Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką

Transkrypt

1 z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008

2 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n],

3 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], ξ 1, ξ 2,... i.i.d., p k = Pr (ξ n = k), k = 0, 1, 2,...

4 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], ξ 1, ξ 2,... i.i.d., p k = Pr (ξ n = k), k = 0, 1, 2,... N (n) = ξ ξ n całkowita liczbę wypłat do chwili n,

5 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], ξ 1, ξ 2,... i.i.d., p k = Pr (ξ n = k), k = 0, 1, 2,... N (n) = ξ ξ n całkowita liczbę wypłat do chwili n, X 1, X 2,... wielkości kolejnych roszczeń w (n 1, n],

6 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], ξ 1, ξ 2,... i.i.d., p k = Pr (ξ n = k), k = 0, 1, 2,... N (n) = ξ ξ n całkowita liczbę wypłat do chwili n, X 1, X 2,... wielkości kolejnych roszczeń w (n 1, n], F X (y) = Pr (X y) o skończonej średniej µ X,

7 Zagregowana wypłata Zagregowana wypłata w (n 1, n]: Z n = X 1 + X X ξn ze średnią EZ n = EX 1 Eξ n = µ X µ ξ.

8 Dyskretny proces ryzyka Dyskretny proces ryzyka U n w chwili n: U n = U n 1 (1 + I n ) + C n ξ n X j j=1 I n stopa procentowa (n 1, n], C n szybkość napływu składki w (n 1, n].

9 Dyskretny proces ryzyka Dyskretny proces ryzyka U n w chwili n: U n = U n 1 (1 + I n ) + C n ξ n X j j=1 I n stopa procentowa (n 1, n], C n szybkość napływu składki w (n 1, n]. {C n } jednorodny łańcuch Markowa o skończonej liczbie stanów {c 1, c 2,..., c m }

10 Macierz przejścia łańcucha Markowa Macierz przejścia P = [p st ] l l łańcucha Markowa {I n }: s, t {1,..., l}. p st = Pr (I n+1 = i t I n = i s ), Rozkład początkowy π = (π 1, π 2,..., π l ).

11 Łańcuch Markowa {C n } Łańcuch Markowa {C n } macierz przejścia P = [ p st ] m m, p st = Pr (C n+1 = c t C n = c s ). Rozkład początkowy π = ( π 1, π 2,..., π m ). Założenia {I n }, {C n }, {Z n } wzajemnie niezależne, {N (n)}, {X m } niezależne.

12 Lemat Wprowadzenie w (n 1, n]: p 0, z = 0, w (z) = Pr (Z n = z) = z p j p j X (z), z = 1, 2,... j=0 W (z) = Pr (Z n z) = p 0 + j z p j F j X (z).

13 Uwaga Wprowadzenie Jeśli: liczba roszczeń ξ n DPH oraz wielkości roszczeń X i DPH to Z n = X 1 + X X ξn DPH Jeżeli ξ n geometryczny, X i PH, to Z n PH.

14 Oznaczenia Wprowadzenie X (t) jednorodny, skokowy proces Markowa, E = {0, 1, 2,..., l} = {0} E przestrzeń stanów, 0 stan pochłaniający i przyciągający, α = (α 0, α 1,..., α }{{} l ) = (α 0, α) rozkład α początkowy, q ij = lim h 0 + p ij (h) 1, dla i j, q ii = h j i q ij.

15 Macierz intensywności Q = q 10 q 11 q q 1l q 20 q 21 q q 2l q l0 q l1 q l2... q ll [ = 0 0 Qe Q ], e = (1, 1,..., 1), 0 = (0, 0,..., 0).

16 Czas pochłonięcia η η = inf{t 0 : X (t) = 0}. Definicja Rozkład zmiennej η nazywa się rozkładem fazowym PH (α, Q), z parametrami (α, Q). Twierdzenie Dla każdego t 0 dystrybuanta rozkładu PH (α, Q) F (t) = Pr (η t) = 1 αe tq e.

17 Gęstość Wprowadzenie Twierdzenie Jeżeli α 0 = 0 i det Q 0, to dystrybuanta F jest typu ciągłego oraz gęstość: f (t) = αe tq b, b = Qe, transformata Laplace a gęstości: ˆl (s) = α (si Q) 1 b. n-ty momenty zwykły: m n = ( 1) n n! ( αq n e ).

18 Własności Wprowadzenie 1 Splot n niezależnych rozkładów PH jest rozkładem PH. 2 Mieszanka n rozkładów PH jest rozkładem PH. 3 Jeżeli X 1, X 2,... i.i.d. PH i K ma rozkład geometryczny, to Y = X 1 + X X K ma rozkład PH. 4 Rodzina rozkładów PH jest gęsta w zbiorze wszystkich rozkładów na R +.

19 Rozkłady macierzowo-wykładnicze Definicja Jeżeli dla t 0 funkcja f (t) = β exp (ts) s, gdzie s = Se, jest gęstością, to odpowiadający jej rozkład nazywa się rozkładem macierzowo-wykładniczym ME (β, S) z reprezentacją (β, S). Gdy β := α, S := Q, s = b, to rozkład ME (β, S) jest rozkładem PH (α, Q).

20 dyskretne X n jednorodny łańcuch Markowa, E = {0, 1, 2,..., l} = {0} E przestrzeń stanów, 0 stan pochłaniający i przyciągający, π = (π 0, π 1..., π }{{} l ) = (π 0, π) rozkład początkowy, π p ij = Pr (X n = j X n 1 = i) prawdopodobieństwa przejścia.

21 Macierz przejścia P = (p ij ) macierz przejścia, p 10 p 11 p p 1l [ P = p 20 p 21 p p 2l = p l0 p l1 p l2... p ll gdzie e = (1, 1,..., 1). 1 0 (I P) e P ],

22 Czas absorbcji T czas osiągnięcia stanu 0 przez łańcuch X n Definicja Rozkład zmiennej losowej T nazywa się dyskretnym rozkładem fazowym PH (π, P). Twierdzenie Pr (T > n) = πp n e, n = 0, 1,..., Pr (T = n) = πp n 1 (I P) e, n = 1, 2,...

23 Funkcja tworząca prawdopodobieństwa Twierdzenie ϕ (z) = Ez T = π 0 + π (I Pz) 1 (I P) e = π 0 + a 1z + + a l z l 1 + b 1 z + + b l z l, z < 1 µ 1. Współczynniki b i są współczynnikami wielomianu charakterystycznego macierzy P, tzn. det (Iz P) = 1 + b 1 z + + b l z l.

24 Współczynniki Współczynniki a i wyznacza się rekurencyjnie. Twierdzenie a 1 = Pr (T = 1), i 1 a i = Pr (T = i) + b k Pr (T = i k), i = 2, 3,..., l. k=1

25 Moment ruiny Definicja T = { inf {k 0 : U k < 0} = inf k 0 {U k < 0},, jeżeli dla każdego k, U k 0.

26 ψ n (u, i s, c t ) ( ( n = Pr (U j < 0) ) U 0 = u, I 0 = i s, C 0 = c t ), j=1 ψ (u, i s, c t ) ( ( = Pr (U j < 0) ) U 0 = u, I 0 = i s, C 0 = c t ). j=1 lim ψ n (u, i s, c t ) = ψ (u, i s, c t ). n

27 Dodatni dochód Niech dla każdego n E (C n Z n ) > 0. Ponieważ więc m m EC n = π i p ij (n) c j, i=1 j=1 m m π i p ij (n) c j > µ X µ ξ. i=1 j=1

28 Wzory rekurencyjne Twierdzenie w skończonym czasie m l ψ 1 (u, i s, c t ) = p sj W (u (1 + i j ) + c k ), + ψ n+1 (u, i s, c t ) = u(1+i j )+c k 0 k=1 p tk m k=1 p tk j=1 l p sj (W (u (1 + i j ) + c k ) j=1 ψ n (u (1 + i j ) + c k z, i j, c k ) dw (z) ).

29 Wzory rekurencyjne c.d. Twierdzenie w nieskończonym czasie ψ (u, i s, c t ) = + u(1+i j )+c k 0 m k=1 p tk l p sj (W (u (1 + i j ) + c k ) j=1 ) ψ (u (1 + i j ) + c k z, i j, c k ) dw (z)

30 Szczególne przypadki (1) Gdy Pr (C k = c) = 1 (Cai, Dickson), to ψ 1 (u, i s ) = l p sj W (u (1 + i j ) + c), j=1 ψ n+1 (u, i s ) = + u(1+i j )+c 0 l p sj (W (u (1 + i j ) + c) j=1 ψ n (u (1 + i j ) + c z, i j ) dw (z) ).

31 Szczególne przypadki (2) Gdy Pr (C k = c) = 1 i Pr (I k = 0) = 1 (Gajek), to ψ 1 (u) = W (u + c), ψ n+1 (u) = W (u + c) + u+c ψ n (u + c z) dw (z) oraz ψ (u) = W (u + c) + 0 u+c ψ (u + c z) dw (z), 0

32 Współczynnik dopasowania R Założenia 1) Istnieje dodatnie rozwiązanie R równania 2) µ X µ ξ < EC n. Ee R(Z 1 C 1 ) = 1,

33 Nierówność typu Lundberga Twierdzenie Jeżeli Z 1, Z 2,... i.i.d. PH, to ) ψ (u, i s, c t ) βm Z (R) E (e Ru(1+I1) I 0 = i s ) E (e Ru(1+C1) C 0 = c t, gdzie β = sup x 0 e Rx W (x). e Rz dw (z) x

34 Wniosek z twierdzenia Wniosek Dla u 0 zachodzi nierówność ψ (u) βm Z (R) e R (u(1+ĩ)+ c), gdzie ĩ = min{i 1,..., i l }, c = min{c 1,..., c m }. Jest to rozszerzenie twierdzenia z pracy Cai i Dicksona.

35 Literatura Wprowadzenie Jun Cai, D. C. M. Dickson. Ruin probabilities with a Markov chain interest model. Insurance Math. Econom., 35: , L. Gajek. On the deficit distribution when ruin occurs discrete time model. Insurance Math. Econom., 36:13 24, 2005.

36 Literatura c.d. H. Jasiulewicz. i ich zastosowanie do wyznaczania prawdopodobieństwa ruiny ubezpieczyciela. Prace Naukowe AE we Wrocławiu, 1123: , M. F. Neuts. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models. Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1981.