r u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ.
|
|
- Tomasz Olejniczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie Mamy ustalone T > 0 horyzont, (Ω, F, P) z F filtracja, F = {F t } t [0,T ] oraz Proces chwilowej stopy procentowej r = (r t ) t [0,T ], tzn. rachunek bankowy spełnia ODE: db t = B t r t dt, B 0 = 1. Rozwiazanie jest postaci ( t B t = exp 0 ) r u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
2 Przyrzeczona wypłata X - zobowiazanie do spłacenia w momencie wykupu T < T Przyrzeczone dywidendy A - zobowiazania (kupony) płacone w sposób cigły lub dyskretny. Wypłata zastępcza X wypłacana w T jeżeli default nastapił przed lub w momencie wykupu T. Proces wypłaty zastępczęj (odzysku) Z - wypłata zastępcza wypłacana w momencie defaultu. P - prawdopodobieństwo statystyczne (historyczne,rzeczywiste). M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
3 Założenie A : Definicja Procesy V,Z,A,v sa F progresywnie mierzalne. Zmienne losowe X, X sa F T mierzalne. Proces A ma skończone wahanie, oraz A 0 = 0. Odopowiednia całkowalność wszystkich losowych obiektów. Wypłata narażona na ryzyko kredytowe nazywamy piatkę (X, A, X, Z, τ) M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
4 Proces indykatora defaultu H t := 1 {t τ}. Definicja Procesem dywidend D wypłaty narażonej na ryzyko kredytowe (X, A, X, Z, τ) o terminie wykupu T definujemy dla każdego t R + wzorem D t = XT d 1 [T, [(t) + (1 H u )da u + Z u dh u, (0,t] (0,t] gdzie X d T := X1 {τ<t } + X1 {τ T }. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
5 Mamy (0,t] (1 H u )da u = A t 1 {t<τ} + A τ 1 {t τ} tzn że jeżeli jest jakaś płatność w chwili t = τ nie jest ona wypłacana. Ponadto (0,t] Z u dh u = Z τ 1 {t τ} M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
6 Założenie B : Istnieje miara martyngałowa Q (miara martyngałowa spot). Miara taka że ceny aktywów nie płacacych dywidend zdyskontowane rachunkiem bankowym sa Q-martyngałami. Definicja Dla każdego t [[0, T ]] cena ex-dividend wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) S t := B t E Q Bu 1 dd u F t. (t,t ] Zadanie Pokazać że St = S t B 1 t jest podmartyngałem (nadmartyngałem) przy mierzez Q wtedy gdy D jest malejacy (rosnacy). M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
7 Definicja Dla każdego t [0, T ] skumulowana cena S c wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) St c = B t E Q Bu 1 dd u F t = S t + B t Bu 1 dd u. (0,T ] (0,t] Zadanie Pokazać że S c t = S c t B 1 t jest Q-martyngałem. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
8 Obligacja zero-kuponowa z ryzykiem kredytowym Niech A = 0, Z = 0, X = L, gdzie L stała L > 0. Dla (L, 0, X, 0, τ) proces S reprezentuje cenę obligacji zerokuponowej o nominale L i wypłacie zastępczej X w momencie wykupu. Dla t < T mamy ( D(t, T ) = B t E B 1 T (L1 {τ>t } + X1 ) {τ T } ) F t Inna reprezentacja gdzie D(t, T ) = LB t E δ(t ) := X L stopa odzysku w przypadku defaultu. ( B 1 T (1 {τ>t } + δ(t )1 {τ T } ) F t ) M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
9 Jeszcze inna reprezentacja ( ( )) D(t, T ) = L B(t, T ) B t E B 1 T w(t )1 {τ T } F t gdzie B(t, T ) cena obligacji zerokuponowej skarbowej: ( ) B(t, T ) = B t E F t B 1 T w(t ) strata (procentowa) (write-down rate upon default) w(t ) = 1 δ(t ) Cena zależy od łacznego rozkładu przy mierze Q z.l. (B T, δ(t ), τ) lub (B T, w(t ), τ) M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
10 Jeszcze inna reprezentacja ( ( )) D(t, T ) = L B(t, T ) B t E B 1 T w(t )1 {τ T } F t gdzie B(t, T ) cena obligacji zerokuponowej skrabowej: ( ) B(t, T ) = B t E F t w(t ) strata (procentowa) B 1 T w(t ) = 1 δ(t ) M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
11 Założenie B : B jest deterministyczny. B(t, T ) = B t B 1 T Wtedy mamy reprezentacje D(t, T ) = L t (1 w (t, T )), gdzie lub gdzie L t := LB(t, T ), w (t, T ) := E ( ) w(t )1 {τ T } F t D(t, T ) = L t (1 wt pt ), pt := Q(τ T F t ), wt := E ( ) w(t )1 {τ T } F t Q(τ T F t ) M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
12 Założenie B : δ(t ) = δ [0, 1] jest deterministyczne. Wtedy w(t ) = w = 1 δ oraz mamy reprezentacje D(t, T ) = L t (1 wpt ), gdzie p t := Q(τ T F t ). UWAGA! Nie ma powodu dla ktorego mielibyśmy mieć w ogólności Q(τ T F t ) = P(τ T F t ). Skad wiec wziaść Q(τ T F t )? Z modelu!? Z rynku!? M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
13 Model Mertona Załóżmy, że 1 Rachunek bankowy jest deterministyczny r t = r, t [0, T ]. 2 W aktywa firmy można investować. 3 Rynek jest wolny od arbitrażu i zupełny. 4 Proces wartości aktywów firmy spełnia SDE dv t = V t ((r κ)dt + σ V dw t ), V 0 = v. gdzie r, κ, σ V stałe, W - proces Wienera przy mierze Q, filtracja F := F W = F V. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
14 Model Mertona Postulaty 1 Firma ma pojedyncze zobowiazanie w chwili T o nominale L. 2 Zdolność firmy do wykupu długu/spłaty zobowiazania jest określona tylko przez wartość V T. 3 Default może zajść tylko w chwili T gdy V T < L tzn τ = T 1 {VT <L} + 1 {VT L}. 4 W chwili T posiadacz obligacji otrzyma wypłatę L1 {VT L} + V T 1 {VT <L} = min {V T, L} M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
15 W modelu Mertona mamy X = L, X = VT, A = 0, Z = 0, Niech D(t, T ) oznacza cenę ex-dividend wypłaty (L, V T, 0, 0, τ). Wtedy dla t < T mamy ( ) D(t, T ) = B t E B 1 T (L1 {V T L} + V T 1 {VT <L}) F t Zauważmy że ta wypłatę w chwili T można zapisać Stad L1 {VT L} + V T 1 {VT <L} = min {V T, L} = L (L V T ) + D(t, T ) = Le r(t t) P t gdzie P t cena opcji sprzedaży na aktywa firmy V z cena wykonania L. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
16 Theorem Dla t [0, T ) cena D(t, T ) obligacji narażonej na ryzyko kredytowe jest dana wzorem D(t, T ) = V t e κ(t t) N( d 1 (V t, T t)) + Le r(t t) N(d 2 (V t, T t)), gdzie d 1,2 (V t, T t) = ln(v t/l) + (r κ ± 1 2 σ2 V )(T t) σ V T t Wynika z opcyjnej reprezentacji D(t, T ) = Le r(t t) P t, oraz z wzorów BS P t = Le r(t t) N( d 2 (V t, T t)) V t e κ(t t) N( d 1 (V t, T t)), M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
17 Distance to default Stad Stad ( P(V T L F t ) = N ln(v ) t/l) + (µ 1 2 σ2 V )(T t)) σ V T t ( ) ln(vt /L) + (µ 1 2 P(V T > L F t ) = N σ2 V )(T t)) σ V T t Definicja Odległość od defaultu jest dana przez ln(v t /L) + (µ 1 2 σ2 V (T t)) = E P(ln V T F t ) ln L σ V T t σ V T t M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
18 Kapitał własny firmy (Equity) Kapitał firmy w chwili T E(V T ) = V T Debt(V T ) = V T min {V T, L} = (V T L) + kapitał firmy w chwili t [0, T ] E(V t ) = V t e κ(t t) LB(t, T ) + P t = C t Na akcjonariuszy (udziałowców) można więc patrzeć jak na investorów zajmujacych długa pozycję w opcji kupna na aktywa firmy. V T < L V T L Obligacja V T L Equity 0 V T L M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
19 Obligacje z pierwszeństwem (Subordinated debt) Rozważmy teraz przypadek gdy firma ma dwa zobowiazania o wartościach nominalnych L S i L J. Załóżmy że L S opdowiada obligacji z pierwszeństwem spłaty długu (senior), L J odpowiada obligacji która jest spłacana w drugiej kolejności (junior). Wtedy mamy wypłaty w chwili T : V T < L S L S V T < L S + L J L S + L J V T Obligacja Senior V T L S L S Obligacja Junior 0 V T L S L J Equity 0 0 V T (L S + L J ) Wyznaczyć reprezentacje opcyjna cen obligacji senior, junior oraz kapitału. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
20 Credit Spread Rentownościa obligacji bez ryzyka nazywamy r(t, T ) takie że stad r(t,t )(T t) B(t, T ) = e r(t, T ) = 1 ln B(t, T ) T t Rentownościa obligacji kredytowej o nominale L nazywamy r d (t, T ) takie że D(t, T ) = Le r d (t,t )(T t) czyli r d ln D(t, T ) L (t, T ) = T t M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
21 Zadanie Credits spread jest natomiast definiowany dla t [0, T ) S(t, T ) = r d (t, T ) r(t, T ) = 1 LB(t, T ) ln T t D(t, T ) lub poprzez własność S(t,T )(T t) D(t, T ) = LB(t, T )e W rzeczywistość rentowności obligacji emitowanych przez firmy sa większe od rentowności obligacji skarbowych czyli S(t, T ) > 0. Dla uproszczenia weźmy κ = 0. Pokazać, że w modelu Mertona mamy S(t, T ) > 0. Ponadto { 0 gdy V T > L lim S(t, T ) = t T + gdy V T < L. M. Niewęgłowski (MINI PW) Modelling dependence 5 wrzesnia, / 21
Modelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1.
1 Ex-dividend prices Modelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1. Mariusz Niewęgłowski 19 października 2014 Definicja 1. Dla każdego t [0, T ] cena ex-dividend wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) S t := B t E Q Bu
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe
Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz.i
Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz.i Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 214 hazardu Warszawa 214 1 /
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU
Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa 2014 1 / 18 Proces
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego: MODEL BLACK-COX A
Modelowanie ryzyka kredytowego: MODEL BLACK-COX A Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014 Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoWycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy
Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoKredytowe instrumenty pochodne
Kredytowe instrumenty pochodne Dr. Andrzej Kulik MiNI PW 13 grudnia 2013 Jak działa CDS? Commerzbank kupuje 5-letnią protekcję na BASF od Deutsche Bank na nominał $10 mln płacąc premię 50 bp p.a. (kwartalnie,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoOgólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008
Przemysław Klusik Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne -
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoPapiery wartościowe o stałym dochodzie
Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoZatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. j=1
Model Rynku z czasem dyskretnym n = 0,1,2, S 1 (n), S 2,, S m (n) - czas - ceny m aktywów obciążanych ryzykiem (akcji) w momencie : dodatnie zmienne losowe. - cena aktywa wolnego od ryzyka (obligacji)
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą
Bardziej szczegółowoWzory matematyka finansowa
Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoWstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji
Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008
Bardziej szczegółowoStochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa
Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Błądzenie losowe................................ 1 1. Proces Wienera................................. 1.3
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Rozwiązania zadań Wersja z dnia 1 marca 2005, z drobnymi poprawkami
Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia 2005 Rozwiązania zadań Wersja z dnia marca 2005, z drobnymi poprawkami Uwaga: Dla uproszczenia we wszelkich obliczeniach przyjęliśmy, że długość n-miesięcznego
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje
Bardziej szczegółowo8. Papiery wartościowe: obligacje
8. Papiery wartościowe: obligacje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoZadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowoRynek, opcje i równania SDE
Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż
Bardziej szczegółowo4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu
.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater
Bardziej szczegółowo1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt)
II Etap Maj 2013 Zadanie 1 II Etap Maj 2013 1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) 1.1/podaj definicję składnika
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty poniesione
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowoInżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe
Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011 1 Rynkowe stopy procentowe Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp 2 3 Definicje stóp
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy
Bardziej szczegółowoMirosław Wójciak Akademia Ekonomiczna w Katowicach Aleksandra Wójcicka Akademia Ekonomiczna w Poznaniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Mirosław Wójciak Akademia Ekonomiczna
Bardziej szczegółowoJak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014
Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy
Bardziej szczegółowoTRANSAKCJE SWAP: - PROCENTOWE - WALUTOWE - WALUTOWO-PROCENTOWE - KREDYTOWE
TRANSAKCJE SWAP: - PROCENTOWE - WALUTOWE - WALUTOWO-PROCENTOWE - KREDYTOWE 1 SWAP - fixed-to-floating rate IRS - swap procentowy jest umową, w której dwie strony uzgadniają, że będą w ustalonych terminach
Bardziej szczegółowo}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0,
Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1 1. Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMRF2019_W6. Kontrakty teminowe
Kontrakty teminowe Transakcja (kontrakt) forward to umowa sprzedaży określonego dobra (bazowego) realizowana w z góry określonym terminie i po z góry określonej cenie. W dniu realizacji transakcji następuje
Bardziej szczegółowoDr hab. Renata Karkowska, ćwiczenia Zarządzanie ryzykiem 1
1 Rodzaje i źródła ryzyka stopy procentowej: Ryzyko niedopasowania terminów przeszacowania, np. 6M kredyt o stałym oprocentowaniu finansowany miesięcznymi lokatami o zmiennym oprocentowaniu. Ryzyko podstawy
Bardziej szczegółowoMateriały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap
Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Podstawowe zagadnienia: 1. Wycena swapa procentowego metodą wyceny obligacji 2.
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoOPISY PRODUKTÓW. Rabobank Polska S.A.
OPISY PRODUKTÓW Rabobank Polska S.A. Warszawa, marzec 2010 Wymiana walut (Foreign Exchange) Wymiana walut jest umową pomiędzy bankiem a klientem, w której strony zobowiązują się wymienić w ustalonym dniu
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy
Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy Piotr Bańbuła Katedra Rynków i Instytucji Finansowych, KES Październik 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zakup syntetycznej obligacji +1 mln PLN: emisja obligacji/krótka
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa: 4. FRA i IRS
Inżynieria Finansowa: 4. FRA i IRS Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Marzec 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zakup syntetycznej obligacji +1 mln PLN: emisja obligacji/krótka sprzedaż/pożyczka
Bardziej szczegółowoOd obligacji do swapcji. Ile to kosztuje?
Od obligacji do swapcji Ile to kosztuje? Względny udział w rynku instrumentów pochodnych Jaka jest cena pieniadza? Zwyczajowo jest to procent kapitału jaki podlega obrotowi. Taka definicja nie jest wygodna.
Bardziej szczegółowoCzy opcje walutowe mogą być toksyczne?
Katedra Matematyki Finansowej Wydział Matematyki Stosowanej AGH 11 maja 2012 Kurs walutowy Kurs walutowy cena danej waluty wyrażona w innej walucie np. 1 USD = 3,21 PLN; USD/PLN = 3,21 Rodzaje kursów walutowych:
Bardziej szczegółowo1. Ubezpieczenia życiowe
1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas
Bardziej szczegółowoQuantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński
czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)
Bardziej szczegółowoEgzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoOpcje - wprowadzenie. Mała powtórka: instrumenty liniowe. Anna Chmielewska, SGH,
Opcje - wprowadzenie Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony wcześniej kurs terminowy. W dniu rozliczenia transakcji terminowej forward:
Bardziej szczegółowoR NKI K I F I F N N NSOW OPCJE
RYNKI FINANSOWE OPCJE Wymagania dotyczące opcji Standard opcji Interpretacja nazw Sposoby ustalania ostatecznej ceny rozliczeniowej dla opcji na GPW OPCJE - definicja Kontrakt finansowy, w którym kupujący
Bardziej szczegółowoWskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino
Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,
Bardziej szczegółowoII Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2
II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014 Zadanie 2 1/ Analizowane są dwie spółki Alfa i Gamma. Spółka Alfa finansuje swoją działalność nie korzystając z długu, natomiast spółka Gamma finansuje
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoO procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna
Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 4: UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.10.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.
Komisa Egzaminacyna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowane:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoZadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:
Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20: E X 20 8 oraz znamy następujące charakterystyki dotyczące przedziału 10, 20 : 3 Pr
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoInwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.
Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.
Bardziej szczegółowoAnaliza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sp. ze stałymi kosztami za transakcje
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sprzedaży ze stałymi kosztami za transakcje Instytut Matematyczny PAN Problem bez stałych kosztów za transakcje (Ω, F, (F t ), P) przestrzeń
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 2
1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i
Bardziej szczegółowodr hab. Marcin Jędrzejczyk
dr hab. Marcin Jędrzejczyk Przez inwestycje należy rozumieć aktywa nabyte w celu osiągnięcia korzyści ekonomicznych, wynikających z przyrostu wartości tych zasobów, uzyskania z nich przychodów w postaci
Bardziej szczegółowoPowtórzenie. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Powtórzenie Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Średnia wartość stopy zwrotu dla wszystkich spółek finansowych wynosi 12%, a odchylenie standardowe 5,1%. Rozkład tego zjawiska zbliżony jest do rozkładu normalnego.
Bardziej szczegółowoInwestowanie w obligacje
Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej
Bardziej szczegółowoOpcje podstawowe własności.
Opcje podstawowe własności. Opcja jest to rodzaj umowy między dwoma podmiotami i jednocześnie instrument finansowy. Opcje kupna (call) dają posiadaczowi prawo do kupienia określonego w umowie aktywa (bazowego)
Bardziej szczegółowoWycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne
Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoInżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA
Inżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 18 października 2011 Zadanie 3.1 W dniu 18 października 2004 Bank X kwotował: 3M PLN Depo -
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowo