Teoria optymalnego stopowania
|
|
- Justyna Szydłowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Dodatek F Teoria optymalnego stopowania F.1. Rozkład Dooba nadmartyngałów W tym paragrafie będziemy rozpatrywać nadmartyngały, podmartyngały i procesy prognozowalne względem ustalonej filtracji (F n ) n=0. Twierdzenie 1 (O rozkładzie Dooba). Każdy nadmartyngał (U n ) n=0 ma jednoznaczne z dokładnością do równości p.n. przedstawienie U n = M n A n, (1) gdzie (M n ) n=0 jest martyngałem, (A n ) n=0 niemalejącym procesem prognozowalnym, A 0 =0. D o w ó d. Najpierw zdefiniujemy proces (A n ). Niech A 0 =0idlan 1: n 1 A n = [U k E(U k+1 F k )]. k=1 Oczywiście zmienna losowa A n jest F n 1 -mierzalna. Proces (A n ) jest niemalejący, bowiem wyrazy sumy po prawej stronie są nieujemne, jako że (U n ) jest nadmartyngałem. Terazniemamyjużwyboru M 0 = U 0 i M n = U n + A n. Jest oczywiste, że zmienna losowa M n jest F n -mierzalna, ponadto M n+1 M n = U n+1 U n + A n+1 A n = U n+1 E(U n+1 F n ), i po wzięciu warunkowej wartości oczekiwanej obu stron widać, że (M n ) jest martyngałem: E (M n+1 M n F n )=E (U n+1 E(U n+1 F n ) F n )=0. 384
2 F.1. Rozkład Dooba nadmartyngałów 385 Pozostała do wykazania jednoznaczność. Niech (M n), (A n) stanowią inną parę procesów spełniających warunki z tw. 1. Wtedy M n A n = M n A n, n 0, i gdy X n = M n M n,to X n = M n M n = A n A n, n 0. Z pierwszej równości wynika, że proces (X n ) jest martyngałem, z drugiej że jest prognozowalny, co daje kolejno równości poniżej: X n = E (X n+1 F n )=X n+1, n 0, a ponieważ X 0 =0,toX n =0dlan =1, 2,..., czyli M n = M n oraz A n = A n. Niech teraz (U n ) n=0 będzie podmartyngałem. Z poprzedniego twierdzenia zastosowanego do nadmartyngału ( U n ) n=0 otrzymujemy natychmiast Wniosek 2. Każdy podmartyngał (U n ) n=0 ma dokładnie jedno przedstawienie U n = M n + A n,gdzie(m n ) n=0 jest martyngałem, zaś (A n ) n=0 niemalejącym ciągiem prognozowalnym, takim, że A 0 =0. Uwaga 3. Dowolny ciąg (X n ) adaptowanych i całkowalnych zmiennych losowych można przedstawić w postaci X n = M n + A n, gdzie (M n )jestmartyngałem, zaś (A n ) procesem prognozowalnym, niekoniecznie rosnącym. Widać to z dowodu tw. 1. Dopiero założenie, że (X n ) jest nadmartyngałem lub podmartyngałem, zapewnia monotoniczność procesu (A n ). Uwaga 4. Proces (A n ) n=0 jest niemalejący, więc ma granicę w szerszym sensie, czyli istnieje A = lim n A n. Jest to na ogół niewłaściwa zmienna losowa, bowiem może przyjmować wartość. Proces (A n ) n=0 nazywamy kompensatorem procesu (U n ) n=0, gdyżkompensuje on (U n ) n=0 do martyngału. Rozkład Dooba odgrywa szczególną rolę przy badaniu martyngałów (X n ) całkowalnych z kwadratem (takich, że EXn 2 <, n =0, 1, 2,...). Wtedy ciąg (Xn) 2 jest podmartyngałem i na mocy wniosku 2 ma rozkład Dooba: Xn 2 = M n + A n. Niemalejący proces A oznaczamy przez X i nazywamy potocznie nawiasem skośnym martyngału X. Wiele własności martyngału (X n ) da się zbadać za pomocą nawiasu skośnego X, co zobaczymy na kilku przykładach. Zaczniemy od najprostszych: Stwierdzenie 5. Niech (X n ) n=0 będzie martyngałem. Wtedy (a) Jeśli dla pewnego p>1 w rozkładzie Dooba X n p = M n + A n mamy EA <, tociąg(x n ) jest zbieżny w L p.
3 386 Dodatek F. Teoria optymalnego stopowania (b) (X n ) jest ograniczony w L 2 (czyli sup n X 2 n < ) wtedy i tylko wtedy, gdy E X <. Dowód. (a) wynika z tw , bowiem idalej: sup n E X n p = EM n + EA n = EM 0 + EA n, E X n p = EM 0 +supea n EM 0 + EA <. n (b). Konieczność: wynika z (a) dlap = 2. Dostateczność: E X =sup n E X n =supe ( Xn 2 X 2 ) 0 <. n Otrzymamy teraz pewną pożyteczną reprezentację nawiasu skośnego. Ponieważ (X n ) jest martyngałem, to dla k l E ( (X k X l ) 2 ) ( Fl = E X 2 k 2X k X l + Xl 2 ) Fl = = E ( Xk 2 ) Fl 2Xl E (X k F l )+Xl 2 = = E ( Xk 2 Xl 2 ) Fl = = E (M k + X k M l X l F l )= = E ( X k X l F l ). Oznaczając X k = X k X k 1 ikładącl = k 1 otrzymujemy stąd E ( ( X k ) 2 F k 1 ) = X k X k 1, atodaje n X n = E ( ( X j ) 2 ) Fj 1. (2) j=1 Przykład 6. Jeśli ξ 1,ξ 2,... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Eξ i =0,Eξi 2 <, i =1, 2,..., X n = ξ ξ n, X 0 =0,F 0 = {, Ω}, F n = σ(ξ 1,...,ξ n )dlan 1, to ciąg (Xn, 2 F n ) n=0 jest podmartyngałem i X n = n E ( ξj 2 ) F j 1 = j=1 n j=1 D 2 ξ j, zatem nawias skośny jest procesem deterministycznym (nielosowym). Wiadomo (tw ), że zbieżność szeregu j=1 D2 ξ j pociąga za sobą zbieżność p.n. szeregu j=1 ξ j. Jeśli ponadto ξ i C p.n. dla i =1, 2,..., to zachodzi również wynikanie odwrotne. Ostatnią uwagę można uogólnić (patrz tw. 8). Przedtem udowodnimy
4 F.1. Rozkład Dooba nadmartyngałów 387 Twierdzenie 7. Niech (X n ) będzie nieujemnym podmartyngałem, X 0 =0, iniechx n = M n + A n będzie jego rozkladem Dooba. Wtedy {A < } {(X n ) zbieżny p.n.} {sup X n < }. n Zbieżny p.n. oznacza dokładniej zbieżny p.n. do granicy skończonej. Taką umowę przyjmujemy też dalej. D o w ó d. Prawa inkluzja jest oczywista, dowodzimy lewą. Niech a > 0 i τ a =inf{n 1: A n+1 >a}. Jest to moment stopu (który może przyjmować wartość, bowieminf = ), co wynika z prognozowalności A. Z twierdzenia Dooba zastosowanego do martyngału M (M 0 =0)iz definicji τ a wynika, że EX n τa = EM n τa + EA n τa =0+EA n τa EA τa a. Niech Yn a = X n τa. Jest to na mocy twierdzenia Dooba (nieujemny) podmartyngał, ponadto sup n EYn a a<, więc na mocy twierdzenia o zbieżności podmartyngałów (Yn a ) jest zbieżny p.n. Dlatego {A a} = {τ a = } {(X n ) zbieżny p.n.}, ponieważ na zbiorze {τ a = } jest X n = X n = Y a n.stąd {A < } = {A a} = {τ a = } {(X n ) zbieżny p.n.}, co kończy dowód. a=1 a=1 Twierdzenie 8. Niech (X n ) będzie martyngałem całkowalnym z kwadratem. Wtedy (a) { X < } {(X n ) zbieżny p.n.}. (b) Jeśli ponadto (X n ) ma przyrosty wspólnie ograniczone, tj. X n K p.n. dla n =1, 2,...,to X (ω) < p.n. na zbiorze {(X n ) zbieżny p.n.}. Dowód. (a). Proces (Xn) 2 jest nieujemnym podmartyngałem, więc z tw. 7 wynika, że { X < } {(Xn) 2 zbieżny p.n.}. Proces (X n +1) 2 jest także nieujemnym podmartyngałem i X+1 n = X n (por. (2)). Dlatego { X < } {(Xn) 2 zbieżny p.n.} {((X n +1) 2 ) zbieżny p.n.} = = {(X n ) zbieżny p.n.}.
5 388 Dodatek F. Teoria optymalnego stopowania (b). Zdefiniujemy moment stopu γ c =inf{n: X n >c}. Wtedy E ( X 2 n γ c X n γc ) =0. Ponieważ X γ c n X γ c n 1 + Xγ c n X γ c n 1 c + K, to E X n γc = EXn γ 2 c (c + K) 2. (3) Gdyby teraz P ( X =, sup n X n < ) > 0, to istniałaby taka stała c>0,żep (γ c =, X = ) > 0, a to stoi w sprzeczności z (3). Wniosek 9. Jeśli X n = ξ ξ n, ξ n 0, Eξ n < dla n =1, 2,..., a ponadto ciąg (ξ n ) jest adaptowany do filtracji (F n ),to { } E (ξ n F n 1 ) < {(X n ) zbieżny p.n.}. n=1 D o w ó d. Wystarczy zastosować tw. 7 do nieujemnego podmartyngału (X n ) i zauważyć, że (patrz dowód tw. 1): n 1 A n = E (ξ k+1 F k ). k=0 Uwaga 10. Wniosek 9 jest warunkową wersją pierwszej części lematu Borela-Cantelliego. Żeby to zobaczyć, wystarczy wziąć ξ n = 1 Bn, gdzie (B n ) jest ciągiem zdarzeń. F.2. Zagadnienie optymalnego stopowania Przedstawimy zagadnienie optymalnego stopowania w najprostszej sytuacji. W pewnej grze w kolejnych chwilach t =0, 1, 2,...,T wypłaca się kwotę Z t, która jest nieujemną wielkością losową. Gracz może w każdej chwili t wycofać się z gry, inkasując kwotę Z t, może też odrzucić tę propozycję i czekać na lepszy kąsek. Decyzję podejmuje na podstawie dotychczasowego przebiegu gry. Jaką strategię powinien przyjąć gracz, by zoptymalizować swoją wypłatę? Jeśli przez (F t ) oznaczymy σ-ciało zdarzeń, które możemy zaobserwować do chwili t, tociąg(f t ) t T jest filtracją, a proces (Z t ) t T jest adaptowany do tej filtracji. Strategia, czyli moment wycofania się z gry, jest zmienną losową τ, przy czym {τ = t} F t, bowiem zdarzenie to powinno zależeć tylko od obserwacji procesu (Z t ) do chwili t. Krótkomówiąc,τ powinna być momentem stopu względem filtracji (F t ); odwrotnie, każdy taki moment stopu jest dającą się zrealizować strategią.
6 F.2. Zagadnienie optymalnego stopowania 389 Podsumowując: Z 0,Z 1,Z 2,...,Z T jest ciągiem kolejnych wypłat w pewnej grze,wchwilach0,1,2,...t.zakładamy,żeciąg(z t ) t T jest adaptowany do pewnej filtracji (F t ) t T, przy czym F 0 = {, Ω}. Ponadto zakładamy, że Z t 0dla t =0, 1, 2,...,T. Sprecyzujemy jeszcze cel gracza: chce on wycofać się z gry w takiej chwili, by jego średnia wypłata była jak największa. Stąd następująca definicja. Definicja 1. Moment stopu ν nazywamy optymalnym dla ciągu (Z t ) t T, gdy EZ ν =supez τ, τ Θ gdzie Θ jest zbiorem momentów stopu o wartościach w zbiorze {0, 1,...,T}. Naszym celem jest podanie reguł pozwalających znajdować momenty optymalne. Wprowadzimy pomocniczy proces obwiednię Snella (U t )ciągu (Z t ) t T, zdefiniowaną w następujący sposób: U t =max(z t, E (U t+1 F t )), t T 1, U T = Z T. Z definicji widać, że Z t U t dla 0 t T, czyli (U t )dominuje(z t ). Stwierdzenie 2. Obwiednia Snella (U t ) jest nadmartyngałem. Jest to najmniejszy nadmartyngał dominujący wyjściowy ciąg (Z t ),czyligdy(x t ) jest nadmartyngałem i X t Z t dla 0 t T, to również X t U t dla 0 t T. D o w ó d. Oczywiście U t Z t,0 t T. Sprawdzimy, że (U t )jestnadmartyngałem. Istotnie, mamy U t 1 =max(z t 1, E (U t F t 1 )) E(U t F t 1 ). Pozostaje wykazać, że (U t ) jest najmniejszym nadmartyngałem dominującym (Z t ). Niech zatem (I t ) będzie innym nadmartyngałem o tej własności. Wtedy I T Z T = U T,agdyI t U t,to I t 1 E(I t F t 1 ) E(U t F t 1 ), wobec tego I t 1 max(z t 1, E (U t F t 1 )) = U t 1, gdzie równość wynika z definicji U t 1. Indukcja wsteczna pokazuje teraz, że dla każdego t {1,...T} zachodzi nierówność I t U t,więc(u t ) jest najmniejszym nadmartyngałem dominującym (Z t ).
7 390 Dodatek F. Teoria optymalnego stopowania Twierdzenie 3. ν 0 =min{t 0: U t = Z t } jest optymalnym momentem stopu, czyli U 0 = EZ ν0 =supez τ. τ Θ D o w ó d. Zdarzenie {ν 0 j} = {ν 0 j 1} F j 1,oraz E ( 1 {ν0 j}(u ν 0 j U ν 0 j 1 ) Fj 1 ) = E ( 1{ν0 j}(u j E(U j F j 1 ) Fj 1 ) = = 1 {ν0 j}e ((U j E(U j F j 1 ) F j 1 )=0, tak więc ciąg o wyrazach U ν 0 t = U t ν0 = U 0 + t j=1 1 {ν0 j}(u ν 0 j U ν 0 j 1 ) jest martyngałem. Ponieważ moment stopu ν 0 T, więc U 0 = U ν 0 0 = EU ν 0 T = EU ν 0 = EZ ν0. Jeśli teraz weźmiemy dowolny moment stopu ν Θ, to ciąg (U ν n )jest nadmartyngałem i U 0 EU ν EZ ν. Wbrew pozorom, metodę otrzymywania optymalnego momentu stopu za pomocą obwiedni Snella można postarać się zrozumieć intuicyjnie. W tym celu rozpatrzmy (kompletnie bezsensowną dla obu stron) grę, w której wypłaty są nielosowe: zmienne losowe Z t są stałymi z t. Wtedy obwiednia Snella jest najmniejszym ciągiem nierosnącym (u t ) dominującym ciąg (z t ), a optymalny moment stopu z twierdzenia 3 jest takim (nielosowym) wskaźnikiem ν, dla którego u 0 = z ν =max t T z t. Podamy teraz charakteryzację momentów optymalnych. Widać z niej, że ν 0 jest minimalnym momentem optymalnym. Twierdzenie 4. Moment stopu ν jest optymalny dla ciągu (Z t ) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki: (i) Z ν = U ν ; (ii) ciąg (U ν t ) t T jest martyngałem. Dowód. Jeśli ν jest optymalny, to EZ ν = U 0,aponieważ(U ν t ) t T jest nadmartyngałem i U dominuje Z, to EU ν U 0 = EZ ν EU ν,
8 F.2. Zagadnienie optymalnego stopowania 391 czyli EU ν = EZ ν,codajez ν = U ν (z dominacji wiemy już, że Z ν U ν ). Udowodniliśmy (i). Żeby udowodnić (ii), skorzystamy z tego, że (Ut ν ) t T jest nadmartyngałem. Mamy kolejno U ν t E(U ν T F t )=E(U ν F t ), (1) i stąd EU ν = U 0 EU ν t EU ν, EU ν t = EU ν = E (E (U ν F t )), co razem z (1) daje U ν t = E (U ν F t ), więc ciąg (U ν t ) t T jest martyngałem, co kończy dowód (ii). Z(ii) i(i) mamy kolejno U 0 = EU ν = EZ ν. Dla dowolnego momentu stopu τ Θciąg(Un) τ n jest nadmartyngałem, więc U 0 EU τ EZ τ ; ostatnia nierówność wynika z tego, że U dominuje Z. Zatem EZ ν = U 0 =supez τ. τ Θ Przykład 5. Na pewien egzamin, do którego przystępuje n studentów, przygotowano n zestawów pytań. Wchodzący losuje jeden zestaw, który nie jest już wykorzystywany powtórnie. Paweł nauczył się odpowiedzi na k zestawów i teraz obserwuje, które zestawy już się pojawiły, by zdecydować, kiedy wejść na egzamin. Jaką powinien wybrać strategię, by zmaksymalizować średnią szansę zdania egzaminu? Zdarzeniami elementarnymi są ciągi zero-jedynkowe ω =(a 1,...,a n ), gdzie n i=1 a i = k, przy czym a i = 1, gdy Paweł zna odpowiedź na i-te pytanie. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Niech X i (ω) =a i, i =1, 2,...n. Obserwując egzamin do chwili l Paweł zna X 1,X 2,...,X l i na podstawie tej wiedzy decyduje, czy w następnej chwili ma się wycofać czyli zakończyć grę wchodząc na egzamin. Innymi słowy, chwila wycofania się jest momentem stopu względem filtracji (F i ), gdzie F 0 = {, Ω}, F i = σ(x 1,...,X i ), i =1, 2,...n. Jeśli przez Y l oznaczymy szansę zdania egzaminu przy wejściu w chwili l +1, l =0, 1,...,n 1, to zadanie Pawła sprowadzi się do optymalnego zastopowania ciągu Y 0,Y 1,...,Y n 1. Jest oczywiste, że Y 0 = k/n i Y l = k l n l i=1 X i, l =1,...n 1.
9 392 Dodatek F. Teoria optymalnego stopowania Wyznaczymy obwiednię Snella (U i ) ciągu (Y i ). Jak zwykle, U n 1 = Y n 1, U n 2 =max(y n 2, E (Y n 1 F n 2 )). Zachodzi równość: ( ) k (X X n 1 ) E (Y n 1 F n 2 )=E n (n 1) F n 2 = = k (X X n 2 ) E(X n 1 F n 2 ). Żeby wyznaczyć ostatnie wyrażenie, obliczymy (nieco ogólniej) E (X l+1 F l ) dla l =0, 1,...n 1. Ponieważ σ-ciało F l jest skończone, zatem generowane przez atomy, dla ω {X 1 = a 1,...,X l = a l } = A, oznaczając j = l i=1 a i, mamy E (X l+1 F l )(ω) = 1 X l+1 dp = P (A {X l+1 =1}) = P (A) A P (A) ( n (l+1) ) k (j+1) = ) = k j = Y l. Stąd ( n l k j n l = k (X X l ) n l E (Y n 1 F n 2 )=k (X X n 2 ) k (X X n 2 ) = Y n 2. 2 W takim razie U n 2 = Y n 2. Można podejrzewać, że ciąg (Y i ) jest martyngałem i w konsekwencji U i = Y i dla i =0,...,n.Istotnie, ( ) k (X X l+1 E (Y l+1 F l )=E n l F l = = k (X X l ) 1 n (l +1) n (l +1) Y l = ( ) n l = Y l n (l +1) 1 = Y l. n (l +1) Z twierdzenia Dooba wynika więc, że dla każdego momentu stopu τ jest EY τ = Y 0 = k n, zatem każda reguła stopu jest jednakowo dobra. F.3. Opcje amerykańskie Rozważmy rynek finansowy opisany w Istnieją na nim także opcje typu amerykańskiego, czyli takie, które można realizować w dowolnej chwili t {0, 1,...,T}. Oznaczmy przez Z t zysk z realizacji opcji w chwili t.
10 F.3. Opcje amerykańskie 393 Wtedy możemy utożsamić opcję z ciągiem (Z t ) t T nieujemnych zmiennych losowych, adaptowanym do filtracji (F t ) t T. Przykładami mogą być amerykańskie opcje kupna (sprzedaży) z ceną wykonania K na akcje o cenie opisanej przez proces S: Z t =(S t K) + (odp. Z t =(K S t ) + ). Podamy sposób wyceny takiej opcji. Ograniczymy się do opisanego w 11.8 modelu Coxa Rossa Rubinsteina (CRR), choć idea przenosi się na przypadek ogólny. Przedtem kilka słów o tym, ile powinna w chwili t kosztować wypłata X, która nastąpi w momencie T. W tw wykazaliśmy, że wypłata X jest replikowana za pomocą jednoznacznie określonego portfela, i gdy V t jest procesem wartości tego portfela, to W t = V t /B t jest martyngałem względem miary P (zwanej miarą martyngałową), a W 0 = V 0 jest ceną w chwili 0za wypłatę X w chwili T. Zatem wypłata X jest w chwili t warta ( ) X V t = B t E F t, bowiem B T ( V t VT = W t = E (W T F t )=E B t B T ) ( X F t = E F t Wracamy teraz do kwestii wyceny opcji amerykańskich. W chwili T jej wartością jest U T = Z T. W chwili T 1wystawcaopcjimusimiećtyle,by zabezpieczyć wypłatę Z T 1 w momencie T 1lubZ T w momencie T.Ta ostatnia wypłata jest w chwili T 1warta ( ) ZT B T 1 E F T 1. B T Tyle trzeba mieć, by zabezpieczyć wypłatę Z T w chwili T. Dlatego cena opcji amerykańskiej w chwili T 1jestrówna ( ( )) ZT U T 1 =max Z T 1,B T 1 E F T 1. Cenę opcji dla t =1, 2,...,T definiujemy indukcyjnie wzorem ( ( )) Ut U t 1 =max Z t 1,B t 1 E F t 1. B T B t B T ). B t =(1+r) t Dzieląc obie strony przez B t 1 i oznaczając Ut = U t /B t, Zt = Z t /B t otrzymujemy: Ut 1 =max(z t 1, E (Ut F t 1 )), t T ; UT = ZT. Okazało się, że ciąg zdyskontowanych cen opcji amerykańskich (Ut )jest obwiednią Snella ciągu Zt zdyskontowanych wypłat, czyli (Ut )jestnajmniejszym nadmartyngałem dominującym (Zt ). Wobec tego otrzymujemy jako wniosek z wyników E.2
11 394 Dodatek F. Teoria optymalnego stopowania Twierdzenie 1. Cena opcji amerykańskiej w chwili 0 jest równa U 0 = U0 =supezτ, τ Θ a ponadto U 0 = EZ ν,gdzieν =min{t: U t = Z t }. Jak wystawca opcji powinien zabezpieczyć wypłatę? Ponieważ U jest nadmartyngałem, to ma rozkład Dooba Ut = M t A t.istniejetaki portfelφ,żev T = V T (Φ) = B T M T (tw ). Z kolei ciąg o wyrazach W t = V t /B t jest martyngałem, więc W t = E (W T F t )=E (M T F t )=M t. Zatem Ut = W t A t,tzn.u t = V t A t B t. Dlatego wystawca opcji może zabezpieczyć się w sposób doskonały: gdy otrzyma zapłatę U 0 = V 0 (Φ), to za pomocą portfela Φ generuje bogactwo V t = V t (Φ), które w chwili t jest nie mniejsze niż U t, zatem nie mniejsze niż Z t. Kiedy zrealizować opcję? A. Z punktu widzenia nabywcy nie ma sensu realizacja w chwili t, jeśli U t >Z t,bozawalorwartu t otrzymamy tylko Z t ; lepiej wtedy sprzedać opcję za U t na rynku. Optymalny moment realizacji τ spełnia równanie U τ = Z τ (ponieważ U t Z t i U T = Z T ), więc Uτ = Zτ. Nie ma też sensu realizacja opcji po chwili ν =min{j: A j+1 0}, bowiem sprzedaż w chwili ν daje U ν = V ν (Φ) i gdy od tej chwili korzystamy z portfela Φ, to mamy więcej niż wartość opcji w chwilach ν +1,..., T, jako że U t = V t (Φ) A t B t i A t > 0dla t>ν. Zatem τ ν, co pozwala stwierdzić, że U τ jest martyngałem: U τ n = M τ n A τ n = M τ n, ponieważ τ n ν i w efekcie A τ n =0. Podsumowując, najlepszy moment realizacji opcji jest optymalnym momentem stopu dla ciągu zdyskontowanych wypłat (Zt ), bowiem spełnione są warunki (i) i(ii) twierdzenia F.2.4. B. Z punktu widzenia wystawcy opcji:wystawcakorzystazportfelaφ,ajeśli nabywca opcji zrealizuje ją w momencie τ innym niż optymalny, to U τ >Z τ lub A τ > 0(jeśli A τ =0,to(U τ t) jest martyngałem; jeśli ponadto U τ = Z τ,toτ jest momentem optymalnym). Zatem w innym, nieoptymalnym momencie τ wystawca opcji ma dodatni zysk V τ (Φ) Z τ =(U τ + A τ B τ ) Z τ = B τ (U τ Z τ )+A τ B τ > 0,
12 F.3. Opcje amerykańskie 395 bo składniki sumy po prawej stronie są nieujemne, i przynajmniej jeden z nich jest dodatni. Stwierdzenie 2. Niech (C t ) będzie procesem wartości opcji amerykańskiej opisanej przez ciąg adaptowany (Z t ) t T,a(c t ) opcji europejskiej, zdefiniowanej przez zmienną losową h = Z T.WtedyC t c t. Ponadto, jeśli c t Z t dla każdego t {0, 1,...,T}, toc t = C t dla każdego t {0, 1,...,T}. Uwaga 3. Nierówności C t c t należało się spodziewać, bowiem opcje amerykańskie dają posiadaczowi więcej praw niż europejskie. D o w ó d. Ponieważ Ct jest nadmartyngałem względem miary martyngałowej P i C T = Z T = c T,to C t E(C T F t )=E (c T F t )=c t. Udowodniliśmy pierwszą część stwierdzenia. Jeśli teraz c t Z t dla każdego t, toc t Zt,aponieważ(c t ) jest martyngałem, więc tym bardziej nadmartyngałem, to Ct c t, bowiem Ct jest najmniejszym nadmartyngałem dominującym (Zt ). Stąd wynika równość Ct = c t. Przykład 4. Ceny opcji kupna europejskiej i amerykańskiej są równe. Przypomnijmy, że B t =(1+r) t, Z t =(S t K) +. Oznaczmy przez c t i odp. C t ceny europejskiej i odp. amerykańskiej opcji kupna z terminem T i ceną wykonania K. Wtedy c 1 t = (1 + r) T E ( (S T K) + ) F t E ( ST K(1 + r) T ) F t = S t K(1 + r) T. x + x. Ostatnia równość wynika z faktu, że (S t ) jest martyngałem. Stąd c t S t K(1 + r) T +t S t K. Ponieważ c t 0, mamy c t (S t K) + = Z t izestw.1wynika,że c t = C t. W innych przypadkach (np. opcji sprzedaży, opcji kupna na aktywa przynoszące dywidendy) równość nie zachodzi.
8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
r u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ.
Wprowadzenie Mamy ustalone T > 0 horyzont, (Ω, F, P) z F filtracja, F = {F t } t [0,T ] oraz Proces chwilowej stopy procentowej r = (r t ) t [0,T ], tzn. rachunek bankowy spełnia ODE: db t = B t r t dt,
Seria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Wokół nierówności Dooba
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: 24957 Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych
Ważne rodziny nad- i podmartyngałów dla symetrycznego błądzenia losowego
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Joanna Dys Nr albumu: 233996 Ważne rodziny nad- i podmartyngałów dla symetrycznego błądzenia losowego Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA
Modele z czasem dyskretnym
Rozdział 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1 Wprowadzenie- rynki dyskretne 1.1.1 Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieniądza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili początkowej wynosi
Informacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Informacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
P(U 1 > max{u 2,..., U 1000 } U 1 = s)dp U1 (s).
Kolokwium poszło gorzej, niż miałem nadzieję, a lepiej, niż się obawiałem. Maksymalny wynik to 74 punkty na 20), średnia to 55,6, zaś mediana to 50. Grupy były dość równe w jednej średnia to 54,5, w drugiej
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Analiza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008
Przemysław Klusik Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne -
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Teoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n
Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład
3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Jak rzucać losowe spojrzenia na ruch Browna by w nim wszystko dojrzeć
Jak rzucać losowe spojrzenia na ruch Browna by w nim wszystko dojrzeć Jan Ob lój Uniwersytet Warszawski Université Paris 6 Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.1/22 Plan referatu 1. Wstępne definicje
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Zadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Pochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Programowanie dynamiczne
Programowanie dynamiczne Patryk Żywica 5 maja 2008 1 Spis treści 1 Problem wydawania reszty 3 1.1 Sformułowanie problemu...................... 3 1.2 Algorytm.............................. 3 1.2.1 Prosty
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Analiza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Modelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1.
1 Ex-dividend prices Modelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1. Mariusz Niewęgłowski 19 października 2014 Definicja 1. Dla każdego t [0, T ] cena ex-dividend wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) S t := B t E Q Bu
Statystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Zatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. j=1
Model Rynku z czasem dyskretnym n = 0,1,2, S 1 (n), S 2,, S m (n) - czas - ceny m aktywów obciążanych ryzykiem (akcji) w momencie : dodatnie zmienne losowe. - cena aktywa wolnego od ryzyka (obligacji)
LX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sp. ze stałymi kosztami za transakcje
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sprzedaży ze stałymi kosztami za transakcje Instytut Matematyczny PAN Problem bez stałych kosztów za transakcje (Ω, F, (F t ), P) przestrzeń
Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej