}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0,
|
|
- Joanna Ciesielska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z Procesów Stochastycznych II Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1 <... < t (n) k n będzie ciągiem podziałów odcinka [a, b] oraz diam(π n ) = max k t (n) oznacza średnicę π n. Udowodnij, że S(π n ) := k n k=1 W t (n) k k = b t(n) k 1 W (n) t 2 b a przy n w L 2 (Ω, F, P), k 1 jeśli diam(π n ) oraz S(π n ) b a p.n., jeśli n diam(π n) <. 2. Jeśli funkcja f jest ciągła na [a, b] i ma wahanie ograniczone, to lim k n n k=1 jeśli δ > oraz diam(π n ). f(t (n) k ) f(t(n) k 1 ) 1+δ =, 3. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale. 4** Wykaż, że jeśli M jest ciągłym martyngałem na [, T ] takim, że M = p.n. to trajektorie M mają p.n. wahanie skończone na [, T ] wtedy i tylko wtedy gdy M. (Wskazówka rozpatrzeć najpierw przypadek gdy sup t M t C oraz Wah [,T ] (M) C p.n. korzystając z tożsamości M 2 t = n n M kt/n M (k 1)t/n M (k 1)t/n (M (kt/n M (k 1)t/n ).) k=1 5. Wykaż, że jeśli f ma wahanie skończone na [a, b], to f(t) = f(a) + f 1 (t) f 2 (t), gdzie f 1 i f 2 są funkcjami niemalejącymi takimi, że f i (a) =. 6. Niech f C 1 [a, b]. Wykaż, że f ma wahanie ograniczone oraz b a h(t)df(t) = b a h(t)f (t)dt dla h ciagłych na [a, b]. k=1 7* Niech π n będzie ciągiem podziałów jak w zadaniu 1 takim, że diam(π n ). Wykaż, że jeśli dla dowolnej funkcji g C[a, b] istnieje granica lim k n n k=1 g(t (n) k )(f(t(n) k ) f(t(n) k 1 )) i jest skończona, to f ma wahanie ograniczone na [a, b]. 8. Jaki rozkład ma zmienna h(t)dw t dla h L 2 [, T ]? 9. Oblicz Cov( h 1(t)dW t, h 2(t)dW t ) dla h 1, h 2 L 2 [, T ]. 1
2 1. Niech C p := (E W 1 p ) 1/p. Wykaż, że dla < p <, przekształcenie h Cp 1 h(t)dw t jest izometrycznym włożeniem L 2 ([, T ]) w L p (Ω). 11. Wykaż, że dla < t < T i h L 2 ([, T ]) zachodzi h(s)dw s = 12. Wykaż, że dla h C 1 [, T ], T < zachodzi 13. Wykaż, że proces hi [,t] (s)dw s p.n. h(t)dw t = h(t )W T h (t)w t dt p.n. { (1 t) 1 Y t = 1 s dw s t < 1 t = 1 ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Z t = W t tw 1 (most Browna). 14* Załóżmy, że X = (X t ) t jest procesem o przyrostach niezależnych takim, że X = i X t X s Cauchy(t s) dla t s. Przeprowadź konstrukcję analogiczną do całki Paleya-Wienera i zdefiniuj h(t)dx t dla h L 1 [, T ]. (Uwaga: E X t = dla t > ). 2
3 Zadania z Procesów Stochastycznych II Wykaż, że dla dowolnej funkcji ciągłej f o wahaniu skończonym na [a, b] zachodzi b a f(s)df(s) = 1 2 (f 2 (b) f 2 (a)). 2. Oblicz granice w L 2 (Ω) przy n a) n 1 k= W tk/n(w t(k+1)/n W tk/n ) b) n 1 k= W t(k+1)/n(w t(k+1)/n W tk/n ). 3. Dla procesu stochastycznego X = (X t ) t [,T ] oraz momentu zatrzymania τ określamy X τ = (Xt τ ) t [,T ] wzorem Xt τ := X τ t. Udowodnij, że i) Jeśli X ma trajektorie (prawostronnie)ciągłe, to X τ też ma trajektorie (prawostronnie)ciągłe. ii) Jeśli X jest procesem adaptowalnym i prawostronnie ciągłym, to X τ jest F τ t F t adaptowalny. iii) Jeśli M jest prawostronnie ciągłym martyngałem, to M τ jest martyngałem zarówno względem filtracji F t, jak i F τ t. 4. Niech (X n ) n= będzie ciągiem zmiennych F n adaptowalnych. Wykaż, że istnieje dokładnie jeden rozkład X n = Y n + Z n taki, że (Y n, F n ) jest martyngałem, zaś Z = oraz Z n jest ciągiem prognozowalnym (tzn. F n 1 adaptowalnym). Ponadto X n jest podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg Y n jest niemalejący. W szczególności, jeśli X n jest martyngałem względem F n, to istnieje dokładnie jeden niemalejący ciąg Z n zmiennych prognozowalnych taki, że Z = oraz X 2 n Z n jest martyngałem. 5. Wykaż, że każdy proces prognozowalny jest progresywnie mierzalny. 3
4 Zadania z Procesów Stochastycznych II Wykaż, że jeśli X L 2 T, t s T oraz ξ jest ograniczoną zmienną losową F t mierzalną to ξxi (t,s] L 2 T oraz s t ξxdw = ξ s XdW (Uwaga: t s t XdW definiujemy jako I (s,t]xdw ). 2. Wykaż, że jeśli < t 1 <... < t m < T oraz ξ k są zmiennymi losowymi w L 2 (Ω), F tk mierzalnymi to proces X := m 1 k=1 ξ ki (tk,t k+1 ] należy do L 2 T oraz XdW = m 1 k=1 ξ k(w tk+1 t W tk t). 3. Załóżmy, że X jest procesem prognozowalnym, ciągłym w L 2 (tzn. t X t jest ciągła z [, T ] w L 2 (Ω)). Wykaż, że wówczas X L 2 T oraz dla dowolnego ciągu podziałów = t (n) t (n) 1... t (n) k n = T o średnicy zbiegającej do zera zachodzi dla t T k n 1 k= w L 2 (Ω) przy n. 4. Oblicz W sdw s. X (n) t (W (n) k t k+1 W (n) t ) XdW k 5. Niech τ będzie momentem zatrzymania takim, że Eτ <. Wykaż, że I [,τ] L 2 oraz I [,τ] (s)dw s = W τ. Wywnioskuj stąd, że EW τ = oraz EWτ 2 = Eτ. 6. Dla a, b > określmy τ := inf{t : W t = a b + t}. Wykaż, że τ < p.n. oraz Eτ < wtedy i tylko wtedy gdy a < 1. Ponadto dla a < 1, Eτ = a2 b 1 a Niech ξ będzie zmienną losową o skończonej wariancji taką, że Eξ =. Wykaż, że istnieje moment zatrzymania τ taki, że W τ ma ten sam rozkład co ξ oraz Eτ = Eξ Niech X Λ 2 T, t < s T oraz ξ będzie zmienną losową F t 1 mierzalną (niekoniecznie ograniczoną). Wykaż, że ξxi (t,s] Λ 2 T oraz s t ξxdw = ξ s t XdW. 9. Znajdź proces X Λ 2 T taki, że X sdw s nie jest martyngałem. 4
5 Zadania z Procesów Stochastycznych II Niech I t = I M (X) t = XdM, gdzie M M2,c oraz X E. Wykaż, że I jest ciągłym martyngałem, I = oraz E I T 2 = E X2 s d M s. 2. Wykaż, że M τ = M τ dla M M 2,c i dowolnego momentu zatrzymania τ. 3. Wykaż, że dla M, N M 2,c loc oraz dowolnego momentu zatrzymania τ zachodzi M τ, N τ = M τ, N = M, N τ = M, N τ. 4. Niech h będzie dowolną funkcją o wahaniu ograniczonym na przedziale [a, b], zaś f, g funkcjami ciągłymi na [a, b]. Określmy G(s) = s a g(t)dh(t) dla a t b. Wykaż, że G ma wahanie ograniczone oraz b a f(s)dg(s) = b a f(s)g(s)dh(s). 5. Niech M t = W t 3 dw t. Jak wyglądają przestrzenie L 2 (M) i Λ 2 (M)? Niech X t := 1 W t dm t. Uzasadnij, że proces X jest dobrze określony. Oblicz wartość oczekiwaną i funkcję kowariancji X. 6. Niech A będzie pewną klasą procesów adaptowalnych na [, T ) taką, że jeśli X A to X τ A dla dowolnego momentu zatrzymania τ. Przez A loc oznaczamy wówczas klasę tych procesów adaptowalnych na [, T ) dla których istnieje rosnący ciąg momentów zatrzymania τ n taki, że τ n T oraz X τn A dla wszystkich n. a) Wykaż, że jeśli X A loc to X τ A loc dla dowolnego momentu zatrzymania τ b) Wykaż, że (A loc ) loc = A loc c) Wykaż, że jeśli A jest liniowa to A loc też jest liniowa. 7. Wykaż, że M c loc = M2,c loc. 8. a) Wykaż, że każdy ograniczony ciągły martyngał lokalny jest martyngałem. b) Wykaż, że każdy nieujemny całkowalny ciągły martyngał lokalny jest nadmartyngałem. c) Podaj przykład nieujemnego całkowalnego ciągłego martyngału lokalnego, który nie jest martyngałem. 9. Niech M, N M 2,c loc oraz X Λ2 T (M) Λ2 T (N). Udowodnij, że X Λ 2 T (M + N) oraz Xd(M + N) = XdM + XdN. 1. Niech M M 2,c loc oraz X Λ2 T (M). Wykaż, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ zachodzi ( XdM) τ = XdM τ = XI [,τ] dm = XI [,τ] dm τ. W szczególności jeśli procesy X i Y pokrywają się na przedziale [, τ], to ( XdM) τ = ( Y dm) τ. 5
6 Zadania z Procesów Stochastycznych II Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części przedstaw W 2 s dw s jako wyrażenie nie zawierające całek stochastycznych. 2. Oblicz W 1, W 2, gdzie W 1, W 2 niezależne procesy Wienera. 3. Niech X będzie martyngałem lokalnym takim, że X t Y dla wszystkich t oraz EY <. Wykaż, że X jest martyngałem. 4. Niech f będzie funkcją klasy C 2 na R 2, korzystając z wzoru Ito oblicz df(t, W t ). 5. Niech Z t = exp(λw t λ 2 t/2). Wykaż, że dz t = λz t dw t tzn. Z t = 1 + λ Z sdw s. 6. Niech σ = (σ i,j ) 1 i m,1 j d będzie macierzą procesów z Λ 2. Określamy wówczas σdw jako m wymiarowy proces ( d j=1 σ 1jdW j,..., d j=1 σ mjdw j ). Niech Z = (Z 1,..., Z m ) = σdw + bdt, gdzie b = (b 1 (t),..., b m (t)) proces m wymiarowy ciągły, adaptowalny. Dla f : R d R klasy C 2 oblicz korzystając z wzoru Ito df(z). 6
7 Zadania z Procesów Stochastycznych II Niech g : R d R będzie funkcją klasy C 2, G zbiorem otwartym ograniczonym w R d oraz x G. Określmy τ := inf{t: W t + x / G}. Korzystając ze wzoru Ito wykaż, że jeśli g jest harmoniczna w G to h(wt τ + x) jest martyngałem. Pokaż, że wystarczy zakładać, iż g jest C 2 w pewnym otoczeniu domknięcia G. 2. Wykaż, że dla 3-wymiarowego ruchu Browna W t i a R 3, a proces X t = W t a 1 jest martyngałem lokalnym, ale nie jest martyngałem. Ponadto X t jest nadmartyngałem oraz zbiega do w L 1 i prawie na pewno. 3. Wykaż, że 2-wymiarowego ruchu Browna W t i a R 2, a proces X t = ln W t a jest martyngałem lokalnym. Wywnioskuj stąd, że z prawdopodobieństwem 1 proces W t omija punkt a, ale trajektoria procesu jest dowolnie bliska punktu a. 4. Wykaż, że d-wymiarowy proces X startujący z zera o trajektoriach ciągłych jest procesem Wienera względem filtracji F s wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego u R d oraz s < t zachodzi E(exp(i u, X t X s ) F s ) = exp( (t s) u 2 /2) p.n.. 5. Załóżmy, że M 1, M 2,..., M d są ciągłymi martyngałami lokalnymi startującymi z zera takimi, że M j, M k = δ j,k t. Wykaż, że M = (M 1, M 2,..., M d ) jest d-wymiarowym procesem Wienera. 6. Wykaż, że d-wymiarowy proces X startujący z zera o trajektoriach ciągłych jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego λ R d proces exp( λ, X t λ 2 t/2) jest martyngałem lokalnym. 7* Niech T < oraz X = (X t ) t<t będzie procesem prognozowalnym takim, że dla pewnej liczby całkowitej m 1 zachodzi E X 2m (s)ds <. Wykaż, że X L 2 T oraz M = XdW jest martyngałem takim, że EM 2m T (m(2m 1)) m T m 1 E (Wsk. Wzór Ito i nierówność Höldera) Xs 2m ds 8. Niech W = (W 1,..., W d ) będzie d-wymiarowym ruchem Browna, a R t = W t. Wykaż, że a) B t := d b) R t = j=1 W (i) s R s dws i jest jednowymiarowym procesem Wienera; d 1 2R s ds + B t (R t jest nazywane procesem Bessela.) 7
8 Zadania z Procesów Stochastycznych II Wykaż, że dla a > proces X t = ξe bt + a eb(t s) dw s jest jedynym rozwiązaniem równania dx t = bx t dt+ adw t z warunkiem początkowym X = ξ. Jeśli b < oraz ξ ma rozkład N (, a 2b ) to X t jest procesem stacjonarnym (proces Ornsteina-Uhlenbecka) 2. Załóżmy, że A(t) jest ciągłą funkcją na [, T ] o wartościach w macierzach m m, σ(t) jest ciągłą funkcją na [, T ] o wartościach w macierzach m d zaś a(t) jest ciągłą funkcją na [, T ] o wartościach w R m. Niech S(t) będzie jedynym rozwiązaniem równania ds(t) dt = A(t)S(t); S() = I. Ponadto niech W będzie d-wymiarowym procesem Wienera, a ξ zmienną losową niezależną od W. Wykaż, że a) ξ(t) := S(t)(ξ+ S 1 (s)a(s)ds) jest rozwiązaniem równania deterministycznego dξ(t) dt b) X(t) = S(t)(ξ+ = A(t)ξ(t) + a(t); ξ() = ξ, S 1 (s)a(s)ds+ S 1 (s)σ(s)dw s ) jest jedynym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego dx t = (A(t)X t + a(t))dt + σ(t)dw t ; X = ξ. 3. Niech σ będzie funkcją ciągłą na R d o wartościach w macierzach d d, a b(x) funkcją ciągłą z R d w R d, ponadto niech a = σσ T. Niech Lf(x) = d j=1 b j (x) f x j d 2 f a ij (x) x i x j i,j=1 oraz D będzie otwartym pozdbiorem R d. Rozpatrzmy równanie dx t = b(x t )dt + σ(x t )dw t, X = x. Dla x D oraz procesu X t będącego rozwiązaniem powyższego równania określmy τ := inf{t : X t / D}. Wykaż, że jeśli istnieje funkcja f klasy C 2 określona na pewnym otoczeniu domknięcia D oraz c > takie, że f na D oraz Lf c na D to Eτ <. 8
9 4. Przy założeniach i oznaczeniach z zadania 2 załóżmy, że D jest pozbiorem pasa {y : y 1 R}, b 1 jest funkcją ograniczoną na D oraz a 1,1 (y) α >. Wykaż, że Eτ <. (Wsk. Rozpatrzyć funkcję f(x) = cosh rr cosh rx Niech D będzie wnętrzem kąta w R 2 o rozwartości α, X t = W t + x dla pewnego x D, a τ oznacza pierwszy moment wyjścia przez X z D. Udowodnij, że a) Jeśli α < π/2 to Eτ <, b) jeśli α π/2 to Eτ =. Wsk. a) rozpatrzyć funkcję f(r, ϕ) = r 2 sin(ρ(α + ε ϕ)) we wsp. biegunowych, b) Przyjąć α = π/2 i obliczyć ogon τ z zasady odbicia. 6. Przy oznaczeniach i założeniach zadania 2 załóżmy dodatkowo, że D jest obszarem ograniczonym oraz X t = Xt x i τ = τ x. Niech g będzie funkcją ciągłą w D, a h ciągłą na D oraz v(x) będzie rozwiązaniem równania { Lv(x) = g(x) x D v(x) = h(x) x D. Załóżmy, że v przedłuża się do funkcji klasy C 2 na otoczeniu domknięcia zbioru D. Wykaż, że v(x) = Eh(X x τ x ) τx g(x x s )ds. 7. Załóżmy, że d = 1, D = (α, β) oraz a(x) = σ 2 (x) > δ > dla x (α, β). Oblicz P(Xτ x x = α) dla x (α, β). 8* Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym takim, że lim t M, t = p.n. Dla t < definiujemy czasy zatrzymania τ(t) wzorem τ(t) := inf{s : M s > t}. Wykaż, że proces B t := M τ(t) jest jednowymiarowym procesem Wienera. 9* Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym na [, T ). Wykaż, że a) na zbiorze { M T < } istnieje p.n. skończona granica lim t T M t b) na zbiorze { M T = } p.n. zachodzi lim sup t T M t = oraz lim inf t T M t =. 9
10 Zadania z Procesów Stochastycznych II Znajdź taką miarę probabilistyczną Q na (Ω, F W 1 ), by proces (W t+2t 4 ) t 1 był procesem Wienera względem Q. 2. Niech Z = Z +A+M, Y = Y +B +N będą ciągłymi semimartyngałami. Definiujemy całkę Stratonowicza wzorem Y s dz s := Y s dz s + 1 M, N. 2 Pokazać, że jeśli f jest funkcją klasy C 3 na R to j=1 f(z t ) = f(z ) + f (Z s ) dz s. 3. Pokazać, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania oraz dowolnym ciągu π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n } podziałów odcinka [, t] takim, że diam(π n ) zachodzi k n Y (n) t + Y (n) t j+1 t j (Z (n) 2 t Z (n) j+1 t ) Y s dz s j przy n według prawdopodobieństwa. 4. Niech µ oznacza miarę Wienera na C([, 1]) (tzn. rozkład wyznaczony przez proces Wienera na [, 1]). Dla h C([, 1]) określamy nową miarę µ h wzorem µ h (A) := µ(h + A). a) Wykaż, że jeśli h(t) = g(s)ds dla t 1 oraz g L2 [, 1] to miara µ h jest absolutnie ciągła względem µ oraz znaleźć gęstość. b*) Jeśli h nie ma powyższej postaci to µ i µ h są wzajemnie singularne. 1
11 Zadania z Procesów Stochastycznych II DLa T < rozpatrzmy równanie dx t = b(t, X t )dt + dw t, t T, X =. (1) Niech U będzie procesem Wienera na (Ω, F, P), Z t = exp( b(s, U s)du s b2 (s, U s )ds/2), W t := U t b(s, U s)ds. Stosując twierdzenie Girsanowa wykaż, że jeśli EZ T = 1 to istnieje miara probabilistyczna Q T taka, że para (U, W ) jest słabym rozwiązaniem (1) na (Ω, F, Q T ) (z X = U). 2. a) Załóżmy, że f n C 2 (R) spełniają warunki f n () = f n() =, f n n, f n (x) = n dla x n 2 (n 1) oraz f n (x) = dla x n 2 (n + 1). Niech Y (n) t := 1 2 f n(w s )dw s. Wykaż, że jeśli α jest odpowiednio duże, to Y (kα ) t L t p.n. przy k oraz zbieżność jest jednostajna na każdym przedziale ograniczonym. b) Wywnioskuj stąd, że c) Wykaż, że 1 lim k 2 kα {s [, t]: W s k α } = L t p.n.. 1 L t = lim ε + 2ε {s [, t]: W s ε} p.n.. i zbieżność jest jednostajna na przedziałach ograniczonych. 3. Wykaż, że dla a R istnieje proces L a t ciągły, niemalejący, nieujemny taki, że Ponadto 4. Udowodnij, że W t a = a + sgn(w t a)dw t + L a t p.n.. L a 1 t = lim ε + 2ε {s [, t]: W s a ε} p.n La t = (W t a) + a = (W t a) a + + I [a, ) (W s )dw s I (,a] (W s )dw s p.n.. 5* Wykaż, że da się wybrać taką wersję czasów lokalnych L a t, by proces (t, a) L a t był ciągły względem pary parametrów (a, t) R R +. 11
12 Zadania z Procesów Stochastycznych II Wykaż, że d-wymiarowy proces X = (X (1),..., X (d) ) jest procesem Wienera względem ustalonej filtracji F t wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej funkcji f C 2 (R d ) proces (X t 1 t 2 f(x s)ds, F t ) jest martyngałem lokalnym. 2. Niech M = (M (1),..., M (d) ) będzie taki, że M =, M (i) M c loc oraz dla 1 i, j d, M (i), M (j) t = z s (i,j) ds. i) Wykaż, że macierz Z s = (z s (i,j) ) i,j d jest symetryczna i nieujemnie określona. Wywnisokuj stąd, że istnieje macierz procesów Q s = (q s (i,j) ) i,j d taka, że Q 1 s = Q T s oraz Λ s = Q 1 s Z s Q s jest macierzą diagonalną. Niech Q s = diag(λ (1) s ii) Zdefiniujmy N (i) t,..., λ (d) s ). := d k=1 q(i,k) s N (i), N (j) t = δ i,j dm s (k). Wykaż, że λ s (i) ds. iii) Niech B = (B (1),..., B (d) ) będzie d-wymiarowym procesem Wienera niezależnym od N. Określmy W (i) t := I (i) {λ s >} 1 λ (i) s dn (i) s + Wykaż, że W jest procesem Wienera oraz N (i) t iv) Określmy X (i,j) t := q s (i,j) λ (j) s, udowodnij, że M (i) t = d j= X (i,j) s dw s. I (i) {λ s =} db(i) s. = t λ (i) s dw (i) s. 12
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoWstęp do Analizy Stochastycznej
Matematyka stosowana Wstęp do Analizy Stochastycznej Rafał Latała R.Latala@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~rlatala Uniwersytet Warszawski, 211 Streszczenie. Ogólna teoria procesów, proces Wienera.
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoStochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia
Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia Niech W t (ewentualnie W, W (t)), t oznacza proces Wienera oraz niech W = Niech W = (W, W 2,, W n ) oznacza n-wymiarowy proces Wienera Pokazać, że
Bardziej szczegółowoWstęp do Analizy Stochastycznej
Wstęp do Analizy Stochastycznej Rafał Latała 6 września 21 Poniższy tekst zawiera notatki do wykładów ze Wstępu do Analizy Stochastycznej, prowadzonego w semestrze wiosennym 21 roku. Gwiazdkami oznaczono
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o następujących rozkładach: a) symetryczny dwupunktowy; b) dwumianowy z parametrami n, p; c) Poissona z parametrem
Bardziej szczegółowo3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoZadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n
Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoWokół nierówności Dooba
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: 24957 Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych
Bardziej szczegółowoJak rzucać losowe spojrzenia na ruch Browna by w nim wszystko dojrzeć
Jak rzucać losowe spojrzenia na ruch Browna by w nim wszystko dojrzeć Jan Ob lój Uniwersytet Warszawski Université Paris 6 Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.1/22 Plan referatu 1. Wstępne definicje
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowor u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ.
Wprowadzenie Mamy ustalone T > 0 horyzont, (Ω, F, P) z F filtracja, F = {F t } t [0,T ] oraz Proces chwilowej stopy procentowej r = (r t ) t [0,T ], tzn. rachunek bankowy spełnia ODE: db t = B t r t dt,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoNieregularne ścieżki - między determinizmem a losowością
Nieregularne ścieżki - między determinizmem a losowością Rafał Łochowski SGH 6. Forum Matematyków Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 1 / 21 Problem z nieskończonym wahaniem
Bardziej szczegółowoOptymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Dworczak Nr albumu: 91564 Optymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów Praca licencjacka na kierunku MATEMATYA
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoO procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna
Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 91...... Zadanie 1. (8 punktów) Liczebność pewnej populacji jest opisana równaniem różniczkowym: dn = r N(α N)(N β), (1) dt w którym, N(t) oznacza liczebność populacji w chwili t, a r > 0
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.
Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Procesy stochastyczne 1 Co to jest proces stochastyczny Będziemy zakładać w tej książce, że dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ). Definicja 1.1 Procesem stochastycznym nazywamy zbiór zmiennych
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowo1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo
1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1.1 Rodzaje zbieżności ciagów zmiennych losowych Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna na której określony jest ciag {X
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoRynek, opcje i równania SDE
Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż
Bardziej szczegółowoWariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie
Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie Rafał M. Łochowski Wrocław 2015 Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 1 / 42 Plan odczytu 1 Twierdzenie Banacha
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1.
1 Ex-dividend prices Modelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1. Mariusz Niewęgłowski 19 października 2014 Definicja 1. Dla każdego t [0, T ] cena ex-dividend wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) S t := B t E Q Bu
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2015 Biomatematyka
Biomatematyka Rozpatrzmy chorobę, która rozprzestrzenia się za pośrednictwem nosicieli, u których nie występują jej symptomy. Niech C(t) oznacza liczbę nosicieli w chwili t. Zakładamy, że nosiciele są
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowo