W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

Transkrypt

1 W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe, rozkłady 1

2 Matematyczny model eksperymentu losowego Eksperyment losowy opisujemy za pomocą układu zwanego przestrzenia probabilistyczną: [, B, P] zbiór zdarzeń elementarnych (przestrzeń próbek) B zbiór zdarzeń losowych P prawdopodobieństwo zdarzeń ze zbioru B Model zaproponowany przez Kołmogorowa (1933) Zdarzenia elementarne jest to zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego, zbiór zdarzeń elementarnych - element zbioru, zdarzenie elementarne (pojęcie pierwotne) Przykład 1: eksperyment pojedynczy rzut kostką = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, i wyrzucenie i oczek Przykład 2: eksperyment obserwujemy czas życia elementu chwila uszkodzenia 0 = [0, ) czas 2

3 Zdarzenia losowe Zdarzenia losowe będą określane jako podzbiory zbioru. Jeśli jest - skończony (lub przeliczalny) wówczas zbiór zdarzeń losowych B jest to zbiór wszystkich podzbiorów Przykład 1: eksperyment pojedynczy rzut kostką, zdarzenia: A 1 = { 1, 3, 5 } A 2 = { 6 } Zdarzenia losowe Jeśli jest jest nieprzeliczalny - wówczas trzeba nałożyć pewne ograniczenia na rodzinę podzbiorów B zbiór zdarzeń losowych rodzina podzbiorów spełniająca warunki: 1. jest elementem B 2. Jeśli A jest elementem B, to dopełnienie A jest elementem B 3. Jeśli A 1,A 2, (przeliczalny ciąg) należą do B, wówczas A i należy do B i=1 Taka rodzinę zbiorów nazywamy ciałem borelowskim podzbiorów zbioru B (lub -algebrą) 3

4 Zdarzenia losowe - własności Zbiór pusty należy do B Jeśli A 1,A 2, (przeliczalny ciąg) należą do B, wówczas A i należy do B i=1 Jeśli A 1,A 2 należą do B, wówczas różnica zdarzeń A 1 \ A 2 należy do B - zdarzenie niemożliwe - zdarzenie pewne Przykład 2: eksperyment obserwujemy czas życia elementu, = [0, ) Przykłady zdarzeń losowych: Uszkodzenie nastąpi pomiędzy 1000 a 2000 godziną pracy: A 1 = : Uszkodzenie nastąpi po przepracowaniu co najmniej 2000 godzin: A 2 = : >

5 Prawdopodobieństwo Zdarzaniom losowym przypisujemy liczby z przedziału [0, 1] P(A) prawdopodobieństwo zdarzenia A Prawdopodobieństwo P funkcja określona na ciele B spełniająca warunki: 1. Dla każdego A B zachodzi P(A) 0 2. P( ) = 1 3. Jeśli zdarzania losowe A 1,A 2, (przeliczalny ciąg) są wzajemnie rozłączne (tzn. A j A k = dla j k), wówczas P i=1 A i = i=1 P(A i ) Własności P( ) = 0 P( ) = 1 P( A) = P( \ A) = 1 P(A) - pr. zdarzenia dopełniającego P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) - pr. sumy zdarzeń A B A B 5

6 Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B P A B = P(A B) P(B) A A B B Zdarzenia niezależne Zdarzenia A i B są niezależne jeśli: P(A B) = P(A) P(B) alternatywna definicja: P A B = P(A) (informacja o tym, że zaszło zdarzenie B nie zmienia prawdopodobieństwa zdarzenia A) A A B B 6

7 Zmienne losowe Jeśli zdarzeniom elementarnym przypiszemy liczby, wówczas otrzymaną wielkość nazywamy zmienną losową. Oznaczamy zwykle dużą literą np. X, T. Przykład: rzut kostką: X liczba wyrzuconych oczek Przykład: uszkodzenie elementu: T czas który upłynął od chwili 0 do chwili uszkodzenia (zmienna losowa ciągła) t wartość, jaką przyjęła zmienna losowa (liczba) 0 t chwila uszkodzenia czas Rozkład zmiennej losowej Jak powiązać wartości przyjmowane przez zmienną losową z prawdopodobieństwem? X zmienna losowa przyjmująca wartości z przedziału od - do + Dystrybuanta zmiennej losowej X (cumulative distribution function, cdf) F(x) definiujemy jako prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia X < x (x liczba rzeczywista z przedziału od - do + ) F x = P(X < x) 7

8 Przykład dystrybuanta dla rzutu kostką F(x) 1 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 x P X x F x Przykładowa dystrybuanta dla czasu życia elementu F(t) F t P T t t [h] Na podstawie dystrybuanty możemy ocenić prawdopodobieństwo uszkodzenia elementu przed upływem miliona godzin wynosi ono około

9 Własności dystrybuanty F 1. Jest funkcją niemalejącą, dla a<b: F a F b 2. Jest lewostronnie ciągła: lim F(x ) = F a x a 3. Spełnia warunki dotyczące granic lim x F(x ) = 0 lim x + F(x ) = 1 Gęstość prawdopodobieństwa Jeśli dystrybuantę zmiennej losowej X można przestawić w postaci całki x F x = to zmienną X nazywamy ciągłą. f u du Funkcję f() nazywamy gęstością prawdopodobieństwa rozkładu X (probability density function, pdf). Jeśli dla dystrybuanty F(x) suma prawdopodobieństw wartości, w których F jest nieciągła równa się jeden, to zmienną losową X nazywamy dyskretną. 9

10 Gęstość prawdopodobieństwa - własności 1. f x f u du = 1 Jeśli dystrybuanta jest funkcję różniczkowalną, to f x = df(x) dx Prawdopodobieństwo zdarzeń wyznaczamy z dystrybuanty lub funkcji gęstości F(t) F b F a = P(a T < b) a b f(t) a b f t dt = P a T < b a b 10