Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski

Transkrypt

1 Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004

2

3 Spis treści Wstęp 1 1 Przestrzenie z miarą 3 σ-algebra Przestrzeń mierzalna Zbiory borelowskie Algebry Boole a zbiorów Dwie konwencje Definicja miary Przykłady Funkcje skończenie addytywne Ciągłość z góry i ciągłość z dołu Funkcje mierzalne 9 Funkcje mierzalne Funkcje borelowskie Funkcje numeryczne Definicja całki według Lebesgue a 13 Definicja całki Własności całki Całka a równość prawie wszędzie Całka z funkcji o wartościach zespolonych Całkowanie ciągów funkcyjnych 17 Tw. Lebesgue a o zbieżności monotonicznej Lemat Fatou Tw. Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej Rozkład Hahna Różniczkowanie pod znakiem całki Całka Riemanna a całka Lebesgue a 21 Całka Riemanna a całka Lebesgue a Zupełność i uzupełnienie przestrzeni z miarą i

4 ii Spis treści Miara Lebesgue a i zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a 22 6 Zagadnienie przedłużenia miary 23 Schemat konstrukcji miary Półpierścień zbiorów Addytywność na półpierścieniu Twierdzenie o przedłużeniu miary Miara zewnętrzna i konstrukcja Caratheodory ego Jednoznaczność i zupełność przedłużenia 27 π układy λ układy Lemat o λ i π układach Jednoznaczność przedłużenia Zupełność F µ Twierdzenie o pokryciu mierzalnym Miara Lebesgue a 31 Miara Lebesgue a na IR Produkt przestrzeni mierzalnych Produkt miar Miara Lebesgue a na IR d Twierdzenie Fubiniego 35 Twierdzenie Tonellego Twierdzenie Fubiniego Zmiana zmiennych w całce Lebesgue a Przestrzenie funkcji całkowalnych 37 Przestrzeń L 1 (µ) Przestrzeń L 2 (µ) Przestrzenie L p (µ) i nierówności całkowe 39 Przestrzenie L p (µ) Nierówność Minkowskiego Nierówność Höldera Nierówność Jensena Rodzaje zbieżności funkcji mierzalnych i relacje między nimi 41 Podstawowe rodzaje zbieżności Podstawowe zależności

5 13 Gęstość funkcji gładkich w L p (IR d ) 43 Gęstość funkcji gładkich w L p (IR d ) Lemat Riemanna-Lebesgue a Charakterystyki zmiennych losowych 45 Słowniczek teorii prawdopodobieństwa Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta zmiennej losowej Mediana i kwantyle Klasyfikacja rozkładów na prostej 49 Rozkłady dyskretne Rozkłady absolutnie ciągłe Ogólna postać rozkładu Przykłady Rozkłady wielowymiarowe 53 Wektory losowe Rozkłady łączne a rozkłady brzegowe Niezależność stochastyczna 55 Niezależność Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Całka iloczynu niezależnych zmiennych losowych Charakterystyki wektorów losowych 59 Korelacja Wartość oczekiwana i macierz kowariancji Istnienie procesów stochastycznych 63 Schemat Bernoullego Funkcje Rademachera Rozwinięcia dwójkowe Idea ogólna Prawa wielkich liczb 65 Słabe prawo wielkich liczb Markowa Mocne prawo wielkich liczb Literatura 69

6 iv Spis treści

7 Wstęp Podobnie jak poprzednie wersje Repetytorium, niniejsze opracowanie nie jest ani skryptem, ani tym bardziej podręcznikiem, i nie może być traktowane jako źródło wiedzy w oderwaniu od semestralnego wykładu przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka. Należy podkreślić, że program przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka jest istotnie różny od programu tego przedmiotu dla kierunku Matematyka. Repetytorium pomyślane jest jako pomoc w przygotowaniu się do egzaminu ustnego. Repetytorium zawiera wszystkie definicje i sformułowania faktów i twierdzeń wymagane na egzaminie po semestrze zimowym roku akademickiego 2003/2004. W trakcie wykładu zasygnalizowałem, że znajomość niektórych dowodów nie będzie konieczna podczas egzaminu. Twierdzenia, fakty i lematy, które należy opanować wraz z dowodami, oznaczone są napisem Szczególną uwagę należy poświęcić rozwiązaniu zadań i wyjaśnieniu przykładów umieszczonych w Repetytorium. Adam Jakubowski 1

8 2 Wstęp

9 1. Przestrzenie z miarą σ-algebra 1.1 Definicja σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω nazywamy rodzinę F 2 Ω spełniającą następujące warunki. S0), Ω F. S1) Jeżeli A F, to również A c F. S2) Jeżeli A 1, A 2,... F, to j=1 A j F. 1.2 Przykłady 1. F = 2 Ω, F = {, Ω}. 2. Niech R = {A 1, A 2,..., A n } - skończone rozbicie przestrzeni Ω, tj. Ω = n j=1 A j i zbiory A j są parami rozłączne: A i A j =, jeśli i j. Wtedy F = {sumy rozłączne elementów rozbicia R} jest σ-algebrą. 3. Niech {F i ; i II} będzie rodziną σ-algebr podzbiorów zbioru Ω. Wówczas F = i II F i jest σ-algebrą. 4. Niech C 2 Ω będzie klasą zbiorów. Wówczas przekrój wszystkich σ- algebr podzbiorów Ω zawierających klasę C jest σ-algebrą. Nazywamy ją σ-algebrą generowaną przez klasę C i oznaczamy symbolem σ(c). Przestrzeń mierzalna 1.3 Definicja Przestrzenią mierzalną nazywamy parę (Ω, F), gdzie Ω jest niepustym zbiorem, a F jest σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. 1.4 Definicja Niech (Ω, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech Ω 0 Ω. Niech F Ω 0 = {A Ω 0 ; A F}. Parę (Ω 0, F Ω 0 ) nazywamy podprzestrzenią mierzalną przestrzeni (Ω, F). 1.5 Fakt Niech (Ω, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech Ω 0 Ω. Jeżeli F = σ(c), to F Ω 0 = σ(c Ω 0 ). 3

10 4 1. Przestrzenie z miarą Zbiory borelowskie 1.6 Definicja Podzbiory borelowskie IR 1 to elementy σ-algebry generowanej przez podzbiory otwarte (równoważnie: domknięte) prostej. σ-algebrę zbiorów borelowskich oznaczamy symbolem B Fakt Niech S 1 = {(, a] ; a IR 1 }, I 1 = {(a, b] ; a < b, a, b IR 1 }. Wtedy B 1 = σ(s 1 ) = σ(i 1 ). 1.8 Zadanie Pokazać, że Fakt 1.7 pozostaje prawdziwy, jeśli klasę S 1 zastąpić przez C = {(, q] ; q Q}. Algebry Boole a zbiorów 1.9 Definicja Algebrą Boole a zbiorów nazywamy rodzinę A spełniającą następujące warunki. A0), Ω A. A1) Jeżeli A A, to również A c A. A2) Jeżeli A, B A, to A B A. Najmniejszą algebrę zawierającą daną klasę zbiorów C nazywamy algebrą generowaną przez klasę C i oznaczamy przez a(c) Zadanie Niech C będzie rodziną podzbiorów zbioru Ω. Określamy kolejne klasy pochodne. C 1 = C {, Ω} {C c ; C C}. C 2 = { skończone przekroje zbiorów z klasy C 1 }. C 3 = {sumy skończone rozłącznych elementów z klasy C 2 }. Pokazać, że C 3 = a(c) Wniosek Jeżeli C jest skończona, to a(c) jest skończona. Jeżeli C jest przeliczalna, to a(c) jest przeliczalna.

11 Dwie konwencje 5 Dwie konwencje 1.12 Umowa IR + = {x IR 1 ; x 0}. IR + = IR + {+ }. Niech a IR +. Rozszerzamy zwykłe działania na zbiór IR = 0, a + = +, a 0, + + a = +, + a = +, a Umowa Niech A 1, A 2,... Ω. Operacja j A j określona jest tylko dla zbiorów parami rozłącznych i oznacza zwykłą sumę j A j. Definicja miary 1.14 Definicja Niech (Ω, F) będzie przestrzenią mierzalną. Miarą na (Ω, F) nazywamy funkcję µ : F IR + spełniającą następujące warunki. M0) µ( ) = 0. M1) Jeżeli A 1, A 2,... F są parami rozłączne, to µ( A j ) = µ(a j ). j=1 j=1 (własność σ-addytywności miary) Definicja Miarę µ nazywamy probabilistyczną lub unormowaną, jeśli µ(ω) = Definicja Miara µ jest skończona, jeśli µ(ω) < Definicja Miara µ jest σ-skończona, jeśli istnieją zbiory A 1, A 2,... F, takie że Ω = j=1 A j i µ(a j ) < +, j = 1, 2, Definicja Trójkę (Ω, F, µ), gdzie (Ω, F) jest przestrzenią mierzalną, a µ jest miarą na (Ω, F), nazywamy przestrzenią z miarą.

12 6 1. Przestrzenie z miarą Przykłady 1. Niech Ω 0 Ω i niech F = 2 Ω. Określamy miarę liczącą elementy zbioru Ω 0 wzorem µ(a) = { #A Ω0 jeśli jest to zbiór skończony, + w przeciwnym przypadku. 2. Niech Ω 0 = {ω 1, ω 2,...} będzie podzbiorem przeliczalnym zbioru Ω. Niech p 1, p 2,... IR +. Przyjmując z definicji 0, określamy µ(a) = {j ; ω j A} 1.19 Zadanie Obie funkcje określone powyżej sa miarami. Kiedy są one miarami probabilistycznymi, skończonymi, σ-skończonymi? p j Uwaga Udowodnimy później, że na (IR 1, B 1 ) istnieje dokładnie jedna miara l taka, że l((a, b]) = b a. Nazywamy ją miarą Lebesgue a. Funkcje skończenie addytywne 1.21 Definicja Skończenie addytywną nazywamy funkcję µ : F IR + spełniającą następujące warunki. FM0) µ( ) = 0. FM1) Jeżeli A, B F są rozłączne, to µ(a B) = µ(a) + µ(b) Fakt Funkcja addytywna µ na F ma następujące własności: 1. Jeżeli A, B F, A B, to µ(a) µ(b). 2. Jeżeli A, B F, A B i µ(a) < +, to µ(b \ A) = µ(b) µ(a). 3. Jeżeli A 1, A 2,..., A n F są parami rozłączne, to n n µ( A j ) = µ(a j ). j=1 j=1

13 Ciągłość z góry i ciągłość z dołu 7 4. (Własność subaddytywności) Dla dowolnych A 1, A 2,..., A n F n n µ( A j ) µ(a j ). j=1 j=1 5. (Własność super-σ-addytywności) Jeżeli A 1, A 2,... F są parami rozłączne, to µ(a j ) µ( A j ). j=1 j=1 6. Jeżeli µ(ω) < +, to dla dowolnych A 1, A 2,..., A n F n n µ( A j ) = µ(a j ) j=1 j=1 µ(a i A j ) 1 i<j n + µ(a i A j A k ) 1 i<j<k n... + ( 1) n+1 µ(a 1 A 2... A n ). Ciągłość z góry i ciągłość z dołu 1.23 Fakt Niech µ : F IR + będzie miarą. Wówczas µ jest ciągła z góry, tzn. jeżeli zbiory A 1, A 2,... F są zstępujące: A 1 A 2... i od pewnego miejsca mają miary skończone (µ(a j ) < + dla j j 0 ), to µ( j=1 A j ) = lim µ(a j ). j 1.24 Zadanie Podać przykład przestrzeni z miarą i zstępującego ciągu zbiorów A j, dla którego lim j µ(a j ) > µ( j=1 A j ) Fakt Niech µ : F IR + będzie skończoną funkcją addytywną (µ(ω) < + ). Następujące warunki są równoważne: (i) µ jest miarą. (ii) µ jest ciągła z góry.

14 8 1. Przestrzenie z miarą (iii) µ jest ciągła z góry na zbiorze pustym, tzn. jeżeli zbiory A 1, A 2,... F są zstępujące: A 1 A 2... i j=1 A j =, to lim µ(a j ) = 0. j 1.26 Fakt Niech µ : F IR + będzie funkcją addytywną. Następujące warunki są równoważne: (i) µ jest miarą. (ii) µ jest sub-σ-addytywna, tzn. dla dowolnych A 1, A 2,... F µ( A j ) µ(a j ). j=1 j=1 (iii) µ jest ciągła z dołu, tzn. jeżeli zbiory A 1, A 2,... F są wstępujące: A 1 A 2..., to µ( A j ) = lim µ(a j ). j j=1

15 2. Funkcje mierzalne Funkcje mierzalne 2.1 Definicja Funkcję f : (Ω, F) IR 1 nazywamy mierzalną, jeśli dla każdego a IR 1 {f a} = {ω ; f(ω) a} F. 2.2 Fakt Funkcja f : (Ω, F) IR 1 jest mierzalna wtedy, i tylko wtedy, gdy dla każdego B B 1 f 1 (B) F, tzn. f 1 (B 1 ) F. A w dowodzie: 2.3 Lemat f 1 (σ(c)) = σ(f 1 (C)). 2.4 Fakt Funkcja na (Ω, F) przyjmująca przeliczalny zbiór wartości jest mierzalna dokładnie wtedy, gdy dla każdego x IR 1 f 1 ({x}) F. W szczególności, funkcja charakterystyczna zbioru A Ω, określona wzorem { 1 jeśli ω A; I A (ω) = 0 jeśli ω A, jest mierzalna, wtedy i tylko wtedy, gdy A F. 2.5 Uwaga Często spotykane są również inne oznaczenia funkcji charakterystycznej zbioru A, np. I(A), 1I A lub χ A. Funkcje borelowskie 2.6 Definicja Mierzalną funkcję f : (IR 1, B 1 ) IR 1 nazywamy funkcją borelowską. 2.7 Zadanie Każda funkcja niemalejąca określona na IR 1 jest borelowska. 9

16 10 2. Funkcje mierzalne 2.8 Zadanie Każda funkcja ciągła określona na IR 1 jest borelowska. 2.9 Zadanie Złożenie funkcji mierzalnej z funkcją borelowską jest funkcją mierzalną Zadanie Suma, różnica, iloczyn itp. funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną. Funkcje numeryczne 2.11 Definicja Określamy prostą rozszerzoną IR 1 = IR 1 {, + }, B 1 = σ(b 1, { }, {+ }). W rozszerzonej prostej określamy w naturalny sposób działania (np. 0 ( ) = 0 (+ ) = 0), z wyjątkiem operacji +(+ ), + +( ) itp., które pozostają symbolami nieoznaczonymi Wniosek Odwzorowanie f : (Ω, F) IR 1 jest mierzalne dokładnie wtedy, gdy {f a} F dla każdego a IR 1. (Takie odwzorowanie nazywamy funkcją mierzalną numeryczną.) 2.13 Wniosek Niech f 1, f 2,... będzie ciągiem mierzalnych funkcji numerycznych określonych na (Ω, F). Funkcje numeryczne (sup n są mierzalne. f n )(ω) := sup{f n (ω) ; n IN}, (inf f n )(ω) := inf{f n (ω) ; n IN}, n 2.14 Wniosek Funkcje numeryczne (lim inf n są mierzalne. f n )(ω) := lim inf n f n (ω), (lim sup n f n )(ω) := lim sup f n (ω), n 2.15 Wniosek Granica punktowa ciągu mierzalnych funkcji numerycznych jest mierzalną funkcją numeryczną.

17 Funkcje numeryczne Definicja Funkcję mierzalną nazywamy prostą, jeśli przyjmuje skończenie wiele wartości Wniosek Funkcja f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) jest prosta dokładnie wtedy, gdy istnieją liczby x 1, x 2,..., x m takie, że f 1 ({x j }) F, j = 1, 2,..., m, oraz m f(ω) = x j I f 1 ({x j })(ω). j= Wniosek Każda funkcja postaci m j=1 a j I Aj, gdzie A j F i a j IR 1 jest funkcja prostą Uwaga Rozważmy następujący przykład. Niech A, B F, A B i niech a b, b i a, b 0. Wówczas f = ai A + bi B = ai A\B + (a + b)i A B + bi B\A + 0I (A B) c. Funkcja prosta może więc posiadać wiele reprezentacji postaci m j=1 a j I Aj Twierdzenie Jeżeli f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) jest funkcja mierzalną, to istnieje ciąg f n funkcji prostych punktowo zbieżny do f. Jeżeli f jest nieujemna, to istnieje monotoniczny ciąg nieujemnych funkcji prostych punktowo zbieżny do f (0 f n f). Jeżeli f jest ograniczona, to istnieje ciąg funkcji prostych jednostajnie zbieżny do f.

18 12 2. Funkcje mierzalne

19 3. Definicja całki według Lebesgue a Definicja całki 3.1 Definicja Niech f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) będzie funkcją numeryczną i niech µ będzie miarą na (Ω, F). Będziemy określać całkę w sensie Lebesgue a funkcji f względem miary µ stopniowo, w kolejnych krokach rozszerzając definicję całki na coraz obszerniejsze klasy funkcji. Innymi słowy, całkę będziemy definiować przez indukcję mierzalną. Krok 1. Jeżeli f jest funkcją charakterystyczną zbioru, tzn. f = I A, A F, to f dµ := µ(a). Krok 2. Jeżeli f jest nieujemną funkcją prostą, tzn. f = m j=1 a j I Aj, a j 0, A j F, j = 1, 2,..., m, to m f dµ := a j µ(a j ). j=1 Uwaga: trzeba pokazać, że definicja nie zależy od reprezentacji funkcji prostej. Krok 3. Jeżeli f jest nieujemną funkcją numeryczną, to f dµ := sup{ s dµ ; 0 s f, s funkcja prosta }. f dµ := f + dµ Krok 4. Niech f + (ω) = max{f(ω), 0} i f (ω) = max{ f(ω), 0}. Jeżeli f + dµ < + lub f dµ < +, to f dµ ( IR 1 ). 3.2 Definicja Mówimy, że funkcja numeryczna f jest całkowalna, jeśli f + dµ < + i f dµ < + (równoważnie: f dµ < + ). W takim przypadku f dµ IR Uwaga Określona wyżej całka f dµ oznaczana będzie (w zależności od potrzeb) również symbolami Ω f(ω) µ(dω), Ω f(ω) dµ(ω) itp. 13

20 14 3. Definicja całki według Lebesgue a Własności całki 3.4 Twierdzenie Całka z numerycznych funkcji nieujemnych ma następujące własności. 1. Jeżeli 0 f g, to f dµ g dµ. 2. Jeżeli f 0, to f dµ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy µ{f > 0} = Jeżeli f, g 0 i a, b IR +, to (af + bg) dµ = a f dµ + b g dµ. 3.5 Twierdzenie Całka z numerycznych funkcji całkowalnych ma następujące własności. 1. Jeżeli f jest całkowalna, to µ{ f = + } = Jeżeli f, g są całkowalne i a, b IR 1, to całkowalna jest funkcja af +bg i ma miejsce równość (af + bg) dµ = a f dµ + b g dµ. 3.6 Fakt Jeżeli f 0, to funkcja zbioru F A f dµ := fi A dµ jest miarą na (Ω, F). Jeżeli f jest całkowalna, to funkcja zbioru F A f dµ := fi A dµ jest σ-addytywna na F. A A 3.7 Uwaga Określona wyżej funkcja zbioru A f dµ oznaczana będzie (w zależności od potrzeb) również symbolami A f(ω) µ(dω), A f(ω) dµ(ω) itp. Całka a równość prawie wszędzie 3.8 Uwaga Niech f i g będą funkcjami numerycznymi na (Ω, F). Oznaczmy N f = {ω ; f(ω) = + }, N g = {ω ; g(ω) = + }. Jeżeli f i g są całkowalne, to na mocy Twierdzenia 3.5, p. 1, µ(n f ) = µ(n g ) = 0. Wynika stąd, że na zbiorze N f N g suma f + g może nie być określona (np. może być postaci + + ( )). Jest jednak określona µ-prawie wszędzie, tzn. wszędzie poza zbiorem miary µ zero.

21 Całka z funkcji o wartościach zespolonych Definicja Mówimy, że pewna własność (np. równość dwóch funkcji lub skończoność wartości funkcji) ma miejsce µ-prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór N F, µ(n) = 0, taki że rozważana własność ma miejsce już dla wszystkich ω / N. (Np. f n f 0 µ-prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór Ω 0 F taki, że µ(ω c 0 ) = 0 i dla każdego ω Ω 0, f n (ω) f 0 (ω)) Fakt Jeżeli f = g µ-prawie wszędzie i f jest całkowalna, to g też jest funkcją całkowalną i f dµ = g dµ Wniosek Całka jest funkcją klasy funkcji równych prawie wszędzie. Całka z funkcji o wartościach zespolonych 3.12 Uwaga O całkowaniu funkcji o wartościach zespolonych. Jeśli zauważyć, że można utożsamić C z IR 2, mierzalność funkcji f : (Ω, F) (C, B C ) oznacza jednoczesną mierzalność części rzeczywistej Rf i części urojonej If. Z definicji, f : (Ω, F) (C, B C ) jest całkowalna, jeśli całkowalne są Rf i If, i wtedy f dµ := Rf dµ + i If dµ. Można pokazać, że tak określona całka ma zwykłe własności, tzn. jest liniowa i f dµ f dµ.

22 16 3. Definicja całki według Lebesgue a

23 4. Całkowanie ciągów funkcyjnych Tw. Lebesgue a o zbieżności monotonicznej 4.1 Uwaga Wszystkie ciągi funkcji numerycznych rozważane w tym paragrafie sa określone na wspólnej przestrzeni z miarą (Ω, F, µ). 4.2 Twierdzenie (Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Jeżeli 0 f 1 f 2..., to lim f n dµ = lim f n dµ. n n 4.3 Twierdzenie (O całkowaniu szeregów o wyrazach nieujemnych) Jeżeli f 1, f 2,... 0, to f j dµ = f j dµ. j=1 j=1 W szczególności, szereg j=1 f j zbieżny jest szereg j=1 fj dµ. jest całkowalny wtedy i tylko wtedy, gdy 4.4 Wniosek Jeżeli j=1 fj dµ < +, to szereg funkcyjny j=1 f j jest zbieżny µ-prawie wszędzie. Lemat Fatou 4.5 Twierdzenie (Lemat Fatou) Jeżeli f 1, f 2,... 0, to lim inf n f n dµ lim inf n 17 f n dµ.

24 18 4. Całkowanie ciągów funkcyjnych Tw. Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej 4.6 Twierdzenie (Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej) Przypuśćmy, że f n f 0 µ-prawie wszędzie. Jeżeli istnieje funkcja g całkowalna i taka, że dla każdego n IN f n g µ-prawie wszędzie, to: 1. f 0 jest całkowalna; 2. f n dµ f 0 dµ. 4.7 Zadanie Podać przykład ciągu funkcyjnego f n na [0, 1], który jest zbieżny wszędzie do f 0 0, ale dla którego lim n 1 0 f n(x) dx 0. (całka oznacza zwykłą całkę Riemanna) 4.8 Uwaga Przypomnijmy definicję miary liczącej w szczególnym przypadku Ω 0 = Ω = IN. Niech F = 2 IN. Określamy miarę liczącą elementy podzbiorów zbioru IN wzorem { #A jeśli jest to zbiór skończony, Λ(A) = + w przeciwnym przypadku. Można łatwo pokazać, że na przestrzeni (IN, 2 IN, Λ) funkcje mierzalne to ciągi liczbowe {a n }, funkcje mierzalne numeryczne to ciągi przyjmujące również wartości + i, a ciąg {a n } jest całkowalny względem miary Λ dokładnie wtedy, gdy n=1 a n < +, przy czym a n dλ(n) = a n. IN n=1 4.9 Zadanie Niech dla każdego n IN będzie dany szereg zbieżny k=1 a n,k. Przypuśćmy, że dla każdego k IN, lim n a n,k = a k. Na podstawie twierdzeń Lebesgue a o zbieżności monotonicznej i majoryzowanej, podać dwa kryteria dla zbieżności Rozkład Hahna lim a n,k = a k. n k=1 k= Fakt Niech f będzie mierzalna i całkowalna na (Ω, F, P ). Wówczas funkcja zbioru F A f dµ := fi A dµ =: µ f (A), jest σ-addytywna. A

25 Różniczkowanie pod znakiem całki Uwaga Jeżeli f = f + f, to µ f (A) = µ f +(A) µ f (A), gdzie µ f + i µ f są już miarami skończonymi. Przy tym µ f +(A) = µ f (A {f 0}), µ f (A) = µ f (A {f < 0}). Jest to przykład tzw. rozkładu Hahna Twierdzenie (Rozkład Hahna) Jeżeli ν jest ograniczoną funkcją σ-addytywną na (Ω, F), to istnieje zbiór B F oraz miary skończone ν + i ν, takie że dla każdego A F ν(a) = ν + (A) ν (A), ν + (A) = ν(a B), ν (A) = ν(a B c ). Różniczkowanie pod znakiem całki 4.13 Twierdzenie (O różniczkowaniu pod znakiem całki) Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Niech f : (a, b) Ω IR 1 spełnia następujące warunki. 1. Dla każdego t (a, b) funkcja f(t, ) jest mierzalna na (Ω, F) i całkowalna względem miary µ, tak że określona jest funkcja (a, b) t F (t) = f(t, ω) dµ(ω). 2. Dla prawie wszystkich ω Ω funkcja f(, ω) jest różniczkowalna na całym odcinku (a, b). 3. Istnieje funkcja całkowalna g : (Ω, F, µ) (IR 1, B 1 ) spełniająca dla µ-p.w. ω warunek sup f (s, ω) t g(ω). s (a,b) Wówczas funkcja F jest różniczkowalna na (a, b) i dla t 0 (a, b) df f dt (t 0) = t (t 0, ω) dµ(ω).

26 20 4. Całkowanie ciągów funkcyjnych

27 5. Całka Riemanna a całka Lebesgue a Całka Riemanna a całka Lebesgue a 5.1 Twierdzenie (Całka Riemanna a całka Lebesgue a) Niech f : [a, b] IR 1 będzie ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna. Wówczas istnieje funkcja borelowska f, prawie wszędzie na [a, b] (względem miary Lebesgue a) równa f i całkowalna względem miary Lebesgue a, przy czym [a,b] f dl = b a f(x) dx. (Po lewej stronie mamy całkę Lebesgue a po zbiorze [a, b], a po prawej całkę Riemanna). Co więcej, f jest l-prawie wszędzie ciągła na [a, b], tzn. l{x [a, b] ; f nie jest ciągła w x} = Zadanie Podać przykład funkcji całkowalnej w sensie Riemanna na zbiorze niezwartym, która nie jest całkowalna w sensie Lebesgue a na tym zbiorze. 5.3 Zadanie Podać przykład, że twierdzenie Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej nie jest prawdziwe dla całki Riemanna. Zupełność i uzupełnienie przestrzeni z miarą 5.4 Uwaga Jeżeli f jest ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna na [a, b], to jest równa prawie wszędzie funkcji borelowskiej, i wydaje się naturalne, żeby przyjąć b f dl = f(x) dx. [a,b] Jednak f nie musi być mierzalna względem σ-algebry zbiorów borelowskich. Powstaje pytanie, czy potrafimy umiejscowić całkowanie takich funkcji w ramach rozwiniętego formalizmu. Okazuje się, że tak. Pomocna okazuje się obserwacja, że takie funkcje spełniają warunek z poniższego twierdzenia, są więc mierzalne względem pewnego naturalnego rozszerzenia σ-algebry B a

28 22 5. Całka Riemanna a całka Lebesgue a 5.5 Twierdzenie Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Niech F będzie rodziną zbiorów postaci B N, gdzie B F, a N jest zbiorem µ-zerowym, tzn. istnieje nadzbiór C zbioru N, który jest mierzalny i ma miarę zero: N C, C F, µ(c) = 0. Wówczas F jest σ-algebrą. Co więcej, funkcja f jest mierzalna względem F dokładnie wtedy, gdy f = g + h, gdzie g jest funkcją F-mierzalną, a funkcja h ma następującą własność: istnieje zbiór C F taki, że µ(c) = 0 oraz (tzn. zbiór {h 0} jest µ-zerowy). C {ω ; h(ω) 0}. 5.6 Definicja Jeżeli (Ω, F, µ) jest przestrzenią z miarą, to przestrzeń (Ω, F, µ), gdzie F jest określona wyżej, a rozszerzenie miary µ jest zadane wzorem µ(b N) := µ(b), nazywamy uzupełnieniem przestrzeni (Ω, F, µ). Jeżeli F = F, to mówimy, że przestrzeń (Ω, F, µ) jest zupełna. Miara Lebesgue a i zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a 5.7 Definicja Rozważmy przestrzeń (IR 1, B 1, l) (która nie jest przestrzenią zupełną). Elementy σ-algebry uzupełnionej B 1 nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a i oznaczamy L 1. Miarę rozszerzoną na L 1 nadal będziemy oznaczać l = l Uwaga Zbiorów lebegowskich jest 2 c (bo istnieje zbiór borelowski mocy c, który ma miarę Lebesgue a zero), ale przy założeniu pewnika wyboru można pokazać istnienie zbioru niemierzalnego w sensie Lebesgue a. 5.9 Wniosek Miara Lebesgue a na IR 1 jest jedyną miarą zupełną określoną na σ-algebrze podzbiorów IR 1 i spełniającą związek: l((a, b]) = b a, a < b, a, b IR Wniosek Funkcja ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna jest mierzalna w sensie Lebesgue a.

29 6. Zagadnienie przedłużenia miary Schemat konstrukcji miary Nasz schemat konstrukcji miar będzie następujący: 1. Na pewnej klasie (półpierścieniu) zbiorów R 2 Ω, mamy zadaną, na ogół w naturalny sposób, funkcję µ 0 : R IR +, która jest σ- addytywna na R. 2. Za pomocą funkcji µ 0 konstruujemy miarę zewnętrzną µ, określoną na wszystkich podzbiorach zbioru Ω. 3. Stosujemy konstrukcję Caratheodory ego, która wyróżnia σ-algebrę F µ zbiorów µ -mierzalnych. Miara zewnętrzna µ na F µ jest już σ- addytywna, tzn. jest już miarą. 4. Korzystając z σ-addytywności µ 0 na R sprawdzamy, że (a) R F µ, a więc i σ(r) F µ. (b) µ = µ 0 na R, a więc µ = µ σ(r) jest przedłużeniem funkcji µ 0 do miary µ na σ(r). 5. Stosując lemat o λ- i π-układach uzyskujemy jednoznaczność przedłużenia µ 0 do µ. 6. Korzystając z twierdzenia o pokryciu mierzalnym wnioskujemy, że przestrzeń (Ω, F µ, µ ) jest uzupełnieniem przestrzeni (Ω, σ(r), µ). Półpierścień zbiorów 6.1 Definicja Półpierścieniem zbiorów nazywamy rodzinę R 2 Ω spełniającą następujące warunki. SR0) R. SR1) Jeżeli A, B R, to A B R. SR2) Jeżeli A, B R, A B, to istnieją parami rozłączne elementy C 1, C 2,..., C m R takie, że m B \ A = C j. j=1 23

30 24 6. Zagadnienie przedłużenia miary 6.2 Uwaga Może nie istnieć najmniejszy półpierścień zawierający daną klasę zbiorów C. 6.3 Przykład Rodzina jest półpierścieniem generatorów B 1. I 1 = {(a, b] ; a < b, a, b IR 1 } Addytywność na półpierścieniu 6.4 Definicja Niech µ 0 : R IR + będzie określona na półpierścieniu R. Mówimy, że µ 0 jest addytywna, jeśli µ( ) = 0 i dla każdego układu parami rozłącznych elementów A 1, A 2,..., A m R, takiego że m j=1 A j R, ma miejsce równość m m µ 0 ( A j ) = µ 0 (A j ). j=1 Mówimy, że funkcja µ 0 jest σ-addytywna na R, jeśli µ( ) = 0 i dla każdego układu parami rozłącznych elementów A 1, A 2,... R, takiego że j=1 A j R, ma miejsce równość j=1 µ 0 ( A j ) = µ 0 (A j ). j=1 j=1 Twierdzenie o przedłużeniu miary 6.5 Twierdzenie Niech µ 0 : R IR + będzie σ-addytywna na półpierścieniu R. Wówczas istnieje miara µ określona na σ(r), taka że µ(a) = µ 0 (A), A R (tzn. funkcję µ 0 można rozszerzyć z R do miary na σ(r)). Miara zewnętrzna i konstrukcja Caratheodory ego 6.6 Definicja Miarą zewnętrzną na Ω nazywamy funkcję µ : 2 Ω IR + spełniającą następujące warunki. MZ0) µ ( ) = 0. MZ1) Jeżeli A B, to µ (A) µ (B). MZ2) Jeżeli A 1, A 2,... Ω, to µ ( A j ) µ (A j ). j=1 j=1

31 Miara zewnętrzna i konstrukcja Caratheodory ego Definicja Niech µ będzie miara zewnętrzną na Ω. Zbiór A Ω nazywamy µ -mierzalnym, jeśli dla każdego zbioru E Ω µ (E) = µ (E A) + µ (E A c ). Rodzinę zbiorów µ -mierzalnych oznaczać będziemy symbolem F µ. 6.8 Twierdzenie (Caratheodory) Jeżeli µ jest miarą zewnętrzną na Ω, to F µ jest σ-algebrą, a µ obcięta do F µ jest miarą. 6.9 Fakt Niech C 2 Ω, C. Niech η : C IR + będzie takie, że η( ) = 0. Określamy µ (A) = inf{ η(c j ) ; A C j, C j C}. j=1 (Kres dolny wzięty jest po wszystkich przeliczalnych pokryciach zbioru A elementami klasy C. Jeżeli takie pokrycie zbioru A nie istnieje, to z definicji µ (A) = + ). Funkcja µ określona powyżej jest miarą zewnętrzną na Ω Uwaga Niech R będzie półpierścieniem. Niech µ 0 : R IR + będzie σ-addytywna na R. Funkcja zbioru j=1 µ (E) = inf{ µ 0 (A j ) ; E A j, A j R} j=1 j=1 jest miarą zewnętrzną. W istocie, σ-addytywność funkcji µ 0 pozwala ograniczyć się w powyższej definicji do przeliczalnych pokryć sumami parami rozłącznych elementów R: µ (E) = inf{ µ 0 (A j ) ; E A j, A j R, A i A j =, i, j IN}. j=1 j=1

32 26 6. Zagadnienie przedłużenia miary

33 π układy 7. Jednoznaczność i zupełność przedłużenia 7.1 Definicja π-układem nazywamy klasę podzbiorów zbioru Ω zamkniętą ze względu na przekroje skończone. 7.2 Przykłady 1. Półpierścień jest π-układem. W szczególności rodzina I 1 = {(a, b] ; a < b, a, b IR 1 } jest π-układem generatorów σ-algebry B Rodzina S 1 = {(, a] ; a IR 1 } jest π-układem generatorów σ- algebry B 1. λ układy 7.3 Definicja λ-układem nazywamy klasę podzbiorów Λ zbioru Ω spełniającą następujące warunki. LU0) Λ. LU1) Jeżeli A, B Λ i A B, to B \ A Λ. LU2) Jeżeli A 1, A 2,... Λ są parami rozłączne, to j=1 A j Λ. Najmniejszy λ-układ zawierający daną klasę zbiorów C oznaczać będziemy λ(c). 7.4 Przykłady 1. Niech µ i ν będą dwiema skończonymi miarami na (Ω, F). Wówczas rodzina Λ µ,ν = {A F ; µ(a) = ν(a)} jest λ-układem. 2. Jeśli µ i ν są miarami probabilistycznymi, to Ω Λ µ,ν. 27

34 28 7. Jednoznaczność i zupełność przedłużenia Lemat o λ i π układach 7.5 Twierdzenie Jeżeli C jest π-układem, to λ(c) też jest π-układem. Jeżeli ponadto Ω C, to λ(c) = σ(c). 7.6 Uwaga Twierdzenie 7.5 zwykle nazywane jest lematem Dynkina o λ- i π-układach. W istocie udowodnione zostało ono przez Wacława Sierpińskiego już w latach dwudziestych. Jednoznaczność przedłużenia 7.7 Wniosek Jeżeli C jest π-układem generatorów σ-algebry F, a µ i ν sa miarami probabilistycznymi równymi na C, to µ = ν na F. 7.8 Wniosek Jeżeli C jest π-układem generatorów σ-algebry F, a µ i ν sa miarami skończonymi równymi na C, przy czym µ(ω) = ν(ω), to µ = ν na F. 7.9 Zadanie Podać przykład dwóch miar nieskończonych, dla których nie jest prawdziwy Wniosek Wniosek Niech σ-algebra F będzie generowana przez π-układ C. Niech µ i ν będą miarami na (Ω, F). Przypuśćmy, że miara µ jest σ-skończona względem C, tzn. istnieją zbiory C 1, C 2,... C, takie że Ω = j=1 C j i µ(c j ) < +, j = 1, 2,.... Jeżeli µ = ν na C, to µ = ν na F. Zupełność F µ Niech R będzie półpierścieniem. Niech µ 0 : R IR + będzie σ-addytywna na R. Funkcja zbioru µ (E) = inf{ µ 0 (A j ) ; E A j, A j R, A i A j =, i, j IN}. j=1 j=1 jest miarą zewnętrzną. Wiemy już, że µ jest przedłużeniem funkcji µ 0 z półpierścienia R do miary na σ-algebrze F µ σ(r). Pytamy o strukturę elementów F µ.

35 Twierdzenie o pokryciu mierzalnym 29 Twierdzenie o pokryciu mierzalnym 7.11 Twierdzenie Niech µ (E) < +. Wówczas istnieje zbiór F σ(r) (nazywany pokryciem mierzalnym E), taki że E F i µ (F ) = µ (E) Wniosek Jeżeli E F µ, µ (E) < +, to istnieją zbiory F, C σ(r) oraz N C, takie że E = F N i µ (C) = Wniosek Jeżeli µ 0 : R IR + jest σ-skończona, to (Ω, F µ, µ ) jest uzupełnieniem przestrzeni (Ω, σ(r), µ ).

36 30 7. Jednoznaczność i zupełność przedłużenia

37 8. Miara Lebesgue a Miara Lebesgue a na IR Fakt Niech l 0 : I 1 IR + będzie długością odcinka: Funkcja l 0 jest σ-addytywna na I 1. l 0 ((a, b]) = b a. 8.2 Twierdzenie Istnieje dokładnie jedna miara l określona na σ-algebrze L 1 podzbiorów IR 1 o następujących własnościach: (i) l((a, b]) = b a, a < b, a, b IR 1. (ii) (IR 1, L 1, l) jest uzupełnieniem przestrzeni (IR 1, B 1, l). Proszę podać twierdzenia, z których korzysta się w konstrukcji miary Lebesgue a. 8.3 Definicja Miarę l, o której mowa w powyższym twierdzeniu, nazywamy miarą Lebesgue a, a elementy σ-algebry L 1 zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a. 8.4 Zadanie Wskazać nieprzeliczalny zbiór o mierze Lebesgue a zero. Wywnioskować stąd, że moc σ-algebry L 1 zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue a wynosi 2 c. 8.5 Umowa Dla liczby rzeczywistej r i podzbioru E IR 1 określamy: E + r = {x + r ; x e}, r E = {r x ; x E}. 8.6 Fakt Niech E L 1. Dla dowolnego r IR 1, zbiory E + r i r E są mierzalne w sensie Lebesgue a i mają miejsce równości l(e + r) = l(e), l(r E) = r l(e). 31

38 32 8. Miara Lebesgue a 8.7 Fakt Przy założeniu pewnika wyboru istnieje podzbiór IR 1, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue a. 8.8 Uwaga Miarę Lebesgue a na IR d można skonstruować w sposób podobny jak l, bezpośrednio stosując twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności przedłużenia do d-wymiarowej objętości V d ((a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] (a d, b d ]) = Π d i=1(b i a i ). Wybierzemy odmienną drogę, szczególnie ważną dla teorii prawdopodobieństwa. Produkt przestrzeni mierzalnych 8.9 Definicja Niech (Ω 1, F 1 ) i (Ω 2, F 2 ) będą przestrzeniami mierzalnymi. 1. Prostokątem mierzalnym nazywamy zbiór postaci A 1 A 2, gdzie A 1 F 1, A 2 F 2. Rodzinę prostokątów mierzalnych oznaczamy F 1 F Produktem σ-algebr F 1 i F 2 nazywamy σ-algebrę podzbiorów Ω 1 Ω 2 generowaną przez prostokąty mierzalne. Oznaczamy tę σ-algebrę symbolem F 1 F 2. Mamy więc z definicji: F 1 F 2 = σ(f 1 F 2 ). 3. Produktem przestrzeni mierzalnych (Ω 1, F 1 ) i (Ω 2, F 2 ) nazywamy przestrzeń (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ) Lemat Prostokąty mierzalne tworzą półpierścień (generatorów σ-algebry F 1 F 2 ) Twierdzenie Niech (Ω 1, F 1, µ 1 ) i (Ω 2, F 2, µ 2 ) będą przestrzeniami z miarą. 1. Istnieje miara ν na (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ) spełniająca warunek ν(a 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 ) µ 2 (A 2 ), A 1 F 1, A 2 F Jeżeli µ 1 i µ 2 są σ-skończone, to miara ν jest jedyna.

39 Produkt miar 33 Produkt miar 8.12 Definicja Niech µ 1 i µ 2 będą σ-skończonymi miarami na przestrzeniach mierzalnych odpowiednio (Ω 1, F 1 ) i (Ω 2, F 2 ). Produktem miar µ 1 i µ 2 nazywamy jedyną miarę µ 1 µ 2 na (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ) zadaną wzorem µ 1 µ 2 (A 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 ) µ 2 (A 2 ), A 1 F 1, A 2 F 2. Przestrzeń (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2, µ 1 µ 2 ) nazywamy produktem przestrzeni z miarą (Ω 1, F 1, µ 1 ) i (Ω 2, F 2, µ 2 ) Uwaga Produkt zupełnych przestrzeni z miarą nie musi być przestrzenią zupełną. Miara Lebesgue a na IR d 8.14 Definicja Miarą Lebesgue a na IR d nazywamy uzupełnienie miary produktowej l d = l 1 l 1 l 1. Miara Lebesgue a na IR d zadana jest na σ-algebrze L d podzbiorów IR d mierzalnych w sensie Lebesgue a, która określona jest jako uzupełnienie σ-algebry produktowej L 1 L 1 L 1 względem miary produktowej Uwagi 1. Miarę Lebesgue a na IR d oznaczać będziemy tym samym symbolem l d, co produkt l 1 l 1 l Można pokazać, że uzupełniając przestrzeń produktową (IR d, d B 1, l d ) również otrzymujemy miarę Lebesgue a i zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a na IR d (tutaj punktem wyjściowym jest produkt niezupełnych przestrzeni z miarą (IR 1, B 1, l)). 3. σ-algebrę produktową d B 1 = B 1... B 1 oznaczać będziemy B d. Można pokazać, że, podobnie jak w przypadku d = 1, B d jest generowana przez podzbiory otwarte IR d. Dlatego σ-algebrę B d nazywamy σ-algebrą podzbiorów borelowskich IR d Zadanie Pokazać, że rodzina S d = {(, a 1 ] (, a 2 ] (, a d ] ; a j IR 1, j = 1, 2,..., d} jest π układem generatorów B d Zadanie Pokazać, że rodzina I d = {(a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] (a d, b d ] ; a i < b i, a i, b i IR 1, i = 1, 2,..., d} jest półpierścieniem generatorów B d.

40 34 8. Miara Lebesgue a

41 9. Twierdzenie Fubiniego Twierdzenie Tonellego 9.1 Umowa Dla funkcji numerycznej f : (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ) (IR 1, B 1 ) określamy cięcia: f ω 1 ( ) = f(ω 1, ) : (Ω 2, F 2 ) (IR 1, B 1 ), f ω2 ( ) = f(, ω 2 ) : (Ω 1, F 1 ) (IR 1, B 1 ). 9.2 Twierdzenie Niech µ 1 i µ 2 będą σ-skończonymi miarami na przestrzeniach mierzalnych odpowiednio (Ω 1, F 1 ) i (Ω 2, F 2 ). Niech f będzie nieujemną funkcją numeryczną na (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ). Wówczas Ω 1 Ω 2 f d(µ 1 µ 2 ) = = Twierdzenie Fubiniego Ω 1 Ω 2 ( ) f ω 1 (ω 2 ) dµ 2 (ω 2 ) dµ 1 (ω 1 ) Ω ( 2 ) f ω2 (ω 1 ) dµ 1 (ω 1 ) dµ 2 (ω 2 ). Ω Twierdzenie Niech µ 1 i µ 2 będą σ-skończonymi miarami na przestrzeniach mierzalnych odpowiednio (Ω 1, F 1 ) i (Ω 2, F 2 ). Niech f będzie funkcją numeryczną na (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ). Jeżeli f d(µ 1 µ 2 ) < +, to istnieją całki iterowane ( ) f ω 1 (ω 2 ) dµ 2 (ω 2 ) dµ 1 (ω 1 ), Ω 2 Ω 1 ( ) f ω2 (ω 1 ) dµ 1 (ω 1 ) dµ 2 (ω 2 ), Ω 1 Ω 2 są one równe, i ich wspólna wartość wynosi Ω 1 Ω 2 f d(µ 1 µ 2 ). 9.4 Uwaga W twierdzeniu Fubiniego założenie o całkowalności funkcji f można sprawdzić stosując twierdzenie Tonellego. 9.5 Umowa Podobnie, jak w przypadku d = 1, d-wymiarowa całka w sensie Riemanna pokrywa się z całką w sensie Lebesgue a, jeśli tylko funkcja i zbiór 35

42 36 9. Twierdzenie Fubiniego po którym całkujemy są dostatecznie regularne (np. gdy funkcja jest ciągła i ograniczona). Dlatego będziemy używać standardowych oznaczeń V f dl d = V f(x) dx, gdzie x = (x 1, x 2,..., x d ) i dx = dx 1 dx 2... dx d. Zmiana zmiennych w całce Lebesgue a 9.6 Twierdzenie Niech V będzie zbiorem otwartym w IR d i niech f : V IR 1 będzie funkcją mierzalną. Jeżeli T : U T U = V jest dyfeomorfizmem zbiorów otwartych (tzn. odwzorowanie T jest klasy C 1, jest różnowartościowe i det DT (x) 0 dla x U), to całki V f(y) dy i U f(t (x)) det DT (x) dx istnieją jednocześnie, i jeśli istnieją, to są równe: f(y) dy = f(t (x)) det DT (x) dx. V U 9.7 Uwaga Z tzw. twierdzenia Sarda wynika, że twierdzenie o zmianie zmiennych pozostaje prawdziwe przy następujących słabszych założeniach. 1. T jest klasy C T jest różnowartościowe na zbiorze {x ; det DT (x) 0}.

43 10. Przestrzenie funkcji całkowalnych Przestrzeń L 1 (µ) 10.1 Definicja Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Określamy przestrzeń funkcji całkowalnych. L 1 (Ω, F, µ) = L 1 (µ) = {f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) ; f dµ < + }. Niech f g oznacza, że f = g µ-prawie wszędzie. Relacja jest relacją równoważności w L 1 (µ). Określamy przestrzeń L 1 (µ) jako przestrzeń ilorazową L 1 (µ)/ Lemat Niech f 1 = f dµ. Nieujemna funkcja 1 jest półnormą na przestrzeni L 1 (µ), tzn. spełnia następujące dwa warunki. 1. f + g 1 f 1 + g 1, f, g L 1 (µ). 2. a f 1 = a f 1, f L 1 (µ), a IR Uwaga Funkcja 1 nie jest na ogół normą, gdyż f 1 = 0 pociąga jedynie f = 0 µ-prawie wszędzie. Stąd jednak wynika, że określając funkcję 1 : L 1 (µ) IR + wzorem [f] 1 = f 1, definiujemy normę na L 1 (µ) Twierdzenie Przestrzeń (L 1 (µ), 1 ) jest zupełna (tzn. każdy ciąg Cauchy ego w normie 1 jest zbieżny). Przestrzeń ta jest więc tzw. przestrzenią Banacha. Przestrzeń L 2 (µ) 10.5 Definicja Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Określamy przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem. L 2 (Ω, F, µ) = L 2 (µ) = {f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) ; f 2 dµ < + }. Podobnie jak w przypadku przestrzeni L 1, określamy L 2 (µ) jako przestrzeń ilorazową L 2 (µ)/, gdzie f g dokładnie wtedy, gdy f = g µ-prawie wszędzie. 37

44 Przestrzenie funkcji całkowalnych 10.6 Lemat Niech f, g = f g dµ i f 2 = f 2 dµ. Funkcja f, g jest formą dwuliniową i symetryczną, a 2 jest półnormą na przestrzeni L 2 (µ). Tak więc określając [f], [g] = f, g otrzymujemy iloczyn skalarny na przestrzeni L 2 (µ) Uwaga Dla funkcji całkowalnych z kwadratem o wartościach zespolonych iloczyn skalarny w L 2 (µ) zadajemy wzorem f, g = fg dµ Twierdzenie Przestrzeń (L 2 (µ), 2 ) jest zupełna (jest więc przestrzenią Hilberta) Przykład Jeżeli µ jest miarą Lebesgue a na IR d, to odpowiednie przestrzenie funkcyjne oznaczamy symbolami L 1 (IR d ) i L 2 (IR d ). Podobnie, jeśli rozważamy miarę Lebesgue a na podzbiorze A IR d, piszemy L 2 (A), np. L 2 (0, 1), L 2 (0, 2π) itp Zadanie Pokazać (wskazując odpowiednie przykłady), że L 1 (IR 1 ) L 2 (IR 1 ) i L 2 (IR 1 ) L 1 (IR 1 ) Przykład Niech Λ będzie miarą liczącą na IN. Przestrzeń L 1 (Λ) = {f : IN IR 1 ; j=1 f(j) < + } oznaczamy przez l 1. Podobnie, przestrzeń L 2 (Λ) = {f : IN IR 1 ; j=1 f(j) 2 < + } oznaczamy przez l Zadanie Pokazać, że l 1 l 2, i że l 2 l Zadanie Pokazać, że jeśli µ jest miarą skończoną, to L 2 (µ) L 1 (µ).

45 11. Przestrzenie L p (µ) i nierówności całkowe Przestrzenie L p (µ) 11.1 Definicja Przestrzeń L p (µ), 0 < p < +, dla przestrzeni z miarą (Ω, F, µ) określamy jako L p (µ) = {f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) ; f p dµ < + }. Podobnie jak w przypadku przestrzeni L 1 i L 2, określamy L p (µ) jako przestrzeń ilorazową L p (µ)/, gdzie f g wtedy, gdy f = g µ-prawie wszędzie Uwagi 1. Dla 0 < p < 1, przestrzenie L p (µ) są zupełnymi przestrzeniami metrycznymi z metryką d p (f, g) = f g p dµ. 2. Dla 1 p < +, przestrzenie L p (µ) są zupełnymi przestrzeniami unormowanymi (przestrzeniami Banacha) z normą określoną wzorem ( f p = f p dµ) 1/p. Fakt, że tak określona funkcja spełnia nierówność trójkąta nie jest oczywisty. Nierówność Minkowskiego 11.3 Fakt Niech p [1, ). Jeżeli f p, g p < +, to f + g p f p + g p. 39

46 Przestrzenie L p (µ) i nierówności całkowe Nierówność Höldera 11.4 Fakt Niech p, q > 1 będą takie, że 1 p + 1 q = 1. Dla dowolnych funkcji numerycznych na (Ω, F, µ) ( f g dµ ) 1/p ( f p dµ g q dµ) 1/q Wniosek Jeżeli f L p (µ) i g L q (µ), gdzie 1/p + 1/q = 1, to f g L 1 (µ) Uwaga Można pokazać, że nierówność Höldera wynika z nierówności Jensena. Nierówność Jensena 11.7 Fakt Niech φ : IR 1 IR 1 będzie funkcją wypukłą. Niech µ będzie miarą probabilistyczną na (IR 1, B 1 ) taką, że x dµ(x) < +. Wówczas φ( x dµ(x)) φ(x) dµ(x) Wniosek Jeżeli µ jest miarą probabilistyczną na IR 1 i 0 < p r < +, to ( ) r ( ) p. x p dµ(x) x r dµ(x)

47 12. Rodzaje zbieżności funkcji mierzalnych i relacje między nimi Podstawowe rodzaje zbieżności Ciągi funkcji mierzalnych rozważane w trakcie niniejszego wykładu są określone na wspólnej przestrzeni z miarą (Ω, F, µ) Definicja Mówimy, że f n f 0 µ-prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór Ω 0 F taki, że µ(ω c 0 ) = 0 i dla każdego ω Ω 0, f n (ω) f 0 (ω) Definicja Ciąg f n jest zbieżny do f 0 według miary, jeśli dla każdego ε > 0 µ{ω ; f n (ω) f 0 (ω) > ε} 0, gdy n +. Zapisujemy: f n µ f Definicja Zbieżność w L p, 0 < p < +, to zbieżność w przestrzeni L p (µ). Tak więc f n L p f 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f n f 0 p dµ 0, gdy n +. Podstawowe zależności 12.4 Fakt Jeżeli µ jest miarą skończoną, to zbieżność w L r, r > 0 pociąga zbieżność w L p, 0 < p r Fakt Zbieżność w L p, 0 < p < +, pociąga zbieżność według miary Zadanie Podać przykład ciągu zbieżnego według miary, ale nie w L Fakt Jeżeli miara µ jest skończona, to zbieżność µ-prawie wszędzie pociąga zbieżność według miary µ. 41

48 Rodzaje zbieżności funkcji mierzalnych i relacje między nimi 12.8 Zadanie Podać przykład ciągu zbieżnego µ-prawie wszędzie, który nie jest zbieżny według miary µ Zadanie Podać przykład ciągu zbieżnego według miary, ale nie prawie wszędzie Twierdzenie (Riesza-Fischera) Ciąg zbieżny według miary zawiera podciąg zbieżny prawie wszędzie Wniosek Każdy podciąg ciągu zbieżnego według miary zawiera podciąg zbieżny prawie wszędzie Twierdzenie (Wersja tw. Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej) Przypuśćmy, że f n f 0 według miary µ. Jeżeli istnieje funkcja g L 1 (µ) taka, że dla każdego n IN f n g µ-prawie wszędzie, to: 1. f 0 jest całkowalna; 2. f n dµ f 0 dµ Wniosek Niech µ będzie miarą skończoną. Wówczas ciąg {f n } jest zbieżny według miary do f 0 wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podciągu {f nk } ciągu {f n } można znaleźć podciąg {f nkl } zbieżny do f 0 prawie wszędzie.

49 13. Gęstość funkcji gładkich w L p (IR d ) Tak naprawdę był to wykład XXI! Gęstość funkcji gładkich w L p (IR d ) 13.1 Twierdzenie W przestrzeniach L p (IR d ) funkcje gładkie (klasy C ) są gęste, tzn. dla każdej funkcji f L p (IR d ) i każdego ε > 0 istnieje funkcja f ε klasy C, całkowalna z p-tą potęgą, taka że IR d f(x) f ε (x) p dx < ε. Podstawowym narzędziem w dowodzie Twierdzenia 13.1 jest następujące 13.2 Twierdzenie (Lebesgue a) Niech f L p (IR d ). Wówczas funkcja IR d y g f (y) := f(x + y) f(x) p dx IR d jest jednostajnie ciągła na IR d. W szczególności IR d f(x + y) f(x) p dx 0, gdy y 0. Lemat Riemanna-Lebesgue a 13.3 Wniosek (Riemanna-Lebesgue a) Niech f L 1 (a, b). Wówczas b lim f(x)e 2iπnx dx = 0. n a 43

50 Gęstość funkcji gładkich w L p (IR d )

51 14. Charakterystyki zmiennych losowych Słowniczek teorii prawdopodobieństwa 14.1 Definicja Przestrzenią probabilistyczną nazywamy przestrzeń (Ω, F, P ) z miarą probabilistyczną (P (Ω) = 1). Elementy przestrzeni Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi, elementy σ-algebry F nazywamy zdarzeniami, a miarę P nazywamy prawdopodobieństwem Definicja Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywamy funkcję mierzalną X : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) Definicja Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X, określonej na przestrzeni (Ω, F, P ), nazywamy całkę X względem P (jeśli istnieje). Zachowując tradycję oznaczamy EX := Ω X dp Definicja Momentem absolutnym rzędu p > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X) = E X p Definicja Wariancją całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D 2 (X) = Var (X) := E(X EX) 2 = EX 2 (EX) Definicja Odchyleniem standardowym całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D(X) := Var (X) = E(X EX) 2. 45

52 Charakterystyki zmiennych losowych Rozkład zmiennej losowej 14.7 Definicja Niech X będzie zmienną losową na (Ω, F, P ). Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną P X na (IR 1, B 1 ) daną wzorem P X (A) := P X 1 (A) = P (X A) Twierdzenie (O zmianie miary) Niech X : (Ω, F, P ) (IR 1, B 1 ) będzie zmienną losową o rozkładzie P X. Niech f : (IR 1, B 1 ) (IR 1, B 1 ) będzie funkcją borelowską. Wartość oczekiwana Ef(X) istnieje dokładnie wtedy, gdy istnieje całka IR 1 f(x) dp X (x). Jeśli te całki istnieją, to są równe: Ef(X) = f(x) dp X (x). IR Wniosek Mają miejsce równości EX = x dp X (x), m p (X) = x p dp X (x), Var (X) = x 2 dp X (x) ( x dp X (x)) 2, itp Zadanie Niech µ będzie miarą probabilistyczną na (IR 1, B 1 ). Wskazać zmienną losową X o rozkładzie P X = µ Definicja Miary probabilistyczne na (IR 1, B 1 ) nazywamy rozkładami na IR Uwaga Jeżeli µ jest rozkładem na IR 1, to fakt, że zmienna losowa X ma rozkład µ zapisujemy często w postaci X µ. Dystrybuanta zmiennej losowej Definicja 1. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : IR 1 [0, 1] zadaną wzorem F X (x) = P (X x), x IR 1.

53 Mediana i kwantyle Dystrybuantą rozkładu µ na IR 1 nazywamy funkcję F µ : IR 1 [0, 1] zadaną wzorem F µ (x) = µ((, x]), x IR Uwaga Oczywiście dystrybuanta zmiennej losowej jest dystrybuantą rozkładu tej zmiennej, jest więc w istocie funkcją rozkładu zmiennej losowej. Dlatego wystarczy badać tylko dystrybuanty rozkładów na IR Twierdzenie Niech µ i ν będą rozkładami na IR 1. Jeżeli F µ = F ν, to µ = ν Twierdzenie Niech µ będzie rozkładem na IR 1. Dystrybuanta F µ ma następujące własności: 1. F µ jest funkcją niemalejącą; 2. F µ jest prawostronnie ciągła; 3. lim x F µ (x) = 0, lim x + F µ (x) = Definicja Dystrybuantą nazywamy funkcję F : IR 1 [0, 1] spełniającą warunki z poprzedniego twierdzenia Twierdzenie Niech F będzie dystrybuantą. Istnieje dokładnie jeden rozkład µ na IR 1 taki, że F = F µ. Proszę podać kroki dowodu z odwołaniem się do odpowiednich twierdzeń teorii miary. Mediana i kwantyle Definicja Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P (X x 1/2 ) 1/2, P (X x 1/2 ) 1/ Definicja Kwantylem rzędu p, p (0, 1), rozkładu zmiennej losowej X nazywamy taką liczbę x p, że P (X x p ) p, P (X x p ) 1 p Zadanie Przypuśćmy, że znamy dystrybuantę F X zmiennej losowej X. Jak znaleźć medianę i kwantyle tej zmiennej?

54 Charakterystyki zmiennych losowych

55 15. Klasyfikacja rozkładów na prostej Rozkłady dyskretne 15.1 Definicja Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieją liczby x 1, x 2,... IR 1 i prawdopodobieństwa p 1, p 2,... 0, j=1 p j = 1, takie, że P (X = x j ) = p j, j = 1, 2, Fakt Jeżeli X ma rozkład dyskretny, to dla dowolnej funkcji f : IR 1 IR 1 Ef(X) = f(x) P X (dx) = f(x i )P (X = x i ) = f(x i )p i, i=1 i=1 przy czym całka istnieje dokładnie wtedy, gdy i=1 f(x i ) p i < Fakt P X {x} = P (X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P (X = x). Rozkłady absolutnie ciągłe 15.4 Definicja Zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), jeśli dla każdego A B 1 P (X A) = A p(x) dx. (Wtedy p(x) 0 l-prawie wszędzie i p(x) dx = 1) Fakt Gęstość rozkładu absolutnie ciągłego jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do równości l-prawie wszędzie Uwaga Można pokazać, że każda dystrybuanta F jest prawie wszędzie różniczkowalna i pochodna F (określona l-prawie wszędzie) spełnia warunek F (x) F (x) dx. (,x] 49

56 Klasyfikacja rozkładów na prostej Może się więc zdarzyć, że IR 1 F (x) dx < 1 (przykład!). Jeżeli IR 1 F (x) dx = 1, to rozkład odpowiadający dystrybuancie F jest absolutnie ciągły z gęstością p(x) = F (x) Fakt Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), to dla dowolnej funkcji borelowskiej f : IR 1 IR 1 Ef(X) = f(x) P X (dx) = + f(x)p(x) dx, przy czym całka istnieje dokładnie wtedy, gdy + f(x) p(x) dx < +. Ogólna postać rozkładu 15.8 Definicja Zmienna losowa X ma rozkład osobliwy, jeśli rozkład X jest ciągły (tzn. P (X = x) = 0 dla każdego x IR 1 ) oraz istnieje zbiór B B 1 miary Lebesgue a 0 taki, że P (X B) = Twierdzenie (Lebesgue a o rozkładzie) Niech µ będzie rozkładem na IR 1. Istnieją liczby α 1, α 2, α 3 0, α 1 + α 2 + α 3 = 1, oraz rozkłady µ 1 - dyskretny, µ 2 - absolutnie ciągły i µ 3 - osobliwy, takie, że µ = α 1 µ 1 + α 2 µ 2 + α 3 µ 3. Przykłady Przykłady rozkładów dyskretnych. 1. Rozkład zdegenerowany w punkcie C IR 1 albo miara delta Diraca δ C : P (X = C) = Rozkład 0 1 lub Bernoullego: P (X = 1) = p = 1 P (X = 0). 3. Rozkład dwumianowy: ( ) N P (X = k) = p k (1 p) N k, k = 0, 1, 2,..., N. k 4. Rozkład Poissona: P (X = k) = e λ λk, k = 0, 1, 2,.... k!

57 Przykłady Rozkład geometryczny: P (X = k) = p(1 p) k 1, k = 1, 2, Przykłady rozkładów absolutnie ciągłych. 1. Rozkład jednostajny na odcinku (a, b): p(x) = 1 b a I (a,b)(x). 2. Rozkład normalny N (m, σ 2 ) z parametrami m IR 1 i σ 2 > 0: p(x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ Rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0. p(x) = λe λx I (0,+ ) (x). 4. Rozkłady gamma z parametrami α, λ > 0: p(x) = αλ Γ(λ) xλ 1 e αx I (0,+ ) (x). 5. Rozkład χ 2 z n stopniami swobody (χ 2 n), to rozkład gamma z parametrami α = n/2, λ = 1/ Zadanie Pokazać, że jeśli X N (0, 1), to X 2 χ Zadanie Niech zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x). Jakie warunki musi spełniać funkcja f : IR 1 IR 1, aby zmienna losowa f(x) miała rozkład absolutnie ciągły? Znaleźć postać gęstości Zadanie Znaleźć wartości oczekiwane i wariancje rozkładów wymienionych w przykładach i