Nieregularne ścieżki - między determinizmem a losowością
|
|
- Mikołaj Pawlik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Nieregularne ścieżki - między determinizmem a losowością Rafał Łochowski SGH 6. Forum Matematyków Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 1 / 21
2 Problem z nieskończonym wahaniem semimartyngałów i definicją całki stochastycznej Od lat 40. XX wieku wiadomo [2], że trajektorie standardowego ruchu Browna B t, t 0, p.n. mają wahanie nieskończone, i np. całki postaci T 0 B t db t nie da się zdefiniować jako klasycznej całki Riemanna-Stieltjesa, całki Younga czy całki Lebesgue a-stieltjesa. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 2 / 21
3 Problem z nieskończonym wahaniem semimartyngałów i definicją całki stochastycznej Od lat 40. XX wieku wiadomo [2], że trajektorie standardowego ruchu Browna B t, t 0, p.n. mają wahanie nieskończone, i np. całki postaci T 0 B t db t nie da się zdefiniować jako klasycznej całki Riemanna-Stieltjesa, całki Younga czy całki Lebesgue a-stieltjesa. Systematycznie rozwijana od tego czasu ogólna teoria całki stochastycznej doprowadziła do powstania pojęcia semimartyngału i jego wahania kwadratowego. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 2 / 21
4 Przepis na ogólną całkę stochastyczną T 0 Y dx Składniki: Przestrzeń probabilistyczna z filtracją (Ω, F, F, P), najlepiej spełniająca typowe założenia, czyli filtracja F = {F t } t 0 jest prawostronnie ciągła, czyli dla t 0, F t = u>t F u. F 0 zawiera wszystkie zbiory z F o prawdopodobieństwie 0. Proces całkujący X o wartościach w R d, który jest semimartyngałem (względem filtracji F). Adaptowany (względem F) proces całkowany Y o wartościach w R d, p.n. o trajektoriach càdlàg. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 3 / 21
5 Przepis na ogólną całkę stochastyczną T 0 Y dx Składniki: Przestrzeń probabilistyczna z filtracją (Ω, F, F, P), najlepiej spełniająca typowe założenia, czyli filtracja F = {F t } t 0 jest prawostronnie ciągła, czyli dla t 0, F t = u>t F u. F 0 zawiera wszystkie zbiory z F o prawdopodobieństwie 0. Proces całkujący X o wartościach w R d, który jest semimartyngałem (względem filtracji F). Adaptowany (względem F) proces całkowany Y o wartościach w R d, p.n. o trajektoriach càdlàg. Narzędzia: wahanie kwadratowe [X ] (albo, jeszcze lepiej - prognozowalna (lewostronna) wersja wahania kwadratowego, X ) izomorfizm Itô lub twierdzenie o reprezentacji ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni Hilberta Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 3 / 21
6 Inne podejścia, wahanie kwadratowe Możliwe jest też odwrotne podejście (np. takie jak u Prottera [5]), gdzie definiuje się całkę i jej minimalne pożądane własności dla prostych procesów całkowanych, a następnie dowodzi się, że najszersza klasa dobrych procesów całkujących, dla których te własności zachodzą, to klasa semimartyngałów (twierdzenie Dellacherie-Bichtelera). Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 4 / 21
7 Inne podejścia, wahanie kwadratowe Możliwe jest też odwrotne podejście (np. takie jak u Prottera [5]), gdzie definiuje się całkę i jej minimalne pożądane własności dla prostych procesów całkowanych, a następnie dowodzi się, że najszersza klasa dobrych procesów całkujących, dla których te własności zachodzą, to klasa semimartyngałów (twierdzenie Dellacherie-Bichtelera). Niezależnie od zastosowanego podejścia, dla dowolnego T 0, wahanie kwadratowe [X ] T semimartyngału X t, t 0, jest zawsze równe granicy (wg prawdopodobieństwa) zmiennych losowych postaci [X ] T = (P) lim n X N n i=1 ( X t n i X t n i 1 ) 2, gdzie 0 = t0 n < tn 1 <... < tn N n = T jest dowolnym ciągiem podziałów ) odcinka [0, T ], o średnicy max 1 i Nn (ti n ti 1 n dążącej do 0 gdy n dąży do +. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 4 / 21
8 Uogólniony wzór Itô Gdy się ma już wszystkie narzędzia i składniki, definiujemy całkę stochastyczną. Jeżeli f : R d R jest funkcją klasy C 2, to zachodzi następujące uogólnienie wzoru Itô (wzór Kunity-Watanabe): f (X t ) = f (X 0 ) i=1 d t d t i,j=1 0+ { 0<s t 0+ f x i (X s ) dx i s 2 f (X s ) d [X i, X j] c x i x j s f (X s ) d i=1 } f (X s ) Xs i, x i Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 5 / 21
9 Uogólniony wzór Itô Gdy się ma już wszystkie narzędzia i składniki, definiujemy całkę stochastyczną. Jeżeli f : R d R jest funkcją klasy C 2, to zachodzi następujące uogólnienie wzoru Itô (wzór Kunity-Watanabe): f (X t ) = f (X 0 ) i=1 d t d t i,j=1 0+ { 0<s t 0+ f x i (X s ) dx i s 2 f (X s ) d [X i, X j] c x i x j s f (X s ) d i=1 } f (X s ) Xs i, x i gdzie [ X i, X j] = 1 ([ X i + X j] [X i X j]) 4 zaś [X i, X j] c [ jest częścią ciągłą X i, X j]. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 5 / 21
10 Czy do wyprowadzenia wzoru Itô potrzebna jest konstrukcja całki stochastycznej? Okazuje się, że do wyprowadzenia wzoru Itô, niekoniecznie potrzebna jest konstrukcja całki stochastycznej. W pionierskiej pracy [1] z 1981 roku Föllmer wprowadził pojęcie wahania kwadratowego funkcji càdlàg x :{[0, T ] R względem pewnego} ciągu (π n ) podziałów odcinka [0, T ], π n = 0 = t0 n < tn 1 <... < tn N n = T o średnicy ) max 1 i Nn (ti n ti 1 n dążącej do 0 gdy n dąży do +. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 6 / 21
11 Konstrukcja Föllmera Definicja Niech x i (π n ) będą jak wyżej. Załóżmy, że ciąg miar N n i=1 ( x t n i x t n i 1 ) 2 δ{t n i 1 } dąży słabo do pewnej miary Radona ξ na [0, T ]. Wahanie kwadratowe x względem ciągu podziałów (π n ) definiujemy jako [x] t = x ξ [0, t] zaś jego część ciągłą [x] c t definiujemy za pomocą równości [x] t = [x] c t + x <s t x 2 s. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 7 / 21
12 Twierdzenie Föllmera Twierdzenie Jeżeli x : [0, T ] R jest càdlàg i ma wahanie kwadratowe względem ciągu podziałów (π n ) oraz f : R R jest funkcją klasy C 2, to zachodzi równość t f (x t ) = f (x 0 ) + + 0<s t f (x s ) dx s t { f (xs ) f } (x s ) x s, f (x s ) d [x] c s Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 8 / 21
13 Twierdzenie Föllmera Twierdzenie Jeżeli x : [0, T ] R jest càdlàg i ma wahanie kwadratowe względem ciągu podziałów (π n ) oraz f : R R jest funkcją klasy C 2, to zachodzi równość t f (x t ) = f (x 0 ) + + 0<s t f (x s ) dx s t { f (xs ) f } (x s ) x s, f (x s ) d [x] c s gdzie całka t 0+ f (x s ) dx s jest zdefiniowana jako granica t 0+ f (x s ) dx s = lim f n i:ti n t ( ) (t n x t n i i+1 ti n ). Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 8 / 21
14 Twierdzenie Föllmera - uwagi Dowód twierdzenia Föllmera jest dosyć prosty, jednak główny problem tkwi w tym, że definicja całki t 0+ f (x s ) dx s a priori zależy od wyboru ciągu podziałów (π n ) i w gruncie rzeczy powinno być to uwzględnione w notacji, np. (π n ) t 0+ f (x s ) dx s. W przypadku wyboru dwóch różnych ciągów podziałów (π n ) oraz (ρ n ) może zachodzić t t (π n ) f (x s ) dx s (ρ n ) f (x s ) dx s Z twierdzenia Föllmera wynika, że jest to równoważne temu, że zachodzi (π n ) [x] c (ρ n ) [x] c. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 9 / 21
15 Wahanie kwadratowe - alternatywna definicja, niezależna od ciągu podziałów Niedawno, w [3], udowodnione został następujący wynik. Jeżeli X t, t 0, jest semimartyngałem, to dla dowolnego T 0 p.n. zachodzi następująca zbieżność lim c 0+ c TVc (X, T ) = [X ] c T, gdzie TV c (X, T ) oznacza ucięte wahanie X zdefiniowane jako TV c (X, T ) := sup n n sup max { X ti X ti 1 c, 0 }. 0 t 0 <t 1 <...<t n T i=1 Wynik ten uogólnia (na przypadek semimartyngałów ze skokami) otrzymany wcześniej (we wspólnej pracy z Piotrem Miłosiem [4]) wynik dla semimartyngałów ciągłych. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 10 / 21
16 Otwarte pytanie Powstaje naturalne pytanie, czy można uzyskać analogiczy wynik do wyniku Föllmera, przez zastąpienie wahania kwadratowego (π n ) [x], zdefiniowanego jako dystrybuanta miary Radona ξ, wahaniem kwadratowym zdefiniowanym jako suma gdzie [x] t := x [x] cont t [x] cont t (przy założeniu, że ta granica istnieje). + 0<s t := lim c 0+ TVc (x, t) x 2 s, Kolejne naturalne pytanie to to, jak tak zdefiniowane wahanie ma się do wahania zdefiniowanego przez Föllmera. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 11 / 21
17 Modelowanie procesów cen Semimartyngały mają szerokie zastosowanie w modelowaniu procesów cen aktywów finansowych. Od czasu ostatniego światowego kryzysu finansowego jednak coraz więcej uwagi poświęca się modelom, w których jak najmniej zakłada się o mierze probabilistycznej rządzącej procesami cen, gdyż błędne oszacowanie tej miary może mieć katastrofalne skutki związane z błędną wyceną aktywów. Jednym z takich podejść jest podejście Vovka, oparte na minimalnych założeniach o braku arbitrażu 1. rodzaju. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 12 / 21
18 Podejście Vovka, typowe procesy cen Konstrukcję Vovka można uznać za pośrednią pomiędzy modelami deterministycznymi a modelami probabilistycznymi, w której jednak nie zakłada się nic o mierze probabilistycznej. Rozważa się w niej przestrzeń Ω wszystkich (nieujemnych) ścieżek càdlàg ω : (0, T ) R a typowe procesy cen to te, które nie prowadzą do możliwości arbitrażu pierwszego rodzaju (osiągnięcie dowolnie dużych zysków przy poniesieniu małego, ustalonego poziomu ryzyka). Vovk udowodnił, że typowe procesy cen, przy pewnych technicznych ograniczeniach na wielkość skoków ścieżki, mają odpowienio zdefiniowane wahanie kwadratowe Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 13 / 21
19 Podejście Vovka, miara zewnętrzna Dodatkowo, dla dowolnej rodziny E ścieżek z Ω wprowadza się miarę zewnętrzną P (E). Z grubsza mówiąc, P (E) =minimalny kapitał początkowy, dla którego istnieje strategia handlowa nie prowadząca nigdy do długu i dająca w momencie T wypłatę co najmniej 1 E, czyli co najmniej 1 jeżeli proces cen był ze zbioru E Zbiór E jest typowy jeżeli P (E) = 1, tzn. dla dowolnego procesu cen ω E nie ma możliwości osiągnięcia na pewno wypłaty co najmniej 1, jeżeli się wystartuje z kapitału mniejszego niż 1. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 14 / 21
20 Podejście Vovka - przypadek ciągły Jeżeli zbiór Ω zastąpi się zbiorem ciągłych ścieżek ω : [0, + ) R, to okazuje się, że typowe procesy cen mają wiele własności charakteryzujących ciągłe semimartyngały, takie jak: istnienie (odpowiednio zdefiniowanego) wahania kwadratowego odpowiednik twierdzenia Dambisa, Dubinsa-Schwarza, mówiący, że jeżeli zbiór E jest niezmienniczy na ciągłą i niemalejącą (można się zatrzymać lecz nie cofnąć wstecz) zmianę czasu oraz dla każdego ω Ω, ω(0) = c, to miara zewnętrzna P (E) jest rowna mierze Wienera W c (E), czyli mierze indukowanej na przestrzeni funkcji ciągłych przez proces Wienera startujący z c, c + B, gdzie B - standardowy ruch Browna. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 15 / 21
21 Wnioski płynące z twierzenia DDS dla ciągłych procesów cen W szczególności, wszystkie własności standardowego ruchu Browna niezmiennicze ze względu na ciągłą i niemalejącą zmianę czasu pozostają prawdziwe dla typowych ciągłych procesów cen! Przykładem takich własności są: 1 nieskończone 2-wahanie, czyli n V 2 (ω, [0, T ]) := sup sup (ω (t i ) ω (t i 1 )) 2 = + ; n 0 t 0 <t 1 <...<t n T i=1 2 skończone ψ-wahanie, gdzie ψ(x) = x 2 / ln max (ln x, e), czyli n V ψ (ω, [0, T ]) := sup sup ψ (ω (t i ) ω (t i 1 )) < +. n 0 t 0 <t 1 <...<t n T i=1 Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 16 / 21
22 Własności typowych ciągłych procesów cen, c.d. Warto wspomnieć, że ψ jest funkcją o największym rzędzie w sąsiedztwie 0, dla której V ψ (ω, [0, T ]) < + dla typowego ciągłego procesu cen ω (jak i dla standardowego ruchu Browna). Podobnie, korzystając z własności niezmienniczości uciętego wahania względem (ciągłej i niemalejącej) zmiany czasu, oraz z jego własności dla standardowego ruchu Browna dostajemy, że zbiór ścieżek, dla których istnieje granica lim c 0+ c TVc (ω, T ), dla dowolnego 0 < T < +, jest typowy. (Jest to w pewnym sensie mocne prawo wielkich liczb dla typowych procesów cen). Granica ta jest naturalnym kandydatem na [ω] T. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 17 / 21
23 Co wiadomo dla procesów cen o trajektoriach càdlàg? Dla typowych nieujemnych procesów cen ω : [0, T ] R o trajektoriach càdlàg można udowodnić, że sup c TV c (ω, T ) < +, c>0 dla dowolnego T > 0, co jest nieco słabsze niż istnienie granicy lim c 0+ c TV c (ω, T ). Uwaga Na poziomie funkcji deterministycznych można udowodnić, że ze skończoności sup c>0 c TV c (f, T ) wynika skończoność ϕ-wahania: n V ϕ (f, [0, T ]) := sup sup ϕ (f (t i ) f (t i 1 )) < +, n 0 t 0 <t 1 <...<t n T i=1 gdzie ϕ(x) = x 2 / max (ln x, 1) 2. Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 18 / 21
24 Otwarte pytania Pytanie na poziomie typowych (nieujemnych) procesów cen o trajektoriach càdlàg : czy dla dowolnego T > 0 istnieje granica lim c c 0+ TVc (ω, T )? Pytania na poziomie ścieżek deterministycznych: Czy z faktu, że sup c>0 c TV c (f, T ) < +, wynika skończoność V ψ (f, [0, T ])? Jeżeli nie, to czy np. wystarczy do tego istnienie dla dowolnego t [0, T ] granicy lim c 0+ c TV c (f, t)? Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 19 / 21
25 Literatura [1] H. Föllmer. Calcul d Itô sans probabilités. Séminaire de Probabilités XV, 80: , [2] P. Lévy. Le mouvement brownien plan. Amer. J. Math., 62: , [3] R. M. Łochowski. Asymptotics of the truncated variation of model-free price paths and semimartingales with jumps. Preprint arxiv: , [4] R. M. Łochowski and P. Miłoś. On truncated variation, upward truncated variation and downward truncated variation for diffusions. Stochastic Process. Appl., 123(2): , [5] Philip E. Protter. Stochastic integration and differential equations, 2nd ed., volume 21 of Applications of Mathematics. Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer-Verlag, Berlin, Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 20 / 21
26 Podziękowania Dziękuję za uwagę Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 21 / 21
8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoWariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie
Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie Rafał M. Łochowski Wrocław 2015 Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 1 / 42 Plan odczytu 1 Twierdzenie Banacha
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoZadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowo}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0,
Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1 1. Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoRynek, opcje i równania SDE
Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoOgólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008
Przemysław Klusik Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne -
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoJak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych)
Jak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych) Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki leszekp@mimuw.edu.pl Horyzonty 2014 17-03-2014 Będlewo Zadania numeryczne
Bardziej szczegółowoXI Konferencja Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych
Rafał M. Łochowski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O górnym ograniczeniu zysku ze strategii handlowej opartej na kointegracji XI Konferencja Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych Zależność kointegracyjna
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoWokół nierówności Dooba
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: 24957 Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych
Bardziej szczegółowoOptymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Dworczak Nr albumu: 91564 Optymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów Praca licencjacka na kierunku MATEMATYA
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sp. ze stałymi kosztami za transakcje
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sprzedaży ze stałymi kosztami za transakcje Instytut Matematyczny PAN Problem bez stałych kosztów za transakcje (Ω, F, (F t ), P) przestrzeń
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoWykłady 11 i 12: Całka oznaczona
Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoJak wyznaczyć premię za ryzyko? kilka słów o modelu Arrowa - Pratta
Jak wyznaczyć premię za ryzyko? kilka słów o modelu Arrowa - Pratta Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej Poznań, 13.05.2017 r. Pojęcia wstępne u - funkcja użyteczności u : R R, u - ciągła, ściśle
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO
ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoLista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Bardziej szczegółowo19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoTwierdzenie o liczbach pierwszych i hipoteza Riemanna
o liczbach pierwszych i hipoteza Riemanna Artur Ulikowski Politechnika Gdańska 10 marca 2009 o liczbach pierwszych Legendre, badając rozkład liczb pierwszych, postawił następującą hipotezę: Niech π(x)
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych
Publiczna obrona rozprawy doktorskiej Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych Piotr Miłoś Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk 23.10.2008 Warszawa Plan 1 Układy
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo
1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1.1 Rodzaje zbieżności ciagów zmiennych losowych Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna na której określony jest ciag {X
Bardziej szczegółowo6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek
6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.
Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowo