Procesy stochastyczne 2.
|
|
- Konrad Wiktor Leśniak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1
2 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych, stacjonarnych. Proces {X t, t T } ma własność braku pamięci, jeżeli dla dowolnego n naturalnego, dla dowolnych t 1,..., t n, s T, t 1... t n s, B B R mamy P (X s B X t1,... X tn ) = P (X s B X tn ) p.n. Proces {X t, t T } ma przyrosty niezależne, jeżeli dla dowolnego n naturalnego, dla dowolnych t 1,..., t n T, t 1... t n, przyrosty X t2 X t1,..., X tn X tn 1 tworzą układ niezależnych zmiennych losowych. Proces {X t, t T } ma przyrosty stacjonarne (jednorodne), jeżeli dla dowolnych s, t T, s < t, rozkład przyrostu X t X s zależy tylko od różnicy t s (jest taki sam, jak rozkład X t s X, o ile, t s T ). Proces Poissona {N t, t } o intensywności λ > to proces o przyrostach niezależnych, stacjonarnych, taki że N = p.n. oraz N t dla t> ma rozkład Poissona z parametrem λt. 1. Niech {N t, t } będzie procesem Poissona o intensywności λ. Określamy X t =( 1) Nt. (a) Czy proces {X t, t } ma przyrosty niezależne? stacjonarne? (b) Czy ma on własność braku pamięci? 2. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie i niech {L t, t } będzie niemalejącym procesem o przyrostach niezależnych, stacjonarnych, niezależnym od ciągu {X i }. Ponadto, zakładamy, że L t przyjmuje wartości naturalne, a L = p.n. Definiujemy dla t L t X i Z t = (przy czym n=1 X n = jako sumowanie po zbiorze pustym). (a) Sprawdź, że proces {Z t, t } ma stacjonarne i niezależne przyrosty. (b) Zauważmy, że jako proces liczący {L t } można przyjąć proces Poissona o intensywności λ. Wówczas {Z t } nazywany jest złożonym procesem Poissona. Pokaż, że gdy X i ma rozkład zero jedynkowy, P (X i =1)=1 P (X i =)=p, < p < 1, to złożony proces Poissona {Z t } jest procesem Poissona o intensywności λp. 3. Dla ciągu Y 1, Y 2,... dodatnich zmiennych losowych, takich że n=1 Y n = z prawd. 1, niech dla t M t = max(n : S n t), gdzie S =, S n = Y Y n dla n 1. Jeżeli tak utworzony proces {M t, t } ma przyrosty niezależne o rozkładzie Poissona, to nazywamy go uogólnionym procesem Poissona. (a) Zakładając, że f : [, ) na [, ) jest funkcją rosnącą oraz że {N t, t } jest zwykłym procesem Poissona, udowodnij, że {M t, t } := {N f(t), t } jest uogólnionym procesem Poissona. (b) Pokaż, że każdy uogólniony proces Poissona powstaje w sposób opisany w punkcie (a). 2
3 Lista 2: Stochastyczne równania różniczkowe. Równania liniowe. Lemat Itô: Jeśli proces stochastyczy {X t } spełnia stochastyczne równanie różniczkowe (SRR) dx t = a(t, X t )dt + b(t, X t )dw t oraz rzeczywista funkcja f(t, x) jest ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe f t, f x i f xx, wówczas proces {Y t }, gdzie Y t = f(t, X t ), spełnia następujące SRR ( dy t = f t + af x + 1 ) 2 b2 f xx (t,xt)dt + (bf x ) (t,xt) dw t. Wielowymiarowa formuła Itô: Załóżmy, że każdy z d procesów stochastycznych {X i t} (i = 1, 2,..., d) spełnia następujące SRR dx i t = a i (t, X i t)dt + b i (t, X i t)dw t oraz że rzeczywista funkcja f(t, x 1, x 2,..., x d ) jest ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe f t, f xi, f xi x k dla dowolnych i, k = 1, 2,..., d. Wówczas SRR dla procesu {Y t }, gdzie Y t = f(t, Xt 1,..., Xt d ), ma postać ( d dy t = f t + a i f xi d k=1 d b i b k f xi x k) (t,x 1 t,...,xd t ) dt + ( d b i f xi) (t,x 1 t,...,xd t ) dw t. 1. Znajdź różniczkę stochastyczną procesu {(W t ) n }. 2. Znajdź różniczkę stochastyczną procesu {exp(w t )}. Jakie SRR spełnia ten proces? 3. Niech X t = X t + t a(s)ds + t b(s)dw s. Znajdź różniczkę stochastyczną procesu {Y t }, gdzie Y t = exp(x t ). Jakie SRR spełnia proces {Y t }, jeśli założymy 2a(t) = b 2 (t)? Jakie jest rozwiązanie SRR dy t = Y t dw t, Y = 1? 4. Znajdź d(cos W t ) i d(sin W t ). Jaki układ SRR i jakie wektorowe SRR spełnia proces {Y t }, gdzie Y t = (cos W t, sin W t ) T, zwany procesem Wienera na okręgu jednostkowym? 5. Jakie wektorowe SRR spełnia proces {Y t }, gdzie Y t = (exp(w t ), W t exp(w t )) T? 3
4 6. Niech dx t = m(t, X t )dt+σ(t, X t )dw t. Podstawiając Z t = f(t, X t ) możemy zamienić postać równania na dz t = m 1 (t, Z t )dt + σ 1 (t, Z t )dw t (zakładamy, że f jest ściśle monotoniczna względem x, ciągła, o ciągłych pochodnych cząstkowych f x, f xx oraz f t ). (a) Znajdź postać m 1, σ 1. (b) Dla jakiej funkcji f równanie redukuje się do: i. σ 1 (t, x) 1; ii. m 1 (t, x). 7. Przypuśćmy, że {X t } spełnia równanie X t = 1 + t X s σ(s)dw s. Rozpatrując f(x t ) = ln X t i korzystając z reguły Itô wykaż, że X t dany jest wzorem ( t X t = exp σ(s)dw s 1 t ) σ 2 (s)ds. 2 Czy umiesz uzasadnić na podstawie zadania 6 pomysł z f = ln? 8. Niech {X t } spełnia SRR dx t = X t (m(t)dt + σ(t)dw t ), t >, gdzie m i σ są nielosowe. Pokaż, że X t ma postać i znajdź postać funkcji g. ( t t ) X t = X exp σ(s)dw s + g(s)ds, 9. Pokaż, że ogólną postacią rozwiązania liniowego SRR (w ścisłym sensie) dx t = (a 1 (t)x t + a 2 (t))dt + b(t)dw t jest ( ) t dla φ(t) = exp a 1 (s)ds. t Wsk. Wyznacz d(x t /φ(t)). X t = φ(t) X t + t a 2 (s) t φ(s) ds + b(s) φ(s) dw s 4
5 1. Rozwiąż równanie Langevina z szumem addytywnym dx t = ax t dt + bdw t, =. 11. Rozwiąż liniowe SRR z szumem addytywnym dx t = z warunkiem początkowym X = 1. ( ) t X t + b(1 + t) 2 dt + b(1 + t) 2 dw t 12. Rozwiąż liniowe SRR z szumem addytywnym z warunkiem początkowym X = 1. dx t = b X t T t dt + dw t, t < T, 13. Rozwiąż równanie Langevina z szumem multiplikatywnym dx t = ax t dt + bx t dw t. 14. Znajdź rozwiązanie ogólnego liniowego SRR dx t = (a 1 (t)x t + a 2 (t))dt + (b 1 (t)x t + b 2 (t))dw t. Wsk. Wyznacz d(x t /Y t ), gdzie dy t = Y t (a 1 (t)dt + b 1 (t)dw t ), Y t = 1. *Uzasadnij jednoznaczność rozwiązania. 15. Rozwiąż liniowe SRR z szumem multiplikatywnym dx t = (ax t + c)dt + (bx t + d)dw t. K.Sobczyk, Stochastic Differential Equations With Applications to Physics and Engineering, (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991) P.E.Kloeden, E.Platen Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, (Springer, Berlin, 1992). 5
6 Lista 3: Stochastyczne równania różniczkowe Stratonowicza. Związek między całką Stratonowicza T h(w t ) dw t i całką Itô T h(w t )dw t dla funkcji h klasy C 1 : T h(w t ) dw t = T h(w t )dw t T h (W t )dt. Rozwiązania SRR Stratonowicza spełniają SRR Itô (i na odwrót) dx t = a S (t, X t )dt + b(t, X t ) dw t z a I (t, x) = a S (t, x) dx t = a I (t, X t )dt + b(t, X t )dw t b b(t, x) (t, x). x 1. Pokaż, że T h(w t ) dw t = H(W T ) H(W ), gdzie H (x) = h(x). Wsk. Zastosuj regułę Itô do Y t = H(W t ). 2. Pokaż, że równanie Stratonowicza równoważne równaniu Langevina z szumem addytywnym (z zadania 1 z listy 2) ma identyczną postać. 3. Pokaż, że dx t = 2X t dw t oraz dx t = 2X t dt + 2X t dw t mają to samo rozwiązanie. Znajdź to rozwiązanie. 4. Pokaż, że SRR Itô postaci dx t = 1 2 b(x t)b (X t )dt + b(x t )dw t dla dowolnej różniczkowalnej funkcji b jest równoważne SRR Stratonowicza dx t = b(x t ) dw t. Znajdź rozwiązanie tego równania. 5. Rozwiąż SRR Stratonowicza dy t = exp( Y t ) dw t, Y =, a następnie określ SRR Itô, jakie spełnia to rozwiązanie. 6
7 6. Rozwiąż następujące SRR (a) dx t = 1 a(a 1)X1 2/a 2 t dt + ax 1 1/a t dw t, a ; (b) dx t = 1(ln 2 a)2 X t dt + ln ax t dw t, a >, a 1; (c) dx t = 1 2 a2 X t dt + a 1 Xt 2 dw t, a ; (d) dx t = a 2 X t (1 + X 2 t )dt + a(1 + X 2 t )dw t, a ; (e) dx t = 1 2 a2 tgx t sec 2 X t dt + a secx t dw t, a (sec(x) = 1/ cos(x)); (f) dx t = a 2 sin X t cos 3 X t dt + a cos 2 X t dw t, a ; (g) dx t = 1dt + 2 X t dw t ; (h) dx t = X t (2 ln X t + 1)dt 2X t ln Xt dw t ; (i) dx t = 1 2 a2 mx 2m 1 t dt + ax m t dw t, m 1, a ; (j) dx t = 1 3 X1/3 t dt + X 2/3 t dw t. K.Sobczyk, Stochastic Differential Equations With Applications to Physics and Engineering, (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991) P.E.Kloeden, E.Platen Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, (Springer, Berlin, 1992). 7
Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia
Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia Niech W t (ewentualnie W, W (t)), t oznacza proces Wienera oraz niech W = Niech W = (W, W 2,, W n ) oznacza n-wymiarowy proces Wienera Pokazać, że
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowo}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0,
Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1 1. Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoZadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoO procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna
Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej
Bardziej szczegółowoWycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t)
Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t) Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t) Figure 1: Aproksymacja drzewem dwumianowym Wycena opcji Dynamika cen akcji:
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoRynek, opcje i równania SDE
Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoTemat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoczastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda
Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe B1 Streszczenia wykładów
Streszczenia wykładów Jan Goncerzewicz 25 października 2016 (Notatki w trakcie permanentnego redagowania) Wersja 1.01a 1 1 Wstęp 1.1 Definicje i oznaczenia. Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy wyrażenie
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowo3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej. = f(x, t) dla x [0; l], l > 0, t > 0 (3.1)
Temat 3 Metoda Fouriera da równań hiperboicznych 3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe da struny ograniczonej Rozważać będziemy następujące zagadnienie. Znaeźć funkcję u (x, t) spełniającą równanie wraz
Bardziej szczegółowo6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.
Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 91...... Zadanie 1. (8 punktów) Liczebność pewnej populacji jest opisana równaniem różniczkowym: dn = r N(α N)(N β), (1) dt w którym, N(t) oznacza liczebność populacji w chwili t, a r > 0
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka
Biomatematyka Niech X n oznacza proporcję pozycji w nici DNA, które po n replikacjach są obsadzone takimi samymi nukleotydami, jak w chwili początkowej, tak więc X 0 = 1. Zakładamy, że w każdej replikacji
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowo11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.
Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne ODE: ordinary differential equations Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNEJ ZMIENNEJ Motywacja Rozwiązania równań z 1, 2 lub
Bardziej szczegółowo19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =
Bardziej szczegółowoFakty wstępne Problem brachistochrony Literatura. Rachunek wariacyjny. Bartosz Wróblewski
26.10.13 - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się znajdowaniem ekstremów i wartości stacjonarnych funkcjonałów. Powstał jako odpowiedź na pewne szczególne rozważania w mechanice teoretycznej. Swą
Bardziej szczegółowoWykład 2: Szeregi Fouriera
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową
Bardziej szczegółowoRozkład wykładniczy. Proces Poissona.
Wykład 3 Rozkład wykładniczy. Proces Poissona. 3.1 Własności rozkładu wykładniczego 3.1.1 Rozkład geometryczny: Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p (, 1) jeśli P(Xi)p(1 p)
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowo