21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

Transkrypt

1 Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP maja, 2012

2 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać będzie proces Wienera o wart. w R d, tzn. {W i (t)} - układ niezależnych procesów Wienera o wart. w R 1. Przyjmujemy, że punkt startu procesu W, tzn. W (0) = x R d. Niech F s = σ{w (t); t s}. {W t+s W s ; t 0} jest procesem Wienera, niezal. od F s, dla dow. s 0. Pokażemy, że czas s można zastąpić przez dowolny czas zatrzymania τ względem F t. Mocna własność Markowa procesu Wienera Niech {W (t); t 0} będzie procesem Wienera o wartościach w R d (startującym z 0) oraz τ - czasem zatrzymania względem W, określonym na Ω. Niech Y t = W τ+t W τ. Dla każdego A F τ i dowolnych A i - borelowskich w R d zachodzi P{(Y t1 A 1,..., Y tk A k ) A}=P(A)P(W t1 A 1,..., W tk A k ). Zatem {Y (t); t 0} jest procesem Wienera o wartościach w R d (startującym z 0), niezależnym od F τ.

3 Dowód mocnej własności Markowa 1. Załóżmy, że τ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, powiedzmy {s 1, s 2,..., }. Niech E j = τ 1 {s j }. Zachodzi E j F τ, E i E j =, dla i j oraz Ω = j=1 E j. Niech A F τ. Zachodzi P( k i=1 {Y t i A i } A) = j=1 P( k i=1 {Y t i A i } A E j ) = j=1 P( k i=1 {W t i +s j W sj A i } A E j ) = j=1 P( k i=1 {W t i A i })P(A E j ) = P( k i=1 {W t i A i })P(A). 2. Gdy τ - dow. moment zatrzymania, to niech τ n = k/n, gdy (k 1)/n < τ k/n. τ n jest ciągiem momentów zatrzymania, zbieżnym do τ z prawd. 1. Mamy τ τ n < τ + 1/n więc F τ F τn, dla każdego n. Ponieważ A F τ więc A F τn, dla każdego n. Niech Y (n) t = W t+τn W τn. Na mocy punktu 1 otrzymujemy P( k i=1 < x i } A) = P( k i=1 {W t i < x i })P(A). {Y (n) t i Z ciągłości trajektorii lim n Y (n) t = Y t, z prawd. 1 więc korzystając ze zbieżności odp. indykatorów zbiorów w L 1 (P) otrzymujemy tezę.

4 Zasada odbicia dla procesu Wienera Niech W = (W t ) t 0 będzie procesem Wienera w R 1 (startującym z 0) oraz τ - czasem zatrzymania wzgl. W. Definiujemy { W ρ τ W t = t, t τ, 2W τ W t, t > τ. Zasada Odbicia: ρ τ W t jest procesem Wienera Dowód. Niech C 0 [0, ) będzie przestrzenią funkcji ciągłych f, f (0) = 0 oraz niech T > 0. Definiujemy odwzorowanie ϕ (f, T, g) <f, T, g > C 0 [0, ): { f (t), 0 t T, <f, T, g >(t) = f (t) + g(t T ), T < t <. W C 0 [0, ) rozważamy topologię zbieżności niemal jednostajnej (jednostajnej na zb. ogr.) oraz strukturę borelowską względem tej topologii. Odwzorowanie ϕ jest ciągłe (produktowo) w tej topologii, więc borelowskie.

5 Zasada Odbicia Definiujemy f (t, ω) = W t τ, g(t, ω) = W t+τ W τ. f, τ są F τ -mierzalne, zaś g jest niezależne od (f, τ) i ma rozkład W. Połóżmy h = g. Z symetrii procesu Wienera h ma taki sam rozkład (=W ) i jest niezależne od (f, τ). Stąd, rozkłady (f, τ, g) i (f, τ, h) są identyczne, więc także rozkład <f, τ, g > jest taki sam jak <f, τ, h >. Jednak <f, τ, g > = W t, <f, τ, h >= ρ τ W t. Wniosek. P(max s t W s > a) = 2P(W t > a) = P( W t > a) Dowód. Niech a > 0. Kładziemy τ = τ a = inf{t > 0; W t > a} oraz A = (, a). Mamy W τ = a. Ponadto 2a A = (a, ). Z Zasady Odbicia P(t > τ; W t A) = P(t > τ; 2W τ W t A) = P(t > τ; W t 2a A) = P(t > τ; W t > a) = P(W t > a). Stąd P(W t > a)=p(τ < t; W t < a)=p(τ < t; W t a)= P(τ < t) P(W t > a) więc ostatecznie P(τ < t) = 2P(W t > a). Jednak max s t W s > a zachodzi dokładnie wtedy, gdy τ < t, co kończy dowód.

6 Własność Markowa procesu X Niech θ s : (Ω, Σ) (Ω, Σ) za pośrednictwem procesu X t : X t θ s = X t+s. Najłatwiej zinterpretować operatory (θ s ) s>0 na przestrzeni standardowej (R [0, ), t 0 B R, µ), gdzie µ -rozkład procesu X. Wtedy X t (ω) = ω(t) oraz X t (ω) θ s = ω(t + s). Dalej, rozpatrujemy proces dla którego X (0) = Y - dow. zm. losowa (rozkład początkowy procesu). Wartość oczekiwaną (prawd.) względem procesu o rozkładzie początkowym Y oznaczamy E Y [ ], (P Y ( )). Gdy Y = x R d piszemy E x [ ], (P x ( )). Własność Markowa {X t ; t 0}: dla Z 0, F -mierzalnej E x [Z θ t F t ] = E Xt [Z], gdzie F t = σ{x s ; s t}, F = σ{x s ; s 0}. Dowód dla procesu Wienera W : dla Z = 1 A (W s ) otrzymujemy P(W t+s A W t ) = E[1 A ((W t+s W t ) + W t ) W t ] = E[1 A (W s + y)] {y=wt} = E Wt [1 A (W s )]. Analogicznie dla iloczynu indykatorów tej postaci. Dalej aproksymacja funkcjami prostymi.

7 Mocna własność Markowa procesu X Mocna własność Markowa {X t ; t 0}: dla τ - F t -momentu zatrzymania i Z 0, F -mierzalnej zm. losowej, zachodzi E x [Z θ τ F τ ] = E Xτ [Z], gdzie F t = σ{x s ; s t}, F = σ{x s ; s 0}. Uwaga. Dowodzi się, że gdy proces {X t ; F t ; t 0} posiada własność Markowa względem F t, F t jest prawostronnie ciągła, tzn. F t = F t+ = s>t F t oraz zupełna w sensie miarowym, a X t jest normalnym procesem Markowa, to {X t ; F t ; t 0} posiada mocną własność Markowa. Normalny proces Markowa - przestrzeń fazowa S jest zwarta, metryczna i ośrodkowa oraz proces jest fellerowski i stochastycznie ciągły, tzn. T t zdefiniowane wzorem: T t f (x) = f (y)p t (x, dy) działa na C(S) jako mocno ciągła półgrupa kontrakcji.

8 Mocna własność Markowa procesu o przyr. niezal. Uwaga. Dowód mocnej własności Markowa zachodzi dla stochastycznie ciągłych procesów o przyrostach niezależnych o prawostronnie ciągłych trajektoriach (ośrodkowy i stochastycznie ciągły proces o przyrostach niezależnych ma modyfikację o tej własności). Przykład. Niech X = {X t } t 0 będzie jednorodnym, ośrodkowym procesem Poissona o intensywności λ i τ 1 = inf{t > 0; X t > 0}, τ 0 = 0 oraz τ n = inf{t > 0; X τn 1 +t X τn 1 > 0}, dla n > 1. Z mocnej własności Markowa dla procesu X otrzymujemy, że = X τn 1 +t X τn 1, n 1, jest ciągiem niezależnych procesów Poissona o tym samym rozkładzie co X więc {τ i } i=1 jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym o średniej 1/λ. Y (n) t