PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)"

Transkrypt

1 PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) i zależnych od parametru t przyjmującego wartości z pewnego zbioru T. Oznaczamy: {X(t), t T }. Jeśli T = N, to proces stochastyczny jest zwykłym ciągiem zmiennych losowych: {X(1),..., X(n),...}. Zazwyczaj zbiór T interpretujemy jako czas. Wyróżniamy procesy stochastyczne z czasem dyskretnym (gdy T jest zbiorem skończonym lub nieskończonym, ale przeliczalnym) i procesy stochastyczne z czasem ciągłym (gdy T jest zbiorem nieskończonym i nieprzeliczalnym). Jako proces stochastyczny można rozpatrywać np. ruch cząstki gazu, poziom wody w zbiorniku, wahania skrzydła samolotu itp. Podkreślmy jeszcze raz, że proces stochastyczny jest funkcją dwóch zmiennych: t T, ω Ω. Jeśli t T jest ustalone, to mamy zmienną losową X(t, ) określoną na Ω. Jeśli ω Ω jest ustalone, to mamy zwykłą funkcję X(, ω) określoną na T, która nazywa się realizacją procesu stochastycznego lub trajektorią procesu stochastycznego. 1

2 Przykłady. 1. Niech ξ i η będą dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi. Określmy proces stochastyczny {X(t), t R} jako X(t, ω) = 0, gdy t < ξ(ω), oraz X(t, ω) = η(ω), gdy t ξ(ω). Czym jest trajektoria tego procesu stochastycznego? Zbiór wszystkich trajektorii? 2. Niech ϕ będzie zmienną losową przyjmująca wartości z przedzialu [0, 2π]. Określmy proces stochastyczny {X(t), t R} jako X(t, ω) = sin(at + ϕ(ω)), gdzie a R jest ustalone. Czym jest trajektoria tego procesu stochastycznego? Zbiór wszystkich trajektorii? Jeśli proces stochastyczny {X(t), t T } jest zadany, to dla ustalonych wartości t 1,..., t n T można policzyć rozkład wektora losowego (X(t 1, ω),..., X(t n, ω)). Taki rozkład nazywa się skończenie wymiarowym rozkładem procesu stochastycznego. Okazuje się (jest to treść tzw. Twierdzenia Kołmogorowa), że podanie wszystkich rozkładów skończenie wymiarowych, zgodnych między sobą, jednoznacznie określa proces stochastyczny. Definicja. Proces stochastyczny {X(t), t T } nazywamy procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych, jeśli dla każdego n N i każdego naboru t 0 < t 1 <... < t n, t i T, zmienne losowe X(t 0 ), X(t 1 ) X(t 0 ),..., X(t n ) X(t n 1 ) są niezależne. 2

3 Jeśli T = [0, a] lub T = [0, + ), to zazwyczaj t 0 = 0. Zmienna losowa X(0) nazywa się początkową wartością procesu stochastycznego, a jej rozkład - rozkładem początkowym. Dalej dla uproszczenia będziemy zakładać, że X(0) = 0 z prawdopodobieństwem 1. Przykład. Niech X 1,..., X n,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Określmy: T = N, X(n) = X X n. Wówczas {X(t), t T } jest procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych (nazywanym błądzeniem losowym). Dla takich procesów stochastycznych rodzina rozkładów zmiennych losowych X(t) X(s) (przyrostów w przedziale [s, t]), s < t, s T, t T, określa każdy rozkład skończenie wymiarowy procesu, co oznacza, ze jednoznacznie określa proces stochastyczny. Własność braku pamięci. Jeśli {X(t), t [0, + )} jest procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych, to dla każdego n N, każdego naboru 0 t 1 <... < t n i każdego x R zachodzi P (X(t n ) x X(t 1 ) = x 1,..., X(t n 1 ) = x n 1 ) = P (X(t n ) x X(t n 1 ) = x n 1 ). 3

4 Definicja. Proces stochastyczny o przyrostach niezależnych {X(t), t T } nazywamy procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych i stacjonarnych (jednorodnych), jeśli zmienne losowe X(t) X(s) i X(t + h) X(s + h) mają takie same rozkłady dla wszystkich s, t T, s < t, i h T takich, że s + h, t + h T. Jeśli w przykładzie z poprzedniej strony zmienne losowe X 1,..., X n,... mają takie same rozkłady, to określony proces stochastyczny jest procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych i stacjonarnych. Dla takich procesów rozkład każdego przyrostu określa się tylko długością przedziału. Własność nieskończonej podzielności. Jeśli {X(t), t [0, + )} jest procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych i stacjonarnych, to dla każdego n N zmienną losową X(t) przy ustalonym t > 0 można przedstawić w postaci sumy n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Proces Wienera. Ruch Browna. Definicja. Proces stochastyczny o przyrostach niezależnych i stacjonarnych {W (t), t [0, + )} nazywamy procesem Wienera, jeśli W (0) = 0 i każdy przy- 4

5 rost W (t) W (s), t > s, ma rozkład normalny N (θ(t s), σ 2 (t s)) dla pewnych θ R, σ 2 > 0. Na dodatek zakładamy, że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe. Proces Wienera nazywamy ruchem Browna, gdy θ = 0, σ 2 = 1. Prawie wszystkie trajektorie ruchu Browna są nigdzie nie różniczkowalne. Dla ruchu Browna zachodzi EW (t) = 0, EW (t)w (s) = min{t, s}. Wektor losowy (W (t 1 ),..., W (t n )), gdzie 0 < t 1 <... < t n, ma gęstość f(x 1,..., x n ) = (2π) n/2 [t 1 (t 2 t 1 )... (t n t n 1 )] 1/2 exp{ 1 n (x k x k 1 ) 2 }. 2 t k t k 1 Proces Poissona. k=1 Definicja. Proces stochastyczny o przyrostach niezależnych i stacjonarnych {Y (t), t [0, + )} o wartościach nieujemnych całkowitych nazywamy procesem Poissona, jeśli Y (0) = 0 i każdy przyrost Y (t) Y (s), t > s, ma rozkład Poissona P(µ(t s)) z pewnym parametrem µ > 0. 5

6 Wszystkie trajektorie rozkładu Poissona są nieciągłe. Dla procesu Poissona zachodzi EY (t)=µt, E(Y (t) EY (t))(y (s) EY (s))=µ min{t, s}. Rozkład wektora losowego (Y (t 1 ),..., Y (t n )), gdzie 0 < t 1 <... < t n, określa się wzorem P (Y (t 1 ) = j 1, P (Y (t 2 ) = j 2,..., Y (t n ) = j n ) = µ j n t j 1 1 (t 2 t 1 ) j 2 j 1... (t n t n 1 ) j n j n 1. j 1!(j 2 j 1 )!... (j n j n 1 )!e µt n Proces Poissona jest procesem skokowym, prawie wszystkie skoki którego wynoszą 1. Czyli, wartość Y (t) jest liczbą skoków procesu w przedziale [0, t]. Punkty {ξ k }, w których proces Poissona ma skoki, są zmiennymi losowymi, przy czym zmienne losowe ξ 1, ξ 2 ξ 1,..., ξ n ξ n 1,... są niezależne o tym samym rozkładzie wykładniczym E(µ). 6

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW

PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Zadania z Procesów Stochastycznych 1

Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27 SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.

Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n. Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy bez pamięci w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką

Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku

Bardziej szczegółowo

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) . Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014 Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy bez pamięci w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem

Bardziej szczegółowo

Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa

Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Błądzenie losowe................................ 1 1. Proces Wienera................................. 1.3

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz. Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Funkcja tworząca Funkcja charakterystyczna. Definicja i własności Funkcja tworząca momenty

Funkcja tworząca Funkcja charakterystyczna. Definicja i własności Funkcja tworząca momenty momenty Oprócz omówionych już do tej pory charakterystyk rozkładów bardzo wygodnym i skutecznym narzędziem badanie zmiennej losowej są tzw. transformaty jej rozkładu: funkcje tworzące i funkcje charakterystyczne.

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)

Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze

Bardziej szczegółowo

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *

Bardziej szczegółowo

}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0,

}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0, Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1 1. Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej

Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna

Bardziej szczegółowo

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o następujących rozkładach: a) symetryczny dwupunktowy; b) dwumianowy z parametrami n, p; c) Poissona z parametrem

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo