Joachim Syga WIELOWARTOŚCIOWE CAŁKI STOCHASTYCZNE WZGLĘDEM SEMIMARTYNGAŁU I ICH ZASTOSOWANIA W TEORII INKLUZJI STOCHASTYCZNYCH

Transkrypt

1 WYDZIAŁ MATEMATYKI, INFORMATYKI I EKONOMETRII UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI Joachim Syga WIELOWARTOŚCIOWE CAŁKI STOCHASTYCZNE WZGLĘDEM SEMIMARTYNGAŁU I ICH ZASTOSOWANIA W TEORII INKLUZJI STOCHASTYCZNYCH Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem dra hab. Jerzego Motyla, prof. UZ ZIELONA GÓRA 29

2 Autor składa najserdeczniejsze podziękowania Panu Profesorowi Jerzemu Motylowi za pomoc w napisaniu tej rozprawy, w szczególności za wszystkie uwagi, sugestie, krytykę i przede wszystkim za cierpliwość.

3 Rozprawa została napisana przy wsparciu finansowym ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego oraz ze środków budżetu Państwa w ramach projektu: Wsparcie finansowe dla studentów studiów doktoranckich kierunków ścisłych i technicznych Uniwersytetu Zielonogórskiego.

4 4

5 Spis treści Wstęp iii 1 Założenia i podstawowe definicje 1 2 Wielowartościowa całka stochastyczna typu Itô 11 3 Wielowartościowa całka stochastyczna typu Stratonowicza Całki stochastyczne typu forward i backward Wielowartościowa całka stochastyczna typu Stratonowicza Własności zbioru rozwiązań inkluzji stochastycznych 35 Bibliografia 47 i

6 ii

7 Wstęp W 1965 roku R.J. Aumann w pracy [5] zaproponował definicję całki z odwzorowania wielowartościowego F, bazując na teorii całki Lebesgue a. Definicja wprowadzona przez niego określała tę całkę jako zbiór jednowartościowych całek z selektorów odwzorowania F. Badaniem jej własności zajmowali się m.in. G. Debreu [11], C. Castaing [8], F.S. De Blasi i A. Lasota [12], R. Datko [1], Z. Artstein [2], A. Fryszkowski [14, 15], M. Kisielewicz [24]. Naturalnym problemem wydaje się więc uogólnienie idei R.J. Aumanna na przypadek wielowartościowych całek stochastycznych. W rozprawie badane są dwa typy wielowartościowych całek stochastycznych. Pierwszy z nich jest rozszerzeniem idei zaproponowanej przez K. Itô w 1944 roku, ([19, 2]), drugi natomiast dotyczy całki stochastycznej wprowadzonej przez R.L. Stratonowicza w 1964 roku, ([36]). Dotychczas rozważano głównie wielowartościowe całki stochastyczne typu Itô względem procesu Wienera (B. Boscan [7], B.D. Gelman i J.S. Gliklikh [16], M. Kisielewicz [22]) i procesu Poissona (M. Kisielewicz [23]). Własności selekcyjne wielowartościowej całki typu Itô względem semimartyngału można znaleźć w pracy J. Motyla, [3]. W pracy M. Michty, [27], rozpatrywano wielowartościowe całki stochastyczne typu Itô z jednowartościowego procesu względem wielowartościowego semimartyngału. Wielowartościowa całka stochastyczna typu Stratonowicza była dotychczas rozważana w pracach A. Góralczyk, M. Michty i J. Motyla, [17, 28]. Pierwsza z nich dotyczyła całki względem procesu Wienera, natomiast druga całki względem semimartyngału. iii

8 Przedmiotem badań zawartych w rozprawie są własności wielowartościowych całek stochastycznych typu Itô i Stratonowicza względem semimartyngału. Rozprawa składa się z czterech rozdziałów. W rozdziale pierwszym zawarto podstawowe definicje i własności wykorzystane w dalszej części rozprawy. W rozdziale drugim omówiona została wielowartościowa całka stochastyczna typu Itô i jej własności oraz własności zbioru selektorów całkowalnych w sensie Itô względem semimartyngału. Stanowią one uogólnienie znanych dotąd twierdzeń dotyczących własności wielowartościowej całki typu Itô względem procesu Wienera i procesu Poissona uzyskanych przez M. Kisielewicza w pracach [22, 23]. Wyniki prezentowane w tym rozdziale dotyczą własności zbioru selektorów całkowalnych względem semimartyngału i ich związku z własnościami całki wielowartościowej. Zasadniczymi rezultatami są twierdzenia o przechodzeniu z funkcją distans i odległością Hausdorffa pod znak całki dla rozważanej wielowartościowej całki stochastycznej typu Itô. Wyniki zamieszczone w tym rozdziale zostały opublikowane w pracy [31]. W rozdziale trzecim badana jest wielowartościowa całka stochastyczna typu Stratonowicza. Jedynymi znanymi mi wynikami dotyczącymi takiej całki są prace [17, 28]. Autorzy rozważali w nich wielowartościowe całki względem procesu Wienera oraz względem semimartyngału. Całka prezentowana w rozprawie jest zdefiniowana w inny sposób niż we wspomnianych wyżej pracach. Do jej definicji wykorzystano ideę konstrukcji całek forward i backward zapropowanych przez F. Russo i P. Vallois w pracach [34, 35] oraz wraz z M. Errami w pracy [13]. Najważniejszym wynikiem tego rozdziału jest twierdzenie aproksymacyjne dla wielowartościowej całki stochastycznej typu Stratonowicza względem semimartyngału. Wyniki przedstawione w tym rozdziale stanowią treść pracy [32]. W rozdziale czwartym zastosowano niektóre z otrzymanych wyników do teorii inkluzji stochastycznych. Przedmiotem badań omówionych w tym rozdziale jest zbiór rozwiązań inkluzji iv

9 stochastycznych typu Itô. W prezentowanych twierdzeniach pokazano własności tego zbioru dla inkluzji typu Itô względem semimartyngału. Stanowią one uogólnienie wyników M. Kisielewicza, który w pracy [22] badał własności zbioru rozwiązań inkluzji stochastycznej typu Itô względem procesu Wienera i Poissona. W drugiej części tego rozdziału udowodnione zostało twierdzenie selekcyjne dla wielowartościowej całki stochastycznej typu Stratonowicza. Jest ono stochastycznym odpowiednikiem własności całki Aumanna, znanej jako Lemat o Reprezentacji Całkowej, ([3] Lemat 2.1.1). Twierdzenie selekcyjne tego typu zostało po raz pierwszy udowodnione przez A. Fryszkowskiego w pracy [15], gdzie przedmiotem badań była całka Aumanna z multifunkcji dekomponowalnej. M. Kisielewicz w pracy [23] rozważał podobny problem selekcyjny dla wielowartościowej całki typu Itô względem procesu Wienera i Poissona, a J. Motyl, ([3]), dla całki typu Itô względem semimartyngału. Twierdzenie to stanowi pierwszy krok w kierunku badań zbioru rozwiązań inkluzji stochastycznych typu Stratonowicza. Dzięki niemu otrzymujemy równoważność dwóch podejść do definicji mocnych rozwiązań inkluzji stochastycznej typu Stratonowicza. Tezy zamieszczone w tym rozdziale nie były dotąd publikowane. v

10 vi

11 Rozdział 1 Założenia i podstawowe definicje W rozdziale tym przedstawione zostaną podstawowe oznaczenia, założenia, definicje i własności wykorzystywane w dalszej części rozprawy. W całej rozprawie zastosowano następujące oznaczenia: f, g, h funkcje oraz procesy jednowartościowe, F, G multifunkcje oraz procesy wielowartościowe, M jednowymiarowy martyngał, Z jednowymiarowy semimartyngał, A jednowymiarowy proces o wahaniu ograniczonym. Normy użyte w rozprawie są oznaczone w zależności od przestrzeni, na której są określone, np.: L 2, H 2, itp. Wyjątek stanowi norma, (euklidesowa), w przestrzeni R n oznaczana symbolem. Odległość Hausdorffa H oraz funkcja distans dist mają również indeksy zależne od rodzaju przestrzeni, na której są określone: H L 2, H H 2, H oraz dist L 2, dist H 2, dist oznaczają funkcje określone odpowiednio na przestrzeni L 2, H 2 oraz R n. W rozprawie zastosowano numerację obejmującą przedstawione definicje, twierdzenia, lematy oraz uwagi w zależności od kolejności występowania w rozdziałach. Numeracja składa się z dwóch części: a.b, gdzie a oznacza numer rozdziału, natomiast b oznacza kolejny numer definicji, twierdzenia, lematu, bądź uwagi. 1

12 Wzory numerowane są w podobny sposób. Symbolem I będziemy oznaczać przedział domknięty [, T ] w R +. Przez 1I B oznaczamy funkcję charakterystyczną zbioru B: 1I B (t) = 1 dla t B oraz 1I B (t) = dla t / B. Niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną przestrzenią probabilistyczną, gdzie F = (F t ) t I oznacza filtrację spełniającą następujące warunki: (i) F zawiera wszystkie zbiory miary P -zero z σ-algebry F, (ii) dla dowolnych t I, F t = u>t F u. Zmienna losowa α : Ω [, T ] jest F czasem zatrzymania, jeżeli zdarzenie {α t} należy do σ-algebry F t dla każdego t I. Procesem stochastycznym x = (x t ) t I na przestrzeni (Ω, F, P ) jest rodzina n- wymiarowych zmiennych losowych x t : Ω R n, dla t I. Proces x jest F adaptowalnym procesem, jeżeli dla dowolnych t I zmienna losowa x t jest F t -mierzalna. Przy ustalonym ω Ω, funkcję x t (ω) = x(t, ω), odwzorowującą przedział I w R n, nazywamy trajektorią procesu x. Proces x jest procesem càdlàg, jeżeli ma prawie wszystkie trajektorie prawostronnie ciągłe z lewostronnymi granicami. Proces x jest procesem càglàd, jeżeli ma prawie wszystkie trajektorie lewostronnie ciągłe z prawostronnymi granicami. Niech λ oznacza miarę Lebesgue a na I. P(F) oznacza najmniejszą σ-algebrę na I Ω, ze względu na którą każdy F adaptowalny proces càglàd jest mierzalny względem miary produktowej λ P. σ-algebra P(F) jest generowana przez klasę podzbiorów z I Ω postaci {} B oraz (s, t] B, gdzie B F oraz B F s dla dowolnych s, t I, s < t. Proces x jest F przewidywalnym procesem, jeżeli x jest P(F)-mierzalny. Rodzina wszystkich procesów tego typu jest oznaczana symbolem P. Dla zmiennej losowej x, symbolem E(x) = Ex będziemy oznaczać wartość oczekiwaną zmiennej x. Dla pod- σ-algebry G F oraz zmiennej losowej x, E(x G) oznaczać będzie 2

13 warukową wartość oczekiwaną zmiennej x względem G. Symbolem L 2 = L 2 (Ω, F, P ; R n ) oznaczamy przestrzeń F-mierzalnych funkcji x : Ω R n takich, że E( x 2 ) <. Przestrzeń tę rozważamy z normą x L 2 = (E( x 2 )) 1/2. F adaptowalny proces M o wartościach rzeczywistych nazywamy F martyngałem, jeżeli (i) E( M t ) <, dla dowolnego t I, (ii) jeżeli s < t, to E(M t F s ) = M s prawie na pewno. Ponieważ wszystkie F martyngały mają prawostronnie ciągłe modyfikacje, będziemy zawsze zakładać, że rozpatrujemy ich prawostronnie ciągłą wersję. Zauważmy, że prawostronnie ciągły F martyngał jest procesem càdlàg, (Wniosek 1 z Twierdzenia I.2.9 z [33]). Proces M nazywamy jednostajnie całkowalnym F martyngałem, jeżeli M jest F martyngałem oraz zachodzi warunek lim n sup t I { M t n} M t dp =. Proces M nazywamy F martyngałem całkowalnym z kwadratem, jeżeli M jest F martyngałem oraz zachodzi warunek sup t I E(M 2 t ) <. Dla F przewidywalnego procesu g oraz F martyngału M, symbolem gdm = gτ dm τ = ( t g τdm τ ) t I oznaczamy proces będący całką stochastyczną typu Itô z procesu g względem F martyngału M, (jego definicja i własności są omówione między innymi w książce [33]). Symbolem M 2 oznaczamy przestrzeń F martyngałów całkowalnych z kwadratem M takich, że M = prawie na pewno. Przestrzeń M 2 będziemy rozważać wraz z normą M M 2 = (EMT 2) 1 2, gdzie M T = T dm τ. Połóżmy także (M, N) = E(M T N T ) dla M, N M 2. Wtedy M 2 jest przestrzenią Hilberta, ([33]). Niech M M 2. Miarę µ M na P(F), zwaną miarą Doléans-Dade, stowarzyszoną z F martyngałem M definiujemy w następujący sposób: Niech (s, t] B będzie prostokątem w I Ω, gdzie B Ω jest F s -mierzalnym zbiorem oraz s < t. Definiujemy funkcję zbioru λ M następująco λ M ((s, t] B) = E(1I B (M t M s ) 2 ) 3

14 i rozszerzamy tę funkcję do jednoznacznej σ-skończonej miary µ M na P(F), ([9] Rozdział 2.4). Symbolem M 2 n będziemy oznaczać przestrzeń n-wymiarowych F martyngałów całkowalnych z kwadratem M = (M 1,..., M n ) takich, że dla i = 1,..., n, M i M 2. Przestrzeń tę będziemy rozważać z normą M M 2 n = ( n i=1 M 2 M 2 ) 1/2. Proces M = (lim s t M s ) t I oznacza wersję càglàd procesu M. Dla danego procesu M M 2 niech L 2 M = {f P : E( T f τ 2 d[m, M] τ ) < }, gdzie [M, M] jest procesem wariancji kwadratowej postaci [M, M] = M 2 2 M dm oraz M =. Przestrzeń L 2 M będziemy rozważać wraz z normą f L 2 M = ( I Ω f τ 2 dµ M ) 1 2. Dla danych procesów M M 2 i f L 2 M izometrii, ([9] Rozdział 2.2) T T f τ dm τ 2 M = E f 2 n τ 2 d[m, M] τ = I Ω zachodzi własność f τ 2 dµ M = f 2 L. (1.1) 2 M Definicja 1.1 ([33]) Ciąg procesów {x n } n 1 zbiega do procesu x jednostajnie na zbiorach zwartych według prawdopodobieństwa (w skrócie ucp ), jeżeli dla dowolnych t I, sup s t x n s x s zbiega do według prawdopodobieństwa. Dla procesu x oraz F czasu zatrzymania α symbolem x α oznaczamy proces postaci x α t = x t α = x t 1I {t<α} + x α 1I {t α}, dla t I. Lokalnym F martyngałem M na przestrzeni (Ω, F, F, P ) nazywamy F adaptowalny proces càdlàg, dla którego istnieje taki ciąg rosnących F czasów zatrzymania {α n } n 1, lim n α n = T prawie na pewno, że dla dowolnego n proces M t αn 1I {αn>} jest jednostajnie całkowalnym F martyngałem. F adaptowalny proces càdlàg A nazywamy FV procesem, jeżeli ma prawie wszystkie trajektorie o wahaniu ograniczonym na zbiorach zwartych. F adaptowalny proces càdlàg Z o wartościach rzeczywistych jest F semimartyngałem, jeżeli można go przedstawić w postaci sumy: Z = N + A, gdzie N jest lokalnym F martyngałem całkowalnym z kwadratem, natomiast A jest FV procesem, ([33] Twierdzenie III.1.1). 4

15 Niech Z będzie F semimartyngałem. Proces [Z, Z] = ([Z, Z] t ) t I jest procesem wariancji kwadratowej dla procesu Z. Jest on określony podobnie jak na stronie 4 rozprawy dla F martyngału M. Dla F semimartyngału Z, niech L Z oznacza zbiór F przewidywalnych procesów x, całkowalnych względem Z, ([33]). Zbiór K L Z nazywamy F dekomponowalnym, jeżeli dla dowolnych g, h K oraz zbioru B P(F) zachodzi zależność: 1I B h + 1I D g K, gdzie D = (I Ω) \ B. Symbolem H 2 oznaczamy przestrzeń F semimartyngałów Z o skończonej normie H 2, gdzie T Z H 2 = [N, N] 1/2 T L 2 + da τ L 2. da τ (ω) jest miarą wahania całkowitego na przedziale I indukowaną przez odwzorowanie τ A τ (ω). Na podstawie Twierdzenia IV.2.1 z [33] wnioskujemy, że przestrzeń H 2 jest przestrzenią Banacha. Symbolem Hn 2 będziemy oznaczać przestrzeń n-wymiarowych F semimartyngałów Z = (Z 1,..., Z n ), Z i H 2, i = 1,..., n, o skończonej normie Hn, 2 gdzie Z H 2 n = ( n i=1 Z 2 H 2 ) 1/2. Dla danego procesu Z H 2 określamy przestrzeń T T L 2 Z = {f P : E( f τ 2 d[n, N] τ ) + E( f τ da τ ) 2 < }. Przestrzeń tę będziemy rozważać z normą f L 2 Z = (E( T f τ 2 d[n, N] τ ) + E( T f τ da τ ) 2 ) 1/2. Lemat 1.2 Dla danych procesów Z H 2 i f L 2 Z f τ dz τ 2 H 2 n 2n f 2 L 2 Z. zachodzi zależność 5

16 Dowód. Dla dowolnych procesów Z H 2 oraz f = (f 1,..., f n ) L 2 Z otrzymujemy na podstawie nierówności (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ) f τ dz τ 2 H 2 n = = 2 n i=1 n ((E i=1 = 2(E n (E i=1 T Korzystając z nierówności dostajemy f i τdz τ 2 H 2 T T T (fτ) i 2 d[n, N] τ ) 1/2 + (E( fτ da i τ ) 2 ) 1/2 ) 2 T (fτ) i 2 d[n, N] τ + E( fτ da i τ ) 2 ) n T n (fτ) i 2 d[n, N] τ + E i=1 i=1 n i=1 a2 i ( n i=1 a i ) 2 2 n 1 n i=1 a2 i ( f i τ da τ ) 2 ). E n ( i=1 T T fτ da i τ ) 2 E( n fτ da i τ ) 2 2 n 1 E( i=1 T ( n (fτ) i 2 ) 1/2 da τ ) 2. i=1 Ponieważ f τ = ( n i=1 (f τ) i 2 ) 1/2, więc ostatecznie mamy T T f τ dz τ 2 H 2E f n 2 τ 2 d[n, N] τ n 1 E( f τ da τ ) 2 T T 2 n (E f τ 2 d[n, N] τ + E( f τ da τ ) 2 ) = 2 n f 2 LZ. 2 Niech x będzie F adaptowalnym procesem càdlàg. Przez S 2 oznaczamy przestrzeń procesów x o skończonej normie S 2, gdzie x S 2 = sup t I x t L 2, natomiast S oznacza przestrzeń procesów x o skończonej normie S, gdzie x S = sup t I x t L. Dla F semimartyngału Z = N + A definiujemy T j 2 (N, A) = [N, N] 1/2 T + da τ L 2. 6

17 Symbolem H 2 oznaczamy przestrzeń F semimartyngałów Z o skończonej normie H 2, gdzie Z H 2 = inf j 2(N, A), Z=N+A a infimum jest brane po wszystkich rozkładach semimartyngału Z. W podobny sposób określamy przestrzeń H i normę dla tej przestrzeni. Symbolem H 2 n będziemy oznaczać przestrzeń n-wymiarowych F semimartyngałów Z = (Z 1,..., Z n ), Z i H 2, i = 1,..., n, o skończonej normie H 2 n, gdzie Z H 2 n = ( n i=1 Z 2 H 2 ) 1/2. Dla przestrzeni Banacha X symbolami cl(x), comp(x) oraz conv(x) oznaczamy rodziny wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni X, które są, odpowiednio, domknięte, zwarte, wypukłe. Symbolem dist(a, B) oznaczamy odległość elementu a X od zbioru B cl(x), natomiast h(b, D) = sup a B dist(a, D), dla D cl(x). H(B, D) = max{h(b, D), h(d, B)} oznaczać będzie odległość Hausdorffa zbiorów B, D cl(x). Multifunkcja G : Ω cl(r n ) jest F mierzalna, jeżeli dla dowolnego domkniętego podzbioru B R n, zbiór {ω Ω : G(ω) B } jest F-mierzalny. Selekcją lub selektorem multifunkcji G nazywamy dowolną funkcję f taką, że f(ω) G(ω). Norma multifunkcji G jest określona jako G = sup f, po wszystkich selektorach f multifunkcji G. Wielowartościowym procesem stochastycznym G = (G t ) t I nazywamy rodzinę F-mierzalnych odwzorowań wielowartościowych G t : Ω cl(r n ), dla każdego t I. Proces stochastyczny G jest F adaptowalny, jeżeli dla dowolnych t I odwzorowanie G t : Ω cl(r n ) jest F t -mierzalne. Przy ustalonym ω Ω, multifunkcję G t (ω) = G(t, ω), odwzorowującą przedział I w cl(r n ), nazywamy trajektorią procesu wielowartościowego G. 7

18 Definicja 1.3 Wielowartościowy proces stochastyczny G jest procesem càdlàg, jeżeli posiada prawie wszystkie trajektorie prawostronnie ciągłe z lewostronnymi granicami względem metryki Hausdorffa H. Wielowartościowy proces stochastyczny G jest procesem càglàd, jeżeli posiada prawie wszystkie trajektorie lewostronnie ciągłe z prawostronnymi granicami względem metryki Hausdorffa H. Wielowartościowy proces G jest F przewidywalnym procesem, jeżeli G jest P(F)- mierzalny. Rodzinę takich procesów oznaczamy, jak w przypadku jednowartościowym, przez P. Definicja 1.4 Wielowartościowy proces G jest Z-całkowo ograniczony, jeżeli istnieje taki rzeczywisty proces m L 2 Z, że H(G, {}) m, λ P prawie wszędzie. Poniżej zamieszczone zostały najważniejsze twierdzenia, z których korzystam w dalszej części rozprawy. Twierdzenie 1.5 [K. Kuratowski, C. Ryll-Nardzewski ([4] Twierdzenie 8.1.3)] Niech X będzie zupełną ośrodkową przestrzenią metryczną, (Ω, F, µ) niech będzie przestrzenią z miarą. Jeżeli F jest F-mierzalnym odwzorowaniem wielowartościowym z Ω do cl(x), to istnieje F-mierzalna selekcja odwzorowania F. Twierdzenie 1.6 [A.F. Fillipov ([24] Twierdzenie II.3.12)] Niech X będzie zupełną ośrodkową przestrzenią metryczną, (Ω, F, µ) niech będzie przestrzenią z miarą. Jeżeli F jest F-mierzalnym odwzorowaniem wielowartościowym z Ω do comp(x), natomiast g jest F-mierzalnym odwzorowaniem z Ω do X, to istnieje F-mierzalna selekcja f odwzorowania F taka, że dla dowolnego ω Ω, dist X (g(ω), F (ω)) = d X (g(ω), f(ω)), gdzie d X jest odległością w przestrzeni X. Twierdzenie 1.7 [H. Covitz, S.B. Nadler Jr. ([24] Twierdzenie II.4.4)] Niech (X, ρ) będzie zupełną przestrzenią metryczną oraz F : X cl(x) niech będzie wielowartościowym odwzorowaniem takim, że dla dowolnych x, y X, H(F (x), F (y)) Kρ(x, y), gdzie K [, 1). Wtedy istnieje x X taki, że x F (x). 8

19 Niech (Ω, F, µ) będzie σ-skończoną przestrzenią z miarą. X niech będzie rzeczywistą ośrodkową przestrzenią Banacha. Niech B X oznacza σ-algebrę podzbiorów borelowskich w X. Niech φ : Ω X R będzie F B X -mierzalną funkcją, a f : Ω X niech będzie F-mierzalną funkcją. Definiujemy funkcjonał I φ (f) = φ(ω, f(ω))dµ. Ω Twierdzenie 1.8 [[18] Twierdzenie 2.2] Niech F będzie odwzorowaniem wielowartościowym z Ω do cl(x), S 2 F = {f L2 (Ω; X) : f(ω) F (ω) prawie wszędzie}. φ : Ω X R niech będzie F B X -mierzalną funkcją, ciągłą w x dla dowolnych ω Ω. Niech funkcjonał I φ (f) będzie określony dla dowolnych f S 2 F spełniających I φ (f ) <, dla pewnych f SF 2. Wtedy zachodzą warunki (i) inf f S 2 F I φ (f) = Ω inf x F (ω) φ(ω, x)dµ, (ii) sup f S 2 F I φ (f) = Ω sup x F (ω) φ(ω, x)dµ. Twierdzenie 1.9 [[3] Twierdzenie 2] Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2. Niech F będzie Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem wielowartościowym o wartościach wypukłych, S Z (F ) oznacza zbiór Z- całkowalnych selektorów z F. Jeżeli x jest procesem càdlàg takim, że dla dowolnych t s, t takich, że s t T, zachodzi warunek x t x s cl L 2 F s τdz τ, to istnieje proces g cl L 2 Z S Z (F ) taki, że x t = x + t g τdz τ. Twierdzenie 1.1 [[33] Twierdzenie II.5.19] Niech Z będzie F semimartyngałem oraz niech f będzie F adaptowalnym procesem càglàd. Wtedy stochastyczny proces całkowy Y = f τ dz τ jest F semimartyngałem, a dla dowolnego F adaptowalnego procesu càglàd g zachodzi g τ dy τ = g τ d( f s dz s ) τ = (gf) τ dz τ. Twierdzenie 1.11 [Nierówność Kunity-Watanabe ([33] Twierdzenie II.6.25)] Niech Y, Z będą F semimartyngałami oraz niech g, h będą dwoma rzeczywistymi procesami mierzalnymi. Wtedy zachodzi prawie na pewno nierówność T g τ h τ d[y, Z] τ ( T g 2 τd[y, Y ] τ ) 1/2 ( 9 T h 2 τd[z, Z] τ ) 1/2.

20 Twierdzenie 1.12 [[33], Wniosek 4 z Twierdzenia II.6.27] Jeżeli M jest lokalnym F martyngałem oraz E([M, M] T ) <, to M jest F martyngałem całkowalnym z kwadratem. Ponadto E(Mt 2 ) = E([M, M] t ), dla dowolnych t I. Twierdzenie 1.13 [Fundamentalne Twierdzenie dla Lokalnych Martyngałów ([33] Twierdzenie III.6.29)] Niech M będzie lokalnym F martyngałem oraz niech β >. Istnieją wtedy lokalne F martyngały N, A takie, że A jest FV procesem, skoki lokalnego F martyngału N są ograniczone przez 2β oraz M = N + A. Twierdzenie 1.14 [[33] Twierdzenie IV.2.5] Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2. Wtedy E((sup t I Z t ) 2 ) 8 Z 2 H. 2 Twierdzenie 1.15 [O Zbieżności Zmajoryzowanej ([33] Twierdzenie IV.2.32)] Niech Z będzie F semimartyngałem, natomiast f n P niech będzie ciągiem rzeczywistych procesów, zbieżnym do granicy f prawie na pewno. Jeżeli istnieje taki rzeczywisty proces g L Z, że dla dowolnych n, f n g, to f n i f są elementami zbioru L Z oraz całka fτ n dz τ zbiega do całki f τ dz τ w sensie ucp. Twierdzenie 1.16 [[33] Twierdzenie V.2.2] Dla 1 p istnieje stała c p taka, że dla dowolnego F semimartyngału Z, Z =, zachodzi nierówność Z S p c p Z H p. Twierdzenie 1.17 [Nierówność Emery ego ([33] Twierdzenie V.2.3)] Niech Z będzie F semimartyngałem, f niech będzie F adaptowalnym procesem càglàd oraz 1/p + 1/q = 1/r dla 1 p, 1 q. Wtedy f τ dz τ H r f S p Z H q. 1

21 Rozdział 2 Wielowartościowa całka stochastyczna typu Itô W niniejszym rozdziale przedstawione zostały wyniki badań dotyczących własności wielowartościowej całki stochastycznej typu Itô względem F semimartyngału. W pierwszej części zdefiniowany został zbiór S Z (F ) selektorów z F przewidywalnego procesu wielowartościowego F całkowalnych względem Z. Podano warunki gwarantujące niepustość, ograniczoność i dekomponowalność tego zbioru. Pozwoliło to na poprawne określenie wielowartościowej całki stochastycznej typu Itô z procesu F względem Z i zbadanie jej własności. Pokazano, że całka ta zachowuje powyższe własności zbioru S Z (F ). Druga część rozdziału poświęcona jest badaniu zagadnień przechodzenia z odległością Hausdorffa pod znak wielowartościowej całki stochastycznej względem F semimartyngału Z. Otrzymane wyniki, (Twierdzenia 2.9, 2.1 i 2.11), stanowią uogólnienia rezultatów M. Kisielewicza z pracy [23], w której badany był podobny problem, ale dla wielowartościowych całek względem procesu Wienera i całek z miarą Poissona. Zasadniczy problem stanowił tu brak własności izometrii, która była istotnie wykorzystywana w pracy [23]. Zastąpiono ją konstrukcją odpowiedniej miary losowej związanej z procesem o wahaniu ograniczonym pochodzącym z rozkładu F semimartyngału Z. 11

22 Twierdzenia te zostały wykorzystane w rozdziale czwartym do badania własności zbioru rozwiązań inkluzji stochastycznej. Niech I oznacza przedział domknięty [, T ] w R +. Niech Z będzie F semimartyngałem, a G niech będzie F przewidywalnym procesem wielowartościowym. Zbiór S Z (G) określamy jako S Z (G) := {f L 2 Z : f(t, ω) G(t, ω), λ P prawie wszędzie}. F przewidywalny proces wielowartościowy G jest całkowalny względem F semimartyngału Z albo po prostu Z-całkowalny, jeżeli S Z (G) jest zbiorem niepustym. Twierdzenie 2.1 Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2, Z =. Jeżeli G jest Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem wielowartościowym, to S Z (G) jest niepustym i ograniczonym podzbiorem z L 2 Z. Dowód. Korzystając z Twierdzenia Kuratowskiego i Rylla-Nardzewskiego, (Twierdzenie 1.5), istnieje F przewidywalny proces f taki, że f(t, ω) G(t, ω), λ P prawie wszędzie. Z założenia o procesie G wynika, że f L 2 Z m L 2 Z <, a to oznacza, że f S Z (G). Zatem zbiór S Z (G) jest niepusty. Jego ograniczoność wynika z Z-całkowej ograniczoności procesu G. Twierdzenie 2.2 Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2, Z =. Jeżeli G jest Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem wielowartościowym, to S Z (G) jest zbiorem F dekomponowalnym. Dowód. Niech będą dane f, g S Z (G), B P(F) oraz D = (I Ω) \ B. Należy pokazać, że 1I B f + 1I D g L 2 Z oraz 1I Bf + 1I D g G, λ P prawie wszędzie. Ponieważ zbiory B i D są P(F)-mierzalne, podobnie jak procesy f, g, więc proces 1I B f + 1I D g jest również P(F)-mierzalny. Ponadto 1I B f + 1I D g L 2 Z 1I B f L 2 Z + 1I D g L 2 Z = (E + (E T T 1I B f τ 2 d[n, N] τ + E( 1I D g τ 2 d[n, N] τ + E( T T 1I B f τ da τ ) 2 ) 1/2 1I D g τ da τ ) 2 ) 1/2. 12

23 Korzystając z faktu, że 1I B f τ f τ i 1I D g τ g τ dla τ I, oraz z Twierdzenia o Zbieżności Zmajoryzowanej, (Twierdzenie 1.15), otrzymujemy, że 1I B f + 1I D g L 2 Z f L 2 Z + g L 2 Z <. σ-algebra P(F) jest pod- σ-algebrą σ-algebry λ P. Zatem zbiory B i D są λ P -mierzalne. Ponieważ f, g G, λ P prawie wszędzie, więc 1I B f + 1I D g G, λ P prawie wszędzie. Definicja 2.3 Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2, Z =. G niech będzie Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem wielowartościowym. Wielowartościowa całka stochastyczna z procesu G względem Z jest zdefiniowana jako zbiór G τ dz τ = { g τ dz τ : g S Z (G)}. Dla dowolnych s, t I, s < t definiujemy także t G s τdz τ = { t g s τdz τ : g S Z (G)}. Definicja 2.4 Niech Z będzie F semimartyngałem, natomiast f L 2 Z. Odwzorowanie J Z : L 2 Z H2 n jest zdefiniowane jako J Z (f) = (J Z (f) t ) t I = f τ dz τ oraz J Z (f) t = t f τdz τ, dla dowolnego t I. Odwzorowanie J Z jest liniowe i ciągłe. Jego liniowość wynika z definicji, natomiast ciągłość z Lematu 1.2. Twierdzenie 2.5 Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2, Z =. Jeżeli G jest Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem wielowartościowym, to (i) G τ dz τ = J Z (S Z (G)), (ii) t s G τdz τ = J Z (1I (s,t] S Z (G)) t dla s, t I, s < t. Dowód. Warunek (i) wynika bezpośrednio z definicji całki G τ dz τ. Dla dowolnych s, t I, s < t z definicji całek t s G τdz τ oraz J Z (f) t otrzymujemy t s G τ dz τ = {J Z (f) t J Z (f) s : f S Z (G)} = {J Z (1I [,t] f) t J Z (1I [,s] f) t : f S Z (G)} = {J Z (1I (s,t] f) t : f S Z (G)} = J Z (1I (s,t] S Z (G)) t, 13

24 co należało pokazać. Twierdzenie 2.6 Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2, Z =. Jeżeli G jest Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem wielowartościowym, to G τ dz τ jest niepustym i ograniczonym podzbiorem z H 2 n. Dowód. Z definicji odwzorowania liniowego J Z, (Definicja 2.4), oraz Twierdzenia 2.5(i) otrzymujemy, że G τ dz τ = J Z (S Z (G)). Ponieważ zbiór S Z (G) jest niepusty na podstawie Twierdzenia 2.1, więc zbiór G τ dz τ niepustym. jest także zbiorem Jego ograniczoność w przestrzeni H 2 n wynika z ograniczoności zbioru S Z (G), (Twierdzenie 2.1), i ciągłości odwzorowania J Z. Twierdzenie 2.7 Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2, Z =. Jeżeli G jest Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem wielowartościowym, to dla dowolnych s, t I, s < t, t s G τdz τ jest zbiorem F s -dekomponowalnym. Dowód. Weźmy dowolne s, t I takie, że s < t. Niech dane będą: zbiór B F s oraz J 1, J 2 t s G τdz τ. Istnieją wtedy takie f 1, f 2 S Z (G), że J 1 = J Z (1I (s,t] f 1 ) t oraz J 2 = J Z (1I (s,t] f 2 ) t. Niech D = Ω \ B, natomiast β t s = (I \ (s, t]) Ω (s, t] D niech będzie dopełnieniem zbioru (s, t] B w I Ω. Wtedy 1I B J 1 = 1I B J Z (1I (s,t] f 1 ) t = J Z (1I (s,t] (1I (s,t] B f 1 )) t oraz 1I D J 2 = 1I D J Z (1I (s,t] f 2 ) t = J Z (1I (s,t] (1I (s,t] D f 2 )) t = J Z (1I (s,t] (1I β t s f 2 )) t. Zatem 1I B J 1 + 1I D J 2 = J Z (1I (s,t] (1I (s,t] B f 1 + 1I β t s f 2 )) t. Korzystając z F dekomponowalności zbioru S Z (G), (Twierdzenie 2.2), i faktu, że (s, t] B jest F przewidywalnym prostokątem, a β t s jest jego dopełnieniem, otrzymujemy, że 1I (s,t] B f 1 + 1I β t s f 2 S Z (G). Oznacza to, że 1I B J 1 + 1I D J 2 t s G τdz τ. 14

25 Uwaga 2.8 W dowodach Twierdzeń 2.9, 2.1 i 2.11 zastosowano odmienną notację, niż w pozostałej części pracy. Zamiast skróconych oznaczeń: f t, g t, F t, G t, A t stosowany jest pełny zapis: f(t, ω), g(t, ω), F (t, ω), G(t, ω), A t (ω), aby wyraźnie zaznaczyć zmienne, względem których przeprowadza się całkowanie. Twierdzenie 2.9 Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2, rozkładalnym na sumę Z = M + A, gdzie M jest F martyngałem całkowalnym z kwadratem, a A jest FV procesem. Niech g będzie Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem, a G niech będzie Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem wielowartościowym. Istnieje wtedy stała K taka, że dist 2 H 2 n ( g τ dz τ, G τ dz τ ) K dist 2 (g τ, G τ )dz τ H 2. Dowód. Z definicji normy Hn 2 i dowodu Lematu 1.2 otrzymujemy J = dist 2 H ( g n 2 τ dz τ, G τ dz τ ) = inf g τ dz τ f τ dz τ 2 H f S Z (G) n 2 T 2 n inf (E( g(τ, ω) f(τ, ω) 2 d[m, M] τ ) + E( f S Z (G) T g(τ, ω) f(τ, ω) da τ (ω) ) 2 ). Korzystając z nierówności Kunity-Watanabe, (Twierdzenie 1.11), dostajemy J 2 n T inf ( ( g(τ, ω) f(τ, ω) 2 d[m, M] τ )P (dω) f S Z (G) Ω T T + ( g(τ, ω) f(τ, ω) 2 da τ (ω) Ω da τ (ω) )P (dω)). Niech µ M oznacza miarę Doléans-Dade związaną z F martyngałem M, (zdefiniowaną na str. 3 rozprawy). Niech c A (ω) = T da τ(ω) oznacza wahanie trajektorii procesu A na przedziale I = [, T ]. Zdefiniujemy teraz jądro miary, (miarę losową), dla zbiorów borelowskich z I jako α(ω, dτ) := c A (ω) da τ (ω). 15

26 Następnie określamy miarę ν A na σ-algebrze F przewidywalnych zbiorów z I Ω jako Otrzymamy wtedy J 2 n inf ( + Ω ( 2 n f S Z (G) T Ω ν A (B) = Ω T 1I B (ω, τ)α(ω, dτ)p (dω). T ( g(τ, ω) f(τ, ω) 2 d[m, M] τ )P (dω) g(τ, ω) f(τ, ω) 2 α(ω, dτ))p (dω)) inf g(τ, ω) f(τ, ω) 2 dµ M + Ω I g(τ, ω) f(τ, ω) 2 dµ ), f S Z (G) ( = 2 n inf ( f S Z (G) gdzie µ = µ M + ν A. Ω I Ω I g(τ, ω) f(τ, ω) 2 dν A ) Na podstawie Twierdzenia 1.8 ostatnią całkę możemy zapisać w postaci 2 n inf g(τ, ω) x 2 dµ = 2 n dist 2 (g(τ, ω), G(τ, ω))dµ Ω I x G(τ,ω) T = 2 n ( ( Ω + (c A (ω) Ω T Ω I dist 2 (g(τ, ω), G(τ, ω))d[m, M] τ )P (dω) dist 2 (g(τ, ω), G(τ, ω)) da τ (ω) )P (dω)). Stosując ponownie nierówność Kunity-Watanabe, (Twierdzenie 1.11), do pierwszego składnika oraz nierówność Höldera do drugiego dostajemy, że J 2 n ( ( T dist 4 (g(τ, ω), G(τ, ω))d[m, M] τ ) 1/2 L 2 ( T T d[m, M] τ ) 1/2 L 2 + c A (ω) L 2 dist 2 (g(τ, ω), G(τ, ω)) da τ (ω) L 2) T 2 n (E[M, M] 1/2 T ( dist 4 (g(τ, ω), G(τ, ω))d[m, M] τ P (dω)) 1/2 Ω T + c A (ω) L 2 ( ( dist 2 (g(τ, ω), G(τ, ω)) da τ (ω) ) 2 P (dω)) 1/2 ) Ω K dist 2 (g(τ, ω), G(τ, ω))dz τ H 2, gdzie K = 2 n max{ c A (ω) L 2, E[M, M] 1/2 T }, co kończy dowód twierdzenia. 16

27 Twierdzenie 2.1 Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2. Niech g będzie Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem, a G niech będzie Z-całkowo ograniczonym F przewidywalnym procesem wielowartościowym. Istnieje wtedy stała K taka, że dist 2 H ( g n 2 τ dz τ, G τ dz τ ) K dist 2 (g τ, G τ )dz τ H 2. Dowód. Ponieważ Z jest F semimartyngałem, więc istnieje rozkład Z = N + A, gdzie N jest lokalnym F martyngałem, natomiast A jest FV procesem. Postępując podobnie jak w dowodzie Twierdzenia 2.9 otrzymujemy J = dist 2 H ( g n 2 τ dz τ, G τ dz τ ) T 2 n inf ( ( g(τ, ω) f(τ, ω) 2 d[n, N] τ )P (dω) + Ω ( f S Z (G) T Ω g(τ, ω) f(τ, ω) 2 da τ (ω) T da τ (ω) )P (dω)). Ponieważ Z H 2, więc E([N, N] T ) <. Korzystając z Twierdzenia 1.12 wnioskujemy, że lokalny F martyngał N jest F martyngałem całkowalnym z kwadratem. Możemy więc określić miarę Doléans-Dade µ N związaną z F martyngałem N oraz funkcję c A (ω) = T da τ(ω). Dalsza część dowodu będzie przebiegać tak jak dowód Twierdzenia 2.9. Należy tylko zamienić proces [M, M] na [N, N] oraz miarę µ M na µ N. W rezultacie otrzymamy tezę twierdzenia, w której stała K jest określona następująco: K = 2 n max{ c A (ω) L 2, E[N, N] 1/2 T }. Twierdzenie 2.11 Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2. Niech F, G będą Z-całkowo ograniczonymi F przewidywalnymi procesami wielowartościowymi. Istnieje wtedy stała K taka, że H 2 H ( G n 2 τ dz τ, F τ dz τ ) K H 2 (G τ, F τ )dz τ H 2. Dowód. Niech Z = N + A będzie rozkładem F semimartyngału Z na sumę lokalnego F martyngału N oraz FV procesu A. Korzystając z definicji odległości 17

28 Hausdorffa dostajemy H 2 H ( G n 2 τ dz τ, F τ dz τ ) = max{ sup dist 2 H ( n 2 g S Z (G) sup dist 2 H ( n 2 f S Z (F ) g τ dz τ, f τ dz τ, F τ dz τ ), G τ dz τ )} = max{j 1, J 2 }. Z dowodu Twierdzenia 2.1 dla pierwszego ze składników otrzymujemy J 1 = sup dist 2 H ( g n 2 τ dz τ, F τ dz τ ) g S Z (G) 2 n sup inf g(τ, ω) f(τ, ω) 2 dµ ), ( g S Z (G) f S Z (F ) Ω I gdzie µ, tak jak poprzednio, oznacza miarę µ = µ N + ν A. Stosując dwukrotnie Twierdzenie 1.8, (odpowiednio dla funkcji inf oraz sup ), dostajemy J 1 2 n sup inf y x 2 dµ = 2 n h 2 (G(τ, ω), F (τ, ω))dµ, Ω I y G(τ,ω) x F (τ,ω) gdzie h(b, D) = sup a B dist(a, D). Postępując dalej tak jak w dowodzie Twierdzenia 2.1 otrzymujemy J 1 K h 2 (G(τ, ω), F (τ, ω))dz τ H 2 K H 2 (G(τ, ω), F (τ, ω))dz τ H 2. W przypadku drugiego składnika wystarczy zamienić ze sobą procesy F i G. W rezultacie dostajemy J 2 = sup f S Z (F ) dist 2 H 2 n ( f τ dz τ, Ω I G τ dz τ ) K h 2 (F (τ, ω), G(τ, ω))dz τ H 2 K H 2 (F (τ, ω), G(τ, ω))dz τ H 2, gdzie K = 2 n max{ c A (ω) L 2, E[N, N] 1/2 }, co kończy dowód twierdzenia. T 18

29 Rozdział 3 Wielowartościowa całka stochastyczna typu Stratonowicza W niniejszym rozdziale przedstawione zostały wyniki badań nad własnościami wielowartościowej całki stochastycznej typu Stratonowicza. W znanych mi dotychczas opublikowanych pracach na ten temat wielowartościową całkę typu Stratonowicza określano dla procesów będących superpozycją deterministycznej multifunkcji różniczkowalnej w sensie Hukuhary i ciągłego semimartyngału, ([17]), albo procesów powstałych ze złożenia deterministycznej multifunkcji górnie oddzielalnej i ciągłego semimartyngału, ([28]). Wielowartościowa całka typu Stratonowicza badana w rozprawie jest określona dla stochastycznych (F, H) odwracalnych procesów wielowartościowych. Jest to klasa procesów, która nie musi obejmować procesów rozważanych we wspomnianych pracach, ani zawierać się w klasach procesów rozpatrywanych w pracach [17, 28]. Wzajemne relacje między tymi klasami mogą stanowić pole do dalszych badań. Definicję wielowartościowej całki typu Stratonowicza poprzedza analiza całek stochastycznych typu forward i backward, których wzajemne zależności wykorzystują tzw. metodę odwracania czasu. Obie te całki znalazły zastosowanie w konstrukcji wielowartościowej całki typu Stratonowicza przedstawionej w rozprawie. Rozdział podzielony został na dwie części. 19

30 W pierwszej części omówione zostały własności jednowartościowych całek stochastycznych typu forward, backward oraz Stratonowicza, (definicje na podstawie pracy [13]). Udowodnione zostały własności tych całek związane z przechodzeniem z funkcją charakterystyczną pod znak całki niezbędne dla uzyskania zasadniczego wyniku tego rozdziału. W części drugiej udowodnione zostało twierdzenie o istnieniu (F, H) odwracalnej selekcji dla (F, H) odwracalnego procesu wielowartościowego. Wynik ten pozwala na pokazanie istnienia, (niepustości), wielowartościowej całki stochastycznej typu Stratonowicza zdefiniowanej w tym rozdziale. Kluczowym wynikiem tej części rozprawy jest twierdzenie aproksymacyjne, (Twierdzenie 3.19), dla badanej całki wielowartościowej, które zostało uzyskane przez połączenie metody odwracania czasu z ideą pochodzącą z pracy J. Motyla [3] i dotyczącą wielowartościowej całki typu Itô. 3.1 Całki stochastyczne typu forward i backward F. Russo i P. Vallois w pracy [34] zdefiniowali stochastyczne całki typu forward, backward oraz symmetric jako rozszerzenie, odpowiednio, całek, Itô, backward oraz Stratonowicza. Definicje te były modyfikowane w pracach [13, 35]. W rozprawie użyto definicji pochodzącej z pracy [13]. W tej części rozprawy przedstawiono własności powyższych całek uzyskane przez F. Russo i P. Vallois w [35] oraz wraz z M. Errami w [13], a także te własności uzyskane przez autora, które są niezbędne w dalszej części rozprawy. Niech I oznacza dowolny przedział domknięty. Dla uproszczenia zapisu będziemy zakładać, bez zmniejszenia ogólności, że I = [, 1]. Definicja 3.1 ([13]) Proces stochastyczny x nazywamy procesem RV càdlàg [RV càglàd], jeżeli jest procesem càdlàg [càglàd] oraz jest ciągły dla t = i t = 1. Definicja 3.2 ([13]) Niech {τ n } oznacza taki podział odcinka I, że = t < t 1 < < t n = 1. Przez τ n oznaczamy sup i (t i+1 t i ). Niech g oraz h będą procesami 2

31 RV càdlàg. Określamy teraz I τ n (g, dh)(a) = i I + τ n (g, dh)(a) = i g(t i a)(h(t i+1 a) h(t i a)), g(t i+1 a)(h(t i+1 a) h(t i a)), I o τ n (g, dh)(a) = 1/2 (I + τ n (g, dh)(a) + I τ n (g, dh)(a)). Jeżeli dla dowolnego ciągu {τ n } podziałów odcinka I oraz dla dowolnego < a 1 powyższe sumy są zbieżne w sensie ucp, (Definicja 1.1), gdy τ n dla n oraz ich granice nie zależą od wyboru ciągu podziałów {τ n }, to granice te nazywamy odpowiednio całkami forward, backward oraz Stratonowicza i oznaczamy przez ( (, ] gd h) a, ( (, ] gd+ h) a, ( (, ] g dh) a, lub krócej przez (,a] gd h, (,a] gd+ h, (,a] g dh. Definicja 3.3 ([13]) Dla procesów stochastycznych RV càdlàg g, h oraz dowolnych liczb < a < 1 określamy (,a) gd± h = ( (, ] gd± h) a = lim t a (,t] gd± h. Definicja 3.4 ([13]) Dla procesu stochastycznego RV càdlàg g określamy g t = (g t ) = g (1 t), gdzie g t = lim s t g s. Proces g nazywamy procesem z czasem odwróconym. W Lematach 3.5 i 3.6 zebrane zostały własności, pochodzące z prac [13] oraz [34], które będą wykorzystane w dalszej części tego rozdziału. Lemat 3.5 Dla procesów stochastycznych RV càdlàg g, h oraz dowolnych liczb a < b 1 zachodzą zależności (i) (ii) (iii) (iv) (a,b] gd± h = (,b] gd± h (,a] gd± h, (a,b] g dh = 1/2 ( (a,b] gd+ h + (a,b] gd h), [a,b) gd± h = (,b) gd± h (,a) gd± h, (,a] gd± h = 21 [1 a,1) gd h.

32 Lemat 3.6 Niech g oraz Z będą procesami RV càdlàg. Zakładamy ponadto, że Z jest F semimartyngałem, a g jest F adaptowalnym procesem. Zachodzi wtedy zależność (, ] gd Z = g (, ] τ dz τ, gdzie całka z prawej strony równości oznacza całkę stochastyczną typu Itô względem F semimartyngału. Lemat 3.7 Niech g oraz Z będą procesami RV càdlàg. Jeżeli g jest F adaptowalnym procesem, Z jest F semimartyngałem, Z =, natomiast α, β, < α < β < 1, są F czasami zatrzymania, to dla całki stochastycznej typu forward zachodzą zależności: (i) (,α] gd Z = g 1I (,1] [,α)d Z = g (,1] τ 1I [,α] (τ)dz τ, (ii) (α,β] gd Z = g 1I (,1] [α,β)d Z = g (,1] τ 1I (α,β] (τ)dz τ, (iii) (α,1] gd Z = g 1I (,1] [α,1]d Z = g (,1] τ 1I (α,1] (τ)dz τ, gdzie ostatnia z całek w powyższych równościach oznacza całkę stochastyczną typu Itô względem F semimartyngału. Dowód. Zauważmy, że dla F czasu zatrzymania α (, 1) otrzymujemy (g 1I [,α) ) τ = g τ 1I [,α] (τ). Ponieważ procesy po lewej stronie powyższej równości są procesami RV càdlàg, więc korzystając z Lematu 3.6 dostajemy, że g τ dz τ = g τ dz τ g Z = g τ 1I [,α] (τ)dz τ (,α] [,α] [,1] = (g 1I [,α) ) τ dz τ = (g 1I [,α) ) τ dz τ = g 1I [,α) d Z. [,1] (,1] (,1] Zależności (ii) oraz (iii) wynikają z powyższej równości oraz z Lematu 3.5(i). 22

33 Definicja 3.8 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Rozważmy na przestrzeni Ω dwie filtracje: F = (F t ) t I oraz H = (H t ) t I spełniające warunki (i) oraz (ii) ze strony 2 rozprawy. Proces càdlàg x nazywamy (F, H) odwracalnym, jeżeli x jest F adaptowalnym procesem na przedziale [, 1], natomiast x jest H adaptowalnym procesem na przedziale [, 1]. Proces càdlàg x jest (F, H) odwracalnym semimartyngałem, jeżeli x jest F semimartyngałem na przedziale [, 1], natomiast x jest H semimartyngałem na przedziale [, 1), ([21]). Definicja 3.9 ([33]) Niech g będzie F przewidywalnym procesem, Z będzie F semimartyngałem, Z =. Dla a < b 1 całki typu Itô [,1] g τ1i [,a) (τ)dz τ oraz [,1] g τ1i [a,b) (τ)dz τ określamy następująco (i) (ii) g [,1] τ 1I [,a) (τ)dz τ = lim s a ( g [,1] τ 1I [,s] (τ)dz τ ), g [,1] τ 1I [a,b) (τ)dz τ = g [,1] τ 1I [,b) (τ)dz τ g [,1] τ 1I [,a) (τ)dz τ. Lemat 3.1 Jeżeli g jest (F, H) odwracalnym procesem RV càdlàg, Z jest (F, H) odwracalnym semimartyngałem, Z =, to dla dowolnych a < b 1 zachodzą zależności (i) (ii) (iii) (,a] gd+ Z = g 1I (,1] [1 a,1)d Z = g (,1] τ 1I [1 a,1) (τ)d Z τ, (a,b] gd+ Z = g (,1] τ 1I [1 b,1 a) (τ)d Z τ, [a,1) gd+ Z = g (,1] τ 1I [,1 a] (τ)d Z τ, gdzie całki po prawej stronie powyższych równości są całkami stochastycznymi typu Itô względem F semimartyngału. Dowód. (i) Stosując kolejno Lemat 3.5(iv),(iii), Definicję 3.3 oraz Lemat 3.6 dosta- 23

34 jemy J = gd + Z = gd Z = ( gd Z (,a] [1 a,1) (,1) = (lim( gd Z) lim ( gd s 1 (,s] ρ 1 a (,ρ] Z)) = (lim( g τ d Z τ ) lim ( g τ d s 1 (,s] ρ 1 a (,ρ] Z τ )). (,1 a) gd Z) Z własności granicy i definicji całki typu Itô po przedziale (ρ, s] otrzymujemy J = lim s 1 lim ρ 1 a ( (,s] g τ d Z τ (,ρ] g τ d Z τ )) = lim s 1 lim ρ 1 a ( (ρ,s] g τ d Z τ ). Korzystając teraz z własności przechodzenia z funkcją charakterystyczną pod znak całki typu Itô oraz z Twierdzenia o Zbieżności Zmajoryzowanej, (Twierdzenie 1.15), dostajemy J = lim s 1 lim ρ 1 a ( (,1] g τ 1I (ρ,s] (τ)d Z τ ) = g τ 1I [1 a,1) (τ)d Z τ. (,1] (ii) Korzystając z Lematu 3.5(i) i udowodnionej już równości (i) otrzymujemy J = = (a,b] gd + Z = gd + Z (,b] g τ 1I [1 b,1) (τ)d Z τ + (,1] (,a] (,1] gd + Z g τ 1I [1 a,1) (τ)d Z τ. Stosując teraz Definicję 3.9(ii) oraz Twierdzenie o Zbieżności Zmajoryzowanej, (Twierdzenie 1.15), dostajemy J = g τ 1I [1 b,1 a) (τ)d Z τ. (,1] (iii) Korzystając z Lematów 3.5(iv) oraz 3.7(i) otrzymujemy [a,1) gd + Z = gd Z = g τ 1I [,1 a] (τ)d Z τ. (,1 a] (,1] 24

35 3.2 Wielowartościowa całka stochastyczna typu Stratonowicza Niech I, tak jak poprzednio, oznacza przedział domknięty [, 1]. Definicja 3.11 Dla wielowartościowego procesu stochastycznego càdlàg G symbolem G t = (G t ) = G (1 t) = lim s 1 t G s, oznaczamy wielowartościowy proces z czasem odwróconym. Granica wielowartościowych odwzorowań jest określana względem metryki Hausdorffa. Definicja 3.12 Wielowartościowy proces stochastyczny càdlàg G jest (F, H) odwracalnym procesem, jeżeli G jest F adaptowalnym procesem na przedziale [, 1] oraz G jest H adaptowalnym procesem na przedziale [, 1]. Wielowartościowy proces stochastyczny G jest procesem RV càdlàg (RV càglàd), jeżeli jest procesem càdlàg (càglàd) i jest ciągły dla t = i t = 1 względem metryki Hausdorffa. Wielowartościowy proces G jest całkowo ograniczony, jeżeli istnieje taki rzeczywisty proces m będący (F, H) odwracalnym procesem RV càdlàg, że m S < oraz dla dowolnych t I, H(G t, {}) m t. W dalszej części rozdziału zakładamy, że G jest wielowartościowym procesem o wartościach w przestrzeni comp conv(r n ). Twierdzenie 3.13 Jeżeli G jest (F, H) odwracalnym procesem wielowartościowym, to istnieje (F, H) odwracalny selektor g z procesu G. Dowód. Dla niepustego zwartego i wypukłego zbioru B zawartego w R n definiujemy jego punkt Steinera jako oraz s(b) = 1/2 (σ(b, +1) σ(b, 1)) dla n = 1, s(b) = n p σ(b, p) µ(dp) dla n 2, S n 1 25

36 gdzie σ(b, p) := sup a B < a, p > oznacza funkcję podpierającą zbioru B, S n 1 jest sferą jednostkową w R n, natomiast µ jest zwykłą miarą probabilistyczną na sferze S n 1, ([4]). Korzystając z własności punktu Steinera otrzymujemy, że s(b) B. Ponadto, s : comp conv(r n ) R n jest odwzorowaniem Lipschitza względem metryki Hausdorffa. Dla dowolnych (t, ω) I Ω określamy g(t, ω) = s(g(t, ω)). Z własności odwzorowania s wynika, że g jest selektorem procesu wielowartościowego G. Proces g jest procesem càdlàg oraz F adaptowalnym procesem jako superpozycja odwzorowania Lipschitza i F adaptowalnego procesu wielowartościowego typu càdlàg. Należy jeszcze pokazać, że proces z czasem odwróconym g jest H adaptowalnym procesem i jest selektorem procesu G. Ponieważ g(t, ω) = s(g(t, ω)), stąd też g(t, ω) = (s(g(t, ω))). Z drugiej strony otrzymujemy, że g(t, ω) = g((1 t), ω) = n p sup < a, p > µ(dp) S n 1 a G((1 t),ω) = n p σ(g((1 t), ω), p) µ(dp) S n 1 = n p σ( G(t, ω), ω), p) µ(dp) = s( G(t, ω)). S n 1 Pokazaliśmy więc, że g(t, ω) = (s(g(t, ω))) = s( G(t, ω)), a to oznacza, że g jest selektorem procesu wielowartościowego G. Ponieważ G jest H adaptowalnym procesem, stąd g jest także H adaptowalnym procesem. W ten sposób proces g jest poszukiwanym (F, H) odwracalnym selektorem procesu G. Uwaga 3.14 Jeżeli w Twierdzeniu 3.13 dodatkowo założymy, że trajektorie procesu G są lewostronnie ciągłe w t = 1, to selekcja g otrzymana w Twierdzeniu 3.13 jest procesem RV càdlàg. Definicja 3.15 Niech G będzie wielowartościowym (F, H) odwracalnym procesem RV càdlàg, Z niech będzie (F, H) odwracalnym semimartyngałem, Z =. 26

37 Niech S(G) oznacza rodzinę wszystkich (F, H) odwracalnych procesów RV càdlàg będących selektorami procesu G. Dla dowolnych a < b 1 wielowartościową całkę typu Stratonowicza określamy jako zbiór G dz = {1/2 ( gd Z + gd + Z) : g S(G)} (a,b] (a,b] (a,b] = {1/2 ( g τ dz τ g τ d Z τ ) : g S(G)}. (a,b] [1 b,1 a) Dla udogodnienia wprowadzamy następujące oznaczenie (g, h) dz := 1/2 ( g τ dz τ (a,b] (a,b] [1 b,1 a) h τ d Z τ ). Uwaga 3.16 Korzystając z Twierdzenia 3.13 wnioskujemy, że zbiór S(G) jest zbiorem niepustym, zatem wielowartościowa całka w powyższej definicji istnieje i jest zbiorem niepustym. Twierdzenie 3.17 Niech Z będzie F semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2, Z =. Niech G będzie całkowo ograniczonym przez proces m wielowartościowym F adaptowalnym procesem RV càdlàg. Jeżeli dla dowolnych a < b 1 proces x spełnia zależność x b x a cl L 2 (a,b] Gd Z, to dla dowolnych ɛ > oraz F czasów zatrzymania α < β 1 istnieje RV càdlàg i F adaptowalny selektor g α,β,ɛ procesu G spełniający warunek x β x α g α,β,ɛ d Z L 2 < ɛ. (α,β] Dowód. Ustalmy ɛ >. Dla dowolnego n = 1, 2,... oraz dowolnego k = 1, 2,..., 2 n definiujemy zmienne losowe α n i β n wzorami k 2 n dla ω {ω : (k 1) 2 n α(ω) < k 2 n } α n (ω) = 1 dla ω {ω : α(ω) = 1}, k 2 n dla ω {ω : (k 1) 2 n β(ω) < k 2 n } β n (ω) = 1 dla ω {ω : β(ω) = 1}. 27

38 Dla dowolnych n = 1, 2,... oraz k =, 1,..., 2 n 1 określamy zbiory A n k = {ω : α(ω) k 2 n } ; B n k = {ω : β(ω) k 2 n }. Mamy wtedy (, α n ] = (, β n ] = {(k 2 n, (k + 1) 2 n ]} A n k, 2 n 1 k= {(k 2 n, (k + 1) 2 n ]} Bk n. 2 n 1 k= Ponadto, dla dowolnych n = 1, 2,... otrzymujemy 2 n 1 x αn = x + (x (k+1) 2 n x k 2 n) 1I A n k, k= 2 n 1 x βn = x + (x (k+1) 2 n x k 2 n) 1I B n k. k= Z uwagi na to, że A n k Bn k, mamy zależność 2 n 1 x βn x αn = (x (k+1) 2 n x k 2 n) 1I B n k \A n. k k= Dla każdego n = 1, 2,... oraz k =, 1,..., 2 n 1 można wybrać RV càdlàg i F adaptowalny selektor g n,k procesu G spełniający zależność x (k+1) 2 n x k 2 n g n,k τ dz τ L 2 < ɛ/3 2 k. (3.1) Określamy proces g n następująco (k 2 n,(k+1) 2 n ] g n = g n,2n 1 1I [,αn) + g n,2n 1 1I [βn,1] + 2 n 1 k=1 g n,k 1I [k 2 n,(k+1) 2 n ) B n k \An k. Otrzymany proces g n jest skończoną sumą procesów RV càdlàg, dlatego też jest procesem càdlàg na przedziale I. Z uwagi na to, że g n,2n 1 oraz 1I [βn,1] są procesami RV càdlàg, więc proces g n jest procesem lewostronnie ciągłym dla t = 1. Zatem jest on procesem RV càdlàg, F adaptowalnym oraz jest selektorem procesu G. 28

39 Ponadto mamy zależność 2 n 1 gτ dz n τ = 1I B n k \A n ( k (α n,β n] k=1 (,1] g n,k τ 1I (k 2 n,(k+1) 2 n ](τ)dz τ ). Stosując kolejno własność różnicy całek typu Itô, własność przechodzenia z funkcją charakterystyczną pod znak całki typu Itô, całkową ograniczoność procesu G oraz Twierdzenie 1.14 otrzymujemy gτ dz n τ gτ dz n τ L 2 = gτ dz n τ L 2 (α,β] = (α n,β n] gτ n 1I (α,β] (αn,βn] dz τ L 2 (α,β] (α n,β n] m τ 1I (α,β] (αn,βn] dz τ L 2 (,1] (,1] (E sup m τ 1I (α,β] (αn,βn] dz τ 2 ) 1/2 t I (,1] 8 m τ 1I (α,β] (αn,βn] dz τ H 2, (, ] gdzie B D oznacza zbiór postaci (B \ D) (D \ B). Stosując powyższe oszacowanie dostajemy x β x α gτ dz n τ L 2 (α,β] x β x α (x βn x αn ) L 2 + x βn x αn gτ dz n τ L 2 (α n,β n] + 8 m τ 1I (α,β] (αn,βn] dz τ H 2 = J 1 + J 2 + J 3. (, ] Proces x oraz całka stochastyczna typu Itô są procesami càdlàg, α n α, β n β, gdy n, więc istnieje takie n, że dla dowolnych n > n składniki J 1 oraz J 3 będą mniejsze niż ɛ/3. Z nierówności (3.1) wynika, że J 2 = x βn x αn gτ dz n τ L 2 (α n,β n] 2 n 1 (1I B n k \A n(ω) x k (k+1) 2 n x k 2 n k= 2 n 1 < (2 k ɛ/3) < ɛ/3. k= 29 (,1] g n,k τ 1I (k 2 n,(k+1) 2 n ](τ)dz τ L 2)

40 Biorąc teraz dowolne n > n oraz g α,β,ɛ = g n otrzymujemy, że x β x α g α,β,ɛ d Z L 2 = x β x α gτ dz n τ L 2 < ɛ, (α,β] (α,β] co kończy dowód twierdzenia. Definicja 3.18 Niech Z będzie procesem RV càdlàg. Niech x będzie takim procesem stochastycznym, że dla dowolnych a < b 1 istnieją procesy stochastyczne RV càdlàg g a,b oraz h a,b, które spełniają zależność x b x a = (a,b] ga,b d Z + (a,b] ha,b d + Z. Proces x nazywamy całkowo dekomponowalnym, jeżeli istnieją procesy RV càdlàg u, v takie, że u F, v 1 H oraz zachodzą zależności (i) dla dowolnych a < b 1, u b u a = (a,b] ga,b d Z, v b v a = (a,b] ha,b d + Z, (ii) x = u + v. Twierdzenie 3.19 Niech Z będzie (F, H) odwracalnym semimartyngałem należącym do przestrzeni H 2, Z =. Niech G będzie całkowo ograniczonym przez proces m wielowartościowym (F, H) odwracalnym procesem, lewostronnie ciągłym w punkcie t = 1. Jeżeli dla całkowo dekomponowalnego procesu RV càdlàg x zachodzi zależność dla dowolnych x b x a (a,b] G dz, a < b 1, to dla dowolnego ɛ > istnieje taka para procesów RV càdlàg (g, h), będących selektorami procesu wielowartościowego G, że sup x t x (g, h) dz L 2 ɛ. t I (,t] Dowód. Ustalmy dowolny ɛ >. Z założenia, że Z jest (F, H) odwracalnym semimartyngałem wynika, że Z jest F semimartyngałem oraz Z jest H semimartyngałem. Korzystając z Fundamentalnego Twierdzenia dla Lokalnych Martyngałów, (Twierdzenie 1.13), każdy F semimartyngał Z jest rozkładalny na sumę 3

41 Z = N 1 + A 1 w taki sposób, że skoki lokalnego F martyngału N 1 mogą być ograniczone przez stałą ɛ (6 c 2 m S ) 1. W podobny sposób dla H semimartyngału Z skoki lokalnego H martyngału Ñ 2 z rozkładu Z = Ñ 2 + Ã2 można ograniczyć przez ɛ (12 c 2 m S ) 1. Ponieważ x b x a G dz dla dowolnych a < b 1, więc istnieją (a,b] RV càdlàg i (F, H) odwracalne selektory g a,b z G takie, że x b x a = 1/2 ( g a,b d Z + g a,b d + Z). (a,b] Korzystając z całkowej dekomponowalności procesu x wnioskujemy, że istnieją procesy u oraz v takie, że x = u + v oraz dla dowolnych a < b 1 u b u a = 1/2 g a,b d Z, v b v a = 1/2 g a,b d + Z. (a,b] (a,b] Zdefiniujmy ciąg zmiennych losowych w następujący sposób T =, T k+1 = inf{t T k : ( (T k,t] d[n 1, N 1 ] τ ) 1/2 + lub u t u Tk > ɛ/6}, (T k,t] (a,b] da 1 τ ɛ (6 c 2 m S ) 1 S =, S k+1 = inf{s S k : ( d[ñ 2, Ñ 2 ] τ ) 1/2 + dã2 τ ɛ (12 c 2 m S ) 1 (S k,s] (S k,s] lub ṽ s ṽ Sk > ɛ/12}. Proces Z jest F semimartyngałem, natomiast z określenia procesu u wynika, że jest on F adaptowalnym procesem oraz u F. Otrzymujemy więc, że ciąg {T k } k jest ciągiem F czasów zatrzymania rosnących do 1, ([33]). Korzystając ze Lematu 3.1 otrzymujemy, że ṽ t ṽ s = v (1 t) v (1 s) = g 1 s,1 t d + Z = [1 t,1 s) (s,t] g 1 s,1 t τ d Z τ. (3.2) Ponieważ g 1 s,1 t jest H adaptowalnym procesem, Z jest H semimartyngałem oraz ṽ = v 1 H, więc ciąg {S l } l jest ciągiem H czasów zatrzymania, który rośnie do 1. 31