Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

Transkrypt

1 Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn

2 Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku nie można przewidzieć w dokładny i jednoznaczny sposób.

3 Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Oznaczmy symbolem Ω zbiór wszystkich możliwych niepodzielnych, wykluczających się wyników albo sytuacji jakiegoś zjawiska lub doświadczenia losowego.

4 Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Taki zbiór Ω nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych, a wyróżnione podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych będziemy nazywać zdarzeniami losowymi.

5 Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Na zdarzeniach losowych można wykonywać wszystkie znane z teorii mnogości działania takie jak sumowanie, odejmowanie, wyznaczanie iloczynu, czy też dopełnienia.

6 Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Należy w tym miejscu zauważyć, że przestrzeń zdarzeń elementarnych może być zbiorem skończonym, przeliczalnym lub nieprzeliczalnym.

7 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli zajściu zdarzenia losowego A Ω sprzyja n(a) zdarzeń elementarnych, spośród wszystkich n jednakowo możliwych, wykluczających się zdarzeń elementarnych tworzących przestrzeń Ω, to

8 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa P A Stosuje się również zapisy P A P A = n(a) n = A Ω = #A #Ω

9 Kombinatoryka Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Liczba permutacji zbioru złożonego n elementów jest równa n! (n silnia). P n =n! n!=1*2*3* *(n-1)*n

10 Kombinatoryka Kombinacją k-elementową utworzoną ze zbioru n-elementowego (k n) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru. Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n- elementowego wyraża się wzorem C n k = n k = n! k! n k!

11 Kombinatoryka Wariacją k-elementową bez powtórzeń utworzoną ze zbioru n-elementowego (k n) nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych elementów z tego zbioru. Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: V k n! n = n k!

12 Kombinatoryka Wariacją k-elementową z powtórzeniami utworzoną ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych lub nie różniących się elementów z tego zbioru. Liczba k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: W n k = n k.

13 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa W celu określenia prawdopodobieństwa w bardziej złożonych przypadkach musimy założyć, że podzbiory przestrzeni Ω, które są zdarzeniami losowymi tworzą σ-ciało.

14 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Klasę F podzbiorów przestrzeni Ω nazywamy σ-ciałem jeśli spełnia ona warunki 1) F jest rodziną niepustą 2) Jeśli A F, to A = Ω\A F 3) Jeśli A 1, A 2, F, to n=1 A n F

15 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Miarą nazywamy funkcję zbioru μ: F R określoną na pewnym σ-ciele F podzbiorów przestrzeni Ω spełniającą warunki μ 1 ) μ(a) 0 A F oraz μ = 0, μ 2 ) jeśli A 1, A 2, F oraz A i A j = dla n=1 n n=1 i j, to μ( A n ) = μ(a n )

16 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Załóżmy, że rodzina podzbiorów przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω będących zdarzeniami tworzy σ-ciało, na którym określona jest pewna niezerowa miara μ, taka że μ Ω <.

17 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Załóżmy ponadto, że szansa wylosowania zdarzenia elementarnego ω A, A F nie zależy od kształtu, czy też położenia zbioru A, a jedynie od jego miary. Wówczas P A = μ(a) μ(ω).

18 WYKŁAD II

19 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Uwaga W zastosowaniach tej definicji Ω jest zazwyczaj podzbiorem ograniczonym przestrzeni R k, zaś miara μ jest miarą Lebesgue a.

20 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Przykład 1. Z przedziału [0,2] wybieramy losowo liczbę. Jakie jest p-stwo, że po zaokrągleniu do liczby całkowitej wylosowaliśmy 0?

21 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Przykład 2. Strzelamy do kwadratowej tarczy o boku 2a, 0 < a <. Jakie jest p-stwo, że trafimy w okrąg wpisany w ten kwadrat?

22 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję zbioru określoną na σ-ciele F podzbiorów przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω spełniającą warunki:

23 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa I. P[A] 0 A F. II. Jeśli A 1, A 2, F, A i A j = dla i j, to n=1 n=1 P[ A n ] = P A n. III. P Ω = 1.

24 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Uporządkowany układ Ω, F, P nazywamy przestrzenią probabilistyczną. Omówimy teraz własności p-stwa wynikające z aksjomatów. Załóżmy, że wszystkie rozpatrywane poniżej zbiory należą do σ-ciała F. Wpisz tutaj równanie.

25 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa 1) P = 0 2) A 1, A 2, A n F, A i A j = dla i j n k=1 n k=1 P[ A k ] = P A k 3) A B P[A] P[B]

26 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa n k=1 k=1 n k=1 k=1 4) P[ A k ] P A k 5) P[ A k ] P[A k ] 6) P A = 1 P A 7) A B P B\A = P B P A 8) P A B = P A + P B P[A B]

27 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa 9) A 1 A 2 P[ n=1 A n ] = lim P A n n 10)A 1 A 2 P[ n=1 A n ] = lim n P[A n ]

28 Prawdopodobieństwo warunkowe Niech Ω, F, P będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną i niech B F będzie zdarzeniem o dodatnim p-stwie. Prawdopodobieństwem dowolnego zdarzenia A F przy warunku zajścia zdarzenia B nazywamy liczbę

29 Prawdopodobieństwo warunkowe P A B = P[A B] P[B]. Jeśli ustalimy B F, P B > 0 to mamy określoną pewną funkcję zbioru P B : F R.

30 Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie Funkcja zbioru P B : F R, gdzie B F, P B > 0 spełnia aksjomaty I, II, III miary probabilistycznej.

31 Prawdopodobieństwo całkowite Niech Ω, F, P będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną i niech H 1, H 2,, H n będą zdarzeniami losowymi spełniającymi warunki i) H i H j = dla i j ii) H i = Ω n i=1

32 Prawdopodobieństwo całkowite iii. P[H i ]>0 dla i = 1,2,3,, n Wówczas dla dowolnego zdarzenia losowego A F P A = n i=1 P[A H i ] P[H i ]

33 Wzór Bayesa Przy powyższych założeniach dla dowolnego zdarzenia losowego A F, P A > 0 zachodzi wzór P H k A = P[A H k] P[H k ] P[A]