6 Wzór Ito i jego zastosowania

Transkrypt

1 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład Wzór Ito i jego zatoowania 6.1 Wzór Ito Zaczniemy od przedtawienia wzoru Ito. Twierdzenie 6.1 Niech X będzie proceem potaci X = M +, gdzie M M c loc oraz c loc. Rozważmy funkcję rzeczywitą zmiennej rzeczywitej F C (IR). Dla t takich, że, t zachodzi wzór (6.1) F (X t ) = F (X ) + F (X u ) dm u + F (X u ) d u + 1 Dowód. Zauważmy, że wytarczy założyć, że itnieje tała K > taka, że (6.) M t + V t () + M, M t K, t. Rezczywiście, dla każdego n 1 określmy T n = inf{t > : M t + V t () + M, M t > n} F (X u ) d M, M u. Wtedy {T n } n 1 jet ciągiem lokalizacyjnym. Jeśli przez {R n } n 1, {S n } n 1, {V n } n 1, {U n } n 1 oznaczymy ciągi lokalizacyjne dla M,, V (), M, M odpowiednio. Wtedy dla czaów zatrzymania Z n = T n R n S n V n U n, n 1 procey M Zn, Zn, M, M Zn, X Zn ą ograniczone przez n i wzór Ito przyjmie potać F (Xt Zn ) = F (X Zn )+ le F (Xu Zn ) dmu Zn + F (Xt Zn ) = F (X t ) Zn n ( F (Xu Zn ) dmu Zn = F (Xu Zn ) d Zn u = F (X Zn u ) d M Zn, M Zn u = ( ( F (Xu Zn ) d Zn u + 1 F (X t); F (X u ) dm u ) Zn n F (X u ) d u ) Zn n F (X u ) d M, M u ) Zn n F (X Zn u ) d M Zn, M Zn u. F (X u ) dm u ; F (X u ) d u ; F (X u ) d M, M u

2 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład co daje wzór (6.1). Tak, więc wytarczy wykazać wzór Ito przy założeniu (6.). Niech δ t będzie podziałem przedziału [, t tj. δ t = {t,... t n }, gdzie = t < t 1 <... t n = t. Stoując wzór Taylora otrzymujemy F (X t ) F (X ) = [ F (Xti ) F (X ti 1 ) = F (X ti 1 )(X ti X ti 1 )+ 1 F (X ti 1 )(X ti X ti 1 ) + r(x ti X ti 1 )(X ti X ti 1 ), gdzie rezta r(x ti X ti 1 ), gdy X ti X ti 1. Ponieważ X = M +, więc powyżzy wzór przyjmie potać (6.3) F (X t ) F (X ) = 1 F (X ti 1 )(M ti M ti 1 ) + F (X ti 1 )(M ti M ti 1 ) + 1 F (X ti 1 )( ti ti 1 )+ F (X ti 1 )(M ti M ti 1 )( ti ti 1 )+ F (X ti 1 )( ti ti 1 ) + r(x ti X ti 1 )(X ti X ti 1 ). Będziemy teraz zacować ześć kładników prawej trony wzoru (6.3). Ponieważ więc r(x ti X ti 1 ) = O( δ t ) jednotajnie po i, (6.4) r(x ti X ti 1 )(X ti X ti 1 ) O( δ t ) [ (M ti M ti 1 ) + (M ti M ti 1 )( ti ti 1 ) + ( ti ti 1 ). le z twierdzenia 5.18 Ponadto (M ti M ti 1 ) δ t M, M t według prawdopodobieńtwa. (M ti M ti 1 )( ti ti 1 ) up M ti M ti 1 1 i n ti ti 1

3 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład oraz z ciągłości trajektorji M mamy up M ti M ti 1 i ti ti 1 V t () := V t () V (). 1 i n δ t δ t I otatni kładnik w (6.4) bo ( ti ti 1 ) up ti ti 1 1 i n ti ti 1 δ t, up ti ti 1 i ti ti 1 V t () := V t () V (). 1 i n δ t δ t Otatecznie więc r(x ti X ti 1 )(X ti X ti 1 ) δ t Otatni kładnik w (6.3) mamy więc ozacowany. Dalej 1 według prawdopodobieńtwa. F (X ti 1 )( ti ti 1 ) 1 up F (x) up ti ti 1 x [ K,K 1 i n co zmierza do zera, gdy δ t. Ponadto F (X ti 1 )(M ti M ti 1 )( ti ti 1 ) up F (x) up M ti M ti 1 x [ K,K 1 i n ti ti 1 ti ti 1 δ t. Mamy więc wykazaną zbieżność zótego, piątego i czwartego kładnika (6.3). Rozważmy teraz trzeci kładnik w (6.3). Mamy F (X ti 1 )(M ti M ti 1 ) F (X u ) d M, M u F (X ti 1 ) [ (M ti M ti 1 ) M, M t i t i 1 + F (X ti 1 ) M, M t i t i 1 F (X u ) d M, M u

4 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład Zbieżność (wg p-twa) pierwzego kładnia wynika z analogicznego rozumowania jak w dowodzie twierdzenia 5.18(i). Moment drugiego rzędu tego wyrażenia możemy ozacować przez F (x) up x [ K,K E [ (M ti M ti 1 ) M, M t i t i 1 δ t. Drugi kładnik zmierza do zera z ciągłości F. Zatem wykazaliśmy, że 1 F (X ti 1 )(M ti M ti 1 ) δ t 1 F (X u ) d M, M u według prawdopodobieńtwa. Z ciągłości F dotajemy zbieżność drugiego kładnika (6.3), mianowicie F (X ti 1 )( ti ti 1 ) F (X u ) d u δ t Zotał nam już do ozacowania tylko pierwzy kładnik w (6.3). Zauważmy, że F (X ti 1 )(M ti M ti 1 ) = Φ n (u) dm u, gdzie Φ n (u) = F (X ti 1 ) I [ti 1, t i )(u). Pokażemy, że Zauważmy natępującą zbieżność [ [ E Φn (u) F (X u ) d M, M u δ t. [ Φn (u) F (X u ) d M, M u δ t, bo F jet jednotajnie ciągła na [ K, K. Ponieważ powyżzy ciąg jet ograniczony, więc z twierdzenia Lebegue a o zbieżności majoryzowanej dotajemy żądaną zbieżność. Dowód twierdzenia zotał zakończony. Można również podać werję wzoru Ito dla funkcji wielu zmiennych Twierdzenie 6. Niech X t = (Xt 1,..., Xt d ), t będzie proceem wielowymiarowym takim, że dla każdego k = 1,,..., d proce X k jet potaci X k = M k + k,

5 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład gdzie M k M c loc oraz k c loc. Rozważmy funkcję rzeczywitą F : IRd IR taką, że F C (IR d ). Dla t takich, że, t zachodzi wzór F (X t ) = F (X ) d k,l=1 d k=1 F (X u ) x k dm k u + F (X u ) x k x l d M k, M l u. d k=1 F (X u ) x k d k u 6. Zatoowania wzoru Ito Zaczniemy od elementernego lematu Lemat 6.3 Niech M, N M c loc oraz niech c loc to zachodzą trzy równości (i) M t = M + (ii) M t N t = M N + (iii) M t t = M + M u dm u + M, M t, N u dm u + u dm u + M u dn u + M, N t, M u d u. Dowód. by udowodnić (i) wytarczy zatoować wzór Ito dla funkcji F (x) = x, a dla dowodu (ii) oraz (iii) wytarczy przyjąć F (x 1, x ) = x 1 x i zatoować wielowymiarowy wzór Ito. Lemat 6.4 Niech X M c loc (z definicji X = ) takim, że X, X t = t, t oraz niech T będzie kończonym czaem zatrzymania. Wtedy proce Y = {Y t } t określony na (Ω, {G t }, F, P ), gdzie G t = F T +t, t wzorem Y t = X T +t X T, t jet lokalnym martyngałem tzn. Y M c loc i Y, Y t = t, t. Dowód. Niech {T n } będzie ciągiem lokalizacyjnym dla X. Zauważmy, że X Tn, X Tn t = X, X Tn t = T n t. Określmy: {, T n T, S n = T n (T n T ) = T n T, T n > T.

6 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład Z definicji S n wynika, że S n dla n 1. Ciąg {S n } n 1 jet ciągiem lokalizacyjnym względem filtracji G = {G t } t. Rzczywiście, S n dla n 1 ą czaemi zatrzymania względem G, bo dla t mamy {S n t} = ({S n t} {T n T }) ({S n t} {T n > T }) = ({ t} {T n T }) ({T n T t} {T n > T }) = {T n T } ({T }{{} n T + t} {T }{{} n > T }) F }{{} Tn (T +t) F T +t = G t. F Tn T F Tn (T +t) F Tn T Monotoniczność {S n } n 1 wynika z: gdy T n T, to S n = S n+1, gdy T n > T, to T n+1 > T oraz S n = T n T T n+1 T = S n+1. Ponadto jet oczywite, że S n, gdy n. Dla proceu Y zatrzymanego w czaie S n zachodzi wzór (6.5) Y Sn t := Y Sn t := X T +(Sn t) X T = X Tn T +t XTn T. Dowodu wymaga tylko otatnia równość. Gdy T n T, to X T +(Sn t) X T = X T X T = oraz X Tn T +t XTn T = X T n X Tn =. Gdy T T + t < T n, to S n = T n T > t, zatem X T +(Sn t) X T = X T +t X T oraz X Tn T +t XTn T = X T +t X T Gdy T < T n T + t, to S n = T n T t, zatem X T +(Sn t) X T = X Tn X T oraz X Tn T +t XTn T = X T n X T, co kończy dowód rozważanej równości. Ponieważ X Tn M,c, więc Zatem EX T n < i EX T n T < oraz X Tn T +t = E(X T n F T +t ). Y Sn t = X Tn T +t XTn T = E(X T n F T +t ) X Tn T = E(X T n X Tn T F T +t ). Stąd Y Sn M,c. Określmy n t = t S n = T n (T + t) T n T, t. Otatnią równość dowodzi ię podobnie jak (6.5) rozpatrując te ame trzy przypadki. Zauważmy, że dla każdego t zmienna loowa n t jet mierzalna względem G t, bo dla u mamy { n t u} = ({S n u} {S n t}) ({t u} {S n > t}) =

7 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 1 {S n u t} ({t u} {S n > t}) G t. Ponadto proce n = { n t } t ma ciągłe trajektorie, więc jet prognozowalny. Zauważmy, że E( n ) = E(S n ) E(T n ) = E X, X Tn <, czyli n +. Dla dowodu wytarczy wykazać, że { ( ) Yt Sn n t } t M. Korzytając z wnioku 4.1 wytarczy wykazać, że dla dowolnego czau zatrzymania Z mamy E (Y Sn Z ) n Z < oraz E((Y Sn Z ) n Z) =. Pierwzy warunek prawdzamy natychmiat E (Y Sn Z ) n Z = E (X Tn T +Z XTn T ) (T n (T + Z) T n T ) E(X Tn T +Z ) E [ X Tn T E(XTn T +Z G ) + E(X Tn T ) + E (T n (T + Z) T n T ) E(X Tn T +Z ) + E(X Tn T ) + E[T n (T + Z) + E(T n T ) = E X, X Tn T +Z + E X, X Tn T 4E X, X T n <. Drugi warunek dotajemy korzytając z założenia i toując ogólne twierdzenie o topowaniu E[(Y Sn Z ) n Z = E[(X Tn T +Z XTn T ) (T n (T + Z) T n T ) = E[(X Tn T +Z ) E[X Tn T XTn T +Z + E(XTn T ) E(T n (T + Z)) + E(T n T ) = E X, X Tn T +Z E[ X Tn T Zatem Przechodząc z n mamy dla każdego t. E(XTn T +Z G ) + E X, X Tn T E(X Tn T ) + E X, X Tn T =. Y, Y Sn t := Y Sn, Y Sn t = n t = t S n. Y, Y t = t E X, X Tn T +Z + E X, X Tn T = Lemat 6.5 Niech µ będzie regularną werją rozkładu zmiennej loowej X względem σ - algebry B F oraz niech Y będzie zmienną loową B - mierzalną. Załóżmy ponadto, że dana jet funkcja borelowka ϕ taka, że E ϕ(x, Y ) <. Wtedy E [ ϕ(x, Y ) B ( ) = ϕ(x, Y ( )) dµ(x, ), P p.w. W zczególności dla funkcji borelowkiej ψ takiej, że E ψ(x) < mamy E [ ψ(x) B ( ) = ψ(x) dµ(x, ), P p.w. R R

8 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 11 Z lematu 6.5 dotajemy Lemat 6.6 Zmienna loowa X jet niezależna od σ - algebry B F wtedy i tylko wtedy, gdy E [ exp(itx) B = E exp(itx) = exp(itx) µ X (x), P p.w. t R Dowód. Konieczność jet oczywita. Dotateczność. Z lematu 6.5 mamy exp(itx) µ(x, ) = exp(itx) µ X (x), P p.w. t R R Ponieważ funkcja charakterytyczna wyznacza jednoznacznie rozkład, więc Niech F B i B(IR). Wtedy P ( {X } F ) = I (X) dp = co daje żądaną niezależność. F R R µ = µ X, P p.w. F µ(, ) dp = F µ X () dp = P {X }P (F ) Możemy teraz przytąpić do dowodu twierdzenia Lévy ego charakteryzującego w terminach martyngałów ruch Browna Twierdzenie 6.7 (Lévy) Niech X M c loc (X = ) będzie taki, że X, X t = t dla t. Wtedy X jet tandardowym ruchem Browna. Dowód. Na mocy lematu 6.6 wytarczy wykazać E [ exp(iu(x t X )) F = exp [ u (t ), dla < t oraz u IR. Zatoujemy teraz wzór Ito do funkcji F (y) = exp(iuy) z podtawieniem y := Y Tn, gdzie Y v = X +v X dla v [, t, {T n } n 1 ciąg lokalizacyjny dla Y (z lematu 6.4 wynika Y M c loc względem filtracji G v = F +v ) Tn iuyv e Tn iuy = e + iu v Tn iuyz e dyz Tn u v Tn iuyz e dz. Pierwza całka jet martyngałem całkowalnym z kwadratem Stąd po działaniu warunkową wartością oczekiwaną względem G otrzymujemy E [ Tn iuyv e u G = 1 v E [ Tn iuyz e G dz.

9 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 1 Przechodząc z n dotajemy (6.6) E [ e iuyv u G = 1 v Jeśli oznaczymy E [ e iuyv G = g(v) to równanie (6.6) może być zapiane w potaci E [ e iuyz G dz. Po rozwiązaniu którego otrzymujemy Podtawiając v := t mamy a tąd g(v) = 1 u v g(z) dz. ( g(v) = exp u ) v, ( g(t ) = exp u ) (t ), E [ e iu(xt X) F = E [ e iuy t G = g(t ) = exp ( u (t )). Wnioek 6.8 Niech X M c loc (X = ) oraz niech X, X t = t, t. Załóżmy, że T jet kończonym czaem zatrzymania. Wtedy proce Y t = X T +t X T, t na (Ω, {G t } t, F, P ), gdzie G t = F T +t, t jet tandardowym ruchem Browna. Twierdzenie 6.9 Niech X (X = ) będzie martyngałem o ciągłych trajektoriach i o tacjonarnych i niezależnych przyrotach. Wtedy X jet ruchem Browna. Dowód. Rozważmy funkcję g(t) = E [ e iuxt, gdzie u IR jet utalone. Mamy równość g(t) = g() E [ e iu(xt X) = g() E [ e iux t t.j. g(t) = g()g(t ) dla, t IR +, t.

10 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 13 Stąd mamy natępującą właność: g(nt) = ( g(t) ) n, n 1, czyli g(rt) = ( g(t) ) r dla r Q Stąd g(r) = (g(1)) r, r Q i g() = 1. Ponieważ g jet ciągła, więc g(t) = e h(u)t, t. Udowodniliśmy wczaśniej (patrz przykłady martyngałów), że Z t (u) = eiuxt g(t) jet martyngałem. Zatoujmy teraz wzór Ito do funkcji gdzie x = X t i y = t. Otrzymujemy e iuxt 1 = iu eh(u)t F (x, y) = e iux h(u)y, e iux e h(u) dx h(u) e iux e h(u) d 1 e iux u e h(u) d X, X. Lewa trona powyżzego równania jet równa Z t (u) 1 M c loc. Również e iux iu e h(u) dx M c loc. Proce e iux h(u) e h(u) d + 1 e iux u e h(u) d X, X jet ciągły o kończonym wahaniu, więc (np. z wnioku 4.34, czy rozkładu Dooba-Meyera) mamy e iux h(u) e h(u) d 1 e iux u e h(u) d X, X =. Co możemy zapiać w potaci Z (u) d ( h(u) ) ( ) u = Z (u) d X, X dla każdego t. Stąd całkując Z (u) względem powyżzych miar mamy Z (u)z (u) d ( h(u) ) ( ) u = Z (u)z (u) d X, X to jet 1 g() d( h(u) ) ( ) 1 u = g() d X, X.

11 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 14 Ponieważ g() > dla każdego, tąd obie miary w powyżzej równości muzą być równe, więc h(u)t = u X, X t. tąd podtawiajac t = 1 otrzymujemy h(u) = σ u, gdzie σ = X, X 1. Zatem X, X t = σ t, t 1. Twierdzenie 6.1 Niech M M,c loc (M = ). Określmy dla λ IR proce ξ λ (M) t = exp (λm t 1 ) λ M, M t. (i) Dla każdego λ IR proce ξ λ (M) jet dodatnim lokalnym martyngałem i dodatnim upermartyngałem. (ii) Proce ξ λ (M) jet jedynym rozwiązaniem równania Z t = 1 + λ Dowód. Zatoujemy wzór Ito do funkcji Z dm. F (x) = e x z proceem X = λm λ M, M ξ λ (M) t = = 1 + λ + λ ξ λ (M) d(λm ) ξ λ (M) d λm, λm ξ λ (M) dm λ ξ λ (M) d M, M = 1 + λ ( ) λ ξ λ (M) d M, M ξ λ (M) d M, M ξ λ (M) dm. Wykazaliśmy, że ξ λ (M) jet lokalnym martyngałem i rozwiązaniem podanego powyżej równania. Pokażemy teraz, że jet to jedyne równanie. Załóżmy, że itnieje inne rozwiązanie Z ( Z Z ) t = λ ( Z Z ) dm

12 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 15 Oznaczmy Y = Z Z. mamy Y =. Zatoujemy wzór Ito do Mamy dla t > F (x) = e x y i proceów X = λm + λ M, M, i Y. λ λmt+ e M,M t Y t = λ λm+ e M,M dy λ λm+ e M,M Y d λ λm+ e M,M d λm, Y Ponieważ Y t = λ Y dm, więc z lematu 5.6 mamy Mamy, zatem (twierdznie 5.4) λ λm+ e M,M dy = λ λ λmt+ e M,M t Y t = λ (Y ( ) λm + λ M, M λ λm+ e M,M Y d λm, λm λ λm+ e M,M λ λm+ e M,M Y dm. d M, M λ λ ) Y d M, M + Y d M, M = Stąd Y t =. Dla zakończenia dowodu korzytamy z lematu. Lemat 6.11 Każdy dodatni lokalny martyngał X jet dodatnim upermartyngałem. Dowód. Niech {T n } będzie ciągiem lokalizacyjnym dla X tzn. X Tn M dla n 1, Niech t, wtedy E [ Xt Tn F = X T n W zczególności E [ Xt Tn Fatou dla t > mamy F = X T n = X oraz E(X Tn t) = E(X ) <. Stąd i z lematu E(X t ) lim inf n E(X T n t) = E(X ) <, bo X Tn t X t gdy n, więc X jet kończenie całkowalny oraz adaptowany. Ponadto z lematu Fatou dla warunkowych wartoci oczekiwanych dotajemy X = lim inf n XTn = lim inf E[ [ X Tn t F E lim inf X [ T n n n t F = E Xt F.

13 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 16 Lemat 6.1 Niech X = {X t } t będzie dodatnim upermartyngałem. Wtedy X jet jednotajnie całkowalnym martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy E[X = E[X, Dowód. Konieczność jet oczywita. Dotateczność. Wytarczy wykazać, że X t = E(X F t ), t. Z twierdzenia 4.13 wynika, że X jet zbieżny P - p.w. do kończenie całkowalnej zmiennej loowej X oraz X t E(X F t ), t. Stąd E(X ) E(X t ) E(X ), t, więc z założenia mamy E(X t ) = E(X ), t. Utalmy t > i oznaczmy F = {E(X F t ) < X t }. Jet oczywite, że F F t, więc F F t. Załóżmy, że P (F ) >. Wtedy X dp = E(X F t ) dp < X t dp oraz z drugiej trony F F X dp = F E(X F t ) dp F X t dp. F Te dwie powyżze nierówności (po dodaniu tronami) dają E(X ) = E[E(X F t ) < E(X t ) F co daje przeczność. Z twierdzenia 6.1 i lematu 6.1 dotajemy Wnioek 6.13 Proce ξ λ (M) M wtedy i tylko wtedy, gdy E [ ξ λ (M) = 1. Proce ξ(m) := ξ 1 (M) z twierdzenia 6.1 wykorzytamy w twierdzeniu. Twierdzenie 6.14 (Giranov) Niech X, M M c loc (z definicji X = M = ), E [ ξ(m) = 1. Jeśli Q jet miarą probabilityczną na przetrzeni (Ω, F) określoną przez pochodną Radona- Nikodyma dq dp = ξ(m)

14 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 17 to proce Y określony wzorem jet Q-lokalnym martyngałem i Y t = X t X, M t Y, Y Q t = X, X P t, gdzie X, X P jet wariacją kwadratową towarzyzoną z lokalnym P -martyngałem X, a Y, Y Q z lokalnym Q-martyngałem Y. Dowód. Dowód twierdzenia zaczniemy od lematu Lemat 6.15 Niech P i Q będą probabilitycznymi miarami na (Ω, F) i Q P. Niech Z = dq dp będzie pochodną Radona-Nikodyma. Określmy Z t = E(Z F t ), t. Niech N = {N t } t (N = ) będzie cadlag proceem. Wtedy N M loc (Q) ZN M loc (P ). Dowód. Zanim przejdziemy do dowodu powyżzego lematu zauważmy, że dla t mamy Q{Z t = } = (również P {Z t = } =, bo P Q), co wynika z tego, że Z t jet werją gętości Q względem P jeśli oba prawdopodobieńtwa zawęzimy do σ - algebry F t. Przejdziemy teraz do dowodu lematu. Niech więc N M loc (Q) i niech {T n } będzie ciągiem lokalizacyjnym dla N. Mamy dla każdego t > i F t Stąd Z t N Tn t Z t N Tn t dp = N Tn t dq = E(Z F t )N Tn t dp = N Tn dq = Z N Tn dp. Z N Tn t dp = = E(Z N Tn F t ), t. Zatem ZN Tn M(P ), a tąd otrzymujemy również (ZN) Tn = (ZN Tn ) Tn M(P ) z ogólnego twierdzenia o topowaniu. W drugą tronę, niech ZN M loc (P ) i niech {T n } będzie ciągiem lokalizacyjnym czaów zatrzymania dla ZN. Z założenia (ZN) Tn M(P ) dla n 1. Stąd ZN jet adaptowany. Pokażemy, że N jet adaptowany. Dla t mamy N t I {Zt } = Z tn t Z t I {Zt } jet F t mierzalny, bo Z tn t Z t {Zt } jet (F t) {Zt } mierzalny. Zatem N t = N t I {Zt } + N t I {Zt=} jet F t mierzalny,

15 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 18 bo otatni kładnik jet równy zero, P - p.w. Wykażemy teraz, że ZN Tn M(P ) dla n 1. W tym celu na mocy wnioku 4.1 (ZN Tn jet cadlag i adaptowany) wytarczy wykazać, że dla dowolnego czau zatrzymania S mamy d. 1) 1) E(Z S N Tn S ) <, ) E(Z S N Tn S) = E(Z S N Tn S ) = E [ E(Z S N Tn S F Tn S) = E [ N Tn S E(Z S F Tn S) = E [ N Tn S Z Tn S = E [ ZS N S Tn <, bo (ZN) Tn M(P ). d. ) Rozumując analogicznie jak w ad. 1) otrzymujemy E(Z S N Tn S) = E [ (Z S N S ) Tn =, bo E [ (Z S N S ) Tn = E(Z N ) =. Zatem ZN Tn M(P ) dla n 1. Wykażemy teraz, że N Tn M(Q) dla n 1. Dla t i dla F t mamy N Tn t dq = Z N Tn t dp = E(Z F t )N Tn t dp = Z t Nt Tn dp = Stąd N Tn t Z N Tn dp = = E Q (N Tn F t ), t tzn. N Tn M(Q). N Tn dq. by wykazać, że Y M loc (Q) na mocy lematu 6.15 wytarczy wykazać ξ(m)y M loc (P ). W tym celu zatoujemy wzór Ito do Mamy F (x, y) = xy, z podtawieniem x := ξ(m) 1, y := Y. (ξ(m) t 1)Y t = = + i ponieważ (ξ(m) 1) dy + ξ(m) dx Y d(ξ(m) 1) + ξ(m) 1, X t ξ(m) d X, M Y t Y dξ(m) + ξ(m) 1, X t ξ(m) 1, X t = ξ(m) d M, X

16 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 19 więc ξ(m) t Y t = ξ(m) dx + Y dξ(m) oraz ξ(m)y M c loc (P ). Zakończymy dowód z pomocą natępującego lematu Lemat 6.16 Niech N M c loc oraz c loc to kwadratowa wariacja proceu N jet równa kwadratowej wariacji N +. Dowód. Wytarczy wykazać (toując technikę lokalizacyjną) po wyżzą włanośc dla N i V () ograniczonych. Niech [, t będzie przedziałem i δ t podziałem tego przedziału tj. δ t = { = t, t 1,..., t n, t n+1 = t}, t i < t i+1. Oznaczmy przez L = N +. Mamy S () δ (L) = ( ) Lti+1 L ti = i= + ( ) ( ) Nti+1 N ti + ti+1 ti i= i= ( )( ) ti+1 ti Nti+1 N ti, ale kiedy δ to n ( ) i= Nti+1 N ti zmierza do kwadratowej wariacji N (wg p-twa); n ( ) i= ti+1 ti zmierza do zera bo jet ciągłe i ma kończone wahanie; i= n ( )( ) i= ti+1 ti Nti+1 N ti zmierza do zera bo ( )( ) ( ) ti+1 ti Nti+1 N ti up N ti+1 N ti i i= oraz up i N ti+1 N ti, bo N jet jednotajnie ciągły. Wracamy do dowodu twierdzenia. Oznaczmy dla t nalogicznie i= ti+1 ti S () P (X) t := lim δ S() δ t (X), według prawdopodobieńtwa P. t S () Q (Y ) t := lim δ t S() δ t (Y ), według prawdopodobieńtwa Q. Korzytając z twierdzenia 5.18, z równoważnoci miar P i Q, lematu 6.16 i jezcze raz z twierdzenia 5.18 dotajemy Y, Y Q t = S () Q (Y ) t = S () P (Y ) t = S () P (X) t = X, X P t, t, co kończy dowód twierdzenia Giranova.

17 M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 13 Wnioek 6.17 Niech B = {B t } t będzie ruchem Browna oraz niech M t = H db, t, gdzie H Λ (B) oraz H d <, P - p.w. Jeśli [ ( E exp H db 1 H d) = 1, to proce Y t = B t H d, t jet ruchem Browna na (Ω, F, F, Q), gdzie dq dp = exp ( H db 1 H d ). Dowód. Zatoujemy twierdzenie Giranova do danego ruchu Browna B i do P -lokalnego martyngału Mamy B, M t = i z twierdzenia Giranova proce M t = H db, t. H d B, B = Y t = B t jet Q-lokalnym martyngałem. Ponadto H d, t H d, t Y, Y Q t = B, B P t = t, t. Ponieważ Y jet ciągłym lokalnym Q - martyngałem, więc z twierdzenia Levy ego dotajemy, że jet ruchem Browna względem miary Q.