Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Transkrypt

1 Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną funkcję X : Ω R spełniającą warunek X 1 (A) F dla każdego zbioru borelowskiego A R. Definicja A.2. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R R określoną zależnością F X (t) = P X ((, t]) = P(X 1 ((, t])) = P (X t). Twierdzenie A.3. Dystrybuanta F X zmiennej losowej X ma następujące własności: 1) F X jest niemalejąca; 2) lim t F X (t) =, lim t F X (t) = 1; 3) F X jest prawostronnie ciągła. Fakt A.4. Dystrybuanty F X zmiennej losowej X ma następujące własności: P(X = t) = F X (t) lim x t F X(x), P(X < t) = lim x t F X(x). Definicja A.5. Zmienna losowa X jest dyskretna (ma rozkład dyskretny), gdy jest skupiona na co najwyżej przeliczalnym zbiorze, tzn. istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór A taki, że P X (a}) = P X (A) = 1. a A P(X = a) = a A Definicja A.6. Zmienna losowa X jest ciągła (ma rozkład ciągły), gdy istnieje funkcja nieujemna rzeczywista f zwana gęstością rozkładu taka, że dla każdego zbioru borelowskiego A w R mamy P X (A) = P(X A) = f(x)dx. Funkcja f spełnia warunek f(x)dx = P X(R) = P(X R) = 1. Fakt A.7. Dla ciągłej zmiennej losowej X o gęstości f i dystrybuancie F mamy F (x) dla każdego x, w którym F jest różniczkowalna. Definicja A.8. Niech zmienna losowa dyskretna X będzie skupiona na zbiorze A = x 1, x 2,...}. Mówimy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X istnieje, gdy x A x P(X = x) <. Wtedy wartością oczekiwaną zmiennej X nazwiemy liczbę A EX = x A x P(X = x). W przeciwnym razie powiemy, że zmienna losowa X nie posiada wartości oczekiwanej. Definicja A.9. Niech ciągła zmienn losowa X ma gęstość f. Mówimy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X istnieje, gdy x f(x)dx <. Wtedy wartością oczekiwaną zmiennej X nazwiemy liczbę EX = x f(x)dx. W przeciwnym razie powiemy, że zmienna losowa X nie posiada wartości oczekiwanej. 1

2 Twierdzenie A.1. Załóżmy, że istnieje wartość oczekiwana EX zmiennej losowej X. Wtedy dla a, b R istnieje wartość oczekiwana zmiennej losowej ax + b i wynosi ona E(aX + b) = aex + b. Twierdzenie A.11. Jeśli X jest zmienną losową przyjmującą wartości całkowite nieujemne, to EX = n=1 P(X n). Twierdzenie A.12. Jeśli X, to EX = (1 F X (t))dt = Twierdzenie A.13. Niech ϕ : R R będzie dowolną funkcją. P(X > t)dt. 1) Jeżeli zmienna losowa dyskretna X jest skupiona na zbiorze A = x 1, x 2,...}, to wartość oczekiwana zmiennej losowej ϕ(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg x A ϕ(x) P(X = x); wtedy Eϕ(X) wyraża się wzorem Eϕ(x) = x A ϕ(x)p(x = x). 2) Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości f, to wartość oczekiwana ϕ(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f(ϕ) jest bezwzględnie całkowalna. Wtedy Eϕ(X) wyraża się wzorem Eϕ(X) = Twierdzenie A.14. Jeżeli X oraz p >, to EX p = p ϕ(x)f(x)dx. t p 1 P(X > t)dt, przy czym istnienie jednej strony implikuje istnienie drugiej i ich równość. Definicja A.15. Jeżeli E((X EX) 2 ) <, to tę liczbę nazywamy wariancją zmiennej losowej X i oznaczamy VarX. Uwaga A.16. Wariancję zmiennej losowej X można obliczyć również ze wzoru VarX = EX 2 (EX) 2. Twierdzenie A.17. Załóżmy, że istnieje wariancja VarX. Wtedy dla a, b R istnieje wariancja zmiennej losowej ax + b oraz Var(aX + b) = a 2 VarX. B Zadania na ćwiczenia Zadanie B.1. Z trójkąta o wierzchołkach (, ), (1, ), (1, 1) wybrano losowo (zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym) jeden punkt. Niech X będzie zmienną losową, która jest pierwszą współrzędną wybranego punktu. a) Opisz przestrzeń probabilistyczną związaną z tym eksperymentem. b) Wyznacz zbiory X 1/2} = X 1 ((, 1/2]), X = 1/2} = X 1 (1/2}). c) Oblicz P(X 1/2) i P(X = 1/2). d) Na jakim zbiorze skupiona jest zmienna losowa X? e) Wyznacz i narysuj dystrybuantę zmiennej losowej X. Opisz jej własności. Zadanie B.2. Rozkład zmiennej losowej ciągłej X określa następująca funkcja gęstości dla x ; k x dla < x 4; dla x > 4. 2

3 a) Wyznacz wartość k, dla której funkcja f(x) jest poprawnie zdefiniowana. b) Podaj postać dystrybuanty zmiennej X. c) Oblicz P(1 X 2). Zadanie B.3. Znajdź stałą c, dla której poniższy ciąg jest rozkładem prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej: a) p i = c i, dla i = 1,..., 5, poza tym ; b) p i = c(1/5) i, dla i = 1, 2,..., poza tym. Podaj dystrybuantę zmiennej losowej X, dla której P X (i}) = P(X = i) = p i. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej X oraz jej wariancję. Zadanie B.4. Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego B(n, p), to znaczy, że P(X = k) = Wyznacz wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej X. ( ) n p k (1 p) n k, k =, 1,..., n. k Zadanie B.5. Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = cos(πx), jeżeli zmienna losowa X ma rozkład geometryczny: P(X = k) = 1, k = 1, 2,.... 2k Podaj wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej Y. Zadanie B.6. Niezależne zmienne losowe X i Y mają następujące rozkłady: P(X = 1) = 1/4, P(X = 3) = 1/2, P(X = 5) = 1/4 oraz P(Y = 2) = P(Y = 4) = 1/2. Niech Z i U będą zmiennymi losowymi danymi wzorami Z = X 2Y + 1 i U = XY. Wyznacz EZ, EU oraz VarZ. Zadanie B.7. Niech X będzie zmienną losową skupioną na zbiorze R + i o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ, to znaczy, że funkcja gęstości zmiennej X zadana jest wzorem λe λx, x >. Znajdź dystrybuantę, wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej X. Zadanie B.8. Zmienna losowa X ma funkcję gęstości daną wzorem Podaj gęstość zmiennej losowej Y = X x + 1 dla 1 x 1; 2 dla pozostałych x. C Zadania domowe Zadanie C.1. Grzesiu zwykle ma problem z podjęciem decyzji o wyjściu z imprezy. Zaraz przed północą rzuca monetą. Jeśli wypadnie orzeł, to wychodzi o północy. Jeśli wypadnie reszka, to wychodzi w losowym momencie między północą a godziną pierwszą. Niech X oznacza moment (czas po północy liczony w godzinach) wyjścia z imprezy. a) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X. b) Na jakim zbiorze skupiona jest zmienna losowa X. c) Oblicz: P(X = ), P(X = 1/2) oraz P(X > 1/2). 3

4 Zadanie C.2. Losujemy punkt x = (x 1, x 2 ) z kwadratu o współrzędnych (, ), (, 1), (1, 1) i (1, ), z jednostajnym prawdopodobieństwem. Niech X będzie zmienną losową daną wzorem X = maxx 1, x 2 }. a) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X. b) Oblicz P(X = 1/2) oraz P(X > 1/2). c) Podaj funkcję gęstości dla rozkładu zmiennej X. Zadanie C.3. Podaj funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Następnie wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej. Zadanie C.4. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem x +, 5 dla, 5 x ;, 5 dla < x <, 5; x dla, 5 x 1. a) Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej X. b) Oblicz P( X >, 5) oraz P( X <, 75). c) Znajdź rozkład oraz gęstość zmiennej losowej 2X 1. Zadanie C.5. Zmienna losowa X ma funkcję gęstości daną wzorem exp( x) dla x > ; dla x. Wyznacz gęstość zmiennej losowej Y = X. Zadanie C.6. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = X 2, jeśli zmienna losowa X podlega rozkładowi wykładniczemu z parametrem λ. Zadanie C.7. Dana jest liczba naturalna k. Rzucamy monetą do momentu aż wyrzucimy przynajmniej k reszek i przynajmniej k orłów. Oznaczmy przez X liczbę rzutów. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X. Zadanie C.8. W tabeli opłat sieci komórkowych można przeczytać, że rozmowa kosztuje 1 zł za minutę, przy czym tak zwane impulsy naliczane są co minutę. Zakładamy, że czas rozmowy ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Wyznacz rozkład zmiennej równej opłacie za rozmowę. Czy ten rozkład ma nazwę? Zadanie C.9. Niech X oznacza liczbę reszek wyrzuconych przy n-krotnym rzucie uczciwą monetą. Niech Y = ( 1) X. Oblicz EY oraz VarY. Podaj rozkład zmiennej Y. Zadanie C.1. Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego z parametrami n i p. Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = cos πx (Uwaga: nie chodzi o wynik w postaci sumy). D Odpowiedzi do zadań domowych C.1. a) b) [, 1] c) 1/2,, 1/4 C.2. a) dla x < ; F X (x) = 1/2 + 1/2x dla x 1; 1 dla x > 1. dla x < ; F X (x) = x 2 dla x 1; 1 dla x > 1. 4

5 b), 3/4 c) C.3. EX = λ, VarX = λ C.4. a) b) 1/2, 3/4 c) C.5. C.6. 2x dla x 1; dla pozostałych x 1 dla x [ 1/2; ] [1/2, 1]; dla pozostałych x 1/2x + 1 dla 2 x 1; F 2X 1 (x) = 1/2 dla 1 < x ; 1/2x dla < x 1 1/2 dla x [ 2, 1] [, 1]; f 2X 1 (x) = dla pozostałych x f Y (x) = 2x exp( x 2 ) dla x > ; dla x. λ exp( λ x) f Y (x) = 2 x dla x < dla x ; C.7. P(X = N) = ( N 1) ( 1 N 1, k 1 2) dla N = 2k, 2k + 1,... C.8. P(X = t) = e (t 1) e t, dla t = 1, 2,... C.9. EY =, VarY = 1, P(Y = 1) = P(Y = 1) = 1/2 C.1. P(Y = 1) = (2p 1)n, P(Y = 1) = (2p 1)n 5