STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "STATYSTYKA MATEMATYCZNA"

Transkrypt

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 08/9 Zarządzanie www: konsultacje: Piątki, 5:0-6:0, 30A ocena: zaliczenie 60%, egzamin 0% teoria + zadania (7 lutego 09) Literatura: Kończak G., Trzpiot G. Metody statystyczne z wykorzystaniem programów komputerowych, Wydawnictwo AE w Katowicach, Katowice 00. Kończak G., Trzpiot G. Statystyka opisowa i matematyczna z arkuszem kalkulacyjnym EXCEL, Wydawnictwo AE w Katowicach, Katowice. Aczel A. D., Statystyka w zarządzaniu, PWN, Warszawa 000. Jóźwiak J., Podgórski J., Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa (dużo wydań). Fisz M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN Warszawa, 969. Gajek L., Kałuszka M., Wnioskowanie statystyczne, WNT, Warszawa 998. Plucińska A., Pluciński E., Probabilistyka: Rachunek Prawdopodobieństwa, Statystyka Matematyczna, Procesy Stochastyczne, WNT Warszawa 000. Plan wykładu: Elementy rachunku prawdopodobieństwa Podstawy teorii estymacji Weryfikacja hipotez (testy statystyczne)

2 Informacje wstępne. Logika. Teoria mnogości (zbiorów) 0. Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon ζ dzeta η eta Θ θ, ϑ teta κ kappa Λ λ lambda µ mi ν ni Ξ ξ ksi Π π pi ρ, ϱ ro Σ σ, ς sigma τ tau Φ φ, ϕ fi χ chi Ψ ψ psi Ω ω omega 0. Zbiory liczbowe. Symbole logiczne. Notacja sigmowa N zbiór liczb naturalnych: 0,,, 3,... R zbiór liczb rzeczywistych: (, ) iloczyn logiczny, koniunkcja, i suma logiczna, alternatywa, lub implikacja, wynikanie, p q jeśli p, to q równoważność, wtedy i tylko wtedy negacja, zaprzeczenie, nie n a i := a + a + + a n, n a i := a a a n. 0.3 Zbiory. Operacje na zbiorach jest elementem, należy do, np. x A, nie jest elementem, nie należy do, np. x A. zbiór pusty A A B B A B przekrój (część wspólna) zbiorów A i B: x A B x A x B A B suma (mnogościowa) zbiorów A i B: x A B x A x B A \ B różnica zbioru A i B: A B x A \ B x A x B Dla większej ilości zbiorów: n A i := A A A n, n A i := A A A n.

3 zawieranie zbiorów (czytamy: A jest podzbiorem B, A zawiera się w B, B zawiera A): A B x (x A x B), Zbiory A i B są rozłączne: A B =. A B A, P(A) rodzina wszystkich podzbiorów zbioru A, potęga zbioru A. 0. Elementy kombinatoryki permutacje, kombinacje Permutacją (bez powtórzeń) n-elementowego zbioru Y nazywamy każdą funkcję f odwzorowującą zbiór {,,..., n} na zbiór Y. Liczba permutacji zbioru n-elementowego jest równa n! = 3... n, n, 0! =. Kombinacją k-elementową (bez powtórzeń) zbioru Y złożonego z n elementów, nazywamy dowolny k-elementowy podzbiór zbioru Y. Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n- elementowego jest równa ( ) n = k (symbol Newtona, współczynnik dwumianowy). n!, 0 k n, k!(n k)!

4 Rachunek prawdopodobieństwa. Przestrzeń probabilistyczna: (Ω, F, P) (Kołmogorow, 933) ω zdarzenie elementarne Ω zbiór (wszystkich) zdarzeń elementarnych, przestrzeń zdarzeń elementarnych A Ω, A F zdarzenie losowe F σ-ciało zdarzeń: rodzina podzbiorów Ω zamknięta na przeliczalne operacje mnogościowe: Ω F A, B F A \ B F A, A, F A i F P prawdopodobieństwo, miara probabilistyczna, przeliczalnie addytywna, nieujemna miara unormowana : P: F [0, ], P(Ω) = Jeżeli A, A, F, jest ciągiem zdarzeń parami rozłącznych: A i A j = dla i j, to ( ) P A i = P(A i ) { Przykład (Rzut monetą). Ω = F = { { } { } {,,,,, }}, ({ }) ({ }) P( ) = 0, P = p, P = p, P(Ω) =. p [0, ], a monetę nazywamy sprawiedliwą, jeśli p =. Przykład (Rzut kością do gry). }, Ω = {,,,,, }, F = Ω ( 6 = 6 podzbiory), P({ })=P({ })=P({ })=P({ })=P({ })=P({ })= 6. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli zbiór Ω jest skończony (Ω = {ω, ω,..., ω n }, F = Ω ) oraz wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to dla dowolnego A Ω: P(A) = #A #Ω, gdzie #A oznacza liczbę elementów zbioru A (liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A). Jeśli zbiór Ω jest przeliczalny: Ω = {ω, ω,... }, F = Ω, to P(A) = i A p i, gdzie p i = P({ω i }).

5 . Własności prawdopodobieństwa A B Jeśli A i B wykluczają się (są rozłączne): A B = P(A B) = P(A) + P(B) (Addytywność) Dla A, A,..., A n, parami rozłącznych: ( n ) n (i j A i A j = ) = P A i = P(A i ) Dla dowolnych zbiorów mamy P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). A B A \ B A B B \ A A B A B = + + = + Ω Zdarzenie pewne: P(Ω) = Zdarzenie niemożliwe: P( ) = 0 Jeśli A B, to P(B \ A) = P(B) P(A). B \ A = B A A (B \ A) =, B = A (B \ A), więc P(B) = P(A) + P(B \ A). Jeśli A B, to P(A) P(B). Dla każdego A, 0 P(A). A A Zdarzenie przeciwne do A: A = A := Ω \ A P(A ) = P(Ω \ A) = P(Ω) P(A) = P(A)..3 Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń Jeśli P(B) > 0, to prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem (zajścia) zdarzenia B nazywamy liczbę P(A B) = P(A B). P(B) Zauważmy, że P(A B) = P(A B) P(B). Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli P(A B) = P(A) P(B). Jeśli zdarzenia A i B są niezależne oraz P(B) > 0, to P(A B) = P(A). Przykład. Wybieramy jedną rodzinę spośród rodzin z dwojgiem dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybierzemy rodzinę z dwoma chłopcami, jeśli wiemy, że w tej rodzinie: a) starsze dziecko jest chłopcem, b) jest co najmniej jeden chłopiec?

6 Rozwiązanie. Przyjmujemy upraszczające założenia, że prawdopodobieństwa urodzenia chłopca i dziewczynki jest takie samo, oraz płci pierwszego i drugiego dziecka są niezależne. Stąd Ω = {(c, c), (d, d), (c, d), (d, c)} jest zbiorem równo prawdopodobnych par, gdzie pierwszy element oznacza płać młodszego dziecka, drugi starszego. W punkcie a) P({(c, c)} {(c, c), (d, c)}) = =, w punkcie b) P({(c, c)} {(c, c), (d, c), (c, d)}) =. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa 3 = 3. Jeśli zbiory B,..., B n stanowią rozbicie zbioru Ω, to znaczy zbiory te są parami rozłączne oraz Ω = B B n (zupełny układ zdarzeń), to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi równość (wzór na prawdopodobieństwo całkowite) Uzasadnienie: n P(A) = P(A B i ) P(B i ). P(A) = P(A (B B n )) = P((A B ) (A B n )) = = P(A B ) + + P(A B n ) = P(A B )P(B ) + + P(A B n )P(B n ). Dla n = : jeśli Ω = B B, B B =, to P(A) = P(A B ) P(B ) + P(A B ) P(B ). Jeśli zbiory B,..., B n stanowią rozbicie zbioru Ω oraz P(A) > 0, to dla dowolnego j {,..., n} mamy (wzór Bayesa) P(B j A) = P(A B j) P(B j ) P(A) = P(A B j) P(B j ) n P(A B i ) P(B i ). Liczby P(B j ) nazywamy tu prawdopodobieństwami a priori (z góry, z założenia, przed doświadczeniem), zaś P(B j A) prawdopodobieństwami a posteriori (po fakcie, po doświadczeniu). Przykład. Mamy dwie urny. Pierwsza urna zawiera kule białe i 8 kul czarnych. Druga urna zawiera 8 kul białych i kule czarne. Z wybranej losowo urny wyciągamy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowaliśmy z urny pierwszej, jeżeli wylosowana kula jest biała? Rozwiązanie. A wylosowanie kuli białej B losujemy z urny pierwszej, B losujemy z urny drugiej Mamy P(B ) = = P(B ), P(A B ) = 0, P(A B ) = 8 0, zatem P(B A) = P(A B )P(B ) P(A B )P(B ) + P(A B )P(B ) = = 0 = 5.

7 .5 Zmienna losowa Ustalmy przestrzeń probabilistyczną (Ω, F, P). Zmienną losową (o wartościach rzeczywistych) nazywamy dowolną funkcję X : Ω R spełniającą warunek mierzalności: X ((, t]) = {ω Ω : X(ω) t} = {X t} F dla t R. Jeśli F = Ω, to każda funkcja jest mierzalna. Rozkładem prawdopodobieństwa nazywamy każdą miarę probabilistyczną określoną na (R, B(R)), gdzie B(R) jest najmniejszym σ-ciałem zawierającym wszystkie przedziały (σciało borelowskie), Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy rozkład prawdopodobieństwa µ X określony dla B R wzorem: µ X (B) := P(X (B)) = P({ω Ω : X(ω) B}) = P(X B). Dzięki rozkładowi zmiennej losowej X mamy przestrzeń probabilistyczną: (R, B(R), µ X )..6 Dystrybuanta Dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa µ na R nazywamy funkcję F µ : R R daną wzorem F µ (t) := µ((, t]). Jeśli µ X jest rozkładem zmiennej losowej X, to dystrybuantę F µx będziemy nazywać dystrybuantą zmiennej losowej X i oznaczać F X (lub po prostu F ). Wtedy F X (t) := µ X ((, t]) = P(X (, t]) = P(X t). Funkcja F : R R jest dystrybuantą (pewnego rozkładu) wtedy i tylko wtedy, gdy: F jest niemalejąca, lim t F (t) = 0, lim t + F (t) =, F jest prawostronnie ciągła. Jeśli F jest dystrybuantą zmiennej losowej X, to dla x, y R mamy P(X > x) = F (x), P(x < X y) = F (y) F (x), P(X < x) = F (x ), P(X x) = F (x ), P(X = x) = F (x) F (x ), gdzie F (x ) = lim y x F (y) oznacza granicę lewostronną F w punkcie x.

8 Przykład. Rzucamy razy sprawiedliwą monetą (kolejne rzuty są niezależne) Ω = {OO, OR, RO, RR}, P({OO}) = P({OR}) = P({RO}) = P({RR}) =. Niech X oznacza liczbę wyrzuconych orłów: 0, ω = RR, X(ω) =, ω = RO lub ω = OR, ω = OO. µ X ({0}) = P(X = 0) =, µ X({}) = P(X = ) =, µ X({}) = P(X = ) =, 0, t < 0, F X (t) =, 0 t <, 3, t <,, t..6. Zmienna losowa dyskretna Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny (skokowy), jeśli istnieje taki przeliczalny zbiór S R, że P(X S) =. Dla x S przyjmujemy p x := P(X = x). Dla dowolnego zbioru A R mamy wówczas P(X A) = P(X = x) = x A x A S p x. W szczególności F (t) = P(X t) = {x t} p x. Dystrybuanta zmiennej dyskretnej: w punktach x S ma skoki w górę o wysokości p x, jest stała w przedziałach pomiędzy tymi punktami. Aby określić rozkład dyskretny wystarczy podać przeliczalny zbiór S = {x i : i I} i taki ciąg dodatnich liczb {p i : i I}, że i I p i = oraz przyjąć P(X = x i ) := p i. Funkcję x i p i nazywamy także funkcją prawdopodobieństwa. Jeśli S = {x,..., x n }, jest zbiorem skończonym, to rozkład zmiennej losowej X często podajemy w postaci tabeli. W przykładzie z rzutem dwoma monetami, rozkład zmiennej X opisującej liczbę wyrzuconych orłów możemy zapisać następująco: x P(X = x) 0

9 Dalej, jeśli wartości zmiennej losowej X są uporządkowane rosnąco, jej dystrybuantę łatwo wyznaczyć kumulując prawdopodobieństwa: 0, t < 0, F X (t) =, 0 t <, 3 = +, t <, = 3 +, t..6. Zmienna losowa ciągła Zmienna losowa X ma rozkład ciągły, jeśli ma gęstość, to znaczy istnieje taka funkcja f : R R, że P(a X b) = b a f(x) dx, [a, b] R. Funkcja f : R R jest gęstością wtedy i tylko wtedy, gdy f 0 oraz f(x) dx =. Jeśli f jest gęstością rozkładu o dystrybuancie F, to F (t) = t f(x) dx, t R. Jeśli F jest dystrybuantą rozkładu ciągłego, to f = F jest gęstością tego rozkładu..7 Wartość oczekiwana. Wariancja. Momenty Wartością oczekiwaną (średnią, przeciętną, nadzieją matematyczną) całkowalnej zmiennej losowej X nazywamy liczbę E(X) = X dp = x dµ X (x). Jeśli X ma rozkład dyskretny: P(X = x) = p x, oraz x x p x <, to Ω R E(X) = x x P(X = x) = x x p x. (suma przebiega wszystkie wartości zmiennej losowej o dodatnim prawdopodobieństwie). Jeśli X ma rozkład ciągły o gęstości f, oraz x f(x) dx <, to E(X) = x f(x) dx. Jeśli h: R R oraz E(h(X)) istnieje, to E(h(X)) = x h(x)p x dla zmiennej o rozkładzie dyskretnym oraz dla zmiennej o rozkładzie ciągłym. E(h(X)) = h(x)f(x) dx, Niech X, Y będą zmiennymi losowymi o skończonych wartościach oczekiwanych. Wtedy Jeśli X 0, to EX 0; E(c) = c, dla c R.

10 E jest funkcjonałem liniowym: dla a, b R W szczególności E(X E(X)) = 0. E(aX + by ) = ae(x) + be(y ). E(aX) = ae(x), E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). Twierdzenie (Mocne Prawo Wielkich Liczb Kołmogorowa). Niech (X n ) n N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Jeżeli E(X ) = µ <, to ciąg (X n ) spełnia Mocne Prawo Wielkich Liczb, czyli z prawdopodobieństwem zachodzi n lim X k = µ. n n Jeśli E(X ) <, to wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę: k= D (X) = E(X EX). W praktyce zwykle lepiej jest korzystać z wzoru: D (X) = E(X ) E (X). D (ax) = a D (X), D (X + a) = D (X) dla a R. D X 0, D X = 0 X jest stała (nielosowa). Odchylenie standardowe: σ = D(X) = D (X). Standaryzacja: jeśli E(X) = µ oraz D (X) = σ, to zmienna zestandaryzowana Y = X µ σ ma parametry: E(Y ) = E(X) µ σ = 0, D (Y ) = D (X µ) σ Moment zwykły rzędu k zmiennej losowej X: m k = E(X k ), Moment centralny rzędu k: µ k = E(X E(X)) k, Współczynnik asymetrii: α 3 = µ 3 /σ 3, Kurtoza (eksces, współczynnik spłaszczenia): α = µ /σ 3..8 Nierówności Czebyszewa/Markowa/Bienaymé Jeśli X jest nieujemną zmienną losową, to dla dowolnego ε > 0 Dla p > 0 i dowolnego ε > 0 P(X ε) EX ε. P( X ε) E X p ε p. = D (X) σ =. Jeśli zmienna losowa X ma wariancję σ i wartość oczekiwaną µ, to dla dowolnego ε > 0 w szczególności dla ε = kσ P( X µ ε) σ ε, P( X µ kσ) k.

11 .9 Kwantyle Kwantylem rzędu p (dla 0 < p < ) zmiennej losowej X o dystrybuancie F, nazywamy każdą liczbę q p spełniającą zależności Mediana jest kwantylem rzędu /. F (q p ) p F (q p ). Kwantyle rzędu /, / i 3/ nazywamy kwartylami. Kwantyle rzędu k/0, k =,..., 9 nazywamy decylami. Kwantyle rzędu k/00, k =,..., 99 nazywamy percentylami Q Me q 0.9 q Niezależność zmiennych losowych Dystrybuantę pary zmiennych losowych (X, Y ) określamy wzorem F (X,Y ) (x, y) = P(X x, Y y), x, y R. Zmienne X i Y są niezależne, jeśli F (X,Y ) (x, y) = F X (x)f Y (y), x, y R. Gęstością wektora (X, Y ) nazywamy taką funkcję f : R R, że F (x, y) = x y f(t, s) ds dt. Zmienne X i Y o rozkładach ciągłych są niezależne, jeżeli f (X,Y ) (x, y) = f X (x)f Y (y), x, y R. Zmienne o rozkładach dyskretnych są niezależne, jeżeli P (X = x, Y = y) = P(X = x)p(y = y), x, y R. Jeżeli X i Y są niezależne, to E(XY ) = E(X)E(Y ).

12 . Kowariancja i korelacja Kowariancją zmiennych losowych X i Y, posiadających wariancję, nazywamy wielkość cov(x, Y ) = E(X E(X))(Y E(Y )). Bardziej praktyczny jest wzór: cov(x, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). Jeśli cov(x, Y ) = 0, to mówimy, że zmienne losowe X i Y są nieskorelowane. Jeśli zmienne są niezależne, to są nieskorelowane. Zachodzi nierówność (Schwartza): cov(x, Y ) D (X)D (Y ). Współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y : ρ(x, Y ) = cov(x, Y ) D (X)D (Y ). Z nierówności Schwartza: ρ(x, Y ). Równość ρ(x, Y ) = zachodzi tylko, gdy ax + by = c dla pewnych stałych a, b, c. Jeśli X,..., X n mają wariancję, to istnieje wariancja sumy oraz n D (X + + X n ) = D X i + cov(x i, X j ). i<j n Jeśli X,..., X n mają wariancję i są parami nieskorelowane, to D (X + + X n ) =. Przegląd najważniejszych rozkładów.. Rozkład równomierny w n punktach Dla pewnych n N, x,..., x n R: n D X i. P(X = x ) = P(X = x ) = = P(X = x n ) = n. E(X) = n n x i, E(X ) = n n x i, D (X) = n x i n ( n ) n x i. Na przykład, X = liczba oczek w rzucie sześcienną kostką do gry: n = 6, x i = i, i =,... 6, E(X) = 6 = 3.5, D(X) =

13 .. Rozkład dwupunktowy P(X = a) = p, P(X = b) = p dla pewnych a, b R, p (0, ). E(X) = pa + ( p)b, E(X ) = pa + ( p)b, D (X) = pa + ( p)b p a p( p)ab ( p) b = = p( p)[a ab + b ] = p( p)(a b). W szczególności, dla a =, b = 0 otrzymujemy zmienną zero-jedynkową, na przykład dla ustalonego zdarzenia A: {, gdy zachodzi zdarzenie A, X = A = 0, gdy nie zachodzi zdarzenie A. Wówczas P(X = ) = P(A) = p, P(X = 0) = P(A ) = p, E(X) = p = E(X ), D (X) = p( p)...3 Rozkład dwumianowy (schemat Bernoulliego) W niezmiennych warunkach wykonujemy n razy doświadczenie, którego wynikiem może być zdarzenie A (sukces) lub A (porażka). Zakładamy, że dla każdego z tych n doświadczeń P(A) = p, P(A ) = p = q, 0 < p <. Zakładamy, że wyniki kolejnych doświadczeń są niezależne. Niech X oznacza liczbę sukcesów w serii n doświadczeń. Zdarzenie {X = k} oznacza, że zdarzenie A wystąpiło k razy. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa ( ) n P(X = k) = p k q n k, k = 0,,..., n. k X B(n, p) X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p. E(X) = np, D (X) = npq = np( p). P(X = k) F (k) k B(6, 0.) k

14 .. Rozkład Poissona Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli EX = λ, D X = λ. P(X = k) = λk k! e λ, k = 0,,,... Twierdzenie Poissona: Jeśli X n B(n, p n ), n =,,... oraz lim n np n = λ > 0, to lim P(X n = k) = λk n k! e λ. P(X = k) 0.3 λ = k F (k) k..5 Rozkład jednostajny Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [a, b], a, b R, a < b, co zapisujemy X U([a, b]), jeśli ma gęstość: lub równoważnie, gdy ma dystrybuantę E(X) = b a x b a dx = E (X) = b a x b a dx = D (X) = b +ab+a 3 = a +ab+b = (b a). f(x) = { b a [a,b](x) = b a dla x [a, b], 0 dla x [a, b], 0, t < a, t a F (t) =, a t < b, b a, b t. b a x b a = b a (b a) = a+b, b a x3 b 3 a = b3 a 3 3(b a) = a +ab+b 3, ( a+b ) = a +ab+b 3 a +ab+b = a +ab+b 3a 6ab 3b = f(x) F (x) a = 0, b = 0 x 0 x

15 ..6 Rozkład normalny Zmienna losowa X ma jednowymiarowy rozkład normalny o średniej µ i wariancji σ, X N(µ, σ ), jeżeli ma gęstość E(X) = µ, D (X) = σ. ϕ µ,σ (x) = σ π e (x µ) /(σ ), x R. Jeśli µ = 0, σ =, to mówimy o standardowym rozkładzie normalnym N(0, ) o gęstości: ϕ 0, (x) = π e x /. Dystrybuanty rozkładu normalnego nie potrafimy zapisać za pomocą funkcji elementarnych korzystamy z tablic/obliczeń przybliżonych. Dystrybuantę rozkładu N(0, ) oznacza się często literą Φ. Jest to rozkład symetryczny: E((X µ) 3 ) = 0 α 3 = 0. Ponieważ E((X µ) ) = 3σ, więc jego kurtoza α = 0. f(x) µ = 0, σ = µ =, σ = µ =, σ = x F (x) x

16 f(x) µ = 0, σ = µ = 0, σ = µ = 0, σ = / x F (x) x Niezwykła rola rozkładu normalnego wynika z następującego twierdzenia. Twierdzenie (Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Levy ego). Jeśli (X n ) n N jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, µ = E(X ), σ = D (X ) <, to ( nk= ) lim P X k nµ x = x e t dt. n nσ π Inaczej mówiąc, jeśli przyjmiemy Y n = nk= X k nµ nσ = n n k= X k E(X k ) D (X k ), to ciąg dystrybuant (F Yn ) zmiennych losowych (Y n ) zbiega do dystrybuanty rozkładu normalnego standardowego...7 Rozkład χ Jeśli X, X,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N(0, ), to zmienna losowa n Y n = Xi ma rozkład χ z n stopniami swobody, co zapisujemy Y n χ n. Rozkład ten ma gęstość: f(x) = n/ Γ(n/) xn/ e x/ (0, ) (x), gdzie Γ(x) = 0 t x e t dt jest funkcją gamma Eulera. Rozkład ten ma następującą własność: jeśli Y χ n, Z χ m oraz Y i Z są niezależne, to: E(Y n ) = n, D (Y n ) = n. Y + Z χ n+m.

17 ..8 Rozkład t-studenta Jeśli X N(0, ) oraz Y χ n oraz X i Y są niezależne, to Z = X Y/n ma rozkład t z n stopniami swobody, co oznaczamy Z t n. Rozkład ten ma gęstość: f(x) = ( ) (n+)/ Γ((n + )/) + x. nπγ(n/) n Dla n = rozkład t-studenta jest rozkładem Cauchy ego o gęstości f(x) = π( + x ). Dla n rozkład t-studenta zbiega do rozkładu normalnego. E(Z) = 0 dla n > ; D (Z) = n/(n ) dla n >...9 Rozkład F Snedecora Jeśli Y χ n, Z χ m oraz Y i Z są niezależne, to zmienna F = Y/n Z/m ma rozkład F z n i m stopniami swobody: F F n,m. Z uwagi na trudną postać analityczną rozkładów χ, t-studenta i F Snedecora, przy korzystaniu z nich posługujemy się tablicami.

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz. Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy

Bardziej szczegółowo

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Definicja (przestrzeni probabilistycznej) Uporządkowany układ < Ω, S, P> nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli (Ω) Ω jest niepustym zbiorem zwanym przestrzenia

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne:

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Zmienna losowa. Rozkład skokowy Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej

Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW

PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na

Bardziej szczegółowo

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu

Bardziej szczegółowo

Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego. Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej Wykład 4, 5 i 6 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak

Bardziej szczegółowo

Seria 1. Zbieżność rozkładów

Seria 1. Zbieżność rozkładów Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Adam Wosatko Magdalena Jakubek Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 4 Podstawy statystyki 4. Wstęp Statystyka nauka o metodach badań właściwości populacji (zbiorowości),

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Statystyka w 3

Zmienne losowe. Statystyka w 3 Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo