1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
|
|
- Monika Lipińska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo często pomocne są pojęcia kombinatoryczne Reguła mnożenia Jeśli pewną czynność wykonuje się w k etapach, przy czym pierwszy etap można wykonać na n 1 sposobów, drugi etap można wykonać na n 2 sposoby,..., i wreszcie k-ty etap można wykonać na n k sposobów, to liczba N określająca liczbę sposobów wykonania zadanej czynności wyraża się wzorem: N = n 1 n 2... n k Permutacje bez powtórzeń Niech A oznacza dowolny zbiór skończony o n różnych elementach, A = {a 1,..., a n }. Permutacją bez powtórzeń n elementowego zbioru A nazywamy nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, w którym każdy element zbioru A występuje dokładnie raz. Jest to więc uporządkowanie elementów zbioru A według jakiegoś kryterium. Przykład 1. Permutacjami zbioru {1, 2, 3} są ciągi: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) Stosując indukcją matematyczną można wykazać, że liczba P n wszystkich permutacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wynosi P n = n! Przykład 2. Znależź na ile sposobów można 6 osób ustawić w szeregu. Każde ustawienie w szereg jest permutacją zbioru osób, ktróry skałda się z 6 elementów, zatem liczba możliwości wynosi P 6 = 6! = 720. Inne przykłady: znależź liczbę możliwości ustawienia 5 gości przy podłużnym stole. Rozpatrzeć podobną sytuację, ale ze stołem w kształcie koła Permutacje z powtórzeniami Niech A będzie zbiorem k różnych elementów, A = {a 1,..., a k }. Permutacją n-elementową z powtórzeniami, gdzie element a 1 powtarza się n 1 razy,..., element a k powtarza się n k razy, n = n n k, nazywamy każdy n elementowy ciąg, w którym każdy poszczególny element zbioru A powtarza się wskazaną liczbę razy. Liczba P n 1,...,n k n wszystkich takich n elementowych permutacji z powtórzeniami wyraża się wzorem P n 1,...,n k n = n! n 1!... n k! 1
2 1.1.4 Wariacje bez powtórzeń Niech A będzie zbiorem n różnych elementów. Każdy k-wyrazowy ciąg k różnych elementó zbioru A, gdzie k n, nazywamyk-wyrazową permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego. Liczba Vn k wszystkich k-wyrazowych permutacji zbioru n-elementowego można obliczyć ze wzoru Vn k = n(n 1)(n 2)... (n (k 1)), k n. Uwaga 1. Gdy n = k, to V n n = P n. Przykład 3. Znależć liczbę możliwyc wyborów trójki klasowej (każda osoba pełni inną funkcję) w klasie składającej się z 30 osób. Każda taka trójka będzie 3-elementową permutacją bez powtórzeń (jedna osoba nie może pełnić dwóch funkcji) zbioru 30-elementowego, zatem: Wariacje z powtórzeniami V 3 30 = = Niech A będzie zbiorem n-elementowym. Każy k wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elementów zbioru A nazywamy k- wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego A. Liczba W k n oznaczająca liczbę k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego możemy obliczyć ze wzoru: W k n = n k Przykład 4. Numer telefonu skłąda się z dziewieciu cyfr. Zakładając, że każda cyfra może znaleźć się na każdym miejscu (co nie jest prawdę w rzeczywistości) znajdziemy liczbę możliwych do uzyskania w ten sposób numerów telefonów. Każdy numer jest dziewięcioelementową wariacją zbioru wszystkich cyfr (który składa się z dziesięciu cyfr), zatem Kombinacje bez powtórzeń W 9 10 = Niech A będzie zbiorem n różnych elementów. Każdy k-elementowy (k n) podzbiór zbioru A nazywamy k-elementową kombinacją zbioru n-elementowego (albo kombinacją z n elementów po k elementó). Przykład 5. Niech A = {a, b, c, d}. Znajdźmy wszystkie dwuelementowe kombinacje bez powtórzeń zbioru A: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}. Uwaga 2. Podstawowa różnica między wariacjami i kombinacjami związana jest z faktem, że wariacjami są ciągi, a kombinacjami zbiory. Liczba Cn k wszystkich k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem ( ) n Cn k n! = = k k!(n k)! 2
3 Przykład 6. Znajdziemy liczbę trzyosobowych reprezentacji na konkurs klasy skłądającej się z 30 osób. Każda reprezentacja jest trzyelementową kombinacją bez powtórzeń (każdy uczeń może wziąć udział w reprezentacji tylko raz oraz każda osoba w reprezentacji jest tak samo ważna pełni taką samą rolę). Zatem takich trójek jest C 3 30 = ( ) 30 = 3 30! 3!(30 3)! = = Przykład 7. Obliczymy liczbę możliwych kombinacji sześciu cyfr ze zbioru 49 elementowego (tzn. znajdziemy liczbę możliwych układów liczb w Lotto). Każdy taki układ liczb jest sześcioelementową kombinacją bez powtórzeń zbioru 49-elementowegio, zatem C 6 49 = ( ) 49 = Uwaga 3. V k n = C k n P n 1.2 Pojęcie prawdopodobieństwa Podczas analizowania doświadczeń losowych oraz obliczania prowdopodobieństwa będziemy spotykali się m.in. z następującym,i pojęciami: doświdczenie losowe realizacja(rzeczywista lub nie)określonego zespołu warunków, wraz z góryb określonym zbiorem wyników, zdarzenie elementarne ω poszczególne wyniki dośwaidczenia losowego, przestrzeń zdarzeń elementarycvh Ω zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Definicja 1. Niech Ω będzie zbiorem, a A będzie rodziną podzbiorów zbioru Ω (tzn. A 2 Ω ). Rodzinę A nazywamy σ ciałem podzbiorów zbioru Ω jeżeli 1., Ω A, 2. jeżeli A A, to również Ω \ A A, 3. jeżeli A 1, A 2,... A, to n=1 A n A. Uwaga 4. Każdy element σ ciała A nazywamy zdarzeniem elementarnym, przy czym: nazywamy zdarzeniem niemożliwym, Ω nazywamy zdarzeniem pewnym, jeśli A jest zdarzeniem, to zdarzenie A = Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Definicja 2. Niech Ω będzie zbiorem niepustym (przestrzenią zdarzeń elementarnych), a A 2 Ω σ ciałem podzbiorów zbioru Ω. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcją P : A [0, 1] taką, że 1. P (Ω) = 1, 3
4 2. jeśli A 1, A 2,... są parami rozłącznymi zdarzeniami (tzn. elementami A) to i j A i A j =, ( ) P A n = P (A n ). n=1 n=1 Jeżeli Ω jest niepustym zbiorem zdarzeń, A σ ciałem podzbiorów zbioru Ω, a P prawdopodobieństwem określonym na A, to trójkę (Ω, A, P ) będziemy nazywali przestrzenią probabilistyczną. Twierdzenie 1 (Własności prawdopodobnieństwa). Niech (Ω, A, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Wtedy: 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero P ( ) = Jeżeli zdarzenie A pociąga zdarzenie B, tzn. A B, to P (A) P (B). 3. Prowdopodobieństwo dowolnego zdarzenia nie przekracza liczby 1: P (A) 1, A A. 4. Jeżeli zdarzenie A pociąga zdarzenie B, tzn. A B, to P (B \ A) = P (B) P (A). 5. Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,..., A n są parami rozłączne, to P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A n ). 6. Suma prowdopodobieństw zdarzeń przeciwnych jest róna 1: 7. Dla dowolneych A, B A zachodzi wzó P (A) + P (A ) = 1. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 8. Jeżeli Ω jest zbiorem co najwyżej przeliczalnymi przy tym określone są prawdopodobieństwa p i zdarzeń jednoelementowych {ω i }, czyli p i = P ({ω i }) 0, { p p n = 1, gdy Ω jest zbiorem skończonym, p 1 + p = 1, gdy Ω jest zbiorem nieskończonym, to prawdopodobieństwo zdarzenia A, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne ω i1,... ω ik (czyli A = {ω i1,..., ω ik }) wynosi P (A) = p i p ik. 4
5 9. (Klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Jeżeli przestrzeń Ω składa się z n zdarzeń elementarnych, A = {ω 1,..., ω n } oraz zdarzenmia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, tzn. P ({ω i }) = 1 n, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A składającego się z k zdarzeń elementarnych wynosi: P (A) = k n. Podamu teraz definicję prawdopodobieństwa warunkowego. Gdy jeżeli A, B są dowolnymi zdarzeniami, to prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczone pod warunkiem zajścia zdarzenia B nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenai A pod warunkiem B i oznaczamy symbolem P (A B). Definicja 3. Niech (Ω, A, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś B ustalonym zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie P (B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A A pod warunkiem B nazywamy liczbę P (A B) = P (A B). P (B) Definicja 4. Mówimy, że zdarzenia A, B A są niezależne, gdy P (A B) = P (A) P (B). Uwaga 5. Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to wtedy (jeżeli P (A) > 0 i P (B) > 0) P (A B) = P (A) P (B A) = P (B) Twierdzenie 2 (Prawdopodobieństwo zupełne). Jeśli B jest dowolnym zdarzeniem oraz zdarzenie A 1, A 2,..., A n spełniają następujące warunki 1. wykluczają się parami A i A j =, gdy i j, 2. ich suma jest zdarzeniem pewnym 3. mają dodatnie prawdopodobieństwa A 1 A 2... A n = Ω, P (A i ) > 0, i {1,... n}, to prawdopodobieństwa zdarzenia B wyraża się wzorem P (B) = P (A 1 )P (B A 1 ) P (A n )P (B A n ). 5
6 Prawdopodobieństwo określone w powyższym twierdzenie nazywamy prawdopodobieństwem zupełnym lub całkowitym. Twierdzenie 3 (Wzór Bayesa). Jeśli B jest dowolnym zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwei, a zdarzenia A 1,..., A n spełniają założenia powyższego twierdzenie (twierdzenia o prawdopodobieństwei całkowitym), to prawdopodobieństwo warunkowe P (A k B) zdarzenia A k przy warunku B wyraża się wzorem P (A k B) = P (A k)p (B A k ) n, k {1,... n}. p(a i )P (B A i ) 1.3 Zmienna losowa, rozkład prawdopodobieństwa i= Zmienna losowa i jej dystrybuanta Niech (Ω, A, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję X : Ω R taką, że dla dowolnego ustalonego x R, zbiór zdarzeń elementarnych ω, dla któych spełniona jest nierówność X(ω) < x, jest zdarzeniem, tzn,: x R {ω : X(ω) < x} A. Zdarzeniami losowymi są również zbiory zdarzeń elementarnych postaci {ω : X(ω) A}, gdzie A R jest dowolnym podzbiorem borelowskim na prostej (np. A jest zbiorem postaci: [a, b], (a, b), {x 0 }, itp.). Prawdopodobieństwo P (X A) przyjęcia przez zmienną losową X wartości ze zbioru A R określamy rónością: P (X A) = P ({ω : X(ω) A}). Np., gdy A = (a, b], to Z definicji zmiennej losowej wynika, że zbiór P (a < X b) = P ({ω : a < X(ω) b}). {ω : X(ω) < x} jest zdarzeniem dla dowolych x R. Można zatem rozpatrywać prawdopodobieństwa P (X < x). Funkcję F X : R [0, 1] określoną wzorem F X (x) = P (X < x) nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej X. Jeżeli nie ma wątpliwości z jaką zmienną losową mamy do czynienia, to piszemy F, zamiast F X. Uwaga 6 (Własności dystrybuanty). Dystrybuanta F dowolnej zmiennej losowej ma następujące własności: 1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, 2. F jest funkcją niemalejącą, 6
7 3. Mamy oraz lim F (x) = 0 x lim F (x) = 1, x + 4. F jest funkcją lewostronnie ciągłą, tzn. lim x x 0 F (x) = F (x 0 ), 5. Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości z przwedziału [a, b) jest róne przyrostowi wartości dystrybuanty F między punktami a i b: P (a X < b) = F (b) F (a), 6. Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X ustalonej wartości x 0 wyraża się wzorem P ({x 0 }) = lim F (x) F (x 0 ), x x + 0 Uwaga 7. Jeżeli G: R R jest funkcją mającą własności (2), (3) i (4), to jest ona dystrybuantą pewnej zmiennej losowej. Wyróżniamy dwa typy zmiennych losowych zmienne losowe typu skokowego (dyskretnego), zmienne losowe typu ciągłego Zmienna losowa typu skokowego Mówimy, że zmienne losowa jest typu dyskretnego (skokowego) jeżeli istnieje skończony albo przeliczalnyz biór W x = {x 1,..., x n,...} jej wartości taki, że oraz P (X = x i ) = p i > 0 (1) p i = 1 i=1 gdzie górna granica sumowania wynosi n albo, jeżeli zbiór W x jest odpowiednio skończony (ma n elementów) albo przeliczalny. Warunek (1) nazywamy warunkiem unormowania. Funkcję p określoną na zbiorze W x równością p(x i ) = P (X = x i ) = p i, x i W x, spełniającą warunek unormowania (1) nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Równoważnie rozkład prawdopodobieństwa możemy zdefiniować tabelką: 7
8 x i x 1 x 2... x n... p i p 1 p 2... p n... Gdy dany jest rozkłąd prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, to prawdopodobieństwo przyjęcia przez nią wartości ze zbioru A określone jest równością P (X A) = x i A W szczególności, dla dowolnego przedziału (a, b) mamy oraz Zmienne losowa typu ciągłego P (a < X < b) = p i. p i a<x i <b F (x) = P (X < x) = p i. Zmienna losowa X przymująca wszystkie wartości z pewnego przedziału (lub przedziałów), dla której istnieje taka nieujemna funkcja f : R R, że dystrybuantę F zmiennej losowej X można przedstawić w postaci F (x) = x f t)dt, x i <x dla x R nazywamy zmienną losową typu ciągłego, a funkcję f jej gęstością. Jeżeli gęstość zmiennej losowej X jest różna od zera tylko w przedziale (a, b), to rozkład nazywamy skoncentrowanym na przedziale (a, b). Dystrybuanta zmiennej losowej typu ciągłego jest funkcją ciągłą. Uwaga 8 (Własności zmiennej losowej typu ciągłęgo). 1. Jeżeli x jest punktem ciągłości gęstości f, to F (x) = f(x) 2. f(t)dt = 1 3. P (X = c) = 0 dla każdego c R. 4. P (a < X < b) = P (a < X b) = P (a X < b) = P (a X b) = F (b) F (a) 5. P (a X b) = b a f(t)dt 8
9 1.3.4 Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej W celu syntetycznego scharakteryzowania zmiennej losowej, przyporządkowuje się jej pewne liczby charakteryzujące ją pod względem np. wartości najbardziej prawdopodobnej, rozrzutu jej wartości, kształtu histogramu lub wykresu jej gęstości. Liczby te nazywamy charakterystykami liczbowymi zmiennej losowej (lub jej rozkłądu prawdopodobieństwa). Najważniejsze z nich to wartolść przeciętna, wariacja oraz odchylenie standardowe. Jeżeli X jest zmienną losową, to wartością oczekiwaną (wartością przeciętną) jest: jeżeli X jest zmienną losową typu dyskretnego jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego EX = x i p i, x i W x EX = tf(t)dt. Powyższa definicja jest poprawnie określona, jeżeli szereg i całka po prawej stronie równości są zbieżne. Twierdzenie 4 (Własności wartości oczekiwanej). Niech X i Y będą zmiennymi losowymi oraz a, b, c będą stałymi. Wtedy: 1. E(c) = c 2. E(aX) = aex 3. E(X + b) = EX + b 4. E(X EX) = 0 5. E(X + Y ) = EX + EY 6. Jeżeli X i Y są niezależne, to E(XY ) = EX EY Wariancja zmiennej losowej X jest to wartość przeciętna kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej wartości przeciętnej, tzn. D 2 X = E(X EX) 2. Inaczej: jeżeli X jest zmienną losową typu dyskretnego, to D 2 X = (x i EX) 2 p i, x i W x jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego, to D 2 X = (t EX) 2 f(t)dt. 9
10 Twierdzenie 5 (Własności wariancji). Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi oraz a, b, c są stałymi, to: 1. D 2 (c) = 0 2. D 2 (ax) = a 2 D 2 X 3. D 2 (X + b) = D 2 X 4. gdy X i Y są niezależne, to D 2 (X + Y ) = D 2 X + D 2 Y 5. D 2 X = E(X 2 ) (EX) 2 Wartość DX = D 2 X nazywamy odchyleniem standardowym. Odchylenie standardowe jest ważnym pojęciem statystycznym. 1.4 Przegląd typowych rozkładów Rozkład jednopunktowy x i x 1 p i 1 Wtedy: EX = x 1, D 2 X = Rozkład zero jedynkowy Zmienna losowa X ma rozkład zero jedynkowy z parametrem p, gdzie p (0, 1), jeżeli jej rozkłąd prawdopodobieństwa jest postaci x i 0 1 p i q p gdzie q = 1 p. Wtedy: Rozkład dwumianowy EX = p, D 2 X = pq. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (rozkład Bernoulliego) z parametrami (n, p), n N, p (0, 1), jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci: ( ) n P (X = k) = P (k, n, p) = p k q n k, k {0,..., n}, k gdzie q = 1 p. Wtedy: EX = np, 10 D 2 X = npq.
11 1.4.4 Rozkład Poissona Dyskretna mienna losowa X ma rozkłąd Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci λ λk p k = P (X = k) = e k!. Przyjmuje ona zatem z dodatnim prawdopodobieństwem przeliczalną liczbę wartości (wartościami są wszystkie liczby 0, 1, 2, 3,...). Mamy: EX = λ, D 2 X = λ. Prawdziwe jest następujące twierdzenie łączące rozkłady dwumianowe z rozkłądem Poissona: Uwaga 9. Jeżeli (X n ) jest ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z parametrami, odpowiednio (n, p n ) oraz λ > 0 jest taka, że to dla k N Rozkład jednostajny lim n lim np n = λ, n ( ) n p k k n(1 p n ) n k λ λk = e k!. Zmienna losowa X typu ciągłego ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeżeli jej gęstość jest dana za pomocą wzoru: { 1 f(x) =, dla x [a, b], b a 0, dla x / [a, b]. Wówczas dystrybuanta określona jest wzorem: 0, dla x (, a), x a F (x) = b a, dla x [a, b], 1, dla x (b, ). Mamy: Rozkład wykładniczy EX = a + b 2, D2 X = 1 12 (b a)2. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0, jeżeli jej gestość jest postaci: { 1 f(x) = λ e x λ, dla x 0, 0, dla x < 0. Wówczas dystrybuanta określona jest wzorem: { 0, dla x 0, F (x) = 1 e x λ, dla x > 0. Wówczas: EX = λ, D 2 X = λ 2. Jedną z własności rozkładu wykłądniczego jest tzw. brak pamięci, tzn. dla dowolnych a, b > 0 mamy P (X a + b X a) = P (X b). 11
12 1.4.7 Rozkład normalny RRozkłąd normalny jest jednym z najczęsciej występujących rozkładów typu ciągłego. Zmienna losowa X ma rozkład normalny (gaussowski) z parametrami µ i σ (µ R, σ > 0), jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem: f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R. Rozkłąd normalny z parametrami µ, σ oznaczamy symbolem Mamy: N(µ, σ). EX = µ, D 2 X = σ 2. Jeżeli zmienna losowa X ma rozkłąd normalny N(µ, σ), to zmienna losowa X µ ma tzw. standaryzowany rozkłąd normalny N(0, 1). Wówczas jej gestość wyraża się σ wzorem a dystrybuanta: ϕ(x) = 1 2π e x2 2, Φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt. Obliczenie wartości dystrybuanty Φ(x) nie jest łatwe, ponieważ występującej tam całki nie ożna wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Do obliczenia wartości dystrybuanty rozkładu normalnego służą tablice. 1.5 Przedziały ufności Sposobem estymacji (przybliżania), dającym możliwość oceny dokładności oceny wartości nieznanych parametrów, jest metoda przedziałowa polegająca napodaniu tzw. przedziałów ufności dla nieznanych parametrów rozkładu. Przedziałem ufności dla parametru θ na poziomie ufności α (0 < α < 1) nazywamy przedział (θ 1, θ 2 ) spełniający warunki: jego końce θ 1 = θ 1 (X 1,..., X n ) i θ 2 = θ 2 (X 1,..., X n ) są wartościami próby losowej i nie zależą od szacowanego parametru θ, prawdopodobieństwo pokrycia przez ten przedział nieznanego parametru θ jest równe 1 α, tzn. P (θ 1 < θ < θ 2 ) = 1 α. Liczbę 1 α nazywamy współczynnikiem ufności. Jeżeli podczas badania cechy X uzyskujemy n wyników: X 1,..., X n, to: X = 1 n X i n oraz i=1 S 2 = 1 n (X i n X) 2. i=1 12
13 1.5.1 Przedziały ufności dla wartości przeciętnej Cecha X populacji generalnej ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanej wartości przeciętnej i znanym odchyleniu standardowym σ. Przy danej liczebności próby n i danym współczynniku ufności 1 α najkrótszym przedziałem ufności dla µ jest przedział ( ( X u 1 α ) σ n, 2 X ( + u 1 α ) ) σ n 2 gdzie u(β) jest kwantylem rozkładu N(0, 1) rzędu β, tzn. Φ(u(β)) = β Przedziały ufności dla wariacji i odchylenia standardowego Niech cecha X ma rozkłem N(µ, σ) o nieznanych µ i σ. Próba liczy co najwyżej 50 jednostek (n 50). Konstrukcję przedziału ufności oprzemy na statystyce χ 2 = ns2 σ 2 = n (X i X) 2 i=1 która ma rozkład chi kwadrat o n 1 stopniach swobody (wartości dystrybuanty tego rozkładu są stablicowane). Niech χ 2 (β, n 1) oznaczają kwantyle rozkładu chi kwadrat o n 1 stopniach swobody rzędu β. Wtedy przedział ufności dla wariancji przyjmuje postać: zaś dla odchylenia standardowego σ 2 ( ns 2 χ 2 (1 1α, n 1) < ns 2 ) σ2 < χ 2 2 ( 1 α, n 1) 2 ( ) n n χ 2 (1 1 < σ < α, n 1)S χ 2 2 ( 1 α, n 1)S 2 W sytuacji, kiedy cecha ma rozkład N(µ, σ) o nieznanych µ, σ oraz próba jest o liczebności n 50. W tym przypadku statystyka 2χ 2 = 2 ns2 σ 2 = S σ 2n ma w przybliżeniu rozkład N( 2n 3, 1). Zatem przedział ufności przybiera postać ( S ) 2n 2n 3 + u(1 1 α) < σ < S 2n 2 2n 3 u(1 1 α) 2 13
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Jednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Elementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Statystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Rozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Dyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Pojęcie przestrzeni probabilistycznej
Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Definicja (przestrzeni probabilistycznej) Uporządkowany układ < Ω, S, P> nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli (Ω) Ω jest niepustym zbiorem zwanym przestrzenia
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 08/9 Zarządzanie e-mail: www: konsultacje: rafal.kucharski@ue.katowice.pl http://web.ue.katowice.pl/rkucharski/ Piątki, 5:0-6:0,
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Rozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Estymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Zmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej
Wykład 4, 5 i 6 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak
Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym
Zmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Statystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X
Własności EX, D 2 X i DX przy przekształceniach liniowych Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X Przemnożenie wartości zmiennej losowej przez wartość stałą: Y=a*X
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Adam Wosatko Magdalena Jakubek Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 4 Podstawy statystyki 4. Wstęp Statystyka nauka o metodach badań właściwości populacji (zbiorowości),
Spis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości