Proces X jest modyfikacją procesu Wienera. Które z następujących własności są spełnione dla procesu X: a) niezależność przyrostów, b) stacjonarność przyrostów, c) ciągłość trajektorii, d) lim t X t t e) lim t X t t = p.n. = według prawdopodobieństwa? 6. Rozpatrzmy następujące 3 własności procesów: a) ciągłość trajektorii; b) stochastyczną ciągłość (tzn. X t P Xs gdy t s); c) ciągłość wg p-tego momentu (tzn. E X t X s p gdy t s). Jakie implikacje zachodzą między powyższymi własnościami? 2

3 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 3 1. Wykaż, że trajektorie procesu Wienera nie są lokalnie 1/2-hölderowskie. 2. Scentrowany proces gaussowski nazywamy ułamkowym ruchem Browna, jeśli E X t X s 2 = t s 2α (można wykazać, że taki proces istnieje dla < α < 1). Udowodnij, że ułamkowy ruch Browna ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii? 3. Załóżmy, że T jest przedziałem i określmy: F t+ := ( F s, F t := σ F s ). s>t a) Wykaż, że filtracja F t+ jest prawostronnie ciągła, tzn. F t++ = F t+. b) Udowodnij, że jeśli F t = Ft X jest filtracją generowaną przez proces X o lewostronnie ciągłych trajektoriach, to F t = F t. c) Niech T = [, ), A F oraz X t = (t 1) + I A. Znajdź Ft X. d) Dla X jak w punkcie c) określmy τ := inf{t: X t > }. Wykaż, że τ nie jest momentem zatrzymania względem Ft X ale jest momentem zatrzymania względem Ft+. X 4. Załóżmy, że T jest przedziałem, wykaż, że: a) jeśli τ jest momentem zatrzymania, to {τ < t} F t dla wszystkich t b) jeśli {τ < t} F t dla wszystkich t, to τ jest momentem zatrzymania względem F t+. 5. Niech T = [, ), a τ będzie momentem zatrzymania, które ze zmiennych τ + 1, τ 2, (τ 1) + muszą być momentami zatrzymania? 6. Niech T = [, ), a X t procesem F t -adaptowalnym o ciągłych trajektoriach. Wykaż, że dla A otwartego τ A := inf{t: X t A} jest momentem zatrzymania względem F t+. 7. Wykaż, że jeśli τ i σ są momentami zatrzymania, to τ σ jest momentem zatrzymania, F τ σ = F τ F σ oraz zdarzenia {τ < σ}, {τ = σ} i {τ σ} należą do F τ, F σ i F τ σ. 8. Wykaż, że jeśli τ jest momentem zatrzymania, to proces X t := I [,τ) (t) jest progresywnie mierzalny. 9. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem (F t ) t T, a (X t ) będzie procesem F t -adaptowalnym. Wykaż, że a) τ jest F τ -mierzalne b) Jeśli τ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to X τ jest F τ mierzalny na zbiorze τ <. 1. Wykaż, że jeśli σ jest momentem zatrzymania, τ σ oraz τ jest F σ mierzalny, to τ jest momentem zatrzymania. 11. Wykaż, że jeśli proces X t ma niezależne przyrosty i prawostronnie ciągłe trajektorie, to dla s < t zmienna X t X s jest niezależna od F X s+. s<t 3

4 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 4 1. Załóżmy, że N t jest procesem Poissona, tzn. procesem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że N =, N ma przyrosty niezależne, oraz N t N s Poiss(t s) dala t > s. Wykaż, że (N t λt) t oraz ((N t λt) 2 λt) t są martyngałami względem (Ft N ) t 2. Wykaż, że (exp(λw t λ2 t 2 ), F W t ) t jest martyngałem dla dowolnego λ R. 3. Niech W t będzie n-wymiarowym procesem Wienera, a f funkcją harmoniczną na R n taką, że E f(w t ) < dla wszystkich t. Wykaż, że (f(w t ), Ft W ) t jest martyngałem. 4. (Prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera) Wykaż, że a) lim sup 2t W t t ln ln t = 1 p.n. W b) lim inf t t 2t ln ln t = 1 p.n. Wskazówki: i) Niech C > 1 oraz u > C 1/2. Wykaż, że ( P sup W t u ) 2C n ln ln C n < C n t C n+1 n i wywnioskuj stąd, że lim sup t W t 2t ln ln t u p.n. ii) Wykaż, że lim sup 2t W t W t ln ln t 1 p.n. oraz lim inf t t 2t ln ln t 1 p.n. iii) Udowodnij, że dla g N (, 1) i t >, 1 ( 1 2π t 1 ) t 3 e t2 /2 P(g t) 1 e t2 /2. 2πt iv) Wykaż, że dla C > 1 i u < 1 P(WC n W C n 1 u 1 1/C 2C n ln ln C n ) = i wywnioskuj stąd i z ii), że lim sup 2t W t t ln ln t u(1 1/C) 1/2 C 1/2 p.n. 5. Udowodnij, że a) lim sup t + W t 2t ln ln(1/t) = 1 p.n. W b) lim inf t t + = 1 p.n. 2t ln ln(1/t) 4

5 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 5 1. Które z podanych niżej warunków implikują jednostajną całkowalność ciągu X n : a) sup n E X n <, b) sup n E X n 2 <, c) E sup n X n <, d) zbieżność X n w L 1, e) zbieżność X n p.n.? 2. Wykaż, że martyngał M t = exp(λw t λ 2 t/2) jest zbieżny p.n. i znajdź jego granicę. Czy jest on zbieżny w L 1? 3. Niech W t = (W 1 t,..., W d t ) będzie d wymiarowym procesem Wienera, a x R d oraz d > 2. a) Wykaż, że W t x 2 d jest nieujemnym nadmartyngałem. b) Udowodnij, że W t x 2 d zbiega przy t do według prawdopodobieństwa i p.n. i wywnioskuj stąd, że lim t W t = p.n.. c) Wykaż, że dla prawostronnie ciągłego nadmartyngału (X t ) t a zachodzi λ> λp(sup t a d) Wykaż, że P( t> W t = x ) =. X t λ) sup EXt + EX a. t 4. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem F W t. a) Wykaż, że (W τ n, F τ n ) n=1 jest martyngałem. b) Udowodnij, że jeśli Eτ <, to E sup n W 2 τ n <. c) Wykaż, że jeśli Eτ <, to EW 2 τ = Eτ i EW τ =. 5. Niech W t będzie jednowymiarowym procesem Wienera oraz τ a := inf{t > : W t = a}, τ a := inf{t > : W t = a}. Rozpatrując martyngały W t i Wt 2 t wykaż, że a) τ a < p.n. dla wszystkich a R, b) P(τ a < τ b ) = b a+b dla a, b >, c) E τ a = a 2 dla a, d) Eτ a τ b = ab dla a, b >, e) Eτ a = dla wszystkich a. 6. Rozpatrując martyngały Mt λ = exp(λw t λ 2 t/2) oraz Nt λ = (Mt λ + Mt λ )/2 wykaż, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania, dla wszystkich a, λ, a) Ee λτa = e a 2λ, b) Ee λ τa = (cosh(a 2λ)) 1. 5

6 7. Załóżmy, że h jest niemalejącą funkcją ciągłą na przedziale [a, b]. Udowodnij, że a) Jeśli g ma wahanie skończone, to g h też ma wahanie skończone b) Jeśli h(b) fdg istnieje, to h(a) b a f(h(t))dg(h(t)) = h(b) h(a) f(s)dg(s). 8. Załóżmy, że f, g, h: [a, b] R, przy czym f i g są ciągłe, a h ma wahanie skończone. Udowodnij, że a) H(x) = x g(t)dh(t) ma wahanie skończone na [a, b]. a b) b a fdh = b a fgdh. 9. Wykaż, że dla dowolnej funkcji ciągłej f o wahaniu skończonym na [a, b] zachodzi b a f(s)df(s) = 1 2 (f 2 (b) f 2 (a)). 1. Oblicz granice w L 2 (Ω) przy n a) n 1 k= W tk/n(w t(k+1)/n W tk/n ) b) n 1 k= W t(k+1)/n(w t(k+1)/n W tk/n ). 6

7 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 6 1. Oblicz Cov( s h 1(t)dW t, s h 2(t)dW t ) dla h 1, h 2 L 2 ([, s]). 2. Niech C p := (E W 1 p ) 1/p. Wykaż, że dla < p <, przekształcenie h Cp 1 h(t)dw t jest izometrycznym włożeniem L 2 ([, T ]) w L p (Ω). T 3. Wykaż, że dla u < t i h L 2 ([, t]) zachodzi u h(s)dw s = 4. Wykaż, że dla h C 1 [, t] zachodzi 5. Wykaż, że proces h(s)dw s = h(t)w t h1 [,u] (s)dw s p.n. h (s)w s ds p.n. { (1 t) 1 Y t = 1 s dw s t < 1 t = 1 ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Z t = W t tw 1 (most Browna). 7

8 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 7 1. Wykaż, że jeśli X L 2 T, t s T oraz ξ jest ograniczoną zmienną losową F t mierzalną to ξxi (t,s] L 2 T oraz s t ξxdw = ξ s XdW (Uwaga: t s t XdW definiujemy jako T 1 (s,t]xdw ). 2. Wykaż, że jeśli < t 1 <... < t m < T oraz ξ k są zmiennymi losowymi w L 2 (Ω), F tk mierzalnymi to proces X := m 1 k=1 ξ k1 (tk,t k+1 ] należy do L 2 T oraz XdW = m 1 k=1 ξ k(w tk+1 t W tk t). 3. Załóżmy, że X jest procesem prognozowalnym, ciągłym w L 2 (tzn. t X t jest ciągła z [, T ] w L 2 (Ω)). Wykaż, że wówczas X L 2 T oraz dla dowolnego ciągu podziałów = t (n) t (n) 1... t (n) k n = T o średnicy zbiegającej do zera zachodzi dla t T k n 1 k= w L 2 (Ω) przy n. 4. Oblicz W sdw s. X (n) t (W (n) k t k+1 T W (n) t ) XdW k 5. Niech τ będzie momentem zatrzymania takim, że Eτ <. Wykaż, że 1 [,τ] L 2 oraz 1 [,τ] (s)dw s = W τ. Wywnioskuj stąd, że EW τ = oraz EWτ 2 = Eτ. 6. Dla a, b > określmy τ := inf{t : W t = a b + t}. Wykaż, że τ < p.n. oraz Eτ < wtedy i tylko wtedy gdy a < 1. Ponadto dla a < 1, Eτ = a2 b 1 a 2. 7* Niech ξ będzie zmienną losową o skończonej wariancji taką, że Eξ =. Wykaż, że istnieje moment zatrzymania τ taki, że W τ ma ten sam rozkład co ξ oraz Eτ = Eξ Załóżmy, że M jest adaptowalnym, prawostronnie ciągłym procesem takim, że M = i dla wszystkich t, E M t <. Wykaż, że M jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy EM τ = dla wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania τ. 8

9 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 8 1. Niech A będzie pewną klasą procesów adaptowalnych na [, T ) taką, że jeśli X A to X τ A dla dowolnego momentu zatrzymania τ. Przez A loc oznaczamy wówczas klasę tych procesów adaptowalnych na [, T ) dla których istnieje rosnący ciąg momentów zatrzymania τ n taki, że τ n T oraz X τn A dla wszystkich n. a) Wykaż, że jeśli X A loc to X τ A loc dla dowolnego momentu zatrzymania τ b) Wykaż, że (A loc ) loc = A loc c) Wykaż, że jeśli A jest liniowa to A loc też jest liniowa. 2. Wykaż, że M M M c loc wtedy i tylko wtedy, gdy M M M 2,c loc. 3. a) Wykaż, że każdy ograniczony ciągły martyngał lokalny jest martyngałem. b) Wykaż, że każdy nieujemny całkowalny ciągły martyngał lokalny jest nadmartyngałem. c*) Podaj przykład nieujemnego całkowalnego ciągłego martyngału lokalnego, który nie jest martyngałem. 4. Niech X Λ 2 T, t < s T oraz ξ będzie zmienną losową F t 1 mierzalną (niekoniecznie ograniczoną). Wykaż, że ξx1 (t,s] Λ 2 T oraz s t ξxdw = ξ s t XdW. 5. Niech M M 2,c loc oraz X Λ2 T (M). Wykaż, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ zachodzi ( XdM) τ = XdM τ = X1 [,τ] dm = X1 [,τ] dm τ. W szczególności jeśli procesy X i Y pokrywają się na przedziale [, τ], to ( XdM) τ = ( Y dm) τ. 6. Niech X będzie martyngałem lokalnym takim, że X t Y dla wszystkich t oraz EY <. Wykaż, że X jest martyngałem. 7. Wykaż, że każdy ciągły martyngał lokalny M = (M t ) t<t, którego trajektorie mają skończone wahanie na każdym przedziale [, t] jest stale równy M. 9

10 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 9 1. Niech M = Wt 2 dw t. Oblicz EMs 2. Jak wygląda przestrzeń L 2 T (M)? Czy należy do tej przestrzeni? W 1 t 2. Oblicz W 1, W 2, gdzie W 1, W 2 są niezależnymi procesy Wienera. 3. Udowodnij, że a) M, M = M = M, b) M, N = N, M, c) M M, N = M, N N = M M, N N = M, N, d) (N, M) M, N jest przekształceniem dwuliniowym, e) M τ, N τ = M τ, N = M, N τ = M, N τ, f) Jeśli M M 2,c loc, X, Y Λ2 T (M) oraz N 1 = X dm, N 2 = Y dm, to N 1, N 2 = XY d M. g) Jeśli M 1, M 2 M 2,c loc, X Λ2 T (M 1) Λ 2 T (M 2) oraz N i = X dm i to N 1, N 2 = X 2 d M 1, M Wykaż, że a) M, N M N b) Wah [s,t] ( M, N ) 1 2 [ M t M s + N t N s ]. 5. Niech M, N M c loc oraz X Λ2 T (M) Λ2 T (N). Uzasadnij, że X Λ 2 T (am + bn) dla a, b R oraz Xd(aM + bn) = a XdM + b XdN. 1

11 1. Określamy Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 S n (α) = 3n 1 k=n (k+1)/n k/n W 4 s dw s α. a) Wykaż, że ciąg S n (2) jest zbieżny w L 1 i zidentyfikuj jego granicę. b) Co można powiedzieć o zbieżności według prawdopodobieństwa ciągu S n (α) dla α 2? 2. Wykaż, że dla dowolnego procesu M M c loc, X ΛT 2 (M) oraz momentu zatrzymania τ T, E sup t<τ ( ) 2 τ X dm 4E Xs 2 d M s. 3. Załóżmy, że M M c loc, M = zaś τ jest momentem zatrzymania takim, że E M τ <. Wykaż, że M τ jest martyngałem. 4. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części przedstaw W 2 s dw s jako wyrażenie nie zawierające całek stochastycznych. 5. Załóżmy, że X jest procesem ciągłym i adaptowalnym, zaś Z ciągłym semimartyngałem. Wykaż, że jeśli t < T, Π n = (t (n), t(n) 1,..., t(n) k n ) jest ciągiem podziałów [, t] takim, że = t (n) t (n) 1... t (n) k n = t oraz diam(π n ), to k n 1 k= X (n) t (Z (n) k t k+1 Z (n) t ) k X s dz s według prawdopodobieństwa. 11

12 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej Korzystając ze wzoru Itô oblicz W 2 t oraz W t, e Wt. 2. Niech f będzie funkcją klasy C 2 na R 2, korzystając z dwuwymiarowego wzoru Itô oblicz df(t, W t ) oraz df(tw t ). 3. Znajdź proces (A t ) t, którego trajektorie mają wahanie ograniczone na przedziałach skończonych taki, że A = oraz proces X t = sin(2w t 3t) A t jest martyngałem lokalnym. Wykaż, że X t jest martyngałem oraz EX 2 t 4t. 4. Niech Z t = exp(λw t λ 2 t/2). Wykaż, że dz t = λz t dw t tzn. Z t = 1 + λ Z sdw s. 5. Wykaż, że ciąg S n = 3n k=1 k n W 3 k/n (W k/n W (k 1)/n ) jest zbieżny według prawdopodobieństwa i znajdź jego granicę. 6. Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym. Wykaż, że proces N t = exp(m t 1 2 M t) jest ciągłym martyngałem lokalnym oraz nadmartyngałem. Ponadto jeśli M jest ograniczony, to N jest martyngałem. 7. Niech g : R d R będzie funkcją klasy C 2, G zbiorem otwartym ograniczonym w R d oraz x G. Określmy τ := inf{t: W t + x / G}. Korzystając ze wzoru Itô wykaż, że jeśli g jest harmoniczna w G to g(w τ t +x) jest martyngałem. Pokaż, że wystarczy zakładać, iż g jest C 2 w pewnym otoczeniu domknięcia G. 8. Wykaż, że dla 3-wymiarowego ruchu Browna W t i a R 3, a proces X t = W t a 1 jest martyngałem lokalnym, ale nie jest martyngałem. Ponadto X t jest nadmartyngałem oraz zbiega do w L 1 i prawie na pewno. 9. Wykaż, że 2-wymiarowego ruchu Browna W t i a R 2, a proces X t = ln W t a jest martyngałem lokalnym. Wywnioskuj stąd, że z prawdopodobieństwem 1 proces W t omija punkt a, ale trajektoria procesu jest dowolnie bliska punktu a. 12

13 Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej Załóżmy, że W = (W (1), W (2), W (3) ) jest trójwymiarowym procesem Wienera oraz X t := sin(w (3) t )dw (1) t + Wykaż, że X jest procesem Wienera. cos(w (3) t )dw (2) t. 2. Wykaż, że dla a > proces X t = ξe bt + a eb(t s) dw s jest jedynym rozwiązaniem równania dx t = bx t dt+ adw t z warunkiem początkowym X = ξ. Jeśli b < oraz ξ ma rozkład N (, a 2b ) to X t jest procesem stacjonarnym (proces Ornsteina-Uhlenbecka) 3. i) Wykaż, że dla x, σ, b R istnieje dokładnie jeden proces X = (X t ) t taki, że X t = x + σ X s dw s + b X s ds. Ponadto sup t u EX 2 t < dla u <. ii) Oblicz EX t. iii) Znajdź stochastyczne równania różniczkowe spełnione przez X 2 + t i e X. 4. Wykaż, że rozwiązanie równania dx = e X dw 1 2 e 2X dt eksploduje w skończonym czasie. (Wsk. Rozpatrz proces Y = e X ). 5. Niech W = (W 1,..., W d ) będzie d-wymiarowym ruchem Browna, d 2 oraz R t := W t (R t jest nazywane procesem Bessela). Wykaż, że a) B t := d W (j) s j=1 R s dw s (j) jest jednowymiarowym procesem Wienera; b) R t = d 1 2R s ds + B t 6. Znajdź taką miarę probabilistyczną Q na (Ω, F W 1 ), by proces (W t+2t 4 ) t 1 był procesem Wienera względem Q. 7. Niech T <, U będzie procesem Wienera na (Ω, F, P), ( Z t = exp b(s, U s )du s 1 2 ) b 2 (s, U s )ds, W t := U t b(s, U s )ds. Stosując twierdzenie Girsanowa wykaż, że jeśli EZ T = 1 to istnieje miara probabilistyczna Q T taka, że na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, Q T ) para (W t ) t T jest procesem Wienera oraz du t = b(t, U t )dt + dw t, t T, U =. (1) 13