Seria 1. Zbieżność rozkładów
|
|
- Teodor Laskowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie λ - miara Lebesgue a na (0, ) 3 Niech X n będą zmiennymi losowymi o wartościach w E, określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej Wykazać, że jeżeli X n P X, to X n X 4 Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej, które są zbieżne według rozkładu, ale nie są zbieżne według prawdopodobieństwa 5 Niech X n będą zmiennymi losowymi o wartościach w E, określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej Wykazać, że jeśli X n c, to X n P c Czy musi zachodzić zbieżność pn? 6 Twierdzenie Scheffe go Niech µ będzie miarą σ-skończoną, f n, f funkcjami nieujemnymi i takimi, że miary ν n (A) = A f ndµ, ν(a) = A fdµ są miarami probabilistycznymi Niech pw f n f względem miary µ Udowodnić, że sup ν(a) ν n (A) f f n dµ 0 A Ω Wywnioskować stąd, że jeżeli f n f pw względem miary µ, to ν n ν 7 Podać przykład rozkładów ciągłych µ, µ n na R o gęstościach odp f n, f, takich że µ n µ, ale nie jest prawdą, że f n f pw względem miary Lebesgue a 8 Niech S E będzie zbiorem przeliczalnym, zaś µ, µ n miarami probabilistycznymi skupionymi na S a) Wykazać, że jeżeli µ n ({x}) µ({x}) dla każdego x S, to µ n µ b) Wykazać, że jeżeli każdy punkt zbioru S jest izolowany, to implikację z punktu a) można odwrócić oraz że bez tego założenia nie jest to prawdą c) Czy z istnienia granic lim n µ n ({x}) dla każdego x S wynika, że ciąg µ n zbiega słabo? 9 Udowodnić, że jeśli X n X oraz sup n E X n p < wówczas E X p <, ale niekoniecznie lim n E X n p = E X p Tak jest jeśli sup n E X n p+ɛ < 0 Udowodnić, że jeśli X n X, Y n Y oraz przy każdym n zmienne X n, Y n są niezależne i X jest niezależne od Y, to (X n, Y n ) (X, Y )
2 Seria Zbieżność rozkładów Mamy dany okrąg S = {z C : z = } Wybieramy liczbę α S, która nie spełnia równania α k = dla żadnego k Z\{0} Dla każdego n N, oraz I S, borelowskiego definiujemy µ n (I) := 0 k n : αk I n Pokaż, że µ n µ, gdzie µ jest unormowaną miarą Lebesgue a na S (jako rozmaitości) Udowodnić, że dla rzeczywistych zmiennych losowych X n, X zachodzi równoważnosć X n X wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zmienne X n, X takie, że X n X n, X X oraz pn X X n 3 Wykazać, że jeżeli X n, Y n, Z n są określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej oraz X n X, Y n a, Z n b, gdzie a, b R, to X n Y n + Z n ax + b 4 Wykazać, że jeżeli X n Y n X, Y n 0 oraz f jest funkcją różniczkowalną w zerze, to X n (f(y n ) f(0)) f (0)X 5 Znaleźć warunki konieczne i dostateczne na to, by poniższe rodziny miar były ciasne a) {U(a, b)} (a,b) I b) {Exp(λ)} λ I c) {N (a, σ )} (a,σ ) I 6 Wykazać, że ciąg N (a n, σ n) jest słabo zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy istnieją skończone granice a = lim n a n σ = lim n σ n i wówczas N (a n, σ n) N (a, σ ) 7 Niech X n będzie pierwszą współrzędną wektora losowego o rozkładzie jednostajnym na sferze (odp kuli) w R n o środku 0 i promieniu n Zbadać słabą zbieżność ciągu X n 8 Niech X i będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na (0, ) zbadać słabą zbiezność ciągu n min(x,, X n ) 9 Wykazać, że jeżeli ciąg dystrybuant jest zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej, to zbieżność jest jednostajna 0 Pokazać, że d(µ, ν) = inf{ɛ : F µ (t) < F ν (t + ɛ) + ɛ, F ν (t) < F µ (t + ɛ) + ɛ, t R} definiuje odległość w rozkładach na R, która zadaje słabą zbieżność Niech (E, ρ) będzie przestrzenią polską Wykazać, że { d BL (µ, ν) = sup fdµ E E definiuje odległość, która zadaje słabą zbieżność } fdν : f : E [, ], f jest -Lipschitzowska Załóżmy, że X jest ograniczoną zmienną losową, zaś X n ciągiem zmiennych losowych takim, że dla każdego k N EX k n EX Wykazać, że wówczas X n X
3 Seria 3 Funkcje charakterystyczne Obliczyć funkcje charakterystyczne podstawowych rozkładów a) dyskretnych, b) ciągłych Pokazać, że kombinacje wypukłe funkcji charakterystycznych są funkcjami charakterystycznymi 3 Udowodnić, że jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej losowej ma drugą pochodną w zerze, to EX < 4 Wiadomo, że φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X Czy funkcjami charakterystycznymi są : φ, Reφ, φ, φ? 5 Niech ε, ε, będą niezależnymi zmiennymi Rademachera Przy pomocy funkcji charakterystycznych sprawdzić, że zmienna losowa i i ε i ma rozkład jednostajny na przedziale [, ] 6 Sprawdzić, że splot rozkładów normalnych jest normalny 7 Niech X będzie zmienną losową taką, że P (X Z) = Wykazać, że dla każdego n Z, P (X = n) = π e itn φ X (t)dt π 0 8 Zmienne losowe X, Y, U, V są niezależne o rozkładzie N (0, ) Obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej a) XY, b) X, c) X/Y, d) (X Y ) e) XY + UV 9 Twierdzenie Riemanna-Lebesgue a Udowodnić, że jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym, to φ X (t) 0, gdy t 0 Czy funkcja +e x jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu? Udowodnić, że φ(t) = e t α nie jest funkcją charakterystyczną dla α > Wykazać, że dla 0 < α φ(t) = e t α jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu
4 Seria 4 Funkcje charakterystyczne, rozkłady gaussowskie, CLT Dane są niezależne zmienne losowe X, X,, o wspólnym rozkładzie z wartością oczekiwaną równą 0 i dodatnią wariancją Wyznaczyć w zależności od a, α R ( ) lim P X + + X n n > a Zmienne losowe X, X, są niezależne, mają ten sam rozkład, EX = 0, Var(X) = Zbadać zbieżność względem rozkładu ciągów n α U n = n(x + + X n ) X + + X n, V n = X + + X n X + + Xn 3 Powiemy, że układ trójkątny (X n,k ) spełnia warunek Lyapunowa, lim k n n k= E X n,k EX n,k +δ = 0 Wykazać, że warunek Lyapunowa implikuje warunek Lindeberga 4 Rzucono 000 razy kostką Oszacować prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie zawarta między 340 a Niech X, X, będą niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi, że Wykazać, że P(X n = ±) = ( n ), P(X n = ±n) = n X + + X n n N (0, ), ale Var(X n ) 6 Niech X będzie całkowalną z kwadratem zmienną losową, taką, że X Y +Z, gdzie Y, Z - niezależne kopie X Wykazać, że X ma rozkład N (0, σ ) 7 Zmienne losowe X, X, są niezależne oraz P(X k = k) = P(X k = k) = / Niech s n = n k= Var(X k ) Zbadać słabą zbieżność ciągu X + + X n s n 8 Zmienne losowe X,, X, są niezależne i mają rozkłady U( a k, a k ) Zbadać zbieżność ciągu X + + X n s n jeśli (a) ciąg (a k ) jest ograniczony i s n (b) k a k < 9 Zmienna losowa X λ ma rozkład Poissona z parametrem λ Zbadać słabą zbieżność (X λ λ)/ λ przy λ
5 0 Niech X, X, będą zmiennymi iid o średniej zero i wariancji σ, zaś f funkcją różniczkowalną w 0 Wykazać, że n(f(y n ) f(0)) zbiega słabo do rozkładu N (0, σ f (0) ), gdzie Y n = X + + X n n ( ) Niech X N (0, ) Wykazać, że dla dowolnej funkcji gładkiej o zwartym nośniku f : R R, zachodzi Varf(X) E f (X)
6 Seria 5 Warunkowa wartość oczekiwana Rzucamy dwa razy kostką Niech X, Y oznacza liczbę oczek wyrzuconą odp w pierwszym i drugim rzucie Obliczyć a) E(X X + Y ), b) E(X XY = 3), E(X XY = 8), E(X XY = 36) Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na kole o środku (0, 0) i promieniu Obliczyć E(X Y = y), E(X + Y + Y X = x), 3 Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [0, ] Niech U = min(x, Y ), V = max(x, Y ) Wyznaczyć rozkłady warunkowe U względem V i V względem U 4 Niech X k oznacza liczbę sukcesów w pierwszych k próbach nieskończonego schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym p Wyznaczyć E(X k X l ) dla k, l 5 Znaleźć rozkład warunkowy X po warunkiem X + Y = t, gdzie X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie a) N (0, σ ), b) Exp(λ), c) P oiss(λ) 6 Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o gęstości g(x, y) = 8xy {x,y 0,x +y }(x, y) Znaleźć E(X Y = y) 7 Niech (X, Y ) będzie wektorem gaussowskim o macierzy kowariancji Q Załóżmy, że det Q 0 Wyznaczyć E(Y X) 8 X, Y są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie N (0, ) Znaleźć E(X + Y X + Y ) 9 Udowodnić, że całkowalna zmienna losowa X ma rozkład symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy E(X X ) = 0 0 Losujemy liczbę Λ z przedziału (0, ), a następnie liczbę X z rozkładu Exp(Λ) Wyznaczyć gęstość zmiennych (Λ, X) oraz X Niech G F będą σ-ciałami, zaś X zmienną losową, taką że E[E(X F)] = E[E(X G)] Wykazać, że E(X F) = E(X G) Zmienne X, Y sa całkowalne z kwadratem, zaś G jest σ-ciałem Wykazać, że E[XE(Y G)] = E[Y E(X G)]
7 Seria 6 Filtracje, momenty stopu, martyngały Niech τ, τ będą momentami stopu Udowodnić, że momentami stopu są także τ τ oraz τ τ Czy są momentami stopu τ +, τ? Niech (F t ) t N będzie filtracją, zaś (X t ) t N ciągiem zmiennych losowych, adaptowalnym do tej filtracji Niech τ oznacza moment pierwszej wizyty ciągu X t w zbiorze borelowskim B Wykazać, że τ jest momentem zatrzymania 3 Niech X, X, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej 0 Zdefiniujmy S n = X + + X n oraz Z n = S n VarS n Wykazać, że (Z n, σ(x,, X n )) jest martyngałem 4 Niech X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie średniej 0 i skończonej wariancji, F n = σ(x,, X n ) Zdefiniujmy Udowodnić, że (Z n, F n ) jest martyngałem n Z 0 = 0, Z n = X k X k k= 5 Niech ξ i (i =,, ) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pr(ξ i = ) = p, Pr(ξ i = ) = q = p Niech F n = σ(ξ,, ξ n ) oraz Z n = Wykazać, że ciąg (Z n, F n ) jest martyngałem ( ) ξ ++ξ q n p 6 Niech X n będzie ciągiem zmiennych losowych, adaptowanych do filtracji F n Załóżmy, że X 0 = 0 Wykazać, że (X n, F n ) jest martyngałem, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ograniczonego momentu stopu τ, EX τ = 0 7 Rozważmy martyngał X n, całkowalny z kwadratem, tzn EX n < dla każdego n Zdefiniujmy przyrosty martyngałowe wzorem D n = X n X n Wykazać, że zmienne D n są parami nieskorelowane 8 Studenta X czeka egzamin Zna odpowiedź na 0 z 30 pytań, losowanych przez kolejno zdających studentów Studenci, wychodząc z egzaminu, informują czekających, jakie pytania otrzymali Jaką strategię powinien przyjąć X, żeby mieć jak największą szansę na zdanie egzaminu? 9 Niech S n = n i= ε i, gdzie ε, ε - niezależne zmienne Rademachera Niech τ = inf{n: S n = } Wykazać, że Eτ =
8 Seria 7 Martyngały (cd), łańcuchy Markowa Rzucamy kostką tak długo, aż otrzymamy wszystkie oczka Znaleźć wartość średnią sumy wyrzuconych oczek Gracze A i B, startując z kapitałów odp a, b złotych, grają w następującą grę Rzucają (niekoniecznie symetryczną) monetą Jeśli wypadnie orzeł, gracz A otrzymuje złotówkę od gracza B, jeśli reszka odwrotnie Grają tak długo, aż jeden z nich zbankrutuje Obliczyć prawdopodobieństwo wygranej gracza A, korzystając z teorii martyngałów 3 W urnie znajduje się b kul białych i c czarnych W kolejnych krokach losujemy ze zwracaniem urnę z kuli i dokładamy do urny jeszcze a kul tego samego koloru, co wylosowana X Niech X n oznacza liczbę białych kul w urnie po n-tym losowaniu Wykazać, że n jest b+c+na martyngałem względem naturalnej filtracji 4 Niech ε, ε, będą niezależnymi zmiennymi Rademachera Niech ponadto F n = σ(ε,, ε n ) oraz Z n = e a(ε ++ε n) na / Wykazać, że Z n jest nadmartyngałem Zbadać jego zbieżność prawie na pewno i w L 5 Niech X, X, będą nieujemnymi zmiennymi iid o średniej Zbadać zbieżność ciągu Y n = X X X n pn i w L 6 Niech X, X, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero Zdefiniujmy Y n = n (X + + X n ) Wykazać, że rodzina (Y n ) n 0 jest jednostajnie całkowalna 7 W pojemniku znajduje się m cząstek W każdej sekundzie każda z cząstek, niezależnie od pozostałych może albo zniknąć (z prawdopodobieństwem /3), albo podzielić się na trzy cząstki Wykazać, że z prawdopodobieństwem po pewnym czasie w pojemniku nie będzie żadnej cząstki 8 Niech (ε n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych Rademachera Czy a) X n = U n U n+, b) Y n = (U n + U n+ )/ są łańcuchami Markowa? 9 Podać przykład łańcucha Markowa (X n ) n 0 i funkcji f, takich że (f(x n )) n 0 nie jest łańcuchem Markowa 0 Niech (X n ) będzie łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów S i o macierzy przejścia P Funkcję f : S R nazwiemy harmoniczną, jeśli f(i) = j S p ij f(j) dla każdego i S Wykazać, że jeśli S jest skończona, zaś f jest harmoniczna, to (f(x n ), σ(x 0,, X n )) jest martyngałem Udowodnić, że łańcuch Markowa o skończonej liczbie stanów nie może składać się tylko ze stanów chwilowych Czy jest to prawda dla łańcuchów o nieskończonej liczbie stanów?
9 Seria 8 Łańcuchy Markowa Niech X n będzie błądzeniem przypadkowym na prostej, tzn P(X n+ = x + X n = x) = p, P(X n+ = x X n = x) = q = p Wykazać, że 0 jest stanem powracalnym, wtedy i tylko wtedy, gdy p = / Niech Y n = (Xn, Xn,, Xn) d będzie symetrycznym błądzeniem przypadkowym w Z d (czyli X n (i) to niezależne błądzenia na prostej z p = /) Dla jakich wartości d,y n jest powracalnym łańcuchem Markowa? 3 Zmodyfikujmy błądzenie z poprzedniego zadania Niech X n+ = X n + J n+, gdzie J n niezależne zmienne losowe o rozkładzie P(J n = ±e k ) =, gdzie e d,, e d wersory w R d Dla jakich d błądzenie to jest powracalne? 4 Zmienne Y 0, Y, Y, są niezależne i mają ten sam rozkład geometryczny z parametrem Ciąg zmiennych X, X, jest określony następująco: X 0 pn, a dla n 0, jeśli Y n =, X n+ = X n Y n jeśli Y n a) Wykazać, że (X n ) n jest nieprzywiedlnym łańcuchem Markowa b) Czy łańcuch ten jest okresowy? c) Udowodnić, że wszystkie stany są powracające d) Niech N będzie dużą liczbą naturalną Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że X N nie przekracza 3 5 Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się ciąg 5 lub 55 Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg 6 pojawi się wcześniej? 6 Rzucamy symetryczną monetą, aż do momentu, gdy wyrzucimy pod rząd cztery orły Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów 7 Macierz przejścia łańcuch Markowa (X n ) n 0 na przestrzeni E = {,, 3, 4} zadana jest następująco: P = (a) Zakładając, że X 0 = pn, obliczyć prawdopodobieństwo, że X n będzie w stanie przed stanem 4 (b) Zakładając, że X 0 = 3 pn, obliczyć wartość oczekiwaną czasu dojścia do stanu (c) Wyznaczyć rozkład stacjonarny (d) Czy łańcuch jest okresowy? Czy jest nieprzywiedlny? 8 W pudełku A jest 6 kul ponumerowanych od do 6, w pudełku B ani jednej Wykonano rzutów kostką i po każdym rzucie przekładano kulę z wylosowanym numerem do drugiego pudełka Jaka jest w przybliżeniu szansa, że pudełko B jest puste?
Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n
Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład
Bardziej szczegółowo3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o następujących rozkładach: a) symetryczny dwupunktowy; b) dwumianowy z parametrami n, p; c) Poissona z parametrem
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoLista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.
Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoZestaw 2. jej wartość oczekiwaną oraz wariancję. Znaleźć gęstości zmiennych losowych X, X 2, {
Zestaw 1 P1.1. Czy, jeśli obraz funkcji jest przeliczalny, wystarczy, że przeciwobrazy zbiorów jednopunktowych są mierzalne, aby mieć pewność, że funkcja jest zmienną losową? P1.2. Sprawdzić, że jeśli
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.
Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na
Bardziej szczegółowoWartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych
Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoP(U 1 > max{u 2,..., U 1000 } U 1 = s)dp U1 (s).
Kolokwium poszło gorzej, niż miałem nadzieję, a lepiej, niż się obawiałem. Maksymalny wynik to 74 punkty na 20), średnia to 55,6, zaś mediana to 50. Grupy były dość równe w jednej średnia to 54,5, w drugiej
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoZadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12 1. Udowodnij, że dla dowolnych punktów x n, x w przestrzeni metrycznej E δ xn δ x wtedy i tylko wtedy gdy x n x. 2. Wykaż, że 1 n n k=1 δ k/n λ, gdzie λ jest
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 08/9 Zarządzanie e-mail: www: konsultacje: rafal.kucharski@ue.katowice.pl http://web.ue.katowice.pl/rkucharski/ Piątki, 5:0-6:0,
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoWersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx
1. Funkcja f : R R jest różniczkowalna na całej prostej, a ponadto dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f x
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoGeometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa
Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa Iwona Żerda Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński 6 grudnia 2013 6 grudnia 2013 1 / 19 Plan prezentacji 1 Algorytm Gibbsa 2 Tempo zbieżności
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )
Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoUkłady stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowo